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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
LÍNEA RECTA
MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
LÍNEAS RECTAS.
1. Pendiente de una recta.2. Ángulo de inclinación.3. Ecuación de la recta para punto y pendiente.4. Ecuación general de la recta.5. Ecuación de la recta para pendiente y ordenada
en el origen.6. Condición de paralelismo.7. Condición de perpendicularidad.8. Distancia de un punto a una recta.
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
1. PENDIENTE DE UNA RECTA.
Pendiente: Es una inclinación.
La pendiente de una recta que pasa por dos puntos es:
m = tan
12
12
xxyy
m
P 2 (x 2
, y 2)
P 1 (x 1
, y 1)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
1. PENDIENTE DE UNA RECTA.
Ejemplo 1: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5) es:
66.032
64
1715
12
12
m
m
xxyy
m
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
1. PENDIENTE DE UNA RECTA.
Ejemplo 2: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (-5, 5) es:
initoinfm
m
xxyy
m
03
)5(52512
12
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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1. PENDIENTE DE UNA RECTA.
Ejemplo 3: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, 3) es:
0304133
12
12
m
m
xxyy
m
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN.
Si la pendiente de una recta es:
m = tan Entonces, el ángulo de inclinación de la recta es:
= tan-1 m
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN.
Así, para el Ejemplo 1, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5) es: = tan-1 m
= tan-1(2/3) = 33.69º = 33º 41’ 24”
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN.
Para el Ejemplo 2, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (-5, 5) es:
= tan-1 m = tan-1
= 90º Ya que la recta es vertical.
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN.
Para el Ejemplo 3, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, 3) es:
= tan-1 m = tan-1 0
= 0º
Ya que la recta es horizontal.
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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3. ECUACIÓN DE LA RECTA PARA PUNTO Y PENDIENTE.
La ecuación de la pendiente de una recta, para un punto genérico P(x, y) y otro punto cualquiera que sea P1 (x1, y1) es:
Eliminando el denominador, despejando de la misma tenemos:
1
1
y ym
x x
)( 11 xxmyy
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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3. ECUACIÓN DE LA RECTA PARA PUNTO Y PENDIENTE.
La ecuación
Se conoce como “ecuación de la recta para punto y pendiente”.
Donde: m: pendiente de la recta (x1, y1): es un punto cualquiera
)( 11 xxmyy
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Si en la ecuación
se sustituye la pendiente “m” y un punto P(x1, y1), se obtiene una ecuación de la forma
Ax + By + C = 0, la cuál se conoce como Ecuación General de la Recta.
Donde:A: coeficiente de “x”B: coeficiente de “y”C: término independiente
)( 11 xxmyy
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 4:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(3, 7) y B(-2, 1).
La pendiente es:
Sustituyendo el punto (3, 7) y la pendiente 6/5 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
56
56
3271
12
12
xxyy
m
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=6/5, P(3, 7)
Igualando
a “cero”:Luego, la ecuación general de la recta es:
6x – 5y + 17 = 0A=6, B=-5, C=17
017560
3518560
186355
)3(6)7(5
)3(56
7
)( 11
yx
yx
xy
xy
xy
xxmyy
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 5:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto C(-2, 7) y D(4, -3).
La pendiente es:
Sustituyendo el punto (4, -3) y la pendiente -5/3 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
35
610
)2(473
12
12
xxyy
m
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=-5/3, P(4, -3)
Igualando
a “cero”:Luego, la ecuación general de la recta es:
5x + 3y - 11 = 0A=5, B=3, C=-11
01135
092035
20593
)4(5)3(3
)4(35
)3(
)( 11
yx
yx
xy
xy
xy
xxmyy
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 6:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto E(1, 6) y F(-3, -4).
La pendiente es:
Sustituyendo el punto (1, 6) y la pendiente 5/2 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
25
410
1364
12
12
xxyy
m
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=5/2, P(1, 6)
Igualando
a “cero”:Luego, la ecuación general de la recta es:
5x – 2y + 7 = 0A=5, B=-2, C=7
07250
125250
55122
)1(5)6(2
)1(25
6
)( 11
yx
yx
xy
xy
xy
xxmyy
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 7:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto G(-5, 4) y H(3, 0).
La pendiente es:
Sustituyendo el punto (3, 0) y la pendiente -1/2 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
21
84
)5(340
12
12
xxyy
m
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=-1/2, P(3, 0)
Igualando a “cero”:
Luego, la ecuación general de la recta es:
x + 2y - 3 = 0A=1, B=2, C=-3
032
32
)3(1)0(2
)3(21
0
)( 11
yx
xy
xy
xy
xxmyy
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Si ya se conoce la pendiente “m” y el punto, se sustituyen directamente en la ecuación de la recta para “punto y pendiente”.
)( 11 xxmyy
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Si de la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 despejamos “y”:
Obtenemos: )(BC
xBA
y
BCAx
y
CAxBy
(0, b)
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Que tiene la formay = m x + b
Donde:
)(BC
xBA
y
(0, b)
BC
b
BA
m
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Por lo tanto, si conocemos la ecuación general de la recta
A x + By + C = 0, podemos calcular su pendiente “m” y su ordenada en el origen. Esto es, que el punto P(x1 , y1) es P(0,b) donde x1 = 0 y y1 = b.
(0, b)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Ejemplo 8: De la recta 6x-5y+17=0 A=6, B=-5 y C=17.
Luego:
517
517
56
56
BC
b
BA
m
(0, 17/5)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Ejemplo 9:De la recta
5x + 3y -11 = 0, A=5, B=3 y C=-11.
Luego:
311
3)11(
35
BC
b
BA
m
(0,11/3)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
Sean L1 y L2 dos rectas paralelas y 1 y 2 sus ángulos de inclinación como se muestra en la figura.
L2 L1
12
Luego:
2 = 1
Tan 2 = Tan 1
m2 = m1
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
Ejemplo 10: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (3, -2) y es paralela a la recta 5x - 2y + 7 = 0.
L1: 5x – 2y + 7 = 0
L2: pasa por (3, -2) y es
paralela a L1.
L2L1
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO.
De la ecuación de la recta 5x - 2y + 7 = 0, podemos calcular “m” como sigue:
Pero:
m2 = m1=5/2 y P(3, -2)
25
25
BA
m
L2L1
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO.
m2 = m1=5/2 y P(3, -2)
Luego, sustituyendo en
Obtenemos L2: 5x – 2y – 19 = 0
L2L1
01925,041525
15542),3(5)2(2
)3(2
5)2(),( 11
yxyx
xyxy
xyxxmyy
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO.
Ejemplo 11: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (-2, 1) y es paralela a la recta x + 2y - 3 = 0.
L1: x + 2y - 3 = 0
L2: pasa por (-2, 1) y es
paralela a L1.
L1L2
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
De la ecuación de la recta
x + 2y - 3 = 0, podemos calcular “m” como sigue:
Pero:
m2 = m1=-1/2
y P(-2, 1)
21
BA
m
L2 L1
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
m2 = m1=-1/2 y P(-2, 1)
Luego, sustituyendo en
Obtenemos L2: x + 2y = 0
02,0222
222),2(1)1(2
))2((21
)1(),( 11
yxyx
xyxy
xyxxmyy
L2 L1
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares y 1 y 2 sus ángulos de inclinación como se muestra en la figura.
L2
L1
1
2
Luego:
2 = 1+90º
Tan 2 = Tan (1+90º)
m2 = -1/m1
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Ejemplo 12: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (2, 1) y es perpendicular a la recta 3x–2y+5=0.
L1: 3x-2y+5=0
L2: pasa por (2, 1) y es
perpendicular a L1
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
De la ecuación de la recta 3x-2y+5=0, podemos calcular “m” como sigue:
Pero: P(2, 1) y
23
23
BA
m
32
2/31
m1
m1
2
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
m2 = -2/3 y P(2,1)
Luego, sustituyendo en
Obtenemos: L2: 2x+3y-7=0
043y3x2
4x23y3
)2x(2)1y(3
)2x(32
)1(y
)xx(myy 11
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Ejemplo 13: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (2,-3) y es perpendicular a la recta 3x+5y-1=0.
L1: 3x+5y-1=0
L2: pasa por (2,-3) y es
perpendicular a L1
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
De la ecuación de la recta 3x+5y-1=0, podemos calcular “m” como sigue:
Pero: P(2,-3) y
53
53
BA
m
35
5/31
m1
m1
2
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
m2 = 5/3 y P(2,-3)
Luego, sustituyendo en
Obtenemos: L2: 5x-3y-19=0
0109y3x5
10x59y3
)2x(5)3y(3
)2x(35
)3(y
)xx(myy 11
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Ejemplo 14: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los
puntos (2, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por el punto (3, 4) y (-2,-1).
L1: pasa por (3, 4) y (-2,-1)
L2: pasa por (2, 1) y es
perpendicular a L1
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
La pendiente de la recta que pasa por (3, 4) y (-2,-1) es:
Pero:
Luego, sustituyendo m2 = -1 y P(2, 1):
Obtenemos la ecuación: x+y-3=0
155
3241
xxyy
m12
12
1
11
m1
m1
2
01y2x
2x1y
)2x(1)1(y
)xx(myy 11
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Para encontrar la distancia d de un punto (x1, y1) a una recta L, se traza la recta L1 paralela a L y que pase por el punto (x1, y1).
La ecuación es:
El signo del radical debe ser opuesto al de C.
Y
X
L1
L
d
22 BA
CByAxd
(x1, y1)
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Ejemplo 15:Encontrar la distancia d desde la recta 8x+15y-24=0 al punto (-2,-3).
Sustituimos los coeficientes de A, B y C en la ecuación:
Enseguida la coordenada del punto:
Como d es negativo, el origen y el punto están al mismo lado de la recta.
2222 158
24y15x8
BA
CByAxd
51785
1724)3(15)2(8
d
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Ejemplo 16:Encontrar la distancia d desde la recta 6x-8y+5=0 al punto (-1, 7).
Sustituimos los coeficientes de A, B y C en la ecuación:
Enseguida la coordenada del punto:
Como d es positivo, el origen y el punto están en distinto lado de la recta.
2222 )8(6
5y8x6
BA
CByAxd
7.51057
105)7(8)1(6
d
UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
FIN
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