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Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 1
Contenido Conceptos preliminares para el módulo...................................................................................... 3
Sesión N°17............................................................................................................................... 4
17.1 MEDIDA DE UN ÁNGULO EN GRADOS O EN RADIANES ..................................................... 4
Actividad 17.1.1 ................................................................................................................. 8
17.2 Trigonometría del triángulo rectángulo........................................................................... 9
Actividad 17.2.1 ................................................................................................................11
Actividad 17.2.2 ................................................................................................................12
Sesión N°18..............................................................................................................................14
18.1 Valor de la razón trigonométrica asociada a un ángulo específico ....................................14
Actividad 18.1.1 ................................................................................................................15
18.2 El círculo Trigonométrico ...............................................................................................16
Actividad 18.2.1 ................................................................................................................18
Actividad 18.2.2 ................................................................................................................19
Sesión N°19..............................................................................................................................20
19.1 Ángulos en posición estándar y signo .............................................................................20
Actividad 19.1.1 ................................................................................................................23
Actividad 19.1.2 ................................................................................................................26
Actividad 19.1.3 ................................................................................................................26
Actividad 19.1.4: Razones trigonométrica para ángulos negativos ........................................27
Actividad 19.1.8 ................................................................................................................31
Sesión N°20..............................................................................................................................33
20.1 Ángulos de referencia....................................................................................................33
Actividad 20.1.1 ................................................................................................................36
Actividad 20.1.2 ................................................................................................................37
Actividad 20.1.3 ................................................................................................................38
20.2 Razones trigonométricas a partir de ángulos de referencia ..............................................39
Actividad 20.2.1 ................................................................................................................44
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Trigonometría 2
........................................................................................................................................44
Actividad 20.2.2 ................................................................................................................47
Actividad 20.2.3 ................................................................................................................47
Sesión N°21..............................................................................................................................48
21.1 Ecuaciones trigonométricas ...........................................................................................48
Actividad 21.1.1 ................................................................................................................55
Actividad 21.1.2 ................................................................................................................60
Actividad 21.1.3 ................................................................................................................61
Actividad 21.1.4 ................................................................................................................61
Sesión N°22..............................................................................................................................62
22.1 Proyecto construcción y uso de un teodolito...................................................................62
22.2 Ley de senos .................................................................................................................63
Actividad 22.2.1 ................................................................................................................63
BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................................................69
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Trigonometría 3
Conceptos preliminares para el módulo
Para el estudio de este material, de que un círculo es el conjunto de puntos
que equidistan (que están a la misma distancia) de un punto llamado
centro. Así, un círculo divide al plano en tres regiones de importancia a
saber: Región Interior del Círculo (conjunto de puntos que quedan dentro
del círculo, están a menor distancia con respecto al centro), el círculo y la
Región Exterior del Círculo (todos los puntos que quedan fuera del círculo, es
decir, que están a una distancia mayor con respecto al centro). La siguiente
figura, ilustra estos conceptos:
Para el estudio del círculo, se pueden considerar algunas medidas de
importancia:
1. La medida de la Región Interior del Círculo le llamaremos Área del
Círculo
2. La medida del perímetro del círculo, le llamaremos Circunferencia
Así, de lo anterior, deberá tenerse en cuenta que, tanto el área como la
circunferencia son números, pues representan medidas en sus respectivas
unidades de medición.
Exterior del círculo
Interior del círculoCírculo
CENTRO
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Trigonometría 4
Sesión N°17
17.1 MEDIDA DE UN ÁNGULO EN GRADOS O EN RADIANES
La forma más común de medir ángulos que nos enseñan en la primaria y
secundaria es el GRADO. Su origen, es incierto, pero hay varias teorías que
intentan explicarlo. Por ejemplo, los matemáticos de la antigüedad se dieron
cuenta de que un año tenía aproximadamente 360 días y por tanto,
dividieron al círculo (entendido como el borde) en 360°, un número que
además posee interesantes propiedades matemáticas debido a la gran
cantidad de factores que posee y facilita la división. Por otra parte, se les
atribuye a los babilonios que idearon un sistema numérico que tenía a 60
como base, lo que explicaría por qué una medida angular se puede
subdividir en minutos y segundos. Cualquiera que sea la explicación, en la
actualidad podríamos decir que un grado equivale a la fracción de dividir
la circunferencia en 360 partes iguales.
Puede consultar los siguientes enlaces:
http://www.nationalgeographic.es/ciencia/descubriendo-los-secretos-de-
las-ilusiones-y-la-memoria
Vídeo de curiosidades:
https://www.youtube.com/watch?v=56HmcqFq1h4
Para explorar:
https://www.geogebra.org/m/WextNs4f
Cuando trazamos un ángulo central en un círculo, este delimita o subtiende
una porción del círculo que llamamos arco, como se muestra en la figura:
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Trigonometría 5
Figura 17.1.1 :Ángulo central versus arco subtentdido
El círculo como tal es una figura plana que t iene área y perímetro, así el
perímetro o recorrido de cualquier círculo de radio 𝑟 se calcula con la
fórmula 2𝜋𝑟. Con lo anterior, podríamos decir que un círculo mide 360°, lo
que equivale también a 2𝜋𝑟.
Part iendo de que 2𝜋𝑟 corresponde al círculo completo, es posible pensar
que para un arco cualquiera subtendido por un ángulo central, además de
medirlo en grados, sea posible hacer una medición de su perímetro, como
se muestra en la figura, siendo 𝑠 la longitud del arco:
Figura 17.1.2: Ángulo central versus longitud de arco subtendido
Cuando la longitud del arco es igual a la medida del radio del círculo, es
decir, 𝑠 = 𝑟 , entonces decimos que el ángulo que subtiende al arco 𝑠
equivale a un RADIÁN, así, la medida de cualquier ángulo podría hacerse a
part ir de dos unidades de medidas: grados o radianes. Los radianes son más
ut ilizados a nivel universitario por la versat ilidad de manejar las medidas
angulares como números reales, de esta manera cualquier número real
Arco que
subtiende
S
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Trigonometría 6
podría representar una medida en radianes de un ángulo. La siguiente figura
muestra el planteamiento explicado en este párrafo:
Figura 17.1.3 :Representación de visual de radián
Cabe hacerse la pregunta, ¿cómo podemos hacer las conversiones para
un ángulo dado en grados a radianes y viceversa?. Partamos del hecho de
que un círculo puede ser medido de dos maneras dist intas, usando grados
y su circunferencia (longitud). En el primer caso, el valor en grados es
conocido: 360°, pero para saber el equivalente en radianes, debemos
determinar cuántas veces cabe la medida del radio del círculo en su
circunferencia. Para hacer este cálculo, basta con simplificar la siguiente
expresión, siendo 𝑟 la medida del radio del círculo:
2𝜋𝑟
𝑟= 2𝜋
Por lo que podríamos decir que la siguiente igualdad es válida para la
medida de la circunferencia (usando grados y radianes):
360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
Si tanto 360° como 2𝜋𝑟 son considerados como el total de longitud de un
círculo (longitud del arco completo), entonces, cualquier ángulo central
subtiende un arco que representa un parte de ese total. Si tomamos un
ángulo cualquier de longitud R radianes, con su equivalente medida en
grados G, la siguiente proporción sería válida:
r
r
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Trigonometría 7
𝐺
360°=
𝑅
2𝜋
Mult iplicaremos por 2 en ambos lados de la igualdad para simplificar la
expresión:
2𝐺
360°=
2𝑅
2𝜋
𝐺
180°=
𝑅
𝜋
Por ejemplo, si un ángulo corresponde a la mitad de la circunferencia, es
decir, 180°, ¿cuál sería su medida equivalente en radianes?. Lo obtenemos
de la siguiente manera:
180°
180°=
𝑅
𝜋
1 =𝑅
𝜋
𝜋 = 𝑅
Es decir, 𝜋 radianes.
Si el ángulo midiese 𝜋
4 radianes, ¿cuán sería su medida equivalente en
grados?. Lo obtenemos de la siguiente manera:
𝐺
180°=
𝜋4𝜋
𝐺 =1
4180°
𝐺 = 45°
Es decir, 45° grados.
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Trigonometría 8
En resumen, podemos ut ilizar las fórmulas del siguiente cuadro para hacer
las conversiones:
Fórmula base: 𝑮
𝟏𝟖𝟎°=
𝑹
𝝅
De grados a radianes (sust ituye G) De radianes a grados (Sust ituye R)
𝜋𝐺
180°= 𝑅 𝐺 =
𝑅
𝜋180°
Actividad 17.1.1
1. Realice la conversión de grados a radianes de cada uno de los
siguientes ángulos:
a) 120º
g) 300º
b) 74º
h) 150º
c) 130º
i) −600º
d) 800º
j) 240º
e) −60º
k) −45º
f) 45º l) 135º 2. Realice la conversión de radianes a grados de cada uno de los
siguientes ángulos:
a) 3𝜋
4
g) 5𝜋
4
b) −5𝜋
36
h) 𝜋
45
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Trigonometría 9
c) 2𝜋
3
i) 2𝜋
9
d) −13𝜋
12
j) −4𝜋
3
e) 7𝜋
6
k) 5𝜋
6
f) 150𝜋 l) 𝜋
60
17.2 Trigonometría del triángulo rectángulo. Aunque algunas propiedades relacionadas con razones trigonométricas
podrían tener alcance para trabajar con triángulos de todo t ipo, daremos
un trato especial en esta sección a la trigonometría que aplica en los
t riángulos rectángulos.
Primeramente, vamos a poner en consenso algunos términos importantes a
los que estaremos haciendo referencia a lo largo del texto.
Todo triángulo rectángulo está
conformado por dos ángulos
internos agudos y un ángulo interno recto o de medida 90°, a los cuáles
se oponen lados del t riángulo. Estos
lados reciben el nombre de hipotenusa al lado de mayor
medida y catetos a los otros dos lados menores.
En la Figura 1, se muestran los
diferentes elementos indicados en el párrafo anterior. Por convenio, el
ángulo recto o de 90°, se acostumbra a representarlo con un
cuadrado, aunque no es algo que
sea obligatorio, solamente ayuda a identificarlo de manera más rápida
Figura 17.2.1:Part es de un t riángulo
rect ángulo
CatetoHipotenusa
Cateto
Ángulo recto: 90
Ängulo
agudo
Ángulo
agudo
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Trigonometría 10
Diremos que el lado opuesto a un
ángulo, es aquél lado que está
enfrente de este y su lado
adyacente es aquél lado que está
sobre uno de los rayos que forma el ángulo.
Para el ángulo de 90°, su lado
opuesto es la hipotenusa y sus lados adyacentes ambos catetos.
Para los ángulos agudos, el cateto opuesto es el lado que está en
frente de este y el cateto
adyacente es el lado que forma parte del ángulo. Como se aprecia
en la figura, el cateto opuesto al
ángulo 𝐴 es 𝑎 y su cateto adyacente es 𝑏. Análogamente
para el ángulo 𝐵 sus catetos opuestos y adyacentes,
respectivamente son 𝑏 𝑦 𝑎
Figura 17.2.2:Cat et os y ángulos
int ernos de un t riángulo rect ángulo
Tomando como referencia lo anterior, vamos a definir las siguientes razones
trigonométricas que se aplican a los t riángulos rectángulos. Primeramente,
definimos las razones trigonométricas básicas:
1. 𝑺𝒆𝒏𝒐(𝒔𝒆𝒏) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜:𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
2. 𝑪𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐(𝒄𝒐𝒔) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
3. 𝑻𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆(𝒕𝒂𝒏) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜:𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
Si respectivamente en cada una de las razones intercambiamos de posición
al numerador y el denominador entre sí, obtenemos las siguientes razones
trigonométricas de gran importancia, conocidas como las Recíprocas:
1. 𝑪𝒐𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 (𝒄𝒔𝒄) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜:ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
2. 𝑺𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆(𝒔𝒆𝒄) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜: ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
3. 𝑪𝒐𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆(𝒄𝒐𝒕) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜:𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
b
a
B
A
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Trigonometría 11
Para una mejor comprensión, el siguiente dibujo ilustraremos de manera
gráfica estas razones trigonométricas:
Cuadro 17.1: Razones t rigonométricas para cada ángulo agudo de un t riángulo rect ángulo dado
Razones trigonométricas
básicas
Razones trigonométricas
recíprocas
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =𝑎
𝑐
𝑐𝑜𝑠(𝛼) =𝑏
𝑐
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =𝑎
𝑏
Figura 17.2.3:Catetos, hipot enusa y ángulos
internos de un t riángulo
rect ángulo
𝑐𝑠𝑐(𝛼) =𝑐
𝑎
𝑠𝑒𝑐(𝛼) =𝑐
𝑏
𝑐𝑜𝑡(𝛼) =𝑏
𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝛽) =𝑏
𝑐
𝑐𝑜𝑠(𝛽) =𝑎
𝑐
𝑡𝑎𝑛(𝛽) =𝑏
𝑎
𝑐𝑠𝑐(𝛽) =𝑐
𝑏
𝑠𝑒𝑐(𝛽) =𝑐
𝑎
𝑐𝑜𝑡(𝛽) =𝑎
𝑏
Actividad 17.2.1
¿Encuent ras algunas similitudes ent re los valores de las razones
t rigonométricas dadas en las dos columnas ant eriores?. Discute
con t u profesor y compañeros, has las anot aciones respect ivas.
a
b
c
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Trigonometría 12
Actividad 17.2.2 De acuerdo con el siguiente triángulo, conteste lo que se solicita en
cada caso:
1. Determine las razones trigonométricas que se solicitan del siguiente triángulo:
Qué se puede concluir al comparar las razones de los dos ángulos:
___________________________________________________________________
sen (𝛼): ______ sen (𝛽): ______
cos (𝛼): ______ cos (𝛽): ______
tan (𝛼): ______ tan (𝛽): ______
Use la letra asociada a cada
lado del t riángulo:
1) Cateto adyacente al
Ða:
_______
2) Cateto adyacente al Ðb :
_______
3) Cateto opuesto al
Ða: _______
4) Cateto opuesto al Ðb :
_______
5) Lado opuesto al ∠𝐸: _________
D
E F
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Trigonometría 13
2. De acuerdo con el siguiente triángulo, determine las razones que se
solicitan simplificadas al máximo:
¿Se verifican las similitudes discut idas anteriormente?. Just ifique con
ejemplos:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
sen (𝛼): ______ csc (𝛼): ______ sen (𝛽):______ csc (𝛽):______
cos (𝛼): ______ sec (𝛼): ______ cos (𝛽):______ sec (𝛽):______
tan (𝛼): ______ cot (𝛼): ______ tan (𝛽): ______ cot (𝛽):______
12cm
5cm13 cm
𝜃
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Trigonometría 14
Sesión N°18
18.1 Valor de la razón trigonométrica asociada a un ángulo específico
Habiendo practicado el cálculo de las razones trigonométricas a part ir de
algunos triángulos dados, surgen algunas preguntas interesantes de analizar.
Veamos primero, existen muchos triángulos de diferentes tamaños que
t ienen en común el hecho de que a pesar de que sus lados sean de
diferente medida, sus ángulos internos t ienen igual medida y es por esta
razón que se les conoce como triángulos semejantes. Cómo las razones
trigonométricas se basan en las medidas de los lados de sus respectivos
triángulos, cabe preguntarse: ¿para cualesquiera par de triángulos
rectángulos semejantes, podría considerarse que el valor de las razones
trigonométricas para sus ángulos agudos internos tienen el mismo valor o
difieren?. La respuesta es sí mantienen el mismo valor, es decir, a todo ángulo
le corresponde un único valor para cada razón trigonométrica estudiada.
En la siguiente ilustración podemos ver lo que ocurre, donde se muestran dos
triángulos rectángulos semejantes y el cálculo de algunas de las razones
trigonométricas, las restantes quedan como ejercicio para el estudiante:
Triángulo 1 Triángulo 2
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Trigonometría 15
𝑠𝑒𝑛 (𝜋
6) =
1
2
1=
1
2
𝑡𝑎𝑛 (𝜋
3) =
√3
21
2
=2√3
2= √3
𝑠𝑒𝑛 (𝜋
6) =
5
10=
1
2
𝑡𝑎𝑛 (𝜋
3) =
5√3
5= √3
Figura 18.1.1:Triángulos rectángulos semejantes y razones trigonométricas
De lo anterior, podríamos entonces asumir de ahora en adelante, que el
valor de 𝑠𝑒𝑛 (𝜋
6) siempre será
1
2, de igual forma para 𝑡𝑎𝑛 (
𝜋
3) que siempre
tendrá como valor √3.
Actividad 18.1.1
Triángulo 1 Triángulo 2
𝑠𝑒𝑛 (𝜋
2) =
3
√18=
3√18
18=
√2
2
𝑠𝑒𝑛 (𝜋
2) =
15
√450=
15√450
450=
√2
2
Verifique que se cumplen la misma igualdad en las demás
razones en cada triángulo:
𝑐𝑜𝑠 (𝜋
2) = _________ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2) = _________
𝑡𝑎𝑛 (𝜋
2) = _________ 𝑡𝑎𝑛 (
𝜋
2) = _________
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Trigonometría 16
18.2 El círculo Trigonométrico
Por otra parte, vale la pena preguntarse si esta unicidad del valor, t iene
alguna relación con algún otro elemento y la respuesta es sí: con el Círculo
Trigonométrico.
El círculo trigonométrico es un
círculo especial, que cumple con las siguientes condiciones:
1. Su centro coincide con el origen del sistema de
coordenadas cartesianas o el
punto (0,0)
2. Su radio mide una unidad
Además, note que el sistema de coordenadas divide el plano en
4 porciones de equivalentes o de
igual tamaño, a las cuáles llamaremos cuadrantes.
Figura 18.2.1: círculo t rigonomét rico
En la siguiente figura, se identifican los nombres respectivos de estos
cuadrantes:
Figura 18.2.2: círculo trigonométrico y cuadrantes
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
-1,6
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3
CÍRCULO TRIGONOMETRICO
A
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5
Cuadrante 4
Cuadrante 2
Cuadrante 3
Cuadrante 1
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Trigonometría 17
¿Qué relación tiene este círculo especial con la trigonometría?
Si vemos cada uno de los puntos del círculo trigonométrico como un par
ordenado (𝑥, 𝑦) del sistema de coordenadas cartesianas, entonces,
notaremos que los valores de las componentes 𝑥 e 𝑦, coinciden con los
valores de algunas de estas razones trigonométricas estudiadas
previamente, y, ¿cómo es eso posible?.
Seguidamente, se detalla una analogía que nos permit irá llegar a
conclusiones interesantes:
En la figura 7, se muestra un
triángulo rectángulo en el I Cuadrante del sistema de
coordenadas cartesianas. Note
que en este caso la hipotenusa de dicho triángulo posee dimensión
una unidad pues equivale a un
radio del círculo trigonométrico,
que por definición, posee radio de
una unidad. Esta hipotenusa va desde el origen del sistema de
coordenadas (que también es el
centro del círculo trigonométrico)
hasta un punto SOBRE el círculo
trigonométrico el cual hemos denotado como (𝐱, 𝐲).
El eje 𝒙 en conjunto con la
hipotenusa forma un ángulo agudo
cuya dimensión la hemos
denotado con 𝛼. La longitud del
cateto adyacente a 𝛂 coincide con
el valor de la componente 𝐱 del par
ordenado (𝐱, 𝐲).
Figura 18.2.3: propiedades del
círculo t rigonomét rico
Análogamente, la longitud del cateto opuesto a 𝛂 coincide con el valor de
la componente 𝐲 del par ordenado (𝐱, 𝐲). Para el ángulo 𝛼 diremos que el
eje 𝑥 es el lado inicial y su lado final es la hipotenusa del t riángulo rectángulo.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1 -0,5 0,5 1
1y
x
(x,y)
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Trigonometría 18
Actividad 18.2.1
Tomando como referencia la Figura 18.2.3, realice los siguientes cálculos:
𝑠𝑒𝑛(𝛼): __________ 𝑐𝑜𝑠(𝛼): ___________ 𝑡𝑎𝑛(𝛼): __________
Con base en lo anterior, contesta:
¿Qué relación exist e entre el valor del seno, coseno y t angente
de un ángulo del círculo t rigonométrico y las component es "𝑥"
e "𝑦" del punt o donde el lado final de est e cort a o int erseca al
círculo t rigonomét rico?
Retomando el ejemplo de los t riángulos semejantes, habíamos conjeturado
que el valor de la razón trigonométrica para un ángulo en específico,
parece mantenerse invariante, independientemente de las dimensiones del
t riángulo que lo contiene. Para darle más fuerza a este argumento, vamos a
superponer estos triángulos en al primer cuadrante del círculo
trigonométrico, como se muestra en la siguiente figura:
Para el ángulo 𝜋
3
Para construir la figura, se tomaron
los t riángulos de la Figura 4, a quiénes se les hizo una rotación
apropiada. Recordemos que estos triángulos
rectángulos son semejantes, por
tanto sus t res ángulos internos son congruentes.
Note que la hipotenusa de ambos triángulos const ituyen el lado final
del ángulo 𝜋
3 así, ambas hipotenusas
intersecan o cortan al círculo
trigonométrico en un mismo punto y
como previamente se concluyó, la componente 𝑥 de este par
ordenado corresponde al coseno
del ángulo en cuest ión, así como el
Figura 18.2.4:Triángulos rectángulos semejantes en el círculo trigonométrico
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8
10
(x,y)=1
2,
3
2
13
2
1
25
5 3
A
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Trigonometría 19
la componente 𝑦 corresponde con
el valor del seno del mismo, lo que nos permite concluir que para
ambos triángulos, el valor de las
razones trigonométricas se mantienen invariantes para un
mismo ángulo. En resumen:
(𝒙, 𝒚) = (𝟏
𝟐,
√𝟑
𝟐) = (𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3) , 𝒄𝒐𝒔 (
𝝅
𝟑))
Actividad 18.2.2
Para los mismos t riángulos de la Figura 18.1.1 y t rabajando
con el ángulo 𝜋
6, realice una rot ación apropiada para cada
uno de ellos, colóquelos superpuest os en el círculo
t rigonométrico t al y como se ilustra en la figura 8. Ut ilice su
figura para calcular los valores de seno y coseno de dicho
ángulo. ¿Cuál debería ser el par ordenado del círculo
t rigonométrico a ut ilizar en est e caso?. Discut a con tus
compañeros de clase.
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Trigonometría 20
Sesión N°19
19.1 Ángulos en posición estándar y signo
Una vez estudiado las razones trigonométricas para ángulos agudos, a partir
de triángulos rectángulos, vamos a generalizar más el concepto intentando
en esta nueva sección, dar respuesta a las preguntas: ¿es posible calcular
el valor de alguna razón trigonométrica para un ángulo que no sea agudo?,
¿qué pasaría si tenemos ángulos
negativos?.
Uno de los principales atractivos
turíst icos de la capital de Inglaterra,
Londres, es el conocido Big Ben.
Big Ben es el nombre de la campana
del reloj de cuatro caras ubicado en la
Torre Isabel (Elizabeth Tower). Este reloj
de agujas es el más grande del mundo
y empezó a funcionar en 1859.
Retomando nuestro tema, ¿Qué
importancia tienen los relojes de agujas para la trigonometría?.
Vamos a definir movimiento horario como aquel movimiento que siguen de
las agujas de un reloj y movimiento anti-horario, la dirección opuesta al
movimiento estándar de las agujas. Las siguientes imágenes nos ayudarán a
ilustrar mejor la idea:
Movimiento horario Movimiento Anti-horario
Figura 19.1.1: Dirección de movimientos horario y anti-horario
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 21
Cuando medimos un ángulo, la forma tradicional de hacerlo es siguiendo
un movimiento anti-horario y cada ángulo que sea medido siguiendo este
orden, diremos que es un ángulo positivo. Si cambiamos la dirección de la
medición del ángulo, siguiendo el movimiento de las agujas del reloj,
entonces diremos que el ángulo es negativo. Veamos las siguientes
imágenes que nos muestran de forma concreta esta idea:
Ángulo positivo: movimiento anti-
horario
Ángulo negativo: movimiento
horario
Figura 19.1.2: Dirección de movimientos horario y ant i-horario
Siguiendo nuest ro trabajo en el círculo trigonométrico y su respectivo sistema
de coordenadas que lo contiene, y si tomamos el centro del círculo como
el vért ice del ángulo que queremos trabajar, podríamos encontrar varios
formas en las que los ángulos podría representarse. Veamos las siguientes
imágenes donde los ángulos de las ilustraciones, son todos posit ivos.
Caso 1:
Caso 2:
Lado final
Lado inicial
Lado final
Lado inicial
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-2 -1 1 2
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-2 -1 1 2
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Trigonometría 22
Caso 3:
Caso 4:
Figura 19.1.3: ángulos en diferentes posiciones en el círculo trigonométrico y sistema de coordenadas cartesianas
De los cuatro casos anteriores, interesa para efectos de este curso, darle un
tratamiento especial a los ángulos que t ienen la forma del Caso1 a quiénes
llamaremos Ángulos en Posición Estándar, que t iene la característ ica de que
su lado inicial coincide con el semieje posit ivo de las abscisas (la parte
posit iva del eje “x”) y el lado final puede estar en cualquier otro lugar.
Seguidamente mostramos algunos ejemplos de ángulos en posición
estándar:
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-2 -1 1 2
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-2 -1 1 2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
4
C
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
3
4
C
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 23
Figura 19.1.4: ángulos en posición est ándar
Como se puede apreciar, en el sistema de coordenadas cartesianas es
posible generar ángulos de cualquier tamaño.
Actividad 19.1.1
Un ángulo en posición estándar cuya medida sea 2𝜋 , representa un círculo,
es decir, un giro o revolución completa. Al respecto y considerando los
ejemplos de la Figura 11, ¿cómo dibujarías el ángulo 2𝜋?, ¿existirán ángulo
mayores que 2𝜋?, en caso de existir, ¿podrías dar algunos ejemplo y
dibujarlos? Discuta con tus compañeros de clase y tu profesor.
Cada uno de los ángulos dibujados anteriormente es posit ivo porque fueron
medidos en sentido anti-horario, pero si cambiásemos la dirección de la
medida usando el sent ido horario, podríamos tener otra manera de
representar al mismo ángulo, pero, con signo negativo. Seguidamente se
muestran los 4 ángulos de la Figura 19.1.4, a part ir de su medición en
dirección horario, es decir, siguiendo las manecillas del reloj:
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
5
4
C
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
7
4
C
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 24
Figura 19.1.5: ángulos negativos en posición estándar
Para cerrar esta sección, presentamos Figura 13, un compendio ángulos
especiales dentro del estudio de la Trigonometría, cuyo nombre
corresponde a Ángulo Cuadrantales:
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
-7
4
C
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
-5
4
C
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
-3
4
C
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
-
4
C
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Trigonometría 25
Figura 19.1.6: ángulos cuadrantales en posición estándar
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
C
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final Lado inicial
C
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
C
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2Lado final
Lado inicial
C
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Trigonometría 26
Actividad 19.1.2
En cada una de imágenes de la Figura 13, anot a el valor
del ángulo cuadrant al señalado. Con t us compañeros y
profesor, discut a las siguient es pregunt as: ¿por qué estos
ángulos reciben el nombre de ángulos cuadrant ales?,
¿qué propiedad compart en entre sí? (t ome en cuent a la
posición del lado final de cada ángulo y la relación que
est e podría t ener con el sist ema de coordenadas
cart esianas).
Actividad 19.1.3
1) De acuerdo con las siguientes medidas de ángulos en posición
estandar, conteste en qué cuadrante se ubica su lado final:
2) Ubique en el sistema de coordenadas cartesianas el lado final de
cada uno de los ángulos en posición estandar que se indican:
Ángulo Cuadrante Ángulo Cuadrante
𝜋
4 7𝜋
4
4𝜋
5
𝜋
4
5𝜋
4
2𝜋
7
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Trigonometría 27
Actividad 19.1.4: Razones trigonométrica para ángulos negativos
En esta actividad vamos a explorar algunos valores de los operadores seno,
coseno y tangente, a part ir tanto de ángulos posit ivos como negativos. El
objet ivo que nos proponemos, es poder encontrar algunos patrones que nos
permitan establecer algunos resultados entre expresiones del t ipo
𝑠𝑒𝑛(𝑥),𝑠𝑒𝑛(−𝑥),cos(𝑥) , cos(−𝑥) , tan(𝑥) 𝑦 tan (−𝑥).
Antes de iniciar, verifica que cuentas con los siguientes materiales:
𝜋
9
−5𝜋
9
7𝜋
6
Lado inicial Lado inicial
−5𝜋
4
Lado inicial Lado inicial
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Trigonometría 28
1. Lámina de papel periódico
2. Marcador o pilot
3. Compás y regla (de preferencia
grande)
4. Cartulina de dos colores o papel
construcción de dos colores
Indicaciones generales:
1. Trabaje en grupos de 3 o 4 personas
2. En lámina de papel periódico, construya
un sistema de coordenadas cartesianas y su respectivo círculo trigonométrico.
3. De las cartulinas de colores o las láminas
de papel construcción, recorte dos flechas de longitud igual al radio del círculo
trigonométrico, con un grosor de unos 2 cm. Cada flecha deber ser de diferente
color. Elija uno de los colores para
representar los ángulos posit ivos y el otro para representar los ángulos negativos.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5
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Trigonometría 29
4. Recorte un par de puntos de 1 cm de
radio, uno de cada color usando los dos colores de las flechas.
Al igual que en el punto anterior, uno de los
puntos se usará para señalar la ubicación en el círculo trigonométrico del lado
terminal (que va a estar representado por las flechas construidas en el punto 3) para
cada ángulo posit ivo y el otro color para
los ángulos negativos. Conserve la elección de color para ángulo posit ivos y
negativos escogidos en el punto 3.
5. Elija un punto cualquier sobre el círculo
trigonométrico que esté ubicado en el
primer cuadrante. (no es necesario que le dé un valor numérico, solo tome alguna
ubicación que cumpla las restricciones
para 𝑥 𝑒 𝑦 SOBRE el círculo).
Llame a ese valor de 𝑥 escogido como 𝑥0 y
análogamente para 𝑦, asígnele 𝑦0 . Represente en su círculo trigonométrico el
par ordenado (𝑥0,𝑦0 ).
6. Tomando los valores escogidos en el punto 5, marque en el sistema de coordenadas
los siguientes puntos: (𝑥0,𝑦0 ),(−𝑥0, 𝑦0), (−𝑥0,−𝑦0 ),(𝑥0,−𝑦0 ).
Asegúrese de que queda uno en cada
cuadrante. En la imagen de la izquierda se muestran unas líneas de alineamiento
como guías, es opcional dibujarlas.
Continúa siguiente página
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5
x0,y0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1 -0,5 0,5 1
x0,-y0 -x0,-y0
-x0,y0 x0,y0
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Trigonometría 30
7. Considere los siguientes ángulos en posición estándar sobre los cuáles
vamos a trabajar:
Nombre del
ángulo
Símbolo Posición del lado
final
Alfa 𝛼 (𝑥0,𝑦0 )
Beta 𝛽 (−𝑥0,𝑦0 )
Gamma 𝛾 (−𝑥0,−𝑦0 )
Zeta 𝜃 (𝑥0,−𝑦0 )
8. Para cada uno de los siguientes ángulos, complete las columnas vacías
respectivamente con el par ordenado del círculo trigonométrico
asociado a lado final de dicho ángulo y el cuadrante donde esté
ubicado dicho lado final del ángulo. Trabaje cada par de ángulos
(posit ivo y negativo) por separado y complemente este cálculo
representando gráficamente cada ángulo en el círculo trigonométrico
construido en el paso 2, haciendo uso de los puntos y las flechas
construidas en los puntos 3 y 4 (recuerde que un color representa ángulos
posit ivos y el otro negativos).
Ángulo Par
ordenado
Cuadrante Ángulo Par
ordenado
Cuadrante
𝜶 𝛾
−𝜶 −𝛾
𝜷 𝜃
−𝜷 −𝜃
9. Seguidamente, en la siguiente tabla, calcule los valores que cada una
de las razones trigonométricas alcanza para cada ángulo y anótelos en
los espacios vacíos que corresponda.
Para: 𝜶
Resultado
Para: −𝜶
Resultado
Para: 𝜷
Resultado
Para: – 𝜷
Resultado
𝒔𝒆𝒏(𝜶) 𝑠𝑒𝑛(−𝛼) 𝑠𝑒𝑛( 𝛽) 𝑠𝑒𝑛(− 𝛽)
𝒄𝒐𝒔(𝜶) 𝑐𝑜𝑠(−𝛼) 𝑐𝑜𝑠( 𝛽 𝑐𝑜𝑠(− 𝛽)
𝒕𝒂𝒏(𝜶) 𝑡𝑎𝑛(−𝛼) 𝑡𝑎𝑛( 𝛽) 𝑡𝑎𝑛(− 𝛽)
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Trigonometría 31
Para: 𝛄
Resulta
do
Para: – 𝛄
Resulta
do
Para: 𝛉
Resulta
do
Para: −𝛉
Resulta
do
𝒔𝒆𝒏(𝜸) 𝑠𝑒𝑛(−𝛾) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(−𝜃)
𝒄𝒐𝒔(𝜸) 𝑐𝑜𝑠(−𝛾) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(−𝜃)
𝒕𝒂𝒏(𝜸) 𝑡𝑎𝑛(−𝛾) 𝑡𝑎𝑛(𝜃) 𝑡𝑎𝑛(−𝜃)
Analizando los datos obtenidos en las cuatro tablas anteriores, consideras
que: ¿existe alguna relación entre el valor de una razón trigonométrica para
un ángulo posit ivo y su correspondiente ángulo negativo (también se le
puede llamar ángulo opuesto)?. Anote una respuesta para el caso de seno,
otra para el caso de coseno y otra para el caso de tangente.
Actividad 19.1.8
1) Represente los ángulos indicados en cada sistema de coordenadas
cartesianas dibujando el lado final y señalando el sentido de la
revolución:
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Trigonometría 32
2) De acuerdo con las siguientes medidas de ángulos en posición
estándar, conteste en qué cuadrante se ubica su lado final:
Ángulo Cuadrante Ángulo Cuadrante
7𝜋
4
7𝜋
3
−7𝜋
4
−17𝜋
9
6𝜋
5
4𝜋
3
−9𝜋
4
8𝜋
3
−15𝜋
9
3𝜋
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Trigonometría 33
Sesión N°20
20.1 Ángulos de referencia
Cada ángulo en posición estándar que tracemos en un sistema de
coordenadas cartesianas, t iene un ángulo agudo representativo de este el
cuál llamaremos Ángulo de Referencia y este ángulo de referencia a su vez,
depende de la posición o ubicación del lado final del ángulo en posición
estándar que se esté analizando con respecto a los cuatro cuadrantes.
Seguidamente se muestra de manera visual los ángulos de referencias para
cada caso:
Posición del lado final del ángulo Ángulo de referencia
correspondiente
I Cuadrante
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
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Trigonometría 34
II Cuadrante
III Cuadrante
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
Ángulo de referencia
A
B
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial Ángulo de referencia
A
B
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Trigonometría 35
IV Cuadrante
Figura 20.1.1: ángulos en posición est ándar según cuadrant e y su respect ivo
ángulo de referencia
Haciendo una inspección a las imágenes de la Figura 14, podemos inducir
que el ángulo de referencia siempre corresponde al ángulo agudo que se
forma entre el lado terminal o final del ángulo dado y el eje de las abscisas.
Note que para el caso en el que:
El lado final esté en el primer o cuarto cuadrante, el ángulo de
referencia que le corresponde es el que se forma entre el lado final
de este y el semieje posit ivo de las abscisas. Como nota curiosa, en el
caso part icular cuando el lado final esté en el primer cuadrante, el
valor de este coincide con su ángulo de referencia.
Lado final está en el segundo o tercer cuadrante, entonces su ángulo
de referencia es el ángulo entre el lado final y el semieje negativo de
las abscisas. En el caso de que el lado final esté en el segundo
cuadrante, su ángulo de referencia es lo que falte para llegar al
semieje negativo y en el caso del I I I Cuadrante, sería el sobrante.
Cómo previamente vimos en la sección anterior, existen ángulos
cuadrantales asociados a los semiejes de las abscisas, así, podríamos decir
que los ángulos cuadrantales que cumplen este requisito con 𝜋 𝑦 2𝜋. Cabe
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
Lado final
Lado inicial
Ángulo de referencia
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 36
preguntarse: ¿tienen estos dos ángulos cuadrantales alguna utilidad
práctica para calcular ángulos de referencia?.
Desde luego, veamos los siguientes casos, donde calcularemos los ángulos
de referencia para los ángulos dados a continuación:
Cuadro 20.1.1: Ángulo de referencia, según ubicación del ángulo dado
Ángulo dado Ángulo de referencia
𝛼 =𝜋
3 Ubicación: I Cuadrante 𝛼𝑟𝑒𝑓 =
𝜋
3
𝛽 =2𝜋
3
Ubicación: I I Cuadrante 𝛼𝑟𝑒𝑓 = 𝜋 −2𝜋
3=
𝜋
3
𝛾 =10𝜋
7
Ubicación: I I I Cuadrante 𝛼𝑟𝑒𝑓 =10𝜋
7−
𝜋 =3𝜋
7
𝜃 =19𝜋
10
Ubicación: IV Cuadrante 𝛼𝑟𝑒𝑓 = 2𝜋 −19𝜋
10=
𝜋
10
Actividad 20.1.1
Con t us compañeros de clase y profesor, discut a sobre diferentes
maneras para poder ubicar el cuadrant e en el que quedaría el
lado final de un ángulo cualquiera dado. ¿Conoces alguna
est rat egia?. Has t u propuest a en la discusión.
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Trigonometría 37
Actividad 20.1.2 Tace cada uno de los ángulos del ejercicio anterior, así como sus respectivos
ángulos de referencia.
En resumen, podríamos decir que para calcular los ángulos de referencia
para un ángulo dado, debemos seguir dos pasos:
1. Identificar el cuadrante de su lado final
2. Aplicar alguna de las siguientes fórmulas según el cuadrante
determinado en el paso 1.
𝜋
3
2𝜋
3
19𝜋
10
10𝜋
7
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 38
Cuadro 3:Fórmula para calcular ángulo de referencia, según ubicación del
ángulo dado
Cuadrante Ángulo dado
Ángulo de referencia
I
𝜃
𝜃𝑟𝑒𝑓 = 𝜃
II 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 𝜋 − 𝜃
III 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 𝜃 − 𝜋
IV 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 2𝜋 − 𝜃
Actividad 20.1.3
1) Calcule el ángulo de referencia de cada uno de los siguientes ángulos
2) En
cada uno de los siguientes casos, determine un ángulo que tenga
como ángulo de referencia el que se indica y según el cuadrante:
𝑎) 𝐼𝐶. 𝜋
9: ____________
𝑐) 𝐼𝐼𝐼𝐶. 2𝜋
3: ____________ 𝑒) 𝐼𝐶.
𝜋
6: ____________
𝑏) 𝐼𝐼𝐶. 2𝜋
5: ____________ 𝑑) 𝐼𝑉𝐶.
𝜋
5: ____________ 𝑓)𝐼𝐼𝐶.
𝜋
3: ____________
Ángulo Ángulo de
referencia
Ángulo Ángulo de
referencia
𝜋
6 2𝜋
5
7𝜋
6
𝜋
4
7𝜋
4
8𝜋
6
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Trigonometría 39
20.2 Razones trigonométricas a partir de ángulos de referencia
Hemos venido trabajando con varios conceptos importante relacionados
con los ángulos dentro del sistema de coordenadas cartesianas, tales como
ángulos en posición estándar, ángulos de referencia y hemos dejado un
poco de lado la idea de las razones trigonométricas.
En esta sección, vamos a ut ilizar todos estos conceptos de manera
integrada y además, generalizaremos el concepto de seno, coseno,
tangente y sus recíprocas, para ángulos de cualquier medida. Para realizar
este trabajo, vamos a dividir esta sección en casos según el cuadrante
donde quede ubicado el lado terminal del ángulo en estudio.
Caso1: el lado terminal del ángulo dado, se encuentra en el I Cuadrante.
Previamente en la Sesión 17, vimos que al ángulo 𝜃 =𝜋
3 le corresponde el
punto (1
2, √3
2) en el círculo trigonométrico, por lo que podríamos concluir que:
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =√3
2
𝑐𝑠𝑐(𝜃) =2
√3
=2√3
3
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =1
2 𝑠𝑒𝑐(𝜃) = 2
tan(𝜃) =𝑠𝑒𝑛(𝜃)
cos (𝜃)=
√3212
= √3
cot(𝜃) =1
√3=
√3
3
NOTA: para t ener una idea gráfica, recuerde que un ángulo de
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 equivale a 180°, por lo que 𝜋
3 equivale a
180°
3= 60°.
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 40
El ángulo de referencia es un recurso importante para calcular los valores de
las razones trigonométricas para cualquier ángulo en posición estándar, que
son los que interesa trabajar en este material, pero en este caso como el
valor de 𝜃 =𝜋
3 corresponde a un ángulo que está ubicado en el primer
cuadrante, t iene la part icularidad de que su ángulo de referencia, es él
mismo, así:
𝜃 =𝜋
3= 𝜃𝑟𝑒𝑓
Por esa razón, los ángulos que estén en el primer cuadrante, no t ienen
problemas para el cálculo de las razones trigonométricas de forma directa,
pues se ut ilizaría el mismo valor del ángulo.
Caso2: el lado terminal del ángulo dado, se encuentra en el II
Cuadrante.
Vamos a proponernos un nuevo reto intentando calcular el valor de las
razones trigonométricas para el ángulo en posición estándar 𝜃 =2𝜋
3.
Representemos gráficamente este ángulo para ver su relación con el círculo
trigonométrico:
Figura 20.1.2: ángulo en el II cuadrant e y su respect ivo ángulo de
referencia
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
ref=
3
-1
2,
3
2
=2
3
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 41
Note que el lado terminal de esté ángulo se encuentra en el segundo
cuadrante, ¿qué propiedades podríamos determinar para este?.
Vamos haciendo una lista de datos importantes:
1. Al estar el lado terminal de 𝜃 en el segundo cuadrante, note que los
valores de las coordenadas de los puntos que están sobre el círculo
trigonométrico en ese cuadrante cumplen con la propiedad de que
el signo de la componente de las abscisas (eje 𝑥) es negativo mientras
que la componente 𝑦 (de las ordenadas) es posit ivo.
2. Como la componente 𝑥 está asociada con el valor del coseno, esto
hará que esta razón trigonométrica y sus dependientes (tangente,
secante, cotangente) tengan también signo negativo. Dado que la
componente 𝑦 es posit iva, entonces, solo la función seno y su
recíproca cosecante, serán posit ivas. La siguiente tabla, resume esta
idea de los signos para cualquier ángulo 𝜃 que esté en el segundo
cuadrante:
𝑠𝑒𝑛(𝜃) → + 𝑐𝑠𝑐(𝜃) → +
𝑐𝑜𝑠(𝜃) → − 𝑠𝑒𝑐(𝜃) =
1
cos (𝜃)→
+
−= −
tan(𝜃) =𝑠𝑒𝑛(𝜃)
cos (𝜃)→
+
−= −
cot(𝜃) =cos (𝜃)
𝑠𝑒𝑛(𝜃)→
−
+= −
3. Para calcular los valores de las razones trigonométricas para 𝜃 =2𝜋
3,
tomaremos el par ordenado del círculo trigonométrico asociado al
lado final del ángulo, como se muestra en la siguiente tabla:
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 42
𝑠𝑒𝑛 (2𝜋
3) =
√3
2 𝑐𝑠𝑐 (
2𝜋
3) =
2
√3=
2√3
3
𝑐𝑜𝑠 (2𝜋
3) = −
1
2 𝑠𝑒𝑐 (
2𝜋
3) = −2
tan (2𝜋
3) =
𝑠𝑒𝑛(2𝜋3 )
cos (2𝜋3
)=
√32
−12
= −√3
cot (2𝜋
3) = −
1
√3
= −√3
3
4. Al conocer de previo el punto donde el lado final del ángulo 2𝜋
3 corta
al círculo trigonométrico, el cuál es (−1
2, √3
2) , resulta sencillo completar
los datos de la tabla anterior, no obstante, si observamos con
detenimiento la tabla obtenida para ángulo 𝜋
3 que se trabajó en el
caso 1, se puede notar que la tabla es prácticamente la misma,
excepto los signos negativos para los resultados asociados a las
razones coseno, tangente, secante y cotangente. Como dato
curioso, resulta que 𝜋
3 también coincide con el ángulo de referencia
para 2𝜋
3, entonces, cabe preguntarse, ¿Podría saber el valor de una
razón trigonométrica para un ángulo que esté en el segundo
cuadrante a partir del valor que estas razones tienen para el ángulo
de referencia respectivo?.
La respuesta es sí y eso se puede just ificar bajo el siguiente argumento:
Si 𝜃 es un ángulo en posición estándar ubicado en el segundo
cuadrante, el valor de cualquier razón trigonométrica para este, se
puede calcular a part ir del valor que esta razón trigonométrica t iene
para su ángulo de referencia más el signo de esta razón en el
cuadrante donde quede ubicado el lado final de 𝜃.
El siguiente resumen nos muestra de manera algebraica la idea
anterior para el ángulo 2𝜋
3:
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 43
𝑠𝑒𝑛 (2𝜋
3) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3) =
√3
2 𝑐𝑠𝑐 (
2𝜋
3) = 𝑐𝑠𝑐 (
𝜋
3) =
2√3
3
𝑐𝑜𝑠 (2𝜋
3) = − cos (
𝜋
3) = −
1
2 𝑠𝑒𝑐 (
2𝜋
3) = −𝑠𝑒𝑐 (
𝜋
3) = −2
tan (2𝜋
3) = −𝑡𝑎𝑛 (
𝜋
3) = −√3 cot (
2𝜋
3) = −𝑐𝑜𝑡 (
𝜋
3) = −
√3
3
Caso3: el lado terminal del ángulo dado se encuentra en el III
Cuadrante.
Para este nuevo caso, vamos a trabajar con un ángulo en posición estándar
ubicado en el I II Cuadrante, el cual será 𝜃 =4𝜋
3. Representemos
gráficamente este ángulo para ver su relación con el círculo trigonomét rico:
Figura 20.1.3: ángulo en el III cuadrant e y su respect ivo ángulo de
referencia
Note que el lado terminal de esté ángulo se encuentra en el tercer
cuadrante, ¿qué propiedades podríamos determinar para este?.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
ref=
3
-1
2,
- 3
2
=4
3
B
A
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 44
Vamos haciendo una lista de datos importantes, los cuáles se resumen en el
siguiente cuadro:
Cuadro 4: Procedimient o para det erminar el signo de la razón t rigonomét rica, según cuadrant e del ángulo dado
Relación Observado
Ángulo dado 𝜃 =
4𝜋
3
Ángulo de referencia 𝜃𝑟𝑒𝑓 =𝜋
3
Lado final del ángulo dado I I I cuadrante
Corte con el círculo trigonométrico (−
1
2, −
√3
2)
Signo de la componente 𝑥 Negativo
Signo de la componente 𝑦 Negativo
Razones trigonométricas posit ivas en el
cuadrante Tangente y cotangente
Razones trigonométricas negativas en el cuadrante
Seno, coseno, cosecante y secante
Actividad 20.2.1
Con t us compañeros de clase y profesor, discut a sobre los aspectos
que expliquen el signo de las razones t rigonométricas, dados en el
cuadro 4.
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 45
Ahora, un resumen donde se nos muestra los valores de las razones
trigonométricas para el ángulo 4𝜋
3, a part ir de su ángulo de
referencia 𝜋
3:
𝑠𝑒𝑛 (4𝜋
3) = −𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3) = −
√3
2 𝑐𝑠𝑐 (
4𝜋
3) = −𝑐𝑠𝑐 (
𝜋
3) = −
2√3
3
𝑐𝑜𝑠 (4𝜋
3) = − cos (
𝜋
3) =
−1
2 𝑠𝑒𝑐 (
4𝜋
3) = −𝑠𝑒𝑐 (
𝜋
3) = −2
tan (4𝜋
3) = 𝑡𝑎𝑛 (
𝜋
3) = √3 cot (
4𝜋
3) = 𝑐𝑜𝑡 (
𝜋
3) =
√3
3
Caso4: el lado terminal del ángulo dado se encuentra en el IV
Cuadrante.
Finalmente, nos resta trabajar con un ángulo en posición estándar ubicado
en el IV Cuadrante, el cual estará dado por 𝜃 =5𝜋
3. Representemos
gráficamente este ángulo para ver su relación con el círculo trigonométrico:
Figura 20.1.4: ángulo en el IV cuadrant e y su respect ivo ángulo de
referencia
Note que el lado terminal de esté ángulo se encuentra en el cuarto
cuadrante, ¿qué propiedades podríamos determinar para este?.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
ref=
3
1
2,
- 3
2
=5
3
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Trigonometría 46
Vamos haciendo una lista de datos importantes, lo cuáles se resumen en la
siguiente tabla:
Cuadro 20.2.1: Procedimient o para det erminar el signo de la razón t rigonomét rica, est ando en el cuadrant e 4 del ángulo dado
Relación Observado
Ángulo dado 𝜃 =
5𝜋
3
Ángulo de referencia 𝜃𝑟𝑒𝑓 =𝜋
3
Lado final del ángulo dado IV cuadrante
Corte con el círculo trigonométrico (
1
2, −
√3
2)
Signo de la componente 𝑥 Posit iva
Signo de la componente 𝑦 Negativo
Razones trigonométricas posit ivas en el
cuadrante Coseno y secante
Razones trigonométricas negativas en el
cuadrante
Seno, tangente, cosecante y
cotangente
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Trigonometría 47
Actividad 20.2.2
Con t us compañeros de clase y profesor, discut a sobre los
aspect os que expliquen el signo de las razones t rigonométricas,
dados en el cuadro 5.
La siguiente tabla nos muestra los valores de las razones trigonométricas para el
ángulo 5𝜋
3, a partir de su ángulo de referencia
𝜋
3:
𝑠𝑒𝑛 (4𝜋
3) = −𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3) = −
√3
2 𝑐𝑠𝑐 (
4𝜋
3) = −𝑐𝑠𝑐 (
𝜋
3) = −
2√3
3
𝑐𝑜𝑠 (4𝜋
3) = cos(
𝜋
3) =
1
2 𝑠𝑒𝑐 (
4𝜋
3) = 𝑠𝑒𝑐 (
𝜋
3) = 2
tan (4𝜋
3) = −𝑡𝑎𝑛 (
𝜋
3) = −√3 cot (
4𝜋
3) = −𝑐𝑜𝑡 (
𝜋
3) = −
√3
3
Actividad 20.2.3
Realiza los cálculos de seno, coseno y t angente para los ángulos: 𝜋
6,
5𝜋
6,
7𝜋
6,
11𝜋
6 . ¿Cómo crees que se comport an las razones seno, coseno
y t angente en cada uno de los ángulos cuadrant ales?. Has los
cálculo que cada una de las razones t rigonométricas indicadas,
t oma para los ángulos 0,𝜋
2, 𝜋,
3𝜋
2, 2𝜋 . Discut e t us result ados con tus
compañeros y profesor.
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Trigonometría 48
Sesión N°21
21.1 Ecuaciones trigonométricas
Hasta el momento venimos trabajando con ejercicios donde a part ir de un
ángulo dado, calculamos el valor que cada razón trigonométrica para
dicho ángulo, es decir, el ángulo es dado y la incógnita es el valor que
obtendría al aplicar el operador seno, coseno o tangente.
Por otra parte, podríamos hacer la variante de tener un valor predefinido
para una razón trigonométrica cualquiera, en este caso, el interés se
enfocaría en saber cuál o cuáles son los ángulos que sat isfacen dicho valor.
A este nuevo planteamiento cuando se t iene un valor para una razón
trigonométrica conocido y la incógnita es el ángulo, es lo que conocemos
como Ecuaciones Trigonométricas.
Consideremos el caso de 𝒔𝒆𝒏(𝜽) =𝟏
𝟐
El reto consiste en determinar el valor del ángulo cuyo valor de seno equivale
a 1
2. Como el valor del seno de un ángulo, según hemos visto, equivale a la
componente 𝑦 de un punto que esté sobre el círculo trigonométrico,
podríamos replantearnos el reto inicial de otra manera, es decir, ahora el
objet ivo consiste en determinar el valor del ángulo (podrían ser varios) cuyo
lado final corta al círculo trigonométrico en un punto (𝑥, 𝑦), donde su
componente 𝑦 =1
2= 0,5, es decir, nuestra atención se debe centrar en
buscar un punto de la forma (𝑥,1
2).
Para ilustrar la situación, vamos a trazar una recta horizontal al eje de las
abscisas que pase por el valor de 𝑦 =1
2:
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 49
Figura 21.1.1: punto del círculo trigonométrico con coordenada “y=0,5”
Note que la recta 𝑦 =1
2, es una recta horizontal que corta al círculo
trigonométrico en dos puntos, lo que nos hace pensar que el reto inicial no
tendrá solución única, sino, al menos dos soluciones: 𝜃1 , 𝜃2, como se muestra
en la Figura 18. Si tomamos en consideración los signos que toman las
razones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes, podríamos verificar
que para la ecuación 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =1
2, al ser el valor de 𝑠𝑒𝑛(𝜃) posit ivo, resulta que
esto ocurre solamente en el I y I I cuadrante, es decir, exactamente donde
se ubica el lado final de los ángulos que podrían ser soluciones, según se
muestra en la figura anterior, por lo que observando el signo desde el inicio,
podríamos determinar dónde se van a encontrar los ángulos solución de la
ecuación por resolver.
Otro detalle que no podemos obviar, es el hecho de que para un mismo
punto se pueden generar infinitos ángulos en posición estándar, como
anteriormente se estudió, entonces, esto nos lleva no solo a considerar dos
posibles ángulo como solución de la ecuación, sino que para cada ángulo
𝜃1, 𝜃2 existen infinitas soluciones, ahora, este escenario nos pone a pensar
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
y=0,5
- 3
2,
1
2
2
3
2,
1
2
1
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 50
sobre cómo podríamos hacer para dar de manera explícita esas soluciones.
Una a una, no sería una buena opción porque son infinitas, a lo mejor
debemos pensar en alguna fórmula que para ciertos valores que podamos
darle a esta, nos genere la solución que se desee. Vamos a tratar de explicar
cómo se puede inducir dicha fórmula.
Vamos a tomar, a manera de
ilustración el ángulo 𝜃2 = 𝜃.
Tenemos la primera solución como se muestra en la figura
de la derecha
Vamos a rotar a 𝜃2 una
revolución completa, lo que
equivale a sumarle 2𝜋, así tendríamos el nuevo ángulo
𝜃2 = 𝜃 + 2𝜋, como se muestra
en la figura. Note que este ángulo comparte el mismo
lado inicial y terminal de 𝜃2 .
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
- 3
2,
1
2
2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
- 3
2,
1
2
+ 2
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 51
Realizamos el mismo
procedimiento, rotando ahora
el nuevo ángulo 𝜃2 una revolución completa más, es
decir, le sumamos 2𝜋. De esta manera, se tendría:
𝜃2 = 𝜃 + 2𝜋 + 2𝜋 = 𝜃 + 4𝜋
Figura 21.1.2: generación de ángulo en posición estándar de diferente medida, pero igual lado terminal.
Analizando con detalle las t res representaciones anteriores, podríamos de
manera análoga o similar, continuar generando ángulos que sean
soluciones continuando el procedimiento de sumar 2𝜋 las veces que se
desee, así y tomando en cuenta este patrón de seguir sumando 2𝜋,
podríamos inducir una fórmula general que nos permita concentrar todas
las soluciones en ella. Veamos el siguiente análisis:
Caso base, con cero
revoluciones
𝜽𝟐
= 𝜽 + 𝟐 ∙ 𝟎 ∙ 𝝅
Primera revolución
completa
𝜃2
= 𝜃 + 2 ∙ 𝟏 ∙ 𝜋
Segunda revolución completa
𝜃2
= 𝜃 + 2 ∙ 𝟐 ∙ 𝜋
Tercera revolución 𝜃2
= 𝜃 + 2 ∙ 𝟑 ∙ 𝜋
Cuarta revolución 𝜃2
= 𝜃 + 2 ∙ 𝟒 ∙ 𝜋
Quinta revolución 𝜃2
= 𝜃 + 2 ∙ 𝟓 ∙ 𝜋
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
- 3
2,
1
2
+ 4
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 52
Aunque todos los ángulos anteriores son soluciones de la ecuación original,
note que la diferencia entre una solución y otra, es ese número que aparece
destacado en negrita en la secuencia anterior, el cual semeja una cadena
de número naturales. Si creamos una variable 𝑘 de manera que 𝑘 =
0,1,2,3,4,5, …, podríamos escribir la solución general para el caso 𝜃2de la
siguiente manera:
𝜃2 = 𝜃 + 2𝒌𝜋
NOTA: Análogamente est a fórmula funciona para dar las soluciones
para aquellas ecuaciones dadas en t érminos de cosenos.
El ángulo de referencia es un recurso importante para calcular los valores de
las razones trigonométricas y por ende, será un gran aliado para resolver
ecuaciones de este t ipo.
Retomemos nuestra ecuación original y vamos a definir una estrategia para
resolver ecuaciones trigonométricas usando toda la información que hemos
venido estudiando hasta el momento.
Recordemos, el ejercicio consiste en determinar los ángulos 𝜃 que sat isfagan
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =1
2:
Cuadro 21.1.1: Procedimient o para resolver la ecuación 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =1
2
Aspecto a analizar Resultado Conclusión
Signo de la razón trigonométrica
Posit ivo Solución en el I y II cuadrante
Despeje del ángulo de referencia en
𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑟𝑒𝑓) =1
2
𝜃𝑟𝑒𝑓 =𝜋
6 El ángulo encontrado
es el ángulo de
referencia que se usa
para determinar las verdaderas soluciones
para 𝜃 de acuerdo con
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 53
el cuadrante donde se
encuentre este.
La explicación de
cómo despejar el
ángulo, aparece al final de la tabla.
Solución para el I Cuadrante
𝜃1 =𝜋
6+ 2𝒌𝜋
El ángulo de referencia en el primer cuadrante
es equivalente al
ángulo solución.
Solución para el II
Cuadrante 𝜃2 =
5𝜋
6+ 2𝒌𝜋
El ángulo solución para
el segundo cuadrante se obtiene a part ir del
ángulo de referencia
de la siguiente manera:
𝜋 −𝜋
6=
5𝜋
6.
𝑠 = {𝜋
6+ 2𝒌𝜋,
5𝜋
6+ 2𝒌𝜋} , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2 …
Posiblemente la pregunta que ahora se están haciendo, es cómo fue que
se encontró el ángulo de referencia. Veamos el siguiente proceso:
Situación inicial Razón trigonométrica
aplicada
Resultado
𝜃 =𝜋
6 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
6) 1
2
Siguiendo el orden de izquierda a derecha, vemos que primeramente
tenemos un ángulo, le aplicamos operador trigonométrico que en este caso
es un seno y esta nos devuelve un valor único que es 1
2 , entonces, ¿Qué
pasaría si pensamos el mismo proceso en dirección contraria o a la inversa?.
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 54
En ese caso, tendríamos la siguiente situación:
Situación inicial Razón trigonométrica
aplicada
Resultado
1
2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
1
2) = 𝑠𝑒𝑛−1 (
1
2) 𝜃 =
𝜋
6
Es decir, iniciamos con un valor, le aplicamos un proceso inverso al seno que
llamaremos arcoseno (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (1
2)) o seno inverso (𝑠𝑒𝑛−1 (
1
2)) y así obtenemos
como resultado el valor del ángulo que al aplicarle seno, nos da como
resultado 1
2 . El Cuadro 6 resume operaciones inversas para cada las t res
razones trigonométricas básicas, tomando en cuenta a 𝜃 como el ángulo y
𝑧 un número válido para la razón trigonométrica en estudio:
Cuadro 21.1.2: Operadores inversos para las razones t rigonomét ricas
Razón
trigonométrica
Operador inverso
𝒔𝒆𝒏(𝜽) = 𝒛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑧) = 𝑠𝑒𝑛−1(𝑧)
= 𝜃
𝒄𝒐𝒔(𝜽) = 𝒛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑧) = 𝑐𝑜𝑠−1(𝑧)= 𝜃
𝒕𝒂𝒏(𝜽) = 𝒛 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑧) = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑧)
= 𝜃
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Trigonometría 55
Actividad 21.1.1
En el Cuadro 6 t enemos ecuaciones t rigonométricas de tres
formas dist intas 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑧, 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑧 y 𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 𝑧. Para que cada
una de est as ecuaciones t enga sent ido, ¿será posible que z
pueda t omar cualquier valor real o exist en rest ricciones?. Analice
cada ecuación por separado y discut e t us result ados con tus
compañeros y el profesor.
NOTA: para despejar los ángulos a part ir de un valor dado, puede
usar t u calculadora. Por ejemplo, en el caso de la ecuación
previamente resuelt a 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =1
2, se podría despejar 𝜃 en la
calculadora, siguiendo los siguient es pasos para las t eclas:
Shift + sin +1
2.
Seguidamente, resolveremos otro ejemplo de ecuación 𝐜𝐨𝐬(𝜽) = −𝟏
𝟐.
Cuadro 21.1.3: Procedimient o para resolver la ecuación 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = −1
2
Aspecto a analizar Resultado Conclusión
Signo de la razón
trigonométrica
Negativo Solución en el I I y III
cuadrante
Despeje del ángulo
para: 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑟𝑒𝑓 ) =1
2 (ojo
que para encontrar el
ángulo de referencia, t rabajamos el valor en
posit ivo. El signo
negativo cumplirá solamente la función
de indicarnos el cuadrante donde
estaría la solución)
𝜃𝑟𝑒𝑓 =𝜋
3 Valor del ángulo de
referencia
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Trigonometría 56
Solución para el II
Cuadrante 𝜃1 =
2𝜋
3+ 2𝒌𝜋
Para el I I cuadrante, el
ángulo solución sería:
𝜋 −𝜋
3=
2𝜋
3.
Solución para el III
Cuadrante 𝜃2 =
4𝜋
3+ 2𝒌𝜋
El ángulo solución para
el tercer cuadrante:
𝜋 +𝜋
3=
4𝜋
3.
𝑠 = {2𝜋
3+ 2𝒌𝜋,
4𝜋
3+ 2𝒌𝜋} , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2 …
Un tercer y último ejemplo de esta sección a resolver, es 𝒕𝒂𝒏(𝜽) = 𝟏
Vamos a trabajar este ejercicio con más detenimiento, porque el caso de
las ecuaciones que involucran tangentes no se resuelven exactamente de
la misma manera que aquellas que involucran senos o cosenos, de este
modo, estas ameritan un trato especial.
Recordemos que las razones seno y coseno, toman sus valores de las
componente "𝑦" y "𝑥" de los puntos que se ubican sobre el círculo
trigonométrico y eso hace que una vez que se encuentre el punto donde el
lado terminal del ángulo corte al círculo trigonométrico, para volver a repetir
dicho punto, se requiere rotar el lado terminal una revolución completa de
2𝜋, como hemos visto en los ejemplos anteriores. Con esto, podríamos decir
que las razones seno y coseno tienen período 𝟐𝝅.
Por otra parte, para el caso de la razón tangente, se debe tomar en cuenta
que el valor de la tangente para un ángulo dado, no se puede observar en
las componentes de un punto que esté sobre el círculo trigonométrico, sino
que los valores de esta razón se construyen a part ir del cociente de dichas
componentes, como recordaremos:
tan(𝜃) =𝑠𝑒𝑛(𝜃)
cos (𝜃)=
𝑦
𝑥
Donde (𝑥, 𝑦) = (cos(𝜃) , 𝑠𝑒𝑛(𝜃)) es un punto sobre el círculo trigonométrico.
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Trigonometría 57
Con lo anterior, cabe preguntarse: ¿qué combinaciones de valores para
seno y coseno deben darse para generar un mismo valor para la tangente?.
Veamos el siguiente análisis:
Consideremos el punto (√2
2, √2
2), un
punto sobre el círculo trigonométrico. A este punto se le
asocia un ángulo que llamaremos 𝜃1, como se aprecia en la imagen
de la derecha.
Si se desea calcular:
tan(𝜃1) =𝑠𝑒𝑛(𝜃1)
cos (𝜃1)=
√22
√22
= 1
¿Qué pasaría si rotas 𝝅 radianes a
𝜽𝟏?
Para rotar a 𝜃1 una cantidad de 𝜋
radianes, lo que debemos hacer es
movilizar el lado terminal de 𝜃1 al
punto (− √2
2, − √2
2), como se muestra
en la imagen de la derecha. Con
estos nuevos valores del punto, calculemos el valor de la tangente
en ese punto:
tan(𝜃1 + 𝜋) =𝑠𝑒𝑛(𝜃1 + 𝜋)
cos (𝜃1 + 𝜋)=
−√22
−√22
= 1
Lo que nos da como resultado el
mismo valor de la tangente para el caso del ángulo 𝜃
Figura 21.1.3: ángulos en círculo t rigonomét rico que compart en un mismo
valor t angencial.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
2
2,
2
2
1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2
- 2
2,
- 2
2
1+
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 58
En resumen, hemos logrado encontrar otro ángulo a part ir de un ángulo
dado que se encuentra a una distancia de 𝝅 radianes y que comparte el
mismo valor para la tangente del ángulo original. Lo anterior, es una
part icularidad de la razón tangente, lo que hace que para ella su período
sea de 𝝅, a diferencia de seno y coseno cuyo período es de 2𝜋.
Haciendo un análisis inductivo, podemos ver el siguiente comportamiento
de ángulos que podría ser solución dentro de las ecuaciones tangentes:
Caso base, con cero revoluciones
𝜽𝟏 = 𝜽 + 𝟎 ∙ 𝝅
Primera media revolución 𝜃1 = 𝜃 + 𝟏 ∙ 𝜋
Segunda media
revolución
𝜃1 = 𝜃 + 𝟐 ∙ 𝜋
Tercera media revolución 𝜃1 = 𝜃 + 𝟑 ∙ 𝜋
Cuarta media revolución 𝜃1 = 𝜃 + 𝟒 ∙ 𝜋
Quinta media revolución 𝜃1 = 𝜃 + 𝟓 ∙ 𝜋
Para todas las soliciones anteriores, se hizo una rotación de 𝝅 radianes y esto
va generando una secuencia de número naturales, que si creamos una
variable 𝑘, donde que 𝑘 = 0,1,2,3,4,5, …, podríamos escribir la solución general
para el caso 𝜃2de la siguiente manera:
𝜃2 = 𝜃 + 𝒌𝜋
Por lo que diremos que la razón tangente tiene período 𝝅.
Retomando nuestro ejercicio inicial, procedemos a resolver la ecuación
𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 1:
Cuadro 21.1.4: Procedimient o para resolver la ecuación 𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 1
Aspecto a analizar Resultado Conclusión
Signo de la razón
trigonométrica
Posit ivo Solución en el I y III
cuadrante.
Despeje del ángulo
para: 𝑡𝑎𝑛(𝜃𝑟𝑒𝑓 ) = 1 𝜃𝑟𝑒𝑓 =
𝜋
4 Valor del ángulo de
referencia
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 59
Solución base para el I Cuadrante
𝜃1 =𝜋
4
La primera solución coincide con el ángulo
de referencia. No es
necesario generar la solución para el III
cuadrante, porque esta automáticamente
está contemplada en
la fórmula ut ilizada para dar las solución, a
part ir del período 𝜋.
Todas las soluciones en el I y I I I Cuadrante
𝜃2 =𝜋
4+ 𝒌𝜋
Al aumentar 𝒌𝜋, se van generando todas las
soluciones en ambos cuadrantes donde esto
podría ocurrir.
𝑠 = {𝜋
4+ 𝒌𝜋} , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2 …
Finalmente, resolvamos el siguiente caso: 𝒕𝒂𝒏(𝜽) = −𝟏.
Cuadro 21.1.5: Procedimient o para resolver la ecuación 𝑡𝑎𝑛(𝜃) = −1
Aspecto a analizar Resultado Conclusión
Signo de la razón
trigonométrica
Negativo Solución en el II
cuadrante y IV. Trabajaremos como
ángulo base el del II cuadrante.
Despeje del ángulo
para: 𝑡𝑎𝑛(𝜃𝑟𝑒𝑓 ) = 1
(Trabajamos en posit ivo).
𝜃𝑟𝑒𝑓 =𝜋
4 Valor del ángulo de
referencia
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 60
Solución base para el II Cuadrante
𝜃1 = 𝜋 −𝜋
4=
3𝜋
4
La primera solución coincide con el ángulo
de referencia.
Todas las soluciones en
el I I y IV Cuadrante 𝜃2 =
3𝜋
4+ 𝒌𝜋
Al aumentar 𝒌𝜋, se van
generando todas las
soluciones en ambos cuadrantes I I y IV.
𝑠 = {3𝜋
4+ 𝒌𝜋} ,𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2 …
Actividad 21.1.2
En los Cuadros 5 y 7, se t rabajaron ecuaciones usando como base los
operadores seno y coseno, not e que a part ir del signo de est os se
det erminaban dos posibles soluciones según los cuadrant es donde el
signo para dicho operador fuese válido. Luego, una vez que se
det ermina cada ángulo en cada cuadrant e donde hay una solución,
se debe generar una solución general por separado, algo que NO
ocurrió en los Cuadros 8 y 9 donde el operador era t angente. Para
discut ir con t us compañeros est os argument os t rata de responder la
pregunt a, ¿t endrá algo que ver los cuadrant es donde est arían las
soluciones en los casos de los operadores seno o coseno, con respect o
a los cuadrant es sugeridos cuando el operador es t angente?. Anote
en su cuaderno los cuadrant es que se propondrían en el caso en el
que una ecuación t rigonométrica con seno, coseno y t angente sea
posit iva y de igual manera cuando es negat iva.
Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Trigonometría 61
Actividad 21.1.3 Dejar asignado el proyecto de construcción del Teodolito con el resto de
medición incluido. En esta sesión se deben explicar claramente las reglas
del juego.
La actividad detallada se encuentra al inicio de la Sesión N°22
Actividad 21.1.4
1) Determine si cada uno de los siguientes puntos pertenecen al círculo
trigonométrico:
a) (√2
2, √2
2) b) (√5
2, √3
2) c) (
−√2
2, √2
2) d) (
−1
2,
−√3
2)
e)
f) (√3
2,
1
2) g) (
7
3,
−√3
2) h) (−1,0) i) (0,1)
¿Qué se puede concluir de los puntos de los ejercicios g y h con
respecto al ángulo comparándolos con los demás?
2) Encuentre las coordenadas de cada uno de los puntos sobre el círculo
trigonométrico de cada ángulo:
a) 𝜃 =−𝜋
2 b) 𝜃 =
5𝜋
2 c) 𝜃 = −𝜋 d) 𝜃 = 3𝜋
e) 𝜃 =13𝜋
4 f) 𝜃 =
−𝜋
4 g) 𝜃 =
11𝜋
4 h) 𝜃 =
−7𝜋
4
3) Reseulva las siguientes ecuaciones, exprese el resultado considerando
todas las posibles soluciones:
a) tan 𝜃 = 0 b) sen 𝜃 =−1
2 c) cos 𝜃 =
1
2
d) cos 𝜃 =−√3
2
e) tan 𝜃 = √3 f) sen 𝜃 =√2
2
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Trigonometría 62
Sesión N°22
22.1 Proyecto construcción y uso de un teodolito
Objetivo: Aplicar los conceptos trigonométricos aprendidos, en la
construcción de un instrumento de medición llamado Teodolito, y su
posterior uso para resolver casos part iculares del contexto.
Indicaciones:
1. Investiga qué es un Teodolito, así como posibles modelos a seguir para
construir uno.
2. Define cuál modelo vas a ut ilizar y haz un listado de materiales a
emplear.
3. Una vez que cuentes con los materiales e instrumentos a ut ilizar, inicia
su construcción. En esta sección debes documentar con fotografías y
capturas de vídeos todo el proceso de construcción del teodolito.
4. Cuando lo hayas construido, ut iliza algunos elementos u objetos
relat ivamente pequeños (bicicleta, banca, una pequeña planta,
etc), de los que t ienes en casa, para realizar mediciones y compara si
los resultados obtenidos son muy cercanos a los verdaderos.
5. El profesor les asignará en la clase el objeto a medir con el instrumento
construido. Toma en cuenta que el profesor sí conoce la medida del
objeto designado a medir, por lo que al final de la actividad, se tendrá
como objet ivo comparar tus resultados con los reales.
6. Realiza un vídeo donde se recolecten todas las imágenes de los
procedimientos anteriores.
7. Prepare una exposición de su trabajo. Proyecte el vídeo al resto del
grupo y al profesor.
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Trigonometría 63
22.2 Ley de senos
Para un triángulo cualquiera, como el que se muestra en la figura adjunta,
se cumple las proporciones indicadas:
El siguiente enlace te
conduce a
una guía en la que podrás
conocer qué es la ley de
los senos.
https://es.kha
nacademy.or
g/math/trigonometry/trig-
with-general-t riangles/law-
of-
sines/v/law-of-sines
Actividad 22.2.1
1. Determine la medida de x en el siguiente triángulo:
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Trigonometría 64
2. Determine en forma aproximada, la medida del ángulo 𝛼 y la medida
de x en el siguiente triángulo:
3. En el t riángulo 𝑀𝑁𝑄, las longitudes de dos de sus lados son 𝑛 = 9 𝑐𝑚 y
𝑚 = 6 𝑐𝑚. Calcular la medida de ∠𝑄𝑀𝑁 y ∠𝑀𝑁𝑄.
4. Dos futbolistas corren tras el balón, en el momento en que el balón
deja de rodar, dichos futbolistas se encuentra a una distancia entre ellos de 7 metros, formando ángulos entre las líneas que se trazan entre
ellos y entre el balón y ellos de 35º y 40º como se muestra en la figura. Determine cuál de los dos futbolistas está más cerca del balón,
calculando la distancia a la que se encuentra cada uno de dicho
balón. (valor 6 puntos)
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Trigonometría 65
5. En el lanzamiento del mart illo se puede demostrar que la distancia
máxima se alcanza con un ángulo de lanzamiento 𝜃 (medido desde
la horizontal) que sat isfaga
𝑐𝑜𝑠2𝜃 =𝑔ℎ
𝑣02 + 𝑔ℎ
donde ℎ es la altura del mart illo sobre el suelo, en el lanzamiento, 𝑣0
es la velocidad inicial y 𝑔 es la aceleración de la gravedad. Para 𝑣0 =
13.7 𝑚/𝑠 y ℎ = 2.25 𝑚, calcule el ángulo óptimo de lanzamiento. Use
𝑔 = 9.81 𝑚/𝑠2.
40º
35º
7 m
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Trigonometría 66
𝜃
𝑅
6. En el diseño de las carreteras y los ferrocarriles, las curvas t iene un
peralte para producir una fuerza centrípeta que proporcione seguridad. El ángulo 𝜃 óptimo para un peralte se define con tan 𝜃 =𝑣2/𝑅𝑔, donde 𝑣 es la velocidad del vehículo, 𝑅 el radio de la curva y
𝑔 es la aceleración de la gravedad. Ver Figura.
Como indica la fórmula, para determinado radio no hay un ángulo
que sea correcto para todas las velocidades. En consecuencia las
curvas t ienen peralte para la velocidad promedio del t ráfico en ellas.
Calcule el ángulo correcto de peralte para una curva de 600 pies de
radio, en una carretera secundaria donde las velocidades son de
30 𝑚𝑝ℎ en promedio. Use 𝑔 = 32 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠2. (Sugerencia: use unidades
consistente).
7. Visto desde un costado, un cono de cenizas volcánicas se ve como
un trapezoide isósceles. Los estudios de conos de ceniza que t ienen
menos de 50 000 años indican que la altura 𝐻𝑐𝑜 del cono y el ancho
𝑊𝑐𝑟 del cráter se relacionan con el ancho 𝑊𝑐𝑜 del cono mediante las
ecuaciones:
𝐻𝑐𝑜 = 0.18 𝑊𝑐𝑜 y 𝑊𝑐𝑟 = 0.40 𝑊𝑐𝑜
Si 𝑊𝑐𝑜 = 1.00, con estas ecuaciones determine el ángulo 𝜙 de la base
del t rapezoide como se muestra en la figura:
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Trigonometría 67
8. Un globo sobrevuela un terreno plano; el piloto del globo observa a
varias personas situadas en los punto 𝐴 y 𝐵 en el terreno, cuya
distancia entre ellos es de 75 m, con un ángulo de depresión de 61º 24′, respecto al punto 𝐴 y 43º 15′, respecto al punto 𝐵. ¿A que
distancia del globo se encuentra cada punto sobre el terreno? ¿Cuál
es la altura a la que se encuentra el globo?
9. Para medir la anchura de un río, se sitúan los puntos 𝐴 y 𝐵 en la orilla
separados entre ellos por una distancia de 12.16 m, al otro lado del río
B A
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Trigonometría 68
se localiza el punto C sobre un árbol. ¿Cuánto mide el ancho del río si
el ∠𝐴𝐵𝐶 = 47º y ∠𝐵𝐴𝐶 = 112º. (Realice un bosquejo del problema)
10. Un leñador situado en la falda del volcán Arenal observó una
fumarola de 1500 m según el reporte presentado en un noticiero. Determine a qué distancia del cráter se encuentra situado el leñador
si lo observa con un ángulo de elevación de 13º y el punto máximo de
la fumarola lo observó con un ángulo de elevación de 65º. (Realice un bosquejo del problema)
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Trigonometría 69
BIBLIOGRAFÍA
Guzmán, J. Nuñez, J. (2004). Álgebra y Trigonomet ría. Toluca, México.
Porras, V y Gamboa, G.A.(2006). Mat emáticas 11º. Ed. San José. Costa
Rica.
Porras, V y Porras, J.(2014). Mat emát icas 9º. Ed. San José. Costa Rica.
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