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UTN – FRBA – Álgebra y Gemoetría Analítica – Cónicas – Prof Norma del Puerto
Álgebra y Geometría Analítica
GéneroParábola
GéneroElipse
GéneroHipérbola
UTN – FRBA – Álgebra y Gemoetría Analítica – Cónicas – Prof Norma del Puerto
2 2 ; cuadráticos : A x C y
rectangular : Bxy
lineales : D x ; E y
independiente : F
∈A,B,C,D,E,F
0 0 0≠ ∨ ≠ ∨ ≠A B C
UTN – FRBA – Álgebra y Gemoetría Analítica – Cónicas – Prof Norma del Puerto
( ) ( )
BA x x2x y . . + D E +F =0B y yC2
M
Ecuación matricial:
BA 2M=B C2
simétrica ⇒ diagonalizable
0≠ ⇒B Cónica rotada respecto de los ejes
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2x2 1 inversible / M D P D=P M PBuscamos D diagonal:
las columnas de P son los versores delas bases de los espacios propios
( ). .2 21 2
xx + y D E P +F =0
y+λ λ
′′ ′
′
Los términos lineales se pueden eliminar mediante una traslación conveniente
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2 2 + A' x' C' y' + D'x' +E'y' + F' = 0
génerocircunferencia
A'=C'λ λ=1 2( )
circunferencia
punto
no existe LG
elipse
punto
no existe LG
géneroelipse
A'C'>0λ λ > 01 2( )
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2 2 + A' x' C' y' + D'x' +E'y' + F' = 0
génerohipérbola
A'C'<0λ λ < 01 2( )
géneroparábola
∨A'=0 C'=00λ λ= ∨ = 01 2( )
parábola par de rectas
paralelas par de rectascoincidentes
hipérbola par de rectas
incidentes
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x h r cos
y k r sen
( ) ( )2 2 2: x - h + y - k = rC
( )
C h;k centro r radio
( )∀ ∈
= P x;y : CP rC
0 2
(ver desarrollo)
⇒
x'=x - hy'=y - k
2 2 2:x' + y' = rC
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∈ =⇔P(x,y) d(P,F) d(P,d)C
∈ ∧pF eje simetría d(V,F)=2
Foco F
directriz d = ∧ ∩ ∅pd(V,d) d2
C =
∈ ∧ ⊥F EF EF deje focal EF
vértice V = ∩V EFCLadoRectoLR ⊥ ∧ =LR cuerda focal LR EF LR 2p
(ver desarrollo)
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( ) ( )C 2: x - h = 2p y - k ( ) ( )C 2: y - k = 2p x - h
V(h,k):F:LL’:
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( ) ( )C 2: x - h = 2p y - k ( ) ( )C 2: y - k = 2p x - h
2
x h
y k2p
2
y k
x h2p
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(A.B>0)
( ) ( ) ( )C∈ ⇔ 1 2x;y P;F + P;FP d d =2a
a: semidiámetro mayor
b: semidiámetro menor
c: semidistancia focal
C(h,k): centro de simetría
F1,F2: focos
V1,V2: vértices
A1,A2: covértices
(ver desarrollo)
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( ) ( )C 2 2
2 2
x-h y-k: + =1
a b( ) ( )C
2 2
2 2
x-h y-k: + =1
b a
(h,k):V:A:F:
a,b: semidiámetros
c: semidistancia focal
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( ) ( ) ( )C∈ ⇔ 1 2x;y P;F + P;FP d d =2a
= +2 2 2a b cEcuaciones paramétricas:
2 2
2 2
2 2
2 2
x-h y-k: + =1
a bx-h y-k
: + =1b a
C
C
x h a cos
y k b sen
x h b cos
y k a sen
0 2 ó
Nota: una misma elipse puede representarse con cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas
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( ) ( ) ( )C∈ ⇔ 1 2x;y P;F - P;FP d d =2a
C(h,k): centro de simetría
a: semidiámetro transversob: semidiámetro conjugado
c: semidistancia focal
F1,F2: focosV1,V2: vértices
A1,A2: covértices
(ver desarrollo)
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( ) ( )2 2
2 2
x-h y-k: - =1
a bC ( ) ( )
−2 2
2 2
y-k x-h: =1
a bC
(h,k):a:b: c:
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( ) ( ) ( )C∈ ⇔ 1 2x;y P;F - P;FP d d =2a
= +2 2 2c b a
Nota: una misma hipérbola puede representarse con cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas:
2 2
2 2
2 2
2 2
x-h y-k: - =1
a by-k x-h
: =1a b
C
C
x h a sec
y k b tg
x h b tg
y k a sec
0 2 ó 3
2 2
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d(P,F)e=
d(P,d)“el grado de desviación de una cónica
con respecto a una circunferencia”≡
género elipse0<e<1
género parábolae = 1
género hipérbolae > 1
ce=
a
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