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®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn1
V. Corrientes V. Corrientes elelééctricasctricas
4. Conductores lineales: 4. Conductores lineales: medios medios óóhmicoshmicos
Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas
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V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas
Ley de Ohmmedio óhmico: conductividad
Resistencia eléctrica de un tubo de corrienteConductor filiforme
resistencia eléctrica de un hiloDisipación de energía. Ley de Joule
5.5. GeneradoresGeneradores6.6. Coeficientes de conductanciaCoeficientes de conductancia7.7. Circuito equivalenteCircuito equivalente8.8. Corrientes no estacionariasCorrientes no estacionarias
1.1. IntroducciIntroduccióónn2.2. Magnitudes para la corriente elMagnitudes para la corriente elééctricactrica3.3. Leyes de la corriente elLeyes de la corriente elééctricactrica4.4. Conductores lineales: medios Conductores lineales: medios óóhmicoshmicos
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Comportamiento lineal de conductorrégimen estacionario en medio conductor:
equilibrio dinámico
modelo lineal de fuerza “disipativa”efecto del medio sobre la corriente
Ley de Ohm: conductividadrelación constitutiva del medio óhmico:
Conductividad eléctrica “σ”sólo depende del medio: σ≠σ(|E|)en medios óhmicos es siempre positiva: σ ≥0medio óhmico inhomogéneo: σ=σ(r)
( )dis( )q d dt± ± ±= ⇒ =E r + F 0 v 0
Ley de Ohm (medio óhmico)
E(r)J(r)
ΔτΔτ ∼∼PPt t ≥≥ tt00
ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.
q_
v_(r)Fe
_ Fdis_
q+
v+(r) Fe+Fdis
+
( )( ) ( )q±± ±=v r E rγ ( ) ( )⇒ = σJ r E r
Ω; σ → velocidad arrastre
conductor perfectodieléctrico ideal
0 ⎧⎨⎩
σ → ∞ :σ = :
→
dis ( 0)( ); ±± ± ± >= −F v r γγ
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Tubo de corriente (estacionaria)conjunto de líneas de corriente entre dos superficies equipotenciales:
J es tangente a la superficie lateral SLen medio óhmico, J es normal a S1 y S2
ley de conservación de la carga:en el tubo entra y sale la misma intensidad
Resistencia eléctricarelación dif. de potencial−intensidad en tubo τ:
sólo depende de la geometría del tubo y de σ
unidades (en el SI):
Resistencia eléctrica
J(r)= σE(r)
nL ⊥ J
Ω; σ
n1S1: φ(r)=V1
|| J
|| J
0d∂τ
⋅⋅ =∫ J S2 1
2 1S SI dS dS⇒ = ⋅⋅ = − ⋅⋅∫ ∫J n J n
(ohmio)V A = = Ω[ ] [ ] [ ]R V Iτ =
ley de ley de OhmOhm(integral)(integral)
S
dSn|| Jτ
SL
P1
P2
dr
n2
1 2V VRIτ−
=
S2: φ(r)=V2
( )2
1
d
d
P
P
S ⊥
σ=
⋅
⋅∫∫ J
J r
J S
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Ejercicio 5.4: resistencia eléctrica de corona cilíndrica
a) en la dirección longitudinal
Ω; σ
long VRIΩ = ( )2 2
Lb aπ
=−σ
ε0; σ=0
z=0
z=L
Jext=0
nlat=uρ
n=uz
S
V
S2:φ(z=L)=V2
S1:φ(z=0)=V1
IJΩ(r)
EΩ(r)
Eext≠0;
JΩ(r)
Ω; σ Ω; σ
EΩ(r)
JΩ ⊥
Z
ba∂τ
K
n2
Jext=0
=V1−V2
( )longR L SΩ Ω= σ n
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Ejercicio 5.4: resistencia eléctrica de corona cilíndrica
b)en la dirección transversal
Ω; σ
tran VRIΩ =
( )ln2
b aLπ
=σ
ε0; σ=0
Ω; σ Ω; σ
z=0
z=L
Jext=0S
V =V1−V2
S2:φ(ρ=b)=V2
I
JΩ(r)
EΩ(r)
Eext≠0;
JΩ(r)
EΩ(r)
⊥ JΩ
ba
S1:φ(ρ=a)=V1
n=uρ
nlat=uz Z
Jext=0
long ( )db
aR SΩ ρ= ρ σ∫
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( )( ) ( )
lI
S≈J r T r
J(r)
Descripción“hilo” de material óhmico Ωfil:
se identifica con curva C: r=r(l)T(r) vector tangente unitario
Densidad de corrientelíneas de J confinadas en Ωfil ≈ C:
verifica condiciones de contornoen general, no verifica ∇·J=0
sección variable S(l):Resistencia del hilo
el hilo constituye un tubo de corriente
Conductores filiformes
dS=dS T
nL
Ωfil; σ
L δδ→0
T(r)
SL
S→0
Jext=0
nL•[J]SL=0
Ωfil ≈ C
S1φ( )=V1 φ( )=V2S2
II
1 2fil
V VRI−
=0
L dlS
≈σ∫ ( , ctes.) S
LS
σ=σ
( )( ) ( )I S⇒ ≈J r T r0d
SI
→= ⋅∫ J S S≈ J
[ ] [ ][ ][ ]
1 S(siemens)m m
LR S
= = =Ω
σ
l=0 l=L
•T≅0
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Potencia disipada en medio óhmicotrabajo “disipativo” en Δτ~P:
en régimen estacionario: potencia “disipativa” (por unidad de volumen):
potencia disipada (perdida) en región Ω:
Ley de Joulecalor por unidad de tiempo cedido por Ω:
la energía se pierde en forma de calor: efectoJoule
Disipación de energía. Ley de Joule
dis ( )q± ±= −F E r
( )dis disdis n nW dtτ
+ + − − −
Δ+δ ≈ ⋅ ⋅ Δτ+F Fv v
E(r)J(r)
ΔτΔτ ∼∼ PP ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.
q_
v_(r)
Fe_
Fdis_
q+
v+(r)Fe
+Fdis
+
Ω; σ
δQ
I
ΩJ(r)=σ E(r)
=|δWdis|
dis dPΩ Ω
= − ⋅ τ∫J E 2 dσΩ
= − τ∫ E 0<
( )disdis
0lim
P
W dtdPd τ τΔ →
δ
Δ=
τ
Qdt
δ
Ω
= 2I RΩ disd PΩ
= ⋅ =τ∫J E
( ) ( )= − ⋅J r E r
φ( )=V2S2φ( )=V1S1
dr
dS
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