Vectores

ALGEBRA LINEAL

Prof. Luis A. Hernández. 2

…Propósito y Descripción de la Asignatura …

Un primer curso de álgebra lineal sirve para que el alumno adquiera cierta capacidad de abstracción y de formalización de las ideas matemáticas, en un contexto donde los razonamientos lógicos encadenados son sencillos.

El propósito de esta asignatura es presentar los temas de álgebra lineal desarrollando ideas intuitivas, apoyadas por representaciones geométricas los temas más abstractos.

Durante el desarrollo del curso se revisan los contenidos relacionados con: geometría de vectores, sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes hasta llegar a los espacios vectoriales, transformaciones lineales y valores característicos.

Desarrollar habilidades para resolver ejercicios a través de aplicaciones en el ámbito la administración y la economía.

Asimilar o manejar con fluidez los principales conceptos del álgebra lineal: espacios vectoriales, aplicaciones lineales, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones.

Desarrollar las capacidades analíticas y el pensamiento lógico riguroso a través del estudio del álgebra lineal.

Contenidos

Programa SinópticoVectoresMatrices Sistemas de ecuacionesDeterminantesEspacios vectoriales

Transformaciones linealesAplicaciones

Evaluaciones

Cátedra 1 (25%)

Cátedra 2 (35%)Prueba recuperativa: contenidos de cátedra 1 + cátedra 2

Cátedra 3 (40%)

Vectores geométricos

En términos simples, un vector (derivado del latín vehere que significa "llevar") es una cantidad que tiene magnitud y dirección. Dado un vector en el plano, que es el único que analizaremos, es conveniente representarlo por medio de una flecha. La longitud de la flecha la magnitud del vector y la

cabeza de la flecha indica su dirección.

Desde el punto de vista algebraico un vector se presenta de diversas formas, así, una matriz, un polinomio, un operador diferencial o integral representan vectores en el ámbito del álgebra lineal o cálculo diferencial.

Magnitudes escalares y vectoriales

Magnitudes Escalares (Números reales)

LongitudÁreas, Volumen, Perímetro TemperaturaValores: monedaVelocidad

Magnitud Vectoriales.

FuerzaSalto en paracaídasTrayectoria de aviónFlujo de Agua

VECTOR GEOMÉTRICO

La representación de vectores geométricos se efectúa mediante segmentos orientados como sigue:

Segmento

Vector

Punto inicial

Punto final

Vectores iguales

Dos vectores y son iguales, si y sólo si tienen la misma magnitud y la misma dirección.

Suma de vectores

Para efectuar la suma de vectores geométricos se procede como sigue: ubicamos los vectores de manera que el punto terminal de uno coincida con el punto inicial del otro, como se muestra la figura.

Vector inverso aditivo

El vector nulo tiene la propiedad de que: v+0=v+0=0 Para cada vector existe un único vector (-v) tal que:

v+(-v)=0 (-v ) es el vector con la misma magnitud que v, pero cuyo sentido es opuesto al de v como se muestra en la figura.

Diferencia de vectores

Consideremos dos vectores geométricos: u y w, la diferencia u – v se efectúa de sumando el vector u con el vector inverso aditivo de v

Ponderado de un vector..

Si k es un escalar y u un vector, el producto escalar ku se define como un vector cuya magnitud es k veces la magnitud de u

Combinación lineal de dos vectores

Sean u y v dos vectores. El vector w es combinación lineal de los vectores de u y v, si existen escalares a y b tales que: w= au + bv

Representación de vectores en el plano

Para representar vectores en el plano usamos un sistema coordenado rectangular. Sea un vector con punto inicial en el origen y punto final P=(a,b) en entonces podemos representar u en términos de los vectores canónicos de posición i y i: u=ai+bj

Vector de posición

Si v es es un vector con punto inicial P1=(x1,y1) y con punto terminal P2=(x2,y2), entonces el vector v es igual al vector de posición:

v=(x2-x1)i+(y2-y1)jObserve que un vector de posición tiene inicio en el origen

Vectores Algebraicos

En R3 y R2 se definen dos operaciones, a saber, la adición de vectores y la ponderación de un escalar por un vector.

DEFINICIÓN.

Sean u=(u1,u2,….un) y v=(v1,v2,…vn) elementos de Rn y sea cun escalar.La adición y multiplicación escalar se definen como sigue:

Adición: u + v = (u1+v1, u2+v2,…. un+vn)Multiplicación Escalar : cu = (cu1, cu2,…cun)

Producto escalar o punto

Sean u = (u1,u2,…un), v = (v1,v2,…vn) ∈ Rn, entonces el producto escalar se define como:

u·v = (u1,u2,….un) ·(v1,v2,…vn) = u1v1+u2 v2+…..un vn

Observe que el producto punto asigna un número real a cada par de vectores.

Ejemplo.Sean los vectores u=(-3,4,7) y v=(2,-6, 4). Hallar u·v.

Solución.

u·v = (-3)×(2)+(4) ×(-6)+(7) ×(4)= -6-24+28 = -2

Resumen de propiedades

Sean u, v, y w vectores en Rn y sean c y d escalares.a) u + v = v + ub) u + (v + w) = (u + v) + wc) u + 0v = 0v + u = ud) u + (–u) = 0v

e) c(u + v) = cu + cvf) (c + d )u = cu + dug) c(du) = (cd)uh) 1u = u

Sean u, v, y w ∈ Rn y sea k un escalar. Entonces:a) u·v = v·u b) (u + v) ·w = u·w + v·wc) ku·v = k(u·v) = u·kv d) u·u ≥ 0, y u·u = 0 si y sólo si u = 0

Ejercicios

1. Sean los vectores:u = (2, 5, –3), v = ( –4, 1, 9), w = (4, 0, 2).

Determine el vector: 2u – 3v + w.

2. Considere los vectores en R2:u=(-1, 2), v=(3, -3/4), w=(0.5; -9)

a) Resuelve la ecuación : 2u-kv = -3.5w para la constante k.b) Encuentre un vector z = (a, b) tal que: -3u+4z = 6v-w

3. Considere los vectores en R2:u=(-1, 2, 5), v=(3, -3, 0), w=(0.5; -9, 3)

a) Calcular: w· v +13b) Calcular la expresión: u ( w· v)-w (u· v) c) Resuelve la ecuación para k, (2u-v)· w = -3.5w +10k b) Encuentre un vector z=(a, b) tal que: -3u+4z = 6v-w

Norma o Longitud de un vector

El concepto de norma está relacionado con la longitud de un vector: u = (u1, u2…, un) en Rn , se define por:

( ) ( )2 21 nu u u= + +L

u u u= ⋅

Observe que: La norma de un vector puede ser escrita en términos del producto punto

Ejemplo.Hallar el valor de M = 2x+6y-3z si el módulo de u= (8-2x, 5x+3z, 2y+z) es igual a cero.

PROPIEDADES

Definición. Se llama vector unitario al vector cuya longitud es 1. es unitario si y sólo si 1u u =

) 0, vector

b) , vector,

) , desigualdad triangular

ku k u u k R

c u v u v

≥ ∀

= ∀ ∈

+ ≤ +

Observación. El procedimiento para construir un vector unitario en la misma dirección de un vector dado se llama normalización del vector.

Ejemplo

( ) ( )22 2El vector 2, 1,3 es tal que 2 1 3 14

noes un vector unitario.

= − = + − + =

1 2 1 3El vector normalizadoes (2, 1, 3) , , .14 14 14 14

u −⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Vectores unitarios

Cualquier vector v = (v1, v2, v3) puede representarse por sus vectores canónicos

i = (1,0,0) ; j = (0,1,0) y k = (0,0,1)

v = (v1, v2, v3) = v1 (1,0,0) + v2 (0,1,0) + v3 (0,0,1)

v = v1i + v2j + v3k

Observación.Se dice que el vector v es combinación lineal de los vectores canónicos

Ejemplo

Sea w= (2, –1, 3). a) Normalice este vector.b) Escribe el vector inicial de modo que tenga norma 4

Solución.

Este vector es un vector unitario en la dirección de (2, –1, 3).

2 2 2(2, 1, 3) 2 ( 1) 3 14.w = − = + − + =

1 2 1 3(2, 1, 3) , , .14 14 14 14

−⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

El vector normalizado es

La norma de (2, –1, 3) es √14

Ángulo entre vectores

El ángulo de dos vectores no nulos v y w se define como el ángulo θ, que forman los vectores cuando tienen origen común.

cosθ ⋅→ =

u vu v

EJEMPLODetermina el ángulo entre los vectores u = (1, 0, 0) y v = (1, 0, 1)

Solución11)0,(1,0)0, 1,( =⋅=⋅ vu

1 0 0 1

= + + =

1cos =⋅

=vuvuθ

Así, el ángulo entre u y v es 45°.

Ángulo entre vectores

De la definición de ángulos de vectores se tiene que:

( )Si , u y v son ortogonales2

0uu v vπ∠ = → → ⋅ =

( )Si , 0º u y v son paralelosu v u v u v∠ = → → ⋅ = ⋅

( )Si , u y v son opuestos u v uu v vπ∠ = → → ⋅ = − ⋅

Ejercicios

a. Determinar para qué valores de x e y los vectores u = (-2, 3, y) y v = (x, -6, 2) son paralelos. Solución. x=4 , y=-1

b. Si u = (x+1, 3x-2) y v = (1-x, x). Hallar el valor de x para que u+5v sea paralelo a w = (1,-7). Solución. x=2

c. Los vectores u y v forman un ángulo de 45° y el módulo de u es 3. Hallar el módulo de v, de modo que (u-v) sea perpendicular a u. Solución. 3√2.

Dirección de un vector en R2

Cada vector no nulo u = (a1, a2) le corresponde una dirección dada por la medida del ángulo θ formado por el vector u y el eje x.

asen a u senua a u cosu

⎧ = → =⎪⎪⎨⎪ = → =⎪⎩

0 00 360θ≤ ≤

( ) ( ) ( )1 2, cos , cos ,u a a u u sen u senθ θ θ θ= = =

Por lo tanto, un vector queda determinada por magnitud y su dirección

( )Si 1, entonces cos ,u u senθ θ= =

Ejercicios

a. Hallar el valor de a para que los vectores u = (-2,1,5) y v = (a, 2, 6), sean perpendiculares.

b. Dados los vectores libres u = (3, -4) y v = (-2, 1). Determina el ángulo que forman.

c. Calcular ||u - v|| sabiendo que ||u||=13, ||v||=19 y || u+v||=24.Solución. ||u - v||=22

d. Hallar un vector w cuyo módulo sea 4 y además perpendicular a u = (2,0,1) y v = (3,-1, 2). Solución. w =( 4/√6)(1, -1, -2)

Producto vectorial o Cruz

Sean v=(v1,v2,v3) y w=(w1,w2,w3) vectores de R3, entonces el producto vectorial se define como:

2 3 1 3 1 2

v v v v v vv w i j k

w w w w w w× = ⋅ − ⋅ + ⋅

i j kv w v v v

w w w× =

( )( ) ( )( )2 5 5 6 10 305

D − − = − −= = −=−

Ejemplo

Calcular las operaciones indicadas para los vectores u y v si u = (2,3,-1) y v = (4,- 2,4)

a) b) c) u v v v v u× × ×

Propiedades del producto vectorial

Sean u, v y w vectores del espacio, λ( lamda) y τ(tau) escalares, entonces se cumple que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3) 4) Si 05) 0

u w v u w u v

v w w vw v w v

λ τ λτ

× = ×

× + = × + ×

× = − ×

= → × =

⋅ → Ver figura

Interpretación geométrica del producto vectorial

Teorema. Suponga que los vectores u y v forman un ángulo θ (theta), entonces: ( )u v u v sen θ× = ⋅ ⋅

El número ||u×v|| admite una interpretación geométrica, en efecto

La altura h es igual ||v||senθ, es decir h = ||v||senθ, además el área del paralelogramo es base por altura: A=||u||||v||senθ = ||u×v||

EjemploHallar el área del paralelogramo formado por los vectores u=(1, 3, 7) y v=(-2, -4, 3).Sol. √166 u2

Teorema. Dos vectores u y v son paralelos si y sólo si u×v=0v

Ejemplo.a) Dados los vectores u=(-1, 2, 3), v=(-2,3,1) ¿son paralelos estos vectores?

b) Determina el área del triángulo de la figura sombreada si:F=(3, -2, 4), E= (5, 12, 5) y G=(- 6, 2, 7)

Producto Mixto

Sean u, v y w vectores, no coplanares. El producto mixto de u, v yw se denota por [u v w]= u·(v×w)

( )1 2 3

u v w v v vw w w

× ⋅ =

Ejemplo.Calcular [u v w] para los vectores

u=(8,-1, 1), v=(-4, 3, 2) y w=(-3,2,-3)

Propiedades.[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ]

u v w u v w v w u w u v

u v w u v w v w comp u

u v w wu v v wu×

= ⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×

= ⋅ × = ×

Interpretación Geométrica del producto mixto

El volumen de un paralelepípedo se define como el área de la base por su altura. Si u, v y w son vectores no coplanarios, entonces

V u v h

V u v proj w

u v wV u v u vu v

V u v w

= × ⋅

× ⋅= × ⋅ ×

= × ⋅

Ejemplo.Determine el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores u=(8,-1, 1), v=(-4, 3, 2) y w=(-3,2,-3)

Ejercicios

a. Hallar un vector u de longitud 6√3 y que tiene la misma dirección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sentido positivo del eje x. Solución: (9, 3√3)

b. Si u = (3, -1, -2) , v = (2, 3, 1). Hallara) (u+3v)×(2u-v) Sol. (-20, 28, -44)b)||(u+v)×(u-v)|| Sol. 2√185

c. ( ) ( )Si 7, 3 y 4. Hallar 12 3 2 7u v u v M u v u v= = ⋅ = − = + ⋅ +

Ejercicios

a. Dados los vectores u=(-5, 2) y v=(3, -4). Hallar un vector unitario de sentido opuesto al vector u-v.Solución. (4/5, -3/5)

b. Determine el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores:

u = (2, 6, -4), v = (3, 2, 7) y w = (3, 4, 3).Solución. 46u3

OPTATIVO

Ecuación de la recta y el plano

Ecuación vectorial de la recta

Una recta queda determinada cuando se conoce un punto y un vector director de la misma. Vector director es aquel que tiene la misma dirección de la recta.

En el sistema de coordenadas, supongamos que una recta L pasa por el punto P=(x0, y0, z0) y el vector director es v=(a,b,c). Sea Q otro punto de la recta L, entonces el vector PQ es paralelo a v, es decir, PQ = tv, o sea Q-P = tv, t∈R. De donde Q= P+tv.

Ecuación de la recta

Sea P=(x0, y0, z0), v=(a,b,c) y Q = (x, y, z) un punto cualquiera de la recta, entonces

La ecuación vectorial es

(x, y, z) = (x0, y0, z0), +t(a,b,c) , t∈R

De la ecuación anterior obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta

x – x0 = ta → x = ta + x0y – y0 = tb → y = tb + y0z – z0 = tc → z = tc + z0

Para cada valor que le demos a t, se obtiene un punto de la recta y si le damos todos los valores de los números reales, se obtienen todos los puntos.

Ecuación de la recta

Despejando t en cada ecuación anterior, obtenemos la ecuación simétrica de la recta

0 0 0x x y y z za b c− − −

Siempre que todas las componentes del vector director (en las ecuaciones paramétricas) son no nulas, a, b, c ≠ 0.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P=(1, -2, 3) y tiene como vector director a v = (-1, 4, 0).

SOLUCIÓN

)0,4,1()3,2,1(),,( −+−= λzyx

⎪⎩

⎪⎨

=+−=

11 −

=−− zyx

Ecuaciones paramétricas:

Ecuación vectorial:

Ecuación simétrica:

Ecuación del plano

Sea P0= (x0, y0, z0) un punto del espacio y n = (a, b, c). El plano πque pasa por el punto P0 y es perpendicular al vector n se define como el conjunto de puntos P = (x, y, z) tales que:

(P-P0)⋅n = 0 (ecuación vectorial)

( )0 00P P n P n P n− ⋅ = → ⋅ = ⋅

Si reemplazamos las coordenadas P, P0 y n se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )0

, , , , , , , ,

P n P nx y z a b c x y z a b c

ax by cz ax by cz

ax by cz d

→ ⋅ = ⋅

→ + + = + +

→ + + =

1442443

(Ecuación cartesiana)

Ecuación del plano

Observe que los coeficientes de x, y y z son las coordenadas de n. Por ejemplo en la ecuación: 2x-5y+6z = 4 su normal es n = (2, -5, 6)

Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto P0=(1,3,2) y cuya normal es n = (-1,3,4)

Ejemplo

Solución

( )( ) ( ) ( ) ( )

, , 1,3, 4 1,3, 2 1,3, 43 4 1 9 83 4 16

P P n P n P n

x y zx y zx y z

− ⋅ = → ⋅ = ⋅

→ ⋅ − = ⋅ −

→ − + + = − + +→ − + + =

Ejemplo

Hallar la ecuación del plano plano que pasa por P=(2,1,-1) y tiene vector normal n = (-1, 1, 3). Sol. -1(x –2)+1(y –1) +3(z +1) = 0 ⇒ -x+y+3z = -4

¿Corta el plano a la recta L: x = 1 – 2t; y = 2 – 3t; z = 2 + 2t ? Sol. - (1 - 2t) + (2 – 3t) + 3(2 + 2t) = -4 ⇒ t = -11/5

El punto intersección es Q(27/5, 43/5, -12/5)

Pruebe que Q = (1, -6, 1) pertenece al plano halladoSol. -x+y+3z = -4 → -1 – 6 + 3(1) = -4

•Una recta L pasa por el punto (2,-1,0) y es perpendicular al plano x + 2y – z = 12, determina el punto de intersección.

Solución

La recta tiene dirección el vector (1, 2, -1)

Reemplazando las coordenadas en la ecuación del plano

12)()21(2)2( =−−+−++ ttt

Sustituyendo en x, y, z:

Resolvemos para t→ t=2

422 =+=x3221 =×+−=y

2−=z

( ) ( ) ( ) { }, , 2, 1, 0 1, 2,1 2 , 1 2 ,x y z t x t y t z t= − + → = + = − + = −

Ejemplo

Encuentre el punto de intersección de la recta que pasa por el punto(1,3,4) y cuya dirección es (-3,2,5) y el plano 3x -2y – 4z =218.

Hallar el plano que contiene a los puntos A(1, 0, -1), B(3, 1, 4) y C(2, -2, 0).

Ejemplos

Solución. (28,-15, -41)

Solución. n = (11, 3,-5), 11x + 3y –5z = 16

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