Vectores cartesianos

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Presentación

Ing. Jorge Luis Paredes Estacio

VECTORES CARTESIANOS

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTA DE INGENIERIAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO: ESTÁTICA

INTRODUCCIÓNEn ingeniería muchas aplicaciones requieren

la descomposición de vectores en sus componentes en un sistema coordenado tridimensional. Aquí se explicara como hacerlo y como operar con vectores en tres dimensiones.

VECTORES CARTESIANOS

SISTEMA COORDENADO DERECHO.El sistema de la figura es derecho si se dirigen los dedos de la mano derecha en la dirección del eje x y se flexionan (para formar un puño) hacia el eje y positivo, el pulgar apuntará en la dirección positiva del eje z. Cuando la dirección positiva del eje z apunta en la dirección opuesta, el sistema coordenado será izquierdo.

VECTORES CARTESIANOSCOMPONENTES

RECTANGULARES DE UN VECTOR

Un Vector A dirigido dentro de un octante x, y y z, mediante dos aplicaciones sucesivas del paralelogramo, podemos dividir al vector en componentes como A=A’+Az y luego A’=Ax+Ay. Al combinar estas ecuaciones para eliminar A’, A se presenta mediante la suma vectorial de sus tres componentes.

VECTORES CARTESIANOSVECTORES UNITARIOS CARTESIANOSEn tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j k, se usa para designar la dirección de los eje x, y, z, respectivamente. En la figura se muestras los vectores unitarios cartesianos.

VECTORES CARTESIANOSREPRESENTACIÓN DE UN

VECTOR CARTESIANOComo las tres componentes de A, actúan en direcciones positivas i, j y k, según la figura, podemos escribir A en forma de vector cartesiano como:

VECTORES CARTESIANOSMAGNITUD DE UN

VECTOR CARTESIANOA partir del triángulo rectángulo azul, y del triangulo rectángulo sombreado, Al combinar estas ecuaciones para eliminar se obtiene:

VECTORES CARTESIANOSDIRECCIÓN DE UN VECTOR

CARTESIANO

La dirección de A se definirá mediante los ángulos directores coordenados α, β y γ, medidos entre la cola de A. Cada uno de estos ángulos estará entre 0° y 180°.Para determinar α, β y γ, considerar las proyecciones sobre los eje x, y z. Con referencia a los triángulos azules mostrados tenemos los siguientes cosenos directores:

VECTORES CARTESIANOSDIRECCIÓN DE UN VECTOR

CARTESIANO

Una manera facil de obtener los cosenos directores es formar un vector unitario uA en la dirección de A. Si A esta expresado en forma de vector cartesiano, A=Axi+Ayj+Azk, entonces uA tendrá una magnitud de uno y será adimensional dado que A está dividido entre su magnitud, es decir.

VECTORES CARTESIANOSDIRECCIÓN DE UN VECTOR CARTESIANO

Si un vector unitario uA se representa de esta manera

Como la magnitud de un vector unitario es igual a la raíz cuadrada de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes, y uA tiene la magnitud de uno, puede formularse esta importante relación en los cosenos directores

VECTORES CARTESIANOSDIRECCIÓN DE UN VECTOR CARTESIANOSi solo se conocen dos ángulos de los dos se puede determinar el tercer con la formula anterior.

Finalmente, si se conocen la magnitud y los ángulos directores coordenados, A puede expresarse en forme de vector cartesiano como:

SUMA DE VECTORES CARTESIANOSLa suma o resta de dos o mas

vectores se simplifica considerablemente si los vectores se expresan en términos de sus componentes cartesianas. Por ejemplo, si A=Axi+Ayj+Azk y B=Bxi+Byj+Bzk, entonces el vector resultante, R, tiene componentes que representan las sumas escalares de las componentes i, j, k de A y B, es decir.

SUMA DE VECTORES CARTESIANOSSi esto se generaliza y se aplica a un sistema de

varias fuerzas concurrentes, entonces la fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas presentes en el sistema y puede escribirse como:

Aquí, y representan las sumas algebraicas de las respectivas componentes x, y z o bien i, j, k de cada fuerza presente en el sistema.

EJEMPLOSExprese la fuerza F mostrada en la figura como un

vector cartesiano.

EJEMPLO N° 02Determine la magnitud y los ángulos directores

coordenados de la fuerza resultante que actúa sobre el anillo en la figura.

VECTORES DE POSICIÓNGeneralicemos en el caso

bidimensional: hay un punto A con coordenadas (xA, yA, zA) y un punto B con coordenadas (xB, yB, zB). El vector posición rAB que va de A a B esta dado en función de las coordenadas de A y B por:

EJEMPLO N° 03Una banda elástica de caucho está unida a los

puntos A y B como se muestra en la Figura. Determine su longitud y su dirección medida de A hacia B.

VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LINEACon mucha frecuencia, en

problemas tridimensionales de estática, la dirección de una fuerza se especifica por dos puntos que indican su línea de acción. En la figura se aprecia que la fuerza F esta dirigida a lo largo de la cuerda AB. Podemos formular F como un vector cartesiano al observar que tiene el mismo sentido y dirección del vector posición r dirigido desde el punto A hasta el punto B sobre la cuerda. Esta dirección se especifica mediante el vector unitario u=r/r. Por lo tanto,

EJEMPLO N° 04El hombre que se muestra en la figura jala la

cuerda con una fuerza de 70lb. Representa esta fuerza al actuar sobre el soporte A como un vector cartesiano y determine su dirección.

PROBLEMAS PROPUESTOSDetermine los ángulos directores coordenados de

la Fuerza

PROBLEMAS PROPUESTOSDetermine la fuerza resultante que actúa sobre el

gancho.