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VECTORES EN EL PLANO

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VECTORES EN EL PLANO

ΒΏQuΓ© es un vector?

Un vector es un segmento orientado. Se representa por 𝐴𝐡#####βƒ— . El punto A es el origen y el punto B es el extremo.

CaracterΓ­sticas de un vector

β€’ El modulo es la longitud y se representa por %𝐴𝐡#####βƒ— % β€’ La direcciΓ³n es la direcciΓ³n de la recta que lo contiene. β€’ El sentido es el que va del origen al extremo.

Equipolencia de vectores

Dos vectores son equipolentes si tienen la misma direcciΓ³n, el mismo modulo y el mismo sentido.

Operaciones con vectores

Suma de vectores

El vector suma es el resultado de unir el origen de un vector con los extremos del otro.

TambiΓ©n podemos coger los vectores de manera que ambos tengan el mismo origen, en este caso, el vector es la diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores.

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Producto de un numero real por un vector

Dado un vector no nulo y un numero real no nulo, que lo llamaremos π‘˜, se llama producto del numero real π‘˜π‘π‘œπ‘Ÿπ‘’π‘™π‘£π‘’π‘π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘’#βƒ— al vector que tiene:

β€’ Modulo β†’ |π‘˜||𝑒#βƒ— | β€’ DirecciΓ³n β†’La direcciΓ³n del vector 𝑒#βƒ— β€’ Sentido β†’ El mismo que 𝑒#βƒ— si π‘˜ > 0 y el opuesto de 𝑒#βƒ— si π‘˜ < 0

Propiedades

1. π‘˜ βˆ™ (𝑒#βƒ— + οΏ½βƒ—οΏ½) = π‘˜ βˆ™ 𝑒#βƒ— + π‘˜ βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½ 2. (π‘˜! + π‘˜")𝑒#βƒ— = π‘˜!𝑒#βƒ— + π‘˜"𝑒#βƒ— 3. (π‘˜! βˆ™ π‘˜")𝑒#βƒ— = π‘˜! βˆ™ (π‘˜" βˆ™ 𝑒#βƒ— ) 4. 1 βˆ™ 𝑒#βƒ— = 𝑒#βƒ— 5. βˆ’1 βˆ™ 𝑒#βƒ— = βˆ’π‘’#βƒ— β†’ π‘£π‘’π‘π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘œπ‘π‘’π‘’π‘ π‘‘π‘œ

6. 0 βˆ™ 𝑒#βƒ— = 0#βƒ— β†’ π‘£π‘’π‘π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘›π‘’π‘™π‘œ

CombinaciΓ³n lineal de un vector y base de un vector

Decimos que el vector 𝑒#βƒ— es combinaciΓ³n lineal del vector οΏ½βƒ—οΏ½si existe un escalar π‘˜ donde:

𝑒#βƒ— = π‘˜οΏ½βƒ—οΏ½

TambiΓ©n se dice que 𝑒#βƒ— 𝑦�⃗� son dependientes o proporcionales.

Si no existe π‘˜ se dice que los vectores son independientes.

Ejercicio:

Comprobar que el vector 𝑒#βƒ— (3,9) es combinaciΓ³n lineal del vector οΏ½βƒ—οΏ½(1,3)

(3,9) = π‘˜(1,3)

(3,9) = (π‘˜, 3π‘˜) β†’ C 3 = π‘˜9 = 3π‘˜ β†’ π‘˜ = 3

Como obtenemos el mismo valor, el vector 𝑒#βƒ— 𝑒𝑠 combinaciΓ³n lineal de οΏ½βƒ—οΏ½

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Ejercicio:

Comprobar que el vector 𝑒#βƒ— (2,3) es combinaciΓ³n lineal del vector οΏ½βƒ—οΏ½(βˆ’1,5)

(2,3) = π‘˜(βˆ’1,5)

F2 = βˆ’π‘˜3 = 5π‘˜ β†’ F

π‘˜ = βˆ’2

π‘˜ =35

Como los valores son distintos, no existe combinaciΓ³n lineal entre los vectores.

Dependencia de vectores

Un vector 𝑀##βƒ— depende linelamente de los vecotres �⃗�𝑦𝑒#βƒ— si puede expresarse como:

𝑀##βƒ— = π‘Ž βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½ + 𝑏 βˆ™ 𝑒#βƒ—

Se dice tambiΓ©n que 𝑀##βƒ— es una combinaciΓ³n lineal de los vectores �⃗�𝑦𝑒#βƒ—

Ejercicio:

Comprobar que el vector 𝑀##βƒ— (4,7) es combinaciΓ³n lineal del vector οΏ½βƒ—οΏ½(2,1)𝑦𝑒#βƒ— (0,5)

(4,7) = π‘Ž βˆ™ (2,1) + 𝑏 βˆ™ (0,5)

(4,7) = (2π‘Ž, π‘Ž) + (0,5𝑏) β†’ C 4 = 2π‘Ž7 = π‘Ž + 5𝑏 β†’ π‘Ž = 2

π‘ π‘Žπ‘π‘–π‘’π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘žπ‘’π‘’π‘Ž = 2 β†’ 𝑏 = 1

RelaciΓ³n de dependencia geomΓ©trica y analΓ­tica

π‘‰π‘’π‘π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘’π‘  πΊπ‘’π‘œπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Žπ‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘’ π΄π‘›π‘Žπ‘™π‘–π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠 π‘ƒπ‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘™π‘’π‘™π‘œπ‘  πΆπ‘œπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’π‘›π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘ π‘π‘Ÿπ‘œπ‘π‘œπ‘Ÿπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘™π‘’π‘  𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠 π‘π‘œπ‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘™π‘’π‘™π‘œπ‘  πΆπ‘œπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’π‘›π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘ π‘›π‘œπ‘π‘Ÿπ‘œπ‘π‘œπ‘Ÿπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘™π‘’π‘ 

Ejercicio:

De los tres vectores, di que parejas son dependientes y cuales son independientes

𝑒#βƒ— = (10,5);οΏ½βƒ—οΏ½ = (2,βˆ’3);𝑀##βƒ— = (βˆ’2,βˆ’1)

𝑒#βƒ— = π‘˜οΏ½βƒ—οΏ½; 𝑒#βƒ— = π‘˜π‘€##βƒ— ; οΏ½βƒ—οΏ½ = π‘˜π‘€##βƒ—

(10,5) = π‘˜(2,βˆ’3); (10,5) = π‘˜(βˆ’2,βˆ’1); (2, βˆ’3) = π‘˜(βˆ’2,βˆ’1)

π‘π‘œπ‘’π‘₯π‘–π‘ π‘‘π‘’π‘˜; π‘˜ = βˆ’5; π‘π‘œπ‘’π‘₯π‘–π‘ π‘‘π‘’π‘˜

π‘π‘œπ‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘™π‘’π‘™π‘Žπ‘ ; π‘ƒπ‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘™π‘’π‘™π‘Žπ‘ ; π‘π‘œπ‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘™π‘’π‘™π‘Žπ‘ 

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Base canΓ³nica. Coordenadas de un vector

Se llama base del conjunto de los vectores del plano a dos vectores cualesquiera 𝑒#βƒ— 𝑦�⃗� donde:

β€’ 𝑒#βƒ— 𝑦�⃗� tiene distintas direcciones (independientes) β€’ Cualquier vector del plano se puede expresar como combinaciΓ³n lineal de los vectores

de la base de forma ΓΊnica.

Ejercicio:

ΒΏCuales de los siguientes pares de vectores forman una base?

𝑒#βƒ— = (2,1)𝑦�⃗� = (βˆ’1,3); 𝑒#βƒ— = (4,3)𝑦�⃗� = Y43, 1Z

(2,1) = π‘˜(βˆ’1,3) β†’ βˆ„β†’ πΉπ‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘›π‘π‘Žπ‘ π‘’

(4,3) = π‘˜ Y43, 1Z β†’ π‘˜ = 3 β†’ π‘π‘œπ‘“π‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘›π‘π‘Žπ‘ π‘’

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Operaciones de vectores con coordenadas

Dado el vector 𝑀##βƒ— y una base, llamamos a las coordenadas de 𝑀##βƒ— respecto a la base al par ordenado (π‘Ž, 𝑏)que verifica:

𝑀##βƒ— = π‘Ž βˆ™ 𝑒#βƒ— + 𝑏 βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½

Te muestro algunos ejemplos para que lo entiendas mejor:

β€’ Dados los vectores de la figura, exprΓ©salos como combinaciΓ³n lineal de la base 𝐡 = {𝑒#βƒ— , οΏ½βƒ—οΏ½}y de sus coordenadas.

β€’ Dados los vectores de la figura, exprΓ©salos como combinaciΓ³n lineal de la base

𝐡 = {𝑒#βƒ— , οΏ½βƒ—οΏ½}y de sus coordenadas.

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Modulo y argumento de un vector

Si tenemos un vector οΏ½βƒ—οΏ½ en una base cualquiera, cuyas coordenadas son (π‘Ž, 𝑏) llamamos modulo del vector οΏ½βƒ—οΏ½ al nΓΊmero real positivo:

|οΏ½βƒ—οΏ½| = `π‘Ž" + 𝑏"

β†’ π‘’π‘™π‘šπ‘œπ‘‘π‘’π‘™π‘œπ‘‘π‘’π‘’π‘›π‘£π‘’π‘π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘Žπ‘šπ‘π‘–π‘’π‘›π‘’π‘ π‘™π‘Žπ‘‘π‘–π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘π‘–π‘Žπ‘’π‘›π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘™π‘œπ‘ π‘π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘ π‘žπ‘’π‘’π‘“π‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘›π‘’π‘™π‘£π‘’π‘π‘‘π‘œπ‘Ÿ

Las coordenadas del vector 𝑀##βƒ— en la base 𝐡 = (𝑒, 𝑣)π‘ π‘œπ‘›(3,2)

El modulo del vector 𝑀##βƒ— es: |𝑀##βƒ— | = `(3)" + (2)" = √13

Vector unitario

Un vector es unitario si su modulo es 1, es decir, |οΏ½βƒ—οΏ½| = 1

Vectores ortogonales

Dados los vectores 𝑒#βƒ— 𝑦𝑣 se dice que son ortogonales cuando 𝑒#βƒ— 𝑦�⃗� sean perpendiculares, es decir, formen un Γ‘ngulo de noventa grados.

Base del conjunto de vectores del plano

Dada una base 𝐡 = {𝑒, 𝑣} se dice que:

β€’ B es una base ortogonal si los vectores son ortogonales (perpendiculares) β€’ B es una base normal si los vectores son unitarios β€’ B es una base ortonormal si los vectores son unitarios y ortogonales

Base canΓ³nica

La base canΓ³nica es una base tambiΓ©n llamada ortonormal donde los vectores que la forman son:

𝐡#$%ó%'#$ = {(1,0), (0,1)}

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Puntos y vectores

Suma de vectores

La suma de dos vectores 𝑒#βƒ— 𝑦𝑣 se define como:

𝑒#βƒ— + 𝑣 = (π‘₯!, 𝑦!) + (π‘₯", 𝑦") = (π‘₯! + π‘₯", 𝑦! + 𝑦")

La diferencia de dos vectores se define como:

𝑒#βƒ— βˆ’ 𝑣 = (π‘₯!, 𝑦!) βˆ’ (π‘₯", 𝑦") = (π‘₯! βˆ’ π‘₯", 𝑦! βˆ’ 𝑦")

Lo que tenemos representado en el grΓ‘fico, de forma analΓ­tica seria:

𝑒#βƒ— = (4,2)𝑦�⃗� = (1,3)

𝑒#βƒ— + 𝑣 = (4,2) + (1,3)

= (4 + 1,2 + 3) = (5,5)

𝑒#βƒ— βˆ’ 𝑣 = (4,2) βˆ’ (1,3)

= (4 βˆ’ 1,2 βˆ’ 3) = (3,βˆ’1)

Producto de un numero real por un vector

El producto entre un numero real y un vector se define como:

π‘˜ βˆ™ 𝑒#βƒ— = π‘˜(π‘₯, 𝑦) = (π‘˜π‘₯, π‘˜π‘¦)

Dado el vector 𝑒#βƒ— = (2,2) tenemos que hallar el vector ("𝑒#βƒ—

52(2,2) = Y

102,102 Z

= (5,5)

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Ejercicio:

Dados los siguientes vectores:

𝑒#βƒ— = (1,1)οΏ½βƒ—οΏ½ = (βˆ’1,2); 𝑀##βƒ— = (3,1)

Calcular:

𝑒#βƒ— + οΏ½βƒ—οΏ½; βˆ’π‘€##βƒ— + 2οΏ½βƒ—οΏ½; 3οΏ½βƒ—οΏ½; 2(𝑒#βƒ— + 𝑀##βƒ— ) βˆ’ 4𝑣

𝑒#βƒ— + οΏ½βƒ—οΏ½ = (1,1) + (βˆ’1,2) = (1 βˆ’ 1,1 + 2) = (0,3)

βˆ’π‘€##βƒ— + 2𝑣 = βˆ’(3,1) + 2(βˆ’1,2) = (βˆ’3,βˆ’1) + (βˆ’2,4) = (βˆ’5,3)

3οΏ½βƒ—οΏ½ = 3(βˆ’1,2) = (βˆ’3,6)

2(𝑒#βƒ— + 𝑀##βƒ— ) βˆ’ 4οΏ½βƒ—οΏ½ = 2[(1,1) + (3,1)] βˆ’ 4(βˆ’1,2) = 2(4,2) βˆ’ (βˆ’4,8) = (8,4) βˆ’ (βˆ’4,8)= (12,βˆ’4)

Modulo y argumento de un vector

El modulo de un vector es su longitud. Para calcularlo se aplica el teorema de PitΓ‘goras:

𝑒#βƒ— (π‘₯, 𝑦) = `π‘₯" + 𝑦"

El argumento de un vector es el Γ‘ngulo que forma el vector con el eje OX. Para calcularlo se aplica la definiciΓ³n de tangente:

tanΞ± =𝑦π‘₯→𝛼 = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘‘π‘Žπ‘›

𝑦π‘₯

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Ejercicio:

Calcula el modulo y el argumento de los siguientes vectores

𝑒#βƒ— = (1,1)οΏ½βƒ—οΏ½ = (βˆ’1,2); 𝑀##βƒ— = (3,1); 𝑑 = (βˆ’1,3)

|𝑒#βƒ— | = `1" + 1" = √2

𝛼 = arctan11→𝛼 = arctan 1 β†’ 𝛼 = 45

|οΏ½βƒ—οΏ½| = `(βˆ’1)" + 2" = √5

𝛼 = arctan2βˆ’1

→𝛼 = arctanβˆ’2 β†’ 𝛼 = βˆ’63,43

|𝑀##βƒ— | = `3" + 1" = √10

𝛼 = arctan13→𝛼 = 18,43

%𝑑% = `(βˆ’1)" + 3" = √10

𝛼 = arctan3βˆ’1

→𝛼 = arctanβˆ’3 β†’ 𝛼 = βˆ’71,56

Vector unitario

Un vector es unitario si su modulo es 1, es decir, |𝑒#βƒ— | = 1

Para cualquier vector existe un vector unitario en la misma direcciΓ³n y sentido del vector inicial cuyas coordenadas son:

𝑣 = mπ‘₯

`π‘₯" + 𝑦",

𝑦`π‘₯" + 𝑦"

n

Ejercicio:

Calcula un vector unitario en la misma direcciΓ³n y sentido que los siguientes:

οΏ½βƒ—οΏ½ = (βˆ’1,2); 𝑀##βƒ— = (3,1); 𝑑 = (βˆ’1,3)

|οΏ½βƒ—οΏ½| = `(βˆ’1)" + 2" = √5 β†’ 𝑣)%'*$+', =οΏ½βƒ—οΏ½|οΏ½βƒ—οΏ½|

β†’ οΏ½βƒ—οΏ½)%'*$+', = Yβˆ’1√5

,2√5Z

|𝑀##βƒ— | = `3" + 1" = √10 β†’ 𝑀##βƒ— )%'*$+', =𝑀##βƒ—|𝑀##βƒ— |

β†’ 𝑀##βƒ— )%'*$+', = Y3√10

,1√10

Z

%𝑑% = `(βˆ’1)" + 3" = √10 β†’ 𝑑)%'*$+', =𝑑%𝑑%β†’ 𝑑)%'*$+', = Y

βˆ’1√10

,3√10

Z

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Puntos y vectores

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos, como hemos visto anteriormente, es el modulo del vector que forman los puntos:

|𝑣| = %𝐴𝐡#####βƒ— % = `π‘Ž" + 𝑏"

Ejercicio:

Si las coordenadas de los puntos son 𝐴 = (4,2)𝑦𝐡(2,5). Halla las coordenadas del vector 𝐴𝐡#####βƒ— y la distancia entre los puntos A y B

𝐴𝐡#####βƒ— = 𝐡 βˆ’ 𝐴 = (2,5) βˆ’ (4,2) = (βˆ’2,3)

%𝐴𝐡#####βƒ— % = `(βˆ’2)" + 3" = √13

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Ejercicio:

Si las coordenadas del vector 𝐴𝐡#####βƒ— π‘ π‘œπ‘›(2,5) y las del extremo 𝐡(3,βˆ’2) halla las coordenadas del origen A.

𝐴𝐡#####βƒ— = 𝐡 βˆ’ 𝐴 β†’ (2,5) = (3,βˆ’2) βˆ’ (π‘₯, 𝑦) β†’

β†’ (2,5) βˆ’ (3,βˆ’2) = βˆ’(π‘₯, 𝑦) β†’

(βˆ’1,7) = βˆ’(π‘₯, 𝑦)

(1, βˆ’7) = (π‘₯, 𝑦)

Ejercicio:

Dados los puntos 𝐴(5,5); 𝐡(2,4); 𝐢(4, βˆ’2) halla las coordenadas del punto D para que el cuadrilΓ‘tero ABCD sea un paralelogramo

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Punto medio de un segmento

M es el punto medio del segmento AB que verifica 𝐴𝑀######βƒ— = !"𝐴𝐡#####βƒ—

p𝐴(π‘₯!, 𝑦!)𝐡(π‘₯", 𝑦")

β†’ 𝑀(π‘₯, 𝑦) = 𝑀 Yπ‘₯! + π‘₯"2

,𝑦! + 𝑦"2 Z β†’ q

π‘₯ =π‘₯! + π‘₯"2

𝑦 =𝑦! + 𝑦"2

De esta misma ecuaciΓ³n se puede deducir el calculo del punto simΓ©trico respecto de otro.

pπ‘₯! = 2𝑀- βˆ’ π‘₯"𝑦! = 2𝑀. βˆ’ 𝑦"

Ejercicio:

Dados los puntos 𝐴(βˆ’5,1)𝑦𝐡(1,3) , calcula el punto medio del segmento AB

p𝐴(βˆ’5,1)𝐡(1,3) β†’ 𝑀(π‘₯, 𝑦) = 𝑀 Y

βˆ’5 + 12

,1 + 32 Z β†’ q

π‘₯ =βˆ’42= βˆ’2

𝑦 =42 = 2

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Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores 𝑒###βƒ— 𝑦�⃗� se designa por 𝑒#βƒ— βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½ y es un numero real que se define como:

𝑒#βƒ— = (π‘Ž, 𝑏); οΏ½βƒ—οΏ½ = (π‘₯, 𝑦) β†’ 𝑒#βƒ— βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½ = π‘Ž βˆ™ π‘₯ + 𝑏 βˆ™ 𝑦

𝑒#βƒ— βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½ = |𝑒#βƒ— | βˆ™ |οΏ½βƒ—οΏ½| βˆ™ cos 𝛼 β†’π‘Ž βˆ™ π‘₯ + 𝑏 βˆ™ 𝑦 = |𝑒#βƒ— | βˆ™ |οΏ½βƒ—οΏ½| βˆ™ cos 𝛼

𝛼 β†’ πΈπ‘ π‘’π‘™Γ‘π‘›π‘”π‘’π‘™π‘œπ‘“π‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘‘π‘œπ‘π‘œπ‘Ÿπ‘™π‘œπ‘ π‘‘π‘œπ‘ π‘£π‘’π‘π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘’π‘ .

Cuando el resultado del producto escalar es cero, esto quiere decir que los vectores son perpendiculares:

𝑒#βƒ— βŠ₯ οΏ½βƒ—οΏ½ β†’ 𝑒#βƒ— βˆ™ 𝑣 = 0

Propiedades del producto escalar

1. El producto escalar de un vector por si mismo es un numero positivo o nulo: 𝑒#βƒ— βˆ™ 𝑒#βƒ— = |𝑒#βƒ— |" β‰₯ 0

2. El producto escalar es conmutativo:

𝑒#βƒ— βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½ = οΏ½βƒ—οΏ½ βˆ™ 𝑒#βƒ—

3. El producto escalar es asociativo π‘˜(𝑒#βƒ— βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½) = (π‘˜π‘’#βƒ— ) βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½ = 𝑒#βƒ— βˆ™ (π‘˜π‘£)

4. El producto escalar es distributivo 𝑒#βƒ— βˆ™ (οΏ½βƒ—οΏ½ + 𝑀##βƒ— ) = 𝑒#βƒ— βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½ + 𝑒#βƒ— βˆ™ 𝑀##βƒ—

El producto escalar y la proyecciΓ³n de vectores

El producto escalar de dos vectores es igual al modulo de uno de ellos por la proyecciΓ³n del otro sobre el:

π‘π‘Ÿπ‘œπ‘¦π‘’π‘π‘π‘–π‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘’#βƒ— π‘ π‘œπ‘π‘Ÿπ‘’οΏ½βƒ—οΏ½:π‘π‘Ÿπ‘œπ‘¦/0βƒ— (𝑒#βƒ— ) β†’ π‘π‘Ÿπ‘œπ‘¦/0βƒ— (𝑒#βƒ— ) =𝑒#βƒ— βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½|𝑣|

π‘π‘Ÿπ‘œπ‘¦π‘’π‘π‘π‘–π‘œπ‘›π‘‘π‘’οΏ½βƒ—οΏ½π‘ π‘œπ‘π‘Ÿπ‘’π‘’#βƒ— :π‘π‘Ÿπ‘œπ‘¦)00βƒ— (𝑣) β†’ π‘π‘Ÿπ‘œπ‘¦)00βƒ— (οΏ½βƒ—οΏ½) =𝑒#βƒ— βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½|𝑒#βƒ— |

Ejercicio:

Dados los vectores 𝑒#βƒ— (3,1)𝑦�⃗�(2, βˆ’1).

Calcular la π‘π‘Ÿπ‘œπ‘¦π‘’π‘π‘π‘–π‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘’#βƒ— π‘ π‘œπ‘π‘Ÿπ‘’οΏ½βƒ—οΏ½; π‘π‘Ÿπ‘œπ‘¦π‘’π‘π‘π‘–π‘œπ‘›π‘‘π‘’οΏ½βƒ—οΏ½π‘ π‘œπ‘π‘Ÿπ‘’π‘’#βƒ—

π‘π‘Ÿπ‘œπ‘¦/0βƒ— (𝑒#βƒ— ) =𝑒#βƒ— βˆ™ 𝑣|οΏ½βƒ—οΏ½|

3 βˆ™ 2 + 1 βˆ™ (βˆ’1)`2" + (βˆ’1)"

=5√5

= √5

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Ángulo entre dos vectores

cos 𝛼 =𝑒#βƒ— βˆ™ οΏ½βƒ—οΏ½|𝑒#βƒ— | βˆ™ |𝑣|

=π‘Ž βˆ™ π‘₯ + 𝑏 βˆ™ 𝑦

`π‘₯" + 𝑦" βˆ™ βˆšπ‘Ž" + 𝑏"

Vector ortogonal a otro

La propiedad fundamental del producto escalar nos permite encontrar las coordenadas de un vector perpendicular a otro:

Un vector ortogonal a (π‘Ž, 𝑏) es (βˆ’π‘, π‘Ž)

Estos dos vectores son ortogonales, es decir, forman un Γ‘ngulo de noventa grados ya que;

(π‘Ž, 𝑏) βˆ™ (βˆ’π‘, π‘Ž) = βˆ’π‘Žπ‘ + π‘Žπ‘ = 0

Ejercicio:

Encuentra un vector que sea unitario y ortogonal (perpendicular) a 𝑒#βƒ— (4,3)

οΏ½βƒ—οΏ½ = (π‘₯, 𝑦)

𝑒#βƒ— βˆ™ 𝑣 = 0 β†’ (4,3) βˆ™ (π‘₯, 𝑦) = 0 β†’ 4π‘₯ + 3𝑦 = 0

`π‘₯" + 𝑦" = 1

Β‘ π‘‡π‘’π‘Ÿπ‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘‘ΓΊπ‘’π‘™π‘π‘Ÿπ‘œπ‘π‘’π‘‘π‘–π‘šπ‘–π‘’π‘›π‘‘π‘œ!

Ejercicio:

Encuentra un vector de modulo 2 y ortogonal a 𝑒#βƒ— (2,1)

Β‘ π‘ƒπ‘…π‘ˆπΈπ΅π΄π‘‡π‘ˆ!

Ejercicio:

Calcula el Γ‘ngulo que forman los vectores 𝑒#βƒ— (4,2) y οΏ½βƒ—οΏ½(βˆ’3,3)

Β‘ π‘ƒπ‘…π‘ˆπΈπ΅π΄π‘‡π‘ˆ! π΄π‘ƒπΏπΌπΆπ΄πΏπ΄πΉΓ“π‘…π‘€π‘ˆπΏπ΄π·πΌπ‘…πΈπΆπ‘‡π΄π‘€πΈπ‘π‘‡πΈ

VECTORES EN EL PLANO

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