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Ejercicios Resueltos
Temas del Primer Parcial. La figura representa, en forma simplificada y esquemática, un sistema de izaje
electromecánico utilizado en grúas.
El motor eléctrico se encarga de levantar la carga mediante un cable de acero a través
de un sistema de poleas.
El control del motor se realiza desde un circuito electrónico formado por un
amplificador operacional ideal seguido de un amplificador de potencia, cuya ganancia
en tensión tiene un valor A.
La función del circuito electrónico es poder controlar el torque del motor desde la señal
de referencia Vr. Esto se realiza sensando la corriente del motor a través de la
resistencia Rs.
La carga mecánica en el eje del motor se representa mediante el rozamiento viscoso B
y el momento de inercia J.
La carga a izar se encuentra representada por la masa M2, la masa de la polea móvil es
M1 y el anclaje de la carga a la polea móvil se realiza mediante un sistema de amortiguamiento representado por los
elementos B1 y K.
a) Dibuje un diagrama en bloques para el sistema.
b) Encuentre un modelo de estado que represente al sistema.
c) Determine el valor de las variables de estado, en régimen permanente, para un valor de la tensión de referencia
Vro.
Se va a analizar el circuito electrónico.
Considerando el AOV ideal, la impedancia de entrada es infinita, por lo tanto, la tensión en los terminales de entrada es
la misma, entonces la tensión en la pata inversora es Vr.
De lo anterior resulta:
2
2R
VI r
Esta corriente es la misma que circula por R1,
entonces la tensión en la resistencia de sensado es:
1
2 2
rs r r s
R VV V V Ia R
R R
Despejando la corriente de armadura en función de
Vr, resulta:
RaLa
Kw
Kt
ic
+
_A
J
B M2
M1
K B1
r
RsR1R2
AOV
Vr
Ia
Vo X1
X2
RaLa
Kw
Kt
+
_A
RsR1R2
AOV
Vr
Ia
Vo
Vs
I =Vr/R2 2
I =Vr/R2 2
I =I -Is a 2
Vr
+
+
_
_+
_
1 21
2 2 2
s ss r r r r
R R R RRIaR V V V V
R R R
1 2
2
sr
s
R R RIa V
R R
Por lo tanto, se puede ver que la corriente del motor es
directamente proporcional a la tensión de referencia, y en
consecuencia el torque resulta con la misma característica. Por
esto, el circuito electrónico controla el torque del motor desde la
tensión Vr.
NOTA: el motor es alimentado desde una fuente de corriente.
Por lo tanto, Ia no define una variable de estado.
Para la carga mecánica:
El torque entregado por el motor es:
1 2
2
sm t r t
s
R R RT K Ia V K
R R
Se va a analizar la carga mecánica mediante un circuito eléctrico equivalente.
Sobre el eje del motor se desarrolla un torque que es la diferencia entre el torque motor y el torque proveniente de la
carga lineal. Este torque aparece debido a la fuerza que actúa sobre el cable, afectada por el radio de la polea de inercia
J C CT F r . La velocidad del cable resulta de multiplicar la velocidad angular por el radio CV r .
En la polea móvil, la fuerza con la que se iza la carga F1 es el doble de la fuerza que actúa en el cable y por consecuencia
la velocidad V1 es la mitad de la velocidad con la que se desplaza el cable.
A partir del análisis del circuito electrónico y del circuito eléctrico equivalente de la carga mecánica, se plantea el
diagrama en bloques.
Se eligen como variables de estado: =Velocidad del motor, X=estiramiento del resorte y V2=Velocidad de la carga.
(La velocidad de la polea móvil V1, es proporcional a la velocidad del motor)
Se plantean las ecuaciones de estado:
1 2
2
1sr t
s
R R RV K Tc
R R sJ B
B
Tm
+
_
J M1
M2B1
1/K
r:1 1:2
PoleaFija
PoleaMóvil
VcV1
V2
F2F1FcTc
Tm +
_
R1+R2+RsR2Rs
KtIaVr 1
SJ+Br 1
2
Vc V1
1s
B1
1sM2
V2
F2
sM1r 12
Fc+
+
F1
+
_
Tc
K
V
X
+
+
J
B M2
M1
K B1
r
X1
X2
Tm
Vc
FcFcV1
V2
Tc
1 2 12
2
; 2 2
sr t
s
R R R rMrs J B V K Tc Tc s F
R R
2
1 2 1 21 12 2
2 22 2 4 2
s sr t r t
s s
R R R R R RrM r Mr rs J B V K s F V K s F
R R R R
2
1 212
24 2
sr t
s
R R Rr M rs J B V K F
R R
2 2 12
rF Kx V B
2 2
1 211 1 2
24 2 4 2
sr t
s
R R Rr M r r rs J B V K Kx B BV
R R
2
1 21 1 2
2
2
1
4 2 2
4
st r
s
R R Rr r rB B K x BV K V
R R
r MJ
2
22 ,
2
rV
rx x V
s
2 1 1 2 2 1 1 2
2 2
1 1 ;
2 2
r rV Kx B BV V Kx B BV
sM M
Considerando: 2 2
1 1 y 4 4
eq eq
r rB B B J J M
Finalmente, el modelo matricial se puede escribir como:
11 2
2
2 21 1
2 2 2
2
2
2 2
0 1 02
0
2
0 0 1
eq
t s
eq eq eqeq s
r
B rBrKK R R R
J J JJ R R
rx x V
V VrB BK
M M M
y V x
V
Para determinar la condición de régimen permanente se puede utilizar tanto el modelo de estado como el diagrama en
bloques. En el primer caso, haciendo el vector derivado igual a cero y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante
con Vr=Vro, y en el segundo caso haciendo s =0 y resolviendo por bloques.
Se va a utilizar la primera opción:
11 2
20
0 0
201 1
2 2 2
2 20
0 0 1 02
0 0
2
eq
t s
eq eq eqeq s
r
B rBrKK R R R
J J JJ R R
rx V
VrB BK
M M M
De la segunda fila sale: 0 202
rV
De la tercera fila queda: 1 1 10 0 20 0
2 2 2 2
0 =2 2
rB B rBKx V
M M M M 1
0 0
2 22
rBKx
M M 0 ; 0x
De la primera fila resulta:
2
1 21 10 20 0 0
22 4
seq eq t r
s
R R RrB r BB V B K V
R R
2
1
4
r BB
2
1
4
r B 1 2
0 0
2
st r
s
R R RK V
R R
; 1 20 0
2
t sr
s
K R R RV
B R R
1 220 0
22
t sr
s
K r R R RV V
B R R
Para el circuito de la figura:
a) Encuentre una representación por modelo de estados.
b) Determine, si existe, un valor de K para la fuente de corriente controlada que haga que el sistema hallado resulte
no controlable.
c) En caso de existir un valor de K, interpretar que es lo que sucede en el circuito.
Se va a desarrollar el modelo tomando como variables de estado a las tensiones en los capacitores. Utilizando las
ecuaciones de nodo queda:
1 1 21 1
1 2
1 21 2 2
2
inV V V VV C
R R
V VKV V C
R
Reordenando las ecuaciones se llega a:
1 2
11 1 1 2 1 21 1
22 2
2 2 2 2
1
0
2
11
1 10
0 1
in
R R
VV C R R C RC R V
VV KR
C R C R
VV
V
R1 R2
C1 C2K.V1Vin
V1
+
_
Se calcula la matriz de controlabilidad:
1 2
2 2
1 1 1 1 2
2
1 1 2 2
1
10
R R
C R C R RU B AB
KR
C R C R
Para que el sistema sea no controlable el determinante de U debe ser igual a cero.
2
2 2
1 1 2 2 2
1 1det 0 ;
KRU K
C R C R R
Para el valor de K calculado la corriente que circula por la resistencia R2 ingresa al generador controlado, por lo tanto
no carga al capacitor C2.
La figura muestra en forma esquemática el control de posición horizontal de un colector solar.
Sobre el colector se encuentran los fotodiodos que proporcionan una señal proporcional a la diferencia entre la posición
del sol y la posición del colector. Esta señal es convenientemente amplificada para alimentar un motor de corriente
continua controlado por armadura que se encarga de apuntar al colector en la dirección del sol.
Sobre el colector aparece una fuerza de perturbación provocada por el viento, que actúa directamente sobre la pantalla
del colector (J2) y produce un error en la posición.
Hallar un circuito eléctrico equivalente para la carga mecánica en donde aparezcan como entradas la cupla entregada
por el motor y la cupla de perturbación del viento (Tv).
Hallar un modelo de estado para el sistema cuyas entradas sean la posición del sol (s) y la cupla de perturbación (Tv)
y como salida la posición del colector( 3).
Solución:
Para dibujar el diagrama en bloques es importante conocer de antemano que variables se desea representar, en este
caso como se pretende llegar a un modelo de estado lo que se busca representar en el diagrama son esas variables.
En este caso las variables de estado y el elemento asociado son:
La Corriente del motor (Ia) La
Velocidad del motor o proporcionales (1 o 2)J1
Desplazamiento angular de K1 o torque sobre K1 (2-3) K1
Velocidad del colector (3)J2
El motor debe proveer el torque para impulsar la carga mecánica, el diagrama en bloques simplificado del motor será:
La carga mecánica se puede representar mediante un circuito eléctrico análogo de la siguiente forma:
Las ecuaciones que debo representar son las que resultan de resolver el circuito. (se pueden plantear las ecuaciones y
luego representarlas en el diagrama o trabajar directamente sobre el diagrama)
1 1 1 1mT T sJ B
2 12 1 2 1
1 2
; N N
T TN N
s
KTk
132
2 2 2 kT B T
33 3
2
k vT T
sJ s
Uniendo los diagramas queda:
Las variables indicadas en rojo son las que se designan como variables de estado y las de color azul son las entadas.
Las ecuaciones a partir de las cuales se hallará el modelo de estado son:
3 1
3 1
s w a a
s w a a a a
a
A K I RA K I R sL I
L
1sLa+Ra
+
Vm
Eg
Kt+-
CargaMecánica
Kw
-
IaTm
As
3
B2
T2T1Tm 1/K1
J2
32
Engranaje
Tv
B1J1
Tk
+
B2
+
-
-
Tm
T1
N
N1
2
1sJ +B1 1
1s
+
+
N
N1
2
Tk
T2
+ - Tv
1s
1sLa+Ra
+
Vm
Eg
Kt+-
Kw
-
IaAs
K1
X
+
B2
+
-
-
Tm
T1
N
N1
2
1sJ +B1 1
K
s1
+
+
N
N1
2
Tk
T2
+ - Tv
1s
1 121 2 1
2 2 1 1 1 11 1 2 3
1 1 1 2 1 1 2
t a
ta
N NK I K X B
N N K N K NI X B B
sJ B J N J J N
1 11 3 1 3
2 2
1N NX X
N s N
1 1
3 3
2 2
v VK X T K X T
sJ J
33 3 3
s
Escrito en forma matricial:
2
31 2 1 1
1 2 1 1 2 1 1
1
1
32
23
31
2
0 0
0
0 0 0 0
0 0
10 0 1 0 0
0 00 0 0 0
0 0 0 1 0
a w
a a a
a
t a
a
k
R K A
L L L
LK B IN B N K
IJ N J J N J
XNTN J
K
J
S
VT
1
3
3
3
( ) ( ) 0 0 0 0 1
aI
y t t X
4) Para el circuito de la figura:
a) Halle el modelo de estado considerando [x1 x2 ]T como el
vector de estado.
b) Tomando como salida y(t)=VR(t), determine la
observabilidad del modelo.
c) Determine los autovalores del modelo.
d) En el modelo hallado, para u = 0 y estado inicial
x(0) = [1 0]T, halle x2 (t) para t 0.
Solución:
a) Analizando las corrientes en el circuito se plantean las
siguientes ecuaciones:
1 2 3I I I
12 1
dxI C x C
dt
03
VI
R
La tensión de salida, resulta ser la suma de las tensiones en los
capacitores cambiada de signo.
0 1 2V x x
Ahora la corriente de entrada es:
1 2
1 1
x xI x C
R
La tensión de entrada U es:
1 1 1 2U I R x CR x x
Se puede despejar la primera ecuación de estado:
1 21
x x Ux
CR CR CR
En el circuito T, se puede ver:
2 1 4 2I x C I x C
14
xI
R
Reemplazando se llega a la segunda ecuación de estado:
1
1 1 2 1 22 1
x
x x x x xU Ux x
RC CR CR CR RC CR CR
El modelo de estado matricial es:
1 1
2 2
0 1
2
1 1 1
1 10
1 1( )
1 0R
x xCR CR CRu
x x
CR CR
V xy t
V x
b) Considerando la salida VR(t):
1
2
( ) ( ) 1 0R
xy t V t
x
La matriz observabilidad se calcula como:
1 0
1 1c
Vc A
CR CR
El determinante de la matriz observabilidad es: 1
det 0VCR
. Por lo tanto el sistema es observable desde VR.
c) Los autovalores del sistema se hallan resolviendo la ecuación : det 0sI A
1 1
10
sCR CR
sI A
sCR
2
1det sI A s
CR
, el sistema tiene 2 autovalores en
1s
CR .
d) Para el modelo de estado, la respuesta de las variables se puede calcular como sigue:
1
0( ) ( )X s sI A x B U s
, en este caso U(s)=0.
2
1
2
1 11 1
11 10
det 1 10
1
sCR CR
ss CR sCRAdj sI A CR CR
sI AsI A
sCR
sCR
2
1 1
0
2
1 1
1 11( )1 1
( )( )01
0 01
s CR sX sCR CR sX s sI A x
CR X s
sCR
2 ( ) 0X s
Entonces 2 ( ) 0 0x t t
Para el circuito eléctrico de la figura:
a) Halle un modelo de estado que lo represente, con salidas I1 e I2.
b) Considere la situación en la cual se venía aplicando, durante un
largo tiempo, una corriente constante de valor 6 [Amp] y en el
instante t=0 se aplica una tensión V en forma de escalón de amplitud
75 [Volt]. Encuentre la expresión de i1(t) a partir del momento en el
que se aplica el escalón.
Datos:
R1 = 10 [].
R2 = 5 [].
L = 2.5 [H].
C = 0.2 [F].
Solución:
Por simplicidad se van a plantear como variables de estado la corriente que circula por el inductor IL y a la caída de
tensión en el capacitor VC.
Se plantean las ecuaciones de malla:
1 LI I I
1 1 1 0L C L C LI sL V I R I sL V I I R
Entonces queda:
1 1
1 1
0L C L
L CL
I L V IR I R
I R V IRI
L
Ahora:
2 1 2C L CI I I I I I sV C
2 C LI sV C I I
2 2 2C C C LV V I I R V I sV C I I R
2C C LV V V C I R
2
2
C LC
V V I RV
CR
2 22
2 2
C L CL
V V I R V V IRI I I
R R
El modelo matricial queda:
1 1
1
2
2 22 2
11 0 1 00
; 1 11 1 1 0 1
0
L LL
C CC
R R
I III II L L L
V VIV VVR R
C CR CR
b) Al circuito se le venía aplicando una corriente I=Io=6 Amp. y una tensión V=0 ya que el escalón se aplica en t=0.
En t=0 se supone que el circuito llegó a régimen permanente, entonces calculo el valor de las variables en este instante
haciendo las derivadas iguales a cero con las entradas planteadas.
1 1
0 0
0
2 2
10
0
1 1 10 00
L
C
R R
I IL L L
V
C CR CR
0 00 0 2
2
0 L CC L
I VV I R
C CR
1 0
0 1 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0
1 2
0 L C L L L
R II R V R I I R I R R I I
R R
1 2 0
0
1 2
C
R R IV
R R
Reemplazando los valores de los parámetros queda:
1
2
4 0.4 4 0 1 0 1 0 ;
5 1 0 1 0 0.2 1 0.2
L LL
C CC
I III II
V VIV VV
El vector de condiciones inciales en t=0 es:
0
0
0
4
20
L
C
IX
V
Ahora se debe encontrar la solución del vector de estado.
1
( ) ( )oX s sI A X BU s
Se calcula (sI-A):
R2
C
R1
L
=
+V(t)
+
+
+
+
-
--
-
24 0.4
; Det 4 1 2 5 6 2 35 1
ssI A sI A s s s s s s
s
Se calcula (sI-A)-1:
1
1 0.4
5 4
Det 2 3
s
Adj sI A ssI A
sI A s s
A partir de t=0 se sigue aplicando la corriente de 6 Amp y además se ingresa con una tensioón V=75 Volt.
Se calcula (X0+BU(s)):
4 246
4 4 0( )
20 0 1 75 20 75o
s
s sX BU s
ss
s
Finalmente:
2
2
1 4 24 0.4 20 751 0.4 4 245 4 24 4 20 755 4
( )20 752 3 2
4 20 54
20 25 180
3 2 3
s s ss ss s ss s
X sss s s s s s s s
s s
s s
s
Ahora I1(s) vale:
22
1
6 2 3( ) ( ) 6 1 0 1 0 ( ) (
4 20 544 20 54)
( ) ( ) 2 3 2 3
L
L
C
s sI s I sI I s I s
V s V s s s
s ss s
s s s s s
Entonces:
2
1
3 15 10 ( )
2
2 10
3
18
3 2I s
s s s s
s s
s s
Antitransformando queda: 2 3
1 ( ) 3 15 10t ti t e e
En la Figura 2b se muestra un sistema electro-mecánico de posición.
El mismo se encuentra formado por un amplificador operacional de potencia en cuya salida se encuentra conectado un
actuador tipo solenoide (como el mostrado en la figura 2a) y una carga mecánica vinculada a través de una palanca.
La corriente entregada por el amplificador produce en el solenoide una fuerza
0fF K I .
La impedancia del solenoide se puede representar como una inductancia de valor
Ls en serie con una resistencia de valor Rs .
El eje del solenoide se encarga de mover mediante una palanca la carga mecánica.
Esta carga se encuentra formada por la masa M1 (que representa la masa de la
palanca) y la masa M2 que se encuentra acoplada a la palanca mediante el resorte
K1 y el amortiguador B1.
a) Encuentre un diagrama en bloques que represente al sistema.
b) Halle un modelo de estados, tomando como entrada a la tensión Vi y como salida a la posición de la masa M2.
c) Determine el valor de la señal Vi, tal que la salida del sistema se ubique en la posición x2F.
Notas:
Considere el amplificador operacional con características ideales.
Se suponen desplazamientos verticales pequeños en la palanca, comparados con la longitud de la misma.
Figura 2b
Solución:
Parte eléctrica: el esquema de la parte eléctrica se muestra a continuación. Las ecuaciones del circuito quedan:
1
1
IVI
R
1 2 0 1 3 1 2 3 0 3 0I R I I R I R R I R
2 3 2 3
0 1
3 1 3
I
R R R RI I V
R R R
En consecuencia, la corriente del solenoide no depende de su
impedancia sino que está impuesta por el amplificador operacional.
Parte Mecánica: La fuerza generada en el solenoide es 0fF K I
.
Esta fuerza se aplica a la barra y se transfiere mediante la palanca a la masa M1. Entonces
1
2
2X
LF F
L L
Para analizar la carga se plantea un circuito eléctrico equivalente.
Las ecuaciones del circuito son:
1 2 1X YF F sM B V
1 2 YV V V
11 1 1Y Y Y
KB V F B s K X
s
2 22 2 2
2
Y YF sFV
K s M KsM
s
2 2
2 2
YFX
s M K
Con las ecuaciones construyo el diagrama en bloques:
+
VI
VI-(R +R )2 3
R R1 3
I0
L +L2 1
L2Kf
F
sM +B1 2
1FX V1
sB +K1 1
VY 1
s
XY
s M +K2
2 2
FY 1s
X2 V2
++--
+
VI
F
M1 M2B2
B1
1/K1
1/K2FX
FY
V1 V2
VY
F
Las variables de estado serán: V1, XY, V2 y X2
2 321
1 2 1 3 1 2
1I f Y
AK
R RLV V K F
L L R R sM B
1 21 1 1 2 1
1
A I Y
A I Y
V B K V FV M V B K V F V
M
1 21 2Y Y
V VX X V V
s
; 1 1 1 1 1 2 1 1Y Y Y Y YF X sB K V B K X V V B K X
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1
1
1 1
A I Y A I YV B K V V V B K X V B B K V V B K XV
M M
2 2X V ; 2 2 2 2 2 2 2 2 22
2 2
YY
FX X M X K V M X K F
s M K
;
1 2 1 1 2 2
2
2
YV V B K X K XV
M
El modelo matricial queda:
2 1 1 1
1 11 1 1 11
2 22
2 22 1 1 2 1
2 2 2 2
0
1 0 0 10 ; y 0 0 1 0
0 0 0 10
0
A
Y YY
I
B B K BK
V VV M M MM
X XXV
X XX
V VV B K K B
M M M M
Análisis de régimen permanente
Para esta condición se cumple que las derivadas son iguales a cero. Por lo tanto:
2 1 1 1
11 1 11
2
21 1 2 1
2 2 2 2
00
0 1 0 0 10
0 0 0 0 10
00
A
Y
I
B B K BK
VM M MM
XV
X
VB K K B
M M M M
Se cumpla que: 2 0V y 1 0V entonces
22
1
Y
KX X
K y 1 2 2 A I YK V K X K X
2 1 3 1 22 2
2 2 2
2 2 32 32
1 2 1 3
I
A f
f
K R R L LK KV X X X
K K L R RR RLK
L L R R
2 1 3 1 2
2
2 2 3
I F
f
K R R L LV X
K L R R
1) El siguiente diagrama representa un sistema de control de velocidad.
Ra=1
La = 10mH
Kt = 0,2 Nw.m/A
Kw = 0,2 V.s/rad.
K = 250
Nw.m/rad.
B1 = 4.10-4
Nw.m.s
B2 = 36 Nw.m.s
Kg = 0.4 V.s/rad
J = 4.10-3 Nw.m.s2
N2/N1 = 100
K1= 10
A = 10
Una señal de error resultante de la comparación entre una referencia y la señal proporcional a la
velocidad del generador es amplificada para controlar un motor de corriente continua.
La carga mecánica del motor está compuesta por un momento de inercia J y un rozamiento B1 solidario
al eje y a través de una reducción se acopla, mediante un elemento elástico, el generador cuya carga
está representada por el rozamiento B2. La tensión entregada por el generador es proporcional a la
velocidad del eje Vg= Kg 2.
Dibuje un diagrama en bloques, en donde queden explicitadas las variables de estado del sistema.
Halle un modelo de estado para el sistema con entrada Vr y salidas =velocidad del motor y Vg=
tensión del generador.
Determine el desplazamiento angular entre los extremos del acople elástico para una tensión de
referencia constante, considerando al sistema en régimen permanente.
Para determinar las ecuaciones de la parte mecánica se dibuja el circuito eléctrico equivalente.
El diagrama en bloques queda:
Las ecuaciones de estado se pueden extraer del diagrama en bloques.
Las variables de estado son: 2, y aI T
B2T2 1/K
2
J B1
T1T
N1:N2
1
1sJ+B1 -
T1
T2
+NN
1
2
-+ 1
s
1B2
1K
KT
Kw
NN
1
2
2
1sL +Ra a
Ia
-
+Kt
K1 Kg
+A
-
VR
Vg
Vr(t)RaLa
Kw
Kt
ia(t)
ic
(t)(t)
N1
N2
K
B1
B2
J
Vg(t)=Kg2Acople
elástico
Reducción
Motor
-
+A
K1
21
12
2
2
R g W
ga Wa a a R
a a a a a a
TV K K A K
AK KB R K AI I I T V
sL R L B L L L
(1)
12
2 1 12
1 2
T a
Ta
NK I T
N K B NI T
sJ B J J JN
(2)
1 2
2 2 12 2 2
2 2
N TK
N B KN KT T T
s N B
(3)
El modelo matricial queda:
1
11 1
22
2 2 22
1
2 2
0 1 0
0 0 0
0
0
ga W
a a aaa a a
TgR
g
AK KR KA
L L LLI I I
yK B NKV
VyJ J JNT T TB
KN K
N B
Para determinar las condiciones de régimen permanente se deben hacer las derivadas igual a cero.
1 22 2
2 2 2 1
0 KN NK
T TN B B N
1 1 1 2 12 2
2 2 1 2
0 Ta a
T
K B N B N NJI T I T
J J JN K J B N JN
11 2 1 22
2 1 2 2 2 1
0ga W
R
a T a a a
AK KR KB N N NJ AT V
L K J B N JN B L L B N L
2
11 2 1 2
2 1 2 2 2 1
1R
a ga W
a T a a
AT V
L AK KR KB N N NJ
L K J B N JN B L L B N
2
2
2 211 2 1
2 1 2 1
k R
a Wg
T
T AV
K R N K NNKB B AK K
B K N N N
Para el circuito de la figura, halle un modelo de estado con entrada Vi y salida Vo, que lo represente.
Considere al amplificador operacional con características ideales.
Datos:
R.C = 10
Ra = 2 Rb
A partir del modelo de estado halle la función de transferencia del circuito.
Las ecuaciones del circuito son:
0 2V X
1 1I X C
1 0 1 1 2 1IV X V X CR X X X CR
1 21
IX X VX
CR CR CR
1 0 1 2X a aV X CR V X CR X
22
XI
R
2 2 2 2 21b bX b b
VRb
R RV X CR X X X CR X
R R
1 22 2 22 1 2
11 1 1b a b a bX
b b b b b b b
R X CR X R R RV X X XX X X
CR R CR CR R CR R CR R CR
2 1 2 1 2 2
1 1a a a aI
b b b b
R R R RX X X X X V X
R CR CRR CRR CRR CR
2 1 2
11a a a
I
b b b
R R RX X X V
CRR CR R CRR
El modelo de estado queda:
0 2
1 1 1
; 0 11
1I
aa a
bb b
CR CR CRX X V Y V X X
RR R
CRRCRR CR R
Ra Rb
R
R
C
C
Vi Vo
Reemplazando valores resulta:
0.1 0.1 0.1
; 0 10.2 0.1 0.2
IX X V Y X
La Función de transferencia se calcula como:
1
( )G s C sI A B
20.1 0.1
det 0.1 0.1 0.02 0.010.2 0.1
ssI A sI A s s s
s
1 1
2 2
0.1 0.1 0.1
0.2 0.1 0.2
0.01 0.01
s s
s ssI A sI A B
s s
1
2
0.2( )
0.01
sG s C sI A B
s
Para el control de velocidad de motores de corriente continua de potencias elevadas, se suele utilizar el control por
campo. Este tipo de control permite manejar la velocidad del motor a partir de señales de mucha menor potencia que
el control por armadura. En la figura se muestra un esquema del sistema de control propuesto.
La velocidad angular de la carga es sensada por un tacómetro que entrega una tensión proporcional (Eg=Kg.w2).
Considere para el modelado que el flujo magnético generado por el bobinado de campo es proporcional a la corriente
que circula por dicho bobinado (F=Kf.If ). Además, tenga en cuenta que el par entregado en el eje del motor es función
del flujo magnético y la corriente de armadura; y que la fuerza contra-electromotriz es dependiente de la velocidad del
eje del motor y del flujo magnético de la máquina.
a) Encuentre un modelo de estado para el sistema.
b) Determine el punto de funcionamiento estacionario para una corriente de campo If = 2 A y una tensión de
armadura Ea = 440 V .
c) Halle un modelo de estado lineal para el punto de equilibrio hallado en b).
Datos:
Tensión nominal del motor : 440 V.
Potencia del nominal del motor : 12.5 Kw.
Resistencia del bobinado de campo : Rf = 10 W.
Inductancia del bobinado de campo : Lf = 0.15 Hy.
Resistencia del bobinado de armadura : Ra=1.96 W.
Inductancia del bobinado de armadura : La=0.01 Hy.
Constante de par del motor : Ktf = 2.5 Nw.m/A2;
Constante de generación : Kwf = 2.5 V.seg/rad.A;
Momento de inercia del motor : J1 = 0.3 Nw.m.seg2.
Rozamiento del motor : B1 = 0.2 Nw.m.seg.
Relación de engranajes : N2/N1=20.
Momento de inercia de la carga : J2=240 Nw.m.seg2.
Rozamiento de la carga : B2=100 Nw.m.seg.
Constante del tacómetro : Kg=0.48 V.seg/rad.
Ganancia del amplificador diferencial : A=10.
Resolución:
En un motor de corriente continua el funcionamiento depende, en gran medida, del campo magnético inducido a partir
del bobinado correspondiente.
Por un lado, la FEM inducida en el circuito de armadura, puede ser determinado a partir de la ley de Faraday y resulta
proporcional al producto del flujo magnético y de la velocidad del eje del motor. Por lo tanto, debido a que el flujo es
F=Kf.If , se puede escribir La fuerza electromotriz como: Eg=Kwf..If .
Por otro lado, el par generado en el eje del motor debido a las fuerzas de Lorentz, resulta proporcional al producto de
la corriente que circula por el bobinado de armadura y el flujo magnético. Entonces la cupla en el eje del motor se
puede escribir como: TM=Ktf.Ia.If .
Ya establecidas las relaciones entre las partes eléctrica y mecánica del motor se procede al modelado del mismo.
En primer lugar, se establecen las variables de estado a partir de los elementos que almacenan energía. La variable
asociada a la inductancia de campo es la corriente If, la variable asociada a la inductancia de armadura es la corriente
Ia y si bien hay 2 momentos de inercia, las velocidades a las que se mueven son proporcionales y por lo tanto definen
una sola variable de estado 1. Las entradas del sistema son Vr y Ea .
Para el bobinado de campo se puede establecer la siguiente ecuación:
2g f f f fA Vr K I L I R
Para el circuito de armadura resulta:
1a w f a a a aE K I I L I R
Para analizar la parte mecánica se va a utilizar un circuito eléctrico equivalente:
2 2 1 1 1' 'M t a fT T K I I T sJ B
12 2
2
'N
T TN
2 2 2 2T sJ B
12 1
2
N
N
Agrupando las distintas expresiones resulta:
12 1 1 1
2
t a f
NK I I T sJ B
N
12 2 2 1
2
NT sJ B
N
2
12 2 1 1 1 1
2
t a f
NK I I sJ B sJ B
N
2 2
1 11 2 1 2 1
2 2
t a f
Jeq Beq
N NK I I s J J B B
N N
Pasando al tiempo:
1 1t a f eq eqK I I J B
Se pueden escribir las ecuaciones de estado de la siguiente forma:
11
2
g f
f f
f f f
AK RNAI Vr I
L L N L
1w fa aa a
a a a
K IE RI I
L L L
1 1
t a f eq
eq eq
K I I B
J J
El modelo de estado resulta no lineal debido al producto cruzado de variables.
Para hallar el punto de equilibrio se debe hacer cero las derivadas de las variables y resolver el sistema. Se considera
para el punto de equilibrio una corriente de campo If = 2 A y una tensión de armadura Ea = 440 V . Por lo tanto, se
deben calcular las variables Vr, Ia y 1.
El modelo a resolver es:
10 10 0
2
10 000
0 0
10
0 (1)
0 (2)
0 (3)
g f
r f
f f f
w fa aa
a a a
t a f eq
eq eq
AK RNAV I
L L N L
K IE RI
L L L
K I I B
J J
De la última expresión (3) se calcula:
0
0 10
t f
a
eq
K II
B
Remplazando en (2):
2
000 0
w t fa aa
a a eq a
K K IE RI
L L B L
entonces,
0
02
0
a eq
a
w t f a eq
E BI
K K I R B
Por lo tanto:
0 0
102
0
t f a
w t f a eq
K I E
K K I R B
Finalmente la variable restante se calcula como:
0 01
0 022 0
g t f a f
f r
w t f a eq
K K I E RNI V
N AK K I R B
Reemplazando por los valores numéricos el punto de equilibrio resulta:
0
0
0
0
10
2.0440
7.65 y 4.04
85 /
f
a
a
r
I AE V
I AV V
r s
Para llegar al modelo linealizado se deben calcular las matrices jacobianas:
1
1 2
; 0 ; f f f f g
f f a f
I R I I AK N
I L I L N
y 0 ;
f f
a r f
I I A
E V L
010
1
; ; w fwa a a a
f a a a a
K IKI I R I
I L I L L
y
1 ; 0a a
a a r
I I
E L V
001 1 1
1
; ; t f eqt a
f eq a eq eq
K I BK I
I J I J J
y 1 10 ; 0
a rE V
Definiendo las variables referidas al punto de equilibrio:
* *
0 0 0
* *
0 0
*
1 1 10
f f f a a a
a a a r r r
I I I E E E
I I I V V V
El modelo linealizado queda:
1
2* *
*010* *
*
* *
1 1
00
0 0
10
0 0
f g
f f f
f f
w fw aaa a
a a a a r
t f eqt a
eq eq eq
R AK N A
L L N LI I
K IK ERI I
L L L L V
K I BK I
J J J
Reemplazando los valores resulta:
* *
*
* 4 *
*
* *
1 1
66.67 0 1.6 0 66.67
2.125 10 196 500 100 0
21.25 5.556 0.5 0 0
f f
a
a a
r
I IE
I IV
El esquema representa en forma simplificada, un sistema de control de posición para un cabezal de impresión.
El control se encarga de llevar el cabezal de impresión a una posición proporcional a la tensión de referencia Vr.
El cabezal de masa Mc, está montado sobre una guía a través de rodamientos que determinan un rozamiento Bc. El
movimiento del cabezal se realiza mediante una correa dentada elástica cuya constante es K, a partir de un sistema de
poleas de radio Rp que es accionado desde un motor de corriente continua.
La carga mecánica sobre el eje del motor está representada por el rozamiento B y por la inercia J.
El motor es controlado desde un amplificador de potencia clase A implementado con un transistor Darlington. Las
ecuaciones que caracterizan al transistor son las siguientes: B BEB
IE
V VI
h
y C FE BI h I
Los parámetros
, y IE FE BEh h V son intrínsecos del transistor Darlington.
El controlador del tipo PI , diseñado a partir de un amplificador operacional, evoluciona con el error entre tensión de
referencia y una tensión entregada por un potenciómetro multivuelta colocado en una de las poleas, que sensa la posición
del cabezal. Considere que no existe error de inserción en el potenciómetro y por lo tanto se puede considerar que Vs =
Ks .q .
Considere para el análisis un amplificador operacional con características ideales y que el modelo de estado del
controlador puede ser extraído de su transferencia sin perder precisión.
Encuentre un modelo de estado lineal para el sistema con entrada Vr y salidas X y q.
Considere un punto de equilibrio que ubique al cabezal en la mitad de su recorrido (L/2).
Solución:
CARGA MECÁNICA
Se analiza la carga mecánica a partir del circuito eléctrico equivalente.
El diagrama en bloques queda:
Las ecuaciones que resultan son:
; = px
p K K
R KB TT TT R K x xxsJ B J J J
(1)
2
2 p
K K p
R Vx R V
sx
(2)
2 2 2 cKK
cc c c
BKx Kx
sM B M MV V V
(3)
s
(4)
22 x V
s
Vx (5)
S SKV (6)
CONTROLADOR PI
CASO 1: Para el amplificador operacional se definen como variables de estado a las tensiones en los capacitores.
22 1 2 2 2 2 1 2
1 1 2
; C rr C C C
V VV I R R V I V C V
C R R
(7)
1 1 1 1
2
; S xC
V VI I V C
R
2 12 1 1 2 2
1 2 1 2
X C C C r
R RV V C R V V V
R R R R
2
1 1 2 2 1 1 2 1 1 2
1 1 2
C rC C C S C S
V VV C R V C R V V C R V V
C R R
2 1
1 1 2 2
1 2 1 2
C C S r
R RV C R V V V
R R R R
2 1
1
1 1 2 1 2 1 2 1 2
C SC r
V V RV V
C R R C R C R R R
(8)
2 11 1 1 1 1 1 1 2
1 2 1 2
+ + C C X C C C r
R RV I R V V V C R V V V
R R R R
2 1 2 1
1 1 1 2
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
+ C SC r C C r
V V R R RV V C R V V V
C R R C R C R R R R R R R
2
1 2 1 1 2 11 2
1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
+ C S rC C C r
RV RV R V R RV V V V
R R R R R R R R R R
1 11 2
2 2
+C C C r S
R RV V V V V
R R (9)
CASO 2: Analizando el modelo a partir de la función de transferencia.
1 1
1 1 2
1
1x r
sC RV V
sC R R
1 1 1 1
1 2 1 2
1 11c S x
sC R sC RV V V
sC R sC R
1 1 21 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 1 2 1 2
11 1 1
1c S r r S
sC R RsC R sC R sC RV V V V V
sC R sC R sC R R sC R
El modelo a partir de la transferencia queda:
1 2
1 2 1 2
1 ; ;
r S
A r S A r S A
V VV V V V C R V V V
sC R C R
(10)
1 11 1
2 2
c A A r S A
R RV V C R V V V V
R R (11)
AMPLIFICADOR CLASE A
c BEB
IE B
V VI
h R
; FE FE BE
C FE B c
IE B IE B
h h VI h I V
h R h R
El transistor actúa como una fuente de corriente.
MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA
La corriente del motor es independiente de la impedancia eléctrica, es decir que la inductancia del motor no tiene
asociada ninguna variable de estado. Por tal motivo la cupla del motor es directamente:
T FE T FE BET C c
IE B IE B
K h K h VT K I V
h R h R
(13)
MODELO DE ESTADO
p
K
R KB Tx
J J J (1)
2K px R V (2)
2 2c
K
c c
B Kx
M MV V (3)
(4)
2x V (5)
Usando el Caso 2 del controlador con S SV K
1 2 1 2
1 SA r
KV V
C R C R (10)
De las ecuaciones (11) y (13) queda:
1 1
2 2
T FE T FE BEr S A
IE B IE B
K h R R K h VT V V V
h R R R h R
(14)
Reemplazando la ecuación (14) en la ecuación (1)
11
2 2
p T FE ST FE T FE T FE BEK r A
IE B IE B IE B IE B
CTE
R K K h R KK h R K h K h VBx V V
J J JR h R JR h R J h R J h R
(15)
El término constante determina que la ecuación (15) es no lineal, el resto de las ecuaciones de estado son lineales.
Por lo tanto, la expresión a linealizar es solamente la (15) y la expresión lineal es la misma sin el término constante.
PUNTO DE EQUILIBRIO (xe)
Se considera un punto de equilibrio en 2
e
Lx .
Se cumple cuando las derivadas son igual a cero.
De (4) y (5) se determina 0e y 2 0eV y de (3) resulta 0Kex .
De la ecuación (10) se puede ver que re S eV K .
De (15) se calcula Ae BEV V .
El valor e no puede extraerse de las ecuaciones de estado, pero debido a la polea no puede ser otro que 2
ee
P P
x L
R R
. Por lo tanto 2
Sre
P
K LV
R .
Se definen las variables en el entorno del punto de equilibio:
*
*
2
*2 2* 2
*
*
*
( )
( )
( )( )
( ) 2
( )
2( )
e K
K KeK
e
e P
e
A AeA
A BE
t x
x xx t V
V VV t Lx t
t R
x xx t Lx
V VV t
V V
y *( )
2
Sr r re r
P
K LV t V V V
R
El modelo lineal es:
11
22
* * *
1 2
1 2
0 0
0 1 0 0 00
0 0 0 0 0( ) ( ) ( )
01 0 0 0 0 0
00 0 1 0 0 0
1
0 0 0 0 0
p T FE S T FET FE
IE B IE BIE B
p
c
rc c
S
R K K h R K K hBK h R
J J JR h R J h RJR h R
R
BK
x t x t V tM M
KC R
C R
1) Considere el siguiente filtro activo de segundo orden.
a) Encuentre un modelo de estado con entrada Vi y salida Vo.
b) A partir del modelo hallado; determine el valor de las variables de estado, en régimen permanente, cuando se aplica en
la entrada un escalón de tensión de 1 volt.
c) Halle la función de transferencia del filtro.
Considere los siguientes valores para los parámetros:
R1=5 KW C1=1 mF
R2=10 KW C2=0.1 mF
R3=1 KW
R4=1 KW
R5=100 KW
Solución
a) Se van a definir las corrientes y tensiones sobre el circuito
electrónico.
Las corrientes se representan en azul y las tensiones en
verde.
Debido a que el amplificador operacional se considera
ideal las tensiones en las entradas inversora y no inversora deben ser iguales, por tal motivo aparecen una serie de
tensiones impuestas por esta condición que se representan en color rojo.
Se plantean como variables de estado las tensiones de los capacitores.
La tensión de salida en este circuito es 0 1V X .
Entonces se cumple que:
0 15
5 5
V XI
R R y
1 4 5
1 5 4 5
5
X R RV I R R
R
La corriente I3 se calcula como:
4 51
51 1 43 1
3 3 5 3
( )1
R RX
RX V RI X
R R R R
La corriente por el capacitor C2 es:
42 2 2 3 1
5 3
C
RI X C I X
R R
De la anterior ecuación se conoce una ecuación de estado:
42 1
2 5 3
RX X
C R R
La corriente I2 se puede calcular como:
1 1 21 2 22
2 2 2
X X XX V XI
R R R
Para la entrada se cumple que:
1 21 1 2 1 1
1 2
iC
V X XI I I X C
R R
De la anterior ecuación se conoce una ecuación de estado:
1 21
1 1 1 2 1 1
iVX XX
C R C R C R
El modelo matricial queda:
1 1 1 2 1 111 1 0 1
2 242
2 5 3
1 11
; 1 0
0 0
i
C R C R X XXC R V y V X
X XRX
C R R
Reemplazando los valores:
R1=5 KW C1=1 mF
R2=10 KW C2=0.1 mF
R3=1 KW
R4=1 KW
R5=100 KW
1 11
0 1
2 22
200 100 200 ; 1 0
100 0 0i
X XXV y V X
X XX
b) Para la condición de régimen permanente evalúo las derivadas de las variables iguales a cero.
1
2
0 200 100 2001 volt
0 100 0 0
X
X
entonces:
1
2
0
2
X
X
c) La función de transferencia se calcula como 1
( )G s C sI A B
En este caso 200 100
100
ssI A
s
Por lo tanto, 22det 200 10000 100sI A s s s .
La matriz inversa es:
1
2
100
100 200Adj
det 100
s
ssI AsI A
sI A s
Entonces,
1
2 2
100 200 200
100 200 0 200
100 100
s s
ssI A B
s s
Finalmente,
1
2 2
2001 0
200 200( )
100 100
s
sG s C sI A B
s s
Como el sistema es pasa-banda es lógico que la condición de régimen permanente para X1 sea igual a cero.
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