Ejercicio resuelto competencia perfecta

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Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es

Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeos

correspondientes donde se explica la teoría en mi página:

http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html

a) El mínimo de explotación nos indica cuál es el precio mínimo que ha de existir en ese

mercado para que esa empresa decida producir. Si el precio fuera menor, las pérdidas

que tendría superarían a sus costes fijos, por lo que lo mejor para la empresa sería

cerrar.

Para calcularlo podemos optar por hallar el mínimo de su función de costes variables

medios, o por encontrar el punto de intersección entre su curva de costes marginales y

sus costes variables medios –ambas posibilidades sabemos que son equivalentes, pues

salvo que se trate de dos funciones lineales, los costes marginales cortan a los costes

variables medios en su mínimo-.

Procederemos, en primer lugar, calculando el mínimo de la función de costes variables

medios. Para ello, es necesario conocer cuáles son los costes variables. Los costes

variables son la parte de los costes totales que dependen de la cantidad producida:

CV = Q3/3 – 10Q

2 + 80Q

Los costes variables medios son el resultado de promediar el total de los costes

variables entre el número de unidades producidas, es decir:

CVMe = CV/Q = Q2/3 – 10Q + 80

1.- Una empresa competitiva tiene una función de costes totales como la

siguiente: CT = Q3/3 – 10Q

2 + 80Q + 648.

Se pide:

a) Calcule su mínimo de explotación.

b) Halle el punto de nivelación.

c) Represente gráficamente los datos obtenidos.

d) Calcule la cantidad que producirá esa empresa, así como los beneficios

que obtendrá, si el precio de equilibrio existente en el mercado del bien que

fabrica es P* = 4.

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El mínimo de los costes variables medios lo obtenemos derivando la función de

costes variables respecto de la cantidad, igualándolo a cero, y despejando la Q:

⅔ Q – 10 = 0;

Q = 15.

Si Q = 15, el valor en ordenadas de los costes variables medios –que nos indicará el

precio mínimo para que la empresa empiece a producir- será:

CVMe = 152/3 – 10 · 15 + 80 = 5

Por tanto el punto de cierre o mínimo de explotación se producirá para un precio P = 5

u.m., que está asociado a una producción de 15 unidades.

Igualmente, podríamos haber encontrado el mínimo de explotación, como

anunciamos anteriormente, igualando los costes marginales con los costes variables

medios. Tenemos por tanto que calcular cuáles son los costes marginales. Sabemos que

los costes marginales son la derivada respecto de la cantidad de los costes totales –

podríamos considerar únicamente los costes variables, puesto que dado que los costes

fijos no dependen de la cantidad producida no tendrán relevancia en el cálculo de los

costes marginales-.

C’ = Q2 – 20Q + 80

C’ = CVMe;

Q2 – 20Q + 80 = Q

2/3 – 10Q + 80;

Q2 – 20Q = Q

2/3 – 10Q ;

⅔Q2 – 10Q = 0

Sacando factor común la Q tenemos:

Q (⅔Q – 10) = 0, por lo que ó bien Q = 0, ó bien ⅔Q – 10 = 0, es decir, Q = 15, que es

el valor que habíamos calculado de la otra forma.

a) El punto de nivelación nos indica cuál es el precio para el que esa empresa

no tendría ni pérdidas ni beneficios, es decir, aquel para el que los ingresos

totales (IT) serían de la misma cuantía que los costes totales (CT). Esto

ocurrirá, lógicamente, cuando el precio sea igual a los costes totales medios

(CTMe).

Lo podemos calcular de dos maneras alternativas equivalentes: hallando el mínimo de

los costes totales medios, o bien calculando la intersección entre los costes marginales y

los costes totales medios –que como decimos es una metodología totalmente

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equivalente a la anterior dado que los costes marginales cortan a los costes totales

medios en su mínimo-.

Procederemos en primer lugar a calcular dicha intersección. Ya conocemos, por el

apartado anterior, cuáles son los costes marginales:

C’ = Q2 – 20Q + 80

Los costes totales medios son el resultado de promediar la totalidad de los costes

entre el número de unidades producidas, es decir:

CTMe = CT/Q = Q2/3 – 10Q + 80 + 648/Q

Igualando ambas funciones, tenemos:

C’ = CTMe;

Q2 – 20Q + 80 = Q

2/3 – 10Q + 80 + 648/Q;

⅔Q2 – 10Q – 648/Q = 0;

⅔Q3 – 10Q

2 – 648 = 0;

Q3 – 15Q

2 – 972 = 0

Dado que el punto de cierre se producía para una cantidad Q = 15, el valor que

buscamos correspondiente al punto de nivelación tendrá que ser para una cantidad

producida mayor que 15, que sea un divisor de 972.

Uno de los divisores del término independiente es 18; comprobamos utilizando el

método de Ruffini que esa es una de las raíces de la ecuación:

1 –15 0 –972

18

18

54

972

1 3 54 0

Dejamos en manos del lector el comprobar que el resto de raíces son imaginarias.

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Si la cantidad para la que el coste total medio es mínimo es de 18 unidades, el precio de

nivelación lo obtendremos sustituyendo dicho valor ya sea en el coste marginal, ya sea

en el coste total medio:

C’ = Q2 – 20Q + 80 = 44

CTMe = Q2/3 – 10Q + 80 + 648/Q = 44

c) Representación gráfica:

Por tanto, el punto de nivelación se producirá para un precio P = 44 u.m., que está

asociado a una producción de 18 unidades.

b) Si el precio de equilibrio vigente en el mercado es P = 4, y conocemos por el

primer apartado de este ejercicio que el mínimo de explotación o punto de

cierre se produce para un precio P = 5, esta empresa no producirá nada; Q* =

0. Por cada unidad que produjera no sólo estaría perdiendo los costes fijos,

sino también parte de los costes variables. Lo mejor en estos casos es cerrar

y asumir como pérdida los costes fijos en los que obligatoriamente se ha de

incurrir; en este caso, B = – 648.

18

P1

44

P1

P2

5

P1

P2

15

CTMe P

P1

P2

C’

CVMe

Q

Punto de nivelación

P1

P2

Punto de cierre

P1

P2