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Matemáticas financieras por Òscar Elvira: Conceptos básicos, herramientas, cálculo e interpretación de la TAE de una operación financiera, tipos de rentas, valoración de los tipos de rentas y métodos más usuales de amortiguación de capitales.
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MATEMÁTICAS
FINANCIERASSubtítulo de la presentación
OSCAR ELVIRA
2
INDICE
OBJETIVOS
1. Comprender los conceptos básicos de matemática financiera.
2. Conocer las herramientas básicas de valoración de inversiones.
3. Saber calcular e interpretar la TAE de una operación financiera.
4. Conocer los principales tipos de rentas y la valoración de lasmismas.
5. Conocer los métodos mas usuales de amortización de capitales.
3
INDICE
METODOLOGIA
1. Clase presencial con casos prácticos.
2. Resolución de ejercicios con calculadora CASIO FC-100V.
3. Elaboración individual de casos prácticos con presentación enclase.
4. Trabajo final.
4
INDICE
TEMARIO
1. Conceptos básicos
2. Capital financiero
Equivalencia financiera
Operación financiera
Factor financiero
Capitalización y actualización
3. Regimenes financieros
Régimen financiero simple
Interés simple vencido Interés simple anticipado
Régimen financiero compuesto
Interés compuesto vencido
5
INDICE
3. Análisis rentabilidad de inversiones
CASH-FLOW NETO
PAY-BACK
TIR
VAN
4. La TAE
5. Rentas
Renta modelo
Extensiones a partir de la renta modelo
Rentas variables
6
INDICE
TEMARIO
6. Préstamos
Método francés
Método alemán
Método americano
Cuotas amortización constantes
Términos amortización crecientes
ANEXO 1. Casos prácticos
ANEXO 2. Ejercicios
ANEXO 3. Soluciones ejercicios
7
INDICE
CALENDARIO
DIA 1 – 4 horas
MODULO 1-4.
DIA 2 – 4 horas
MODULO 5.
DIA 3 – 4 horas
MODULO 6.
8
INDICE
BIBLIOGRAFIA
BRUN, X., ELVIRA, O. y PUIG, X. Matemática financiera y estadística básica.Barcelona: Profit editorial, 2008.
GIL PELAEZ, L. Matemática de las Operaciones Financieras. Madrid: AC,1987.
MENEU, V. y otros. Operaciones financieras en el mercado español.Barcelona: Ariel, 1994.
RUIZ, J.M. Matemática financiera. Madrid: Centro de formación del Banco deEspaña, 1991.
TERCEÑO, A. y otros. Matemática financiera. Madrid: Ediciones Pirámide,1997.
VAZQUEZ, M.J. Curso de matemática financiera. Madrid: Ediciones Pirámide,1993.
VILLAZON, C; SANOU, L. Matemática financiera. Barcelona: Foro Científico,1993.
9
1. CONCEPTOS BÁSICOS
CAPITAL FINANCIERO
C : capital
t : periodo tC,
Un capital financiero es una cantidad monetaria asociada a un determinadomomento del tiempo.
Hablar de 6.000,00€ no tiene sentido si no conocemos el referente temporal:no es lo mismo 6.000,00€ el 01.11.2014 que 6.000,00€ el 01.11.2015.
Se representa de la siguiente forma:
(C,t) (6.000 , 01.11.2014)
(C’,t’) (6.000 , 01.11.2015)
10
1. CONCEPTOS BÁSICOS
EQUIVALENCIA FINANCIERA
',', tCtC
Dos capitales financieros son equivalentes si existe indiferenciaentre ambos.
0 1
6.000,00€ 6.600,00€
• Se representa de la siguiente forma:
i : 10,00%
11
1. CONCEPTOS BÁSICOS
OPERACIÓN FINANCIERA
Una operación financiera es un intercambio no simultaneo de capitales financieros. Es decir, el intercambio de capitales de diferente liquidez, entendiendo por liquidez el valor temporal de un capital en un momento del tiempo.
EJEMPLO 1: Préstamo bancario
Acreedor (prestación): (C1, t1)
Deudor (contraprestación): (C2, t2), (C3, t3), …, (Cn, tn)
EJEMPLO 2: Cuenta a plazo
Acreedor (prestación): (C1, t1)
Deudor (contraprestación): (C2, t2)
12
1. CONCEPTOS BÁSICOS
OPERACIÓN FINANCIERA
Según duración Corto plazo Medio plazo Largo plazo
Según número capitales intercambiados Simple Compuesta
Según forma de definición Predeterminada Postdeterminada
Según la ley financiera utilizada Actualización Capitalización
Según naturaleza de los capitales Cierta Aleatoria
…
13
1. CONCEPTOS BÁSICOS
FACTOR FINANCIERO
Las equivalencias entre capitales financieros se pueden calcular dediferentes formas. Cada una de ellas se conoce como REGIMENFINANCIERO y cada una de ellas utiliza un FACTOR FINANCIERO oformula matemática para realizar dicho cálculo.
0 1
6.000,00€6.600,00€
6.600,00 = 6.000,00 + 6.000,00 · i · t = 6.000,00 · (1 + i · t)
factor financiero: (1 + i · t)
régimen financiero: INTERES SIMPLE
i : 10,00%
14
1. CONCEPTOS BÁSICOS
CAPITALIZACION y ACTUALIZACION
CAPITALIZAR: calcular la cuantía de un capital equivalente en unmomento futuro.
0 t’
C C’
C’ = 6.000,00 · (1 + i · t’) = 6.600,00
i : 10,00%
15
1. CONCEPTOS BÁSICOS
CAPITALIZACION y ACTUALIZACION
ACTUALIZAR: calcular la cuantía de un capital equivalente en unmomento pasado.
0 t’
C C’
C = 6.600,00 / (1 + i · t’) = 6.000,00
i : 10,00%
16
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES SIMPLE VENCIDO
La remuneración del capital es un porcentaje constante en todo elplazo de la operación.
La devolución del principal e intereses se efectúa al final del plazo.
Solo el principal (C) produce intereses a lo largo del plazo.
0 t
C C’
it
itCCitCC
1 financierofactor
1' • Liquidación de cuentas corrientes y pólizas de crédito
• Letras del Tesoro y Pagarés
17
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES SIMPLE ANTICIPADO
La remuneración del capital es un porcentaje constante en todo elplazo de la operación.
La devolución del principal se efectúa al final del plazo. Losintereses se abonan al principio del mismo.
Solo el nominal (C’) produce intereses a lo largo del plazo.
0 t
C C’
)1(
1financierofactor
)1('''
it
itCitCCC
• Descuento comercial
18
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES COMPUESTO VENCIDO
La remuneración del capital es un porcentaje constante en todo elplazo de la operación.
La devolución del principal e intereses se efectúa al final del plazo.
Los intereses se devengan al final de cada periodo decapitalización y se acumulan al principal para generar nuevosintereses durante el siguiente periodo.
0 t
C C’
t
t
i
iCC
1financierofactor
1'• Rentas• Préstamos
19
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES COMPUESTO VENCIDO
Interés nominal: im
siempre es anual
m indica el numero de periodos de cobro en un año
Interés efectivo: Im
es el tipo de interés realmente aplicado para el periodo m.
la relación con el nominal es:
Ejemplo 3. Inversión de 20.000,00€ con una remuneración del 6,00% a cobrarmensualmente.
m
iI m
m
%50,012
%00,6
12
%00,6
1212
12
iII
ii
m
m
20
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES COMPUESTO VENCIDO
Relación entre efectivos. Efectivo anual.
0 1
C C’
1)1(
)1()1(
)1()1(
)1()1('
1
1
1
41
1
41
m
m
m
m
m
m
II
II
ICIC
ICICC
ndo,generaliza
21
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES COMPUESTO VENCIDO
Ejemplo 4. Equivalentes anuales del 10,00% a cobrar conperiodicidad m:
m im Im I1
12
6
4
3
2
1
22
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES COMPUESTO VENCIDO
Ejemplo 4. Solución.
m im Im I1
12 10,00% 0,83333% 10,47131%
6 10,00% 1,66667% 10,42604%
4 10,00% 2,50000% 10,38129%
3 10,00% 3,33333% 10,33704%
2 10,00% 5,00000% 10,25000%
1 10,00% 10,00000% 10,00000%
23
2. REGIMENES FINANCIEROS
RESUMEN
REGÍMEN CARÁCTERISTICAS
FACTOR FINANCIERO
ACTUALIZAR CAPITALIZAR
SIMPLE VENCIDO
SIMPLE ANTICIPADO
COMPUESTO VENCIDO
24
3. VALORACION DE INVERSIONES
CASH-FLOW NETO
Consiste en calcular el importe neto resultante de la inversión y los flujosque genera.
Escogeremos la inversión que genere un flujo positivo mayor.
AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 CF NETO
Inversión A -100 +60 +50 +25 +35
Inversión B -250 +100 0 +300 +150
Inversión C -50 +60 +40 +30 +80
INCONVENIENTES:
1. No considera el valor temporal del dinero
2. Ni el momento en que se produce el cash flow
3. No considera el volumen de inversión
4. …
25
3. VALORACION DE INVERSIONES
PAY-BACK
Consiste en determinar en que año se recupera la inversiónrealizada.
Escogeremos la inversión que se recupera antes.
AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 CF NETO
Inversión A -100 +60 +50 +25 +35
Inversión B -250 +100 0 +300 +150
Inversión C -50 +60 +40 +30 +80
INCONVENIENTES:
1. No considera el tiempo de forma adecuada
2. No considera el volumen de inversión
3. …
26
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
El VAN de una inversión es el valor actualizado de todos los flujosesperados (ingresos – gastos).
Ejemplo 5. Inversión inicial de 100 millones de €, para recibir, enlos próximos 5 años, de forma sucesiva 30, 30, 30, 30 y 50millones de €. Tasa de actualización 10,00%.
0
30 30 30 30 50
1 2 3 54
-100
14,26
10,01
50
10,01
30
10,01
30
10,01
30
10,01
30100
54321
VAN
27
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
A : inversión inicial
i : periodos de inversión (i=1,2,3,…n)
Ci : cobros periodo i
Pi : pagos periodo i
k : tasa de interés para la actualización de flujos
n
ii
ii
k
PCAVAN
1 1
Generalizando,
28
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
Como se interpreta el VAN?
medida del beneficio absoluto del proyecto
“listón” a la inversión analizada: k (en el ejemplo 5 podemos interpretar que la inversiónofrece una rentabilidad superior al 10,00% o lo que es lo mismo, supera el “listón” del10,00%, por eso decimos que es aconsejable).
Criterios de decisión. Un VAN positivo indica que el valor actual delos flujos futuros es superior a la inversión inicial que realizamos.Por lo tanto,
Si VAN > 0 inversión ACONSEJABLE Si VAN = 0 inversión INDIFERENTE Si VAN < 0 inversión DESACONSEJABLE
29
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
¿Qué favorece un VAN positivo?
1. La inversión inicial
2. Los flujos de fondos futuros
3. La tasa de actualización k
Supuestos implícitos en la definición:
1. Siempre se puede invertir a una tasa k
2. ETTI plana
3. …
30
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
VAN y ETTI (Estructura Temporal de Tipos de Interés)
AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3
Inversión A -100 62 50 28
Inversión B -100 48 52 44
Tipo Interés 21,00% 18,00% 16,00%
21,8
16,1
44
16,1
52
16,1
48100
55,816,1
50
16,1
50
16,1
62100
32
32
21,5
16,1
44
18,1
52
21,1
48100
08,516,1
50
18,1
50
21,1
62100
32
32
31
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
Que tasa es k?
Tipo de interés del mercado financiero (letras o bonos del Tesoro) Tasa de rentabilidad de la empresa o sector Coste financiero del pasivo Tasa subjetiva k = tipo interés libre de riesgo + prima riesgo
Interpretación de k?
Coste de oportunidad del dinero Exigimos al proyecto, para llevarlo a cabo, que produzca como
mínimo lo que el capital vinculado produciría en el uso alternativo alque renunciamos.
32
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
Inconvenientes del VAN
1. Estimación de las variables del proyecto: horizonte temporal, flujos
futuros de la inversión, …
2. Volúmenes de inversión diferentes entre proyectos a comparar
3. Diferentes horizontes temporales de los proyectos a comparar
4. …
33
3. VALORACION DE INVERSIONES
TIR (Tasa Interna de Rentabilidad)
Con el cálculo del VAN no conocemos la tasa de rentabilidad delproyecto. Solo sabemos si el proyecto tiene una rentabilidadsuperior o inferior a la tasa de actualización utilizada.
La TIR (o Tasa Interna de Rentabilidad) de un proyecto es aquellatasa de actualización que hace que el VAN se iguale a cero.
En el ejemplo anterior,
?k
0
1
50
1
30
1
30
1
30
1
30100
54321
kkkkkVAN
SOLUCION:
• Iteraciones sucesivas
• CASIO FC – 100V
• Excel
PROBLEMA CALCULO:
• Polinomio de grado n
(en este caso 5)%05,19k
34
3. VALORACION DE INVERSIONES
TIR (Tasa Interna de Rentabilidad)
Relación TIR y VAN
Si VAN > 0 TIR > k
Si VAN = 0 TIR = k
Si VAN < 0 TIR < k
VAN
k
€
VAN = 0 k = TIR
35
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
La TIR nos da la tasa interna de rentabilidad de un proyecto, peroesta TIR no tiene porque ser necesariamente de un periodo anual.
La TAE es la TIR anualizada. Cuando una operación financiera notiene períodos anuales de liquidación de intereses, entoncesdebemos realizar una transformación de la TIR resultante(mensual, trimestral, semestral, …) en una TIR anual o TAE.
La anualización de una TIR se realiza mediante la fórmulasiguiente:
TIRla de dias
d
TIRTAE dd 11
365
36
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
Porque la TAE?
Método de comparación
Multitud de operaciones Diferentes tipos de interés Diferentes formas de pago Diferentes periodos …
Transparencia: obligación legal
Orden 12.12.1989 Circular Banco de España 8/1990
37
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
•Porque la TAE? Método de comparación:
•OPCION 1.
•PRODUCTO: Imposición a plazo
•Interés nominal: 10,00%
•Pago intereses semestral
•Durante 2 años
•OPCION 2.
•PRODUCTO: Seguro de ahorro
•Importe garantizado a 5 años: 155,00% de la aportación.
•Pago intereses final periodo
38
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
Porque la TAE? Método de comparación:
OPCION 1.
PRODUCTO: Imposición a plazo Interés nominal: 10,00% Pago intereses semestral Durante 2 años
OPCION 2.
PRODUCTO: Seguro de ahorro Importe garantizado a 5 años: 155,00% de la
aportación. Pago intereses final periodo
TAE: 10,25%
TAE: 9,16%
39
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
Orden 12.12.1989, sobre tipo de interés y comisiones, normas deactuación, información a clientes y publicidad de las Entidades deCrédito.
CAPITULO I. Tercero. 3.
Los tipos de interés ……… se expresaran, cualquiera que seasu tipo nominal y forma de liquidación, en términos de costeefectivo equivalente de una operación con intereses anualespostpagables.
40
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia delas operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. 2.
Para la confección y publicación del tipo de interés, coste orendimiento efectivo, …., las entidades deberán atenerse alas siguientes reglas, que se desarrollaranmatemáticamente mediante la formula contenida en elanexo V.
a) Los tipos de interés, costes o rendimientos se expresarán entasas porcentuales anuales pagaderas a término vencido.
b) La tasa porcentual equivalente es aquella que iguala encualquier fecha el valor actual de los efectivos recibidos yentregados a lo largo de la operación, por todos los conceptos,incluido el saldo remanente a su término, con las excepcionese indicaciones que se recogen en los siguientes apartados.
41
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia delas operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. 4.
En la información sobre el coste efectivo de las operacionesactivas, se aplicarán las reglas siguientes:
a) En el cálculo del coste efectivo se incluirán las comisiones ydemás gastos que el cliente este obligado a pagar a la entidadcomo contraprestación por el crédito recibido o los serviciosinherentes al mismo. No se considerarán a estos efectos lascomisiones o gastos que se indican a continuación, aun cuandodebe quedar expresa y claramente indicado que la tasa anualequivalente no los incluye:
1. Los gastos que el cliente pueda evitar …
2. Los gastos a abonar a terceros, en particular los corretajes, gastosnotariales e impuestos.
3. Los gastos por seguros o garantías. No obstante, se incluirán lasprimas de los seguros que tengan por objeto garantizar a la Entidad elreembolso del crédito en caso de fallecimiento, invalidez, odesempleo de la persona física que haya recibido el crédito, siempreque la Entidad imponga dicho seguro como condición para concederel crédito.
42
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia delas operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. Anexo V.
CALCULO DE LAS TASAS DE COSTE O RENTABILIDAD DEOPERACIONES.
1. La equivalencia financiera a que se refiere el apartado 2de la norma octava de esta circular, tiene la siguienteexpresión matemática.
m
m
t
km
n
n
t
knmn iRiD
11
11
43
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparenciade las operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. Anexo V.(continuación)
m ndisposició la de la hasta
elegida iaequivalenc de fecha la desde dotranscurri tiempo :
n ndisposició la de la hasta
elegida iaequivalenc de fecha la desde dotranscurri tiempo :
Rpor ossimbolizad pagos los de número :
entregas de número :
operación la de efectivo orendimient o coste el en
incluidos gastos otros u intereses ón,amortizacipor pagos :
nesdisposicio :
siendo,
m
n
t
t
m
n
R
D
44
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparenciade las operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. Anexo V.(continuación)
Por su parte, el tipo anual equivalente i (TAE) a que serefiere la indicada norma octava es el siguiente:
elegido período al contiene año el que veces de número el :
siendo,
m
1)1( m
mii
45
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
TIRla de dias
año un en cióncapitaliza de periodos de número
siendo,
:
:365
11111365
111
1
365
365365
d
dm
ITAE
Im
i
d
iTIRTAE
m
m
m
md
dd
d
Relación TAE – TIR – Interés nominal – Interés efectivo
46
5. RENTAS FINANCIERAS
DEFINICIÓN
Conjunto de capitales financieros que presenta periodicidad en el tiempo.
t1 tn
C1 C2 C3 C4 C5 Cn…
t2 t3 t4 t5
47
5. RENTAS FINANCIERAS
CLASIFICACIÓN
Según periodicidad Anual Semestral Trimestral Mensual …
Según situación termino Vencida Anticipada
Según inicio Inmediata Diferida
Según horizonte temporal Temporal Perpetua
Según termino Constante Variable
48
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
Definimos la renta modelo como la renta tiene las siguientescaracterísticas:
inmediata
vencida
temporal
• para generalizar el modelo de valoración,empezaremos trabajando con una rentaconstante
49
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
Valor ACTUAL: valor de la renta en el momento origen de la misma.
0 6
C C C C CC
1 2 3 54
m
m
t
t
mmmmI
ICICICICICVa
66
1
621 1111...11
50
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
Valor FINAL: valor de la renta en el momento del último término.
0 6
C C C C CC
1 2 3 54
m
m
t
t
mmmmI
ICICICICICVf
1111...11
66
1
1045
51
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
En general,
m
n
m
I
ICVa
11
0 n1 2 3 …4
m
n
m
I
ICVf
11
nmIVaVf 1
C C C C C…
52
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
Demostración formula valor actual.
m
nm
m
nm
m
m
m
nmm
m
nmm
n
-m
I
I
I
I
I
I
I
II
I
II
nn
PG
Iq
n
n
mmm
n
mmmmm
CCCC
q
qa
q
qaaSIIIC
ICICICICICVa
11
1)1(
11
1
1
)1(1
111
)1(1
111
111
1 -
-
21
4321
1
1
1
1
1
1
1
11...11
1...1111
razon de
terminos de
:geométrica progresión una de Suma
primera y última demostración !
53
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
Ejemplo 6. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:
54
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
Diferida
d
m
d
m
m
n
mD IVaII
ICVa
1111
C C C C CC
0 61 2 3 54 87
Vf
I
ICVf
m
n
mD
11
en momentos diferentes!
d
55
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
Ejemplo 7. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:
56
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
Anticipada
mm
m
n
mA IVaII
ICVa
1111
0 6
C C C C C
1 2 3 54
C
Vf
I
ICVf
m
n
mA
11
en momentos diferentes!
57
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
Ejemplo 8. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:
58
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO
Perpetua
mm
n
m
n IC
I
ICVa
111lim
0 6
C C C C CC
1 2 3 54
…C
7 …
?Vf
59
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
Ejemplo 9. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:
60
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO
Diferida
Anticipada
1
,
1
1111
d
m
m
d
m
m
n
mAD
IVa
III
ICVa
C C C CC C
0 61 2 3 54 87
Vf
I
ICVf
m
n
mAD
11,
en momentos diferentes!
d
61
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
Ejemplo 10. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:
62
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO
Diferida
Anticipada
Perpetua
,,ADVa
,,ADVf
EJERCICIO VOLUNTARIO
63
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO
Diferida
Anticipada
Perpetua
m
d
mm
d
m
m
n
m
n
AD
I
ICII
I
ICVa
1
,, 111
11lim
existe no,, ADVf
64
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO
limn d
mI
1 mI1
VENCIDA IMMEDIATA
PERPETUADIFERIDAANTICIPADA
TEMPORAL
RENTA MODELO
d
mI
1lim
n
Valor actual
65
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTAS VARIABLES
Geométrica
1
1
r
r qCC
1 n
C1 C2 C3 C4 C5 Cn…
2 3 4 50
qI
IqCVa
m
n
m
n
1
111
1
1 1
mInCVa
qI
qCVf
m
n
1
11
1
1 1
n
mInCVfqI
qI
m
m
1 si
1 si
66
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTAS VARIABLES
Ejemplo 11. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:
67
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTAS VARIABLES
Lineal
1 n
C1 C2 C3 C4 C5 Cn…
2 3 4 50
mm
n
m
m I
nh
I
Inh
I
hCVa
11
1
)1(1 rhCCr
mm
n
m
m I
nh
I
I
I
hCVf
111
68
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTAS VARIABLES
Ejemplo 12. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:
69
6. PRÉSTAMOS
DEFINICIÓN
Operación financiera que consiste en la devolución de un capitalinicial (C0: nominal o principal del préstamo) a través de uno ovarios capitales financieros, generalmente periódicos.
1 n
1 2 3 4 5 n…
2 3 4 50
C0
nrtC rr ,0 ... 1,2,con
70
6. PRÉSTAMOS
DEFINICIÓN
Cuadro de amortización
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 0 I0 A0 R0 M0
1 1 I1 A1 R1 M1
2 2 I2 A2 R2 M2
3 3 I3 A3 R3 M3
… … … … … …
n-1 n-1 In-1 An-1 Rn-1 Mn-1
n n In An= Rn-1 Rn=0 Mn=R0
71
6. PRÉSTAMOS
CLASIFICACIÓN
Según tipo de operación Simple Compleja
Según inicio devolución del nominal Sin carencia Con carencia parcial Con carencia total
…
72
6. PRÉSTAMOS
METODO FRANCES
El término de amortización es constante y equivale al terminoresultante de una renta modelo con valor actual igual al nominaldel préstamo, y periodo de constitución igual al periodo deamortización.
Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendientede amortizar (INTERES COMPUESTO).
0 n
1 2 3 …4
C0
m
n
mm
n
m
I
I
C
I
IC
11
11 00
73
6. PRÉSTAMOS
METODO FRANCES
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés (i1): 7,00%
Pagos anuales
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1
2
3
4 0,00 10.000,00
74
6. PRÉSTAMOS
METODO FRANCES
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés (i1): 7,00%
Pagos anuales
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 2.952,28 700,00 2.252,28 7.747,72 2.252,28
2 2.952,28 542,34 2.409,94 5.337,78 4.662,22
3 2.952,28 373,64 2.578,64 2.759,14 7.240,86
4 2.952,28 193,14 2.759,14 0,00 10.000,00
75
6. PRÉSTAMOS
METODO FRANCES
Generalizando,
r
s
rr
rrr
rr
rmr
m
n
m
r
AM
ARR
A
RI
I
I
C
1
1
1
0
11
76
6. PRÉSTAMOS
METODO ALEMAN
La única diferencia con el METODO FRANCES es que los intereses se pagananticipadamente, de manera que la primera cuota de interés se deduce delnominal del préstamo y el último termino amortizativo no tiene intereses.
Para calcular el cuadro de amortización utilizaremos la relación existenteentre interés vencido (Im) e interés anticipado (I’m):
'
'
1 m
mm
I
II
con
0 n
= An
1 2 3 …4
C0
Yn = 0- Y1
m
m
n
m
m
m
n
m
II
I
CI
I
IC
111
111 0
0
77
6. PRÉSTAMOS
METODO ALEMAN
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés anticipado (i’1): 7,00%
Pagos anuales
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 0,00 0,00
1
2
3
4 0,00 0,00 10.000,00
78
6. PRÉSTAMOS
METODO ALEMAN
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés anticipado (i’1): 7,00%
Pagos anuales
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00
1 2.778,35 543,56 2.234,79 7.765,21 2.234,79
2 2.778,35 375,36 2.403,00 5.362,22 4.637,78
3 2.778,35 194,48 2.583,87 2.778,35 7.221,65
4 2.778,35 0,00 2.778,35 0,00 10.000,00
79
6. PRÉSTAMOS
METODO ALEMAN
Generalizando,
r
s
rr
n
m
rn
mr
s
sr
rr
rr
m
m
n
m
r
AM
I
ICACR
A
RI
II
I
C
m
1
)(
0
1
'
0
11
11
111
80
6. PRÉSTAMOS
METODO AMERICANO
El principal del préstamo se devuelve a vencimiento.
Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendiente de amortizar(INTERES COMPUESTO).
0 n
1 2 2 4 n…
1 2 3 …4
C0
An
Yn
solo intereses:
r = = Yr =CIm
81
6. PRÉSTAMOS
METODO AMERICANO
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés (i1): 7,00%
Pagos anuales
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 700,00
2 700,00
3 700,00
4 700,00 0,00 10.000,00
82
6. PRÉSTAMOS
METODO AMERICANO
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés (i1): 7,00%
Pagos anuales
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00
2 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00
3 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00
4 10.700,00 700,00 10.000,00 0,00 10.000,00
83
6. PRÉSTAMOS
METODO AMERICANO
Generalizando,
r
s
rr
rrr
n
r
rmr
rrr
AM
ARR
CA
nrA
RI
YA
1
1
0
1
1,...2,1 para 0
84
6. PRÉSTAMOS
CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES
La cuota de amortización es constante y equivale a dividir el nominaldel préstamo por el número de periodos de amortización.
Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendiente deamortizar (INTERES COMPUESTO).
0 n
1 2 2 4 n…
1 2 3 …4
C0
A A A AA A
n
CA 0
85
6. PRÉSTAMOS
CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés (i1): 7,00%
Pagos anuales
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 2.500,00
2 2.500,00
3 2.500,00
4 2.500,00 0,00 10.000,00
86
6. PRÉSTAMOS
CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés (i1): 7,00%
Pagos anuales
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 0,00 0,00 0,00 10.000,00 0,00
1 3.200,00 700,00 2.500,00 7.500,00 2.500,00
2 3.025,00 525,00 2.500,00 5.000,00 5.000,00
3 2.850,00 350,00 2.500,00 2.500,00 7.500,00
4 2.675,00 175,00 2.500,00 0,00 10.000,00
87
6. PRÉSTAMOS
CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES
Generalizando,
r
s
rr
rrr
r
rmr
rrr
AM
ARR
n
CA
RI
YA
1
1
0
1
88
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE
Los términos de amortización son crecientes y equivalen al termino de unarenta modelo creciente de forma geométrica.
Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendiente de amortizar(INTERES COMPUESTO).
0 n
1 1q 1q2 1q
3 1qn-1…
1 2 3 …4
C0
m
m
m
m
n
m
n
IqIn
C
Iq
qI
Iq
C
1 si 1
1 si
1
11
1
01
01
89
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés (i1): 7,00%
Pagos anuales
Crecimiento: 3,00% anual q=1,03
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1
2
3
4 0,00 10.000,00
90
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés (i1): 7,00%
Pagos anuales
Crecimiento: 3,00% anual q=1,03
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 2.829,76 700,00 2.129,76 7.870,24 2.129,76
2 2.914,65 550,92 2.363,74 5.506,50 4.493,50
3 3.002,09 385,46 2.616,64 2.889,87 7.110,13
4 3.092,16 202,29 2.889,87 0,00 10.000,00
91
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE
Generalizando,
r
s
rr
rrr
rrr
rmr
r
r
m
m
m
m
n
m
n
AM
ARR
YA
RI
q
IqIn
C
Iq
qI
Iq
C
1
1
1
1
1
1
01
01
1 si 1
1 si
1
11
92
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES LINEALMENTE
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés (i1): 7,00%
Pagos anuales
Crecimiento: 3,00% anual h=300,00€
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1
2
3
4 0,00 10.000,00
EJERCICIO VOLUNTARIO
93
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES LINEALMENTE
Nominal: 10.000,00€
Duración: 4 años
Tipo de interés (i1): 7,00%
Pagos anuales
Crecimiento: 3,00% anual h=300,00€
PERIODO
TERMINO AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL PENDIENTE
CAPITAL AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 2.244,51 700,00 1.544,51 8.455,49 1.544,51
2 2.744,51 591,88 2.152,63 6.302,86 3.697,14
3 3.244,51 441,20 2.803,31 3.499,54 6.500,46
4 3.744,51 244,97 3.499,54 0,00 10.000,00
94
6. PRÉSTAMOS
COSTE DE UN PRESTAMO
Ejemplo 13. El Sr. MOROSO pide un préstamo a la CAJA VACIA conla siguientes condiciones: 5.000,00€ de nominal, a amortizaranualmente en 10 años a un tipo de interés del 8,00% (métodofrances). Además el préstamo lleva incluidos los siguientes gastos:comisión apertura 1,00%, comisión de estudio 0,25% y gastosnotario 100,00€.
La TAE de este préstamo es 8,28% y se calcula a partir de la formula:
El COSTE REAL para el cliente es del 8,74% y se calcula a partir de la formula:
TAE
TAE10
1115,74550,1200,5000,000.5
CR
CR10
1115,74500,10050,1200,5000,000.5
95
6. PRÉSTAMOS
EXTENSIONES
CARENCIA
TIPO VARIABLE
ASPECTOS COMERCIALES
ASPECTOS FISCALES
96
Oscar Elvira Benitooscar.elvira@upf.edu
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