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MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE UNA VARIABLE.
APLICACIONES A LA INGENIERÍA.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Aplicaciones a la Ingeniería
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 146
1.15.- APLICACIONES A LA INGENIERÍA.
92. [WM] La barra AB se somete a la acción de un par M y a dos fuerzas, cada una de las
cuales tiene una magnitud P.
Al derivar una ecuación en función de , P , M y l que se cumpla cuando la barra esté en
equilibrio se obtiene
lP
M sencos
Si se sabe que M = 150 N.m, P = 200 N y l = 0.6 m, determínese el valor de
correspondiente a la posición de equilibrio con 10–2
de precisión usando el algoritmo de
bisección.
93. [WM] Un collar B de peso W puede moverse libremente a lo largo de la barra vertical
mostrada en la figura. El resorte de constante k se encuentra sin deformar cuando 0 .
Al derivar una ecuación en términos de , W , k y l que se cumpla cuando el collar esté
en equilibrio se obtiene lk
W sentan . Sabiendo que 300W N, 500l mm y
800k N/m, determínese el valor de correspondiente a la posición de equilibrio con
410 de precisión usando el algoritmo de la secante.
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94. [WM] Una barra delgada AB de peso W se une a los bloques A y B que se mueven
libremente sobre las guías mostradas en la figura. El resorte de constante k se encuentra sin
deformar cuando 0 . Sin tomar el peso de los bloques, al derivar una ecuación en
términos de W , k , l y que se cumpla cuando la barra esté en equilibrio se obtiene
lk
W
2tan)cos1( . Determínese el valor de con 10
–6 de precisión usando el
algoritmo de la secante cuando 75W lb, 30l in y 3k lb/in.
95. [WM] Una fuerza vertical P = 10 libras se aplica en los extremos de la cuerda AB, de 2
pies de longitud, y al resorte AC (k = 15 libras/pie). Si éste tiene una longitud sin estirar de
2 pies, para determinar en ángulo para el equilibrio se requiere resolver la ecuación
2sencos45)1cos45(3
sen )1cos45(3cos45tan
.
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Comente la aplicación de los métodos numéricos estudiados para resolver dicha ecuación.
96. [CC] El desplazamiento de una estructura está definido por la siguiente ecuación para
una vibración amortiguada:
tey tk cos8
donde 5.0k y 3 . a) Utilice el método gráfico para realizar una primera estimación
del tiempo requerido para que el desplazamiento disminuya a 4. b) Use el método de
Newton – Raphson para calcular la raíz con %01.0s . c) Con el método de la secante
determine la raíz al %01.0s .
97. [CC] La fórmula que define la fuerza por unidad de área, AP / , que causa un máximo
esfuerzo m en una columna que tiene una relación de esbeltez rLe / es:
r
L
AE
Prce
A
P
e
m
5.0sec)/(1 2
Si kPa 200000E , 2.0/ 2 rce y kPa 250m , calcule AP / para 100/ rLe .
Recuerde que x
xcos
1sec .
98. [CC] Un cable catenario es aquel que cuelga entre dos puntos que no están en la misma
línea verticual. El cable no está sujeto a otras cargas más que a su propio peso. Así que su
peso w (N/m) actúa como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable.
AT y BT son las fuerzas de tensión en sus extremos. Considerando los equilibrios de fuerzas
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horizontal y vertical, se puede obtener el siguiente modelo de ecuación diferencial del
cable:
2
2
2
1
xd
yd
T
w
xd
yd
A
El cálculo se utiliza para resolver esta ecuación para la altura y en función de la distancia x.
w
Tyx
T
w
w
Ty A
A
A
0cosh
donde el coseno hiperbólico se calcula por
)(cosh 21 xx eex
a) Con un método numérico calcule un valor para el parámetro AT los valores de los
parámetros 10w y 50 y , de tal forma que el cable tenga una altura de 15y para
50x .
b) Determine la localización de la altura mínima para el caso descrito en el inciso a).
99. [CC] Sea una viga uniforme sujeta a una carga distribuida creciente linealmente. La
ecuación para calcular la curva elástica resultante es
)2(120
43250 xLxLxLIE
wy
Utilice el método de bisección para determinar el punto de máxima deflexión (es decir, el
valor de x donde 0/ xdyd ). Después, sustituya este valor en la ecuación dada para
determinar el valor de máxima deflexión. Use los siguientes valores de los parámetros en
sus cálculos: cm 450L , 2kN/cm 50000E , 4cm 30000I y kN/cm 75.10 w .
100. [CC] Los sistemas mecánicos reales llegan a involucrar la deflexión de resortes no
lineales. Una masa m se suelta desde una distancia h sobre un resorte no lineal. La fuerza de
resistencia F del resorte está dada por
)( 23
21 dkdkF
Con la conservación de la energía se demuestra que
hgmdgmdkdk 2
121
252 2
5
0
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Encuentre d, dados los siguientes valores de los parámetros: 2
1 g/s 40000k ,
52
2 .mg/s 40k , g 95m , 2m/s 8.9g y m 43.0h .
101. [CC] Los ingenieros en aeronáutica suelen calcular las trayectorias de proyectiles
como los cohetes. Un problema relacionado con dicho tema es la descripción de la
trayectoria de una pelota. La trayectoria se puede modelar como
8.1cos2
)(tan 2
0
22
0
0 xv
gxy
Encuentre el ángulo inicial apropiado 0 si m/s 200 v y la distancia a la segunda base es
de 40 m. Considere que la pelota sale de la mano del jugador a una altura de 1.8 m y que el
jugador de segunda base recibe la pelota a una altura de un metro. 2m/s 8.9g .
102. [CC] La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la siguiente fórmula
tgtqm
muv
0
0ln
donde v = velocidad hacia arriba, u = la velocidad con la que el combustible sale del
cohete, 0m = masa inicial del cohete en el tiempo 0t , q = el consumo de combustible y g
= la aceleración hacia abajo debida a la gravedad (considere la gravedad constante = 9.8
m/s2). Si m/s 2200u , kg 1600000 m y kg/s 2680q , calcule el tiempo en que
m/s 1000v . (Sugerencia: t está entre 10 y 50 segundos.) Determine el resultado dentro
del 1% del valor verdadero. Compruebe su respuesta.
103. [BF] Una partícula parte del reposo sobre un plano inclinado uniforme, cuyo ángulo
cambia con una rapidez constante de
0
td
d
Al final de t segundos, la posición del objeto está dada por
teeg
txtt
sen 22
)(2
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Suponga que la partícula se desplazó 1.7 pies en 1 s. Encuentre, con una exactitud de 510 ,
la rapidez con que cambia. Suponga que 2pies/s 17.32g .
104. [BF] Un objeto que cae verticalmente en el aire está sujeto a una resistencia viscosa y
también a la fuerza de gravedad. Suponga que dejamos caer un objeto de masa m desde una
altura 0s y que la altura del objeto después de t segundos es
)1()(2
2
0
tmk
ek
gmt
k
gmsts
donde 2pies/s 17.32g y k representa el coeficiente de resistencia del aire en lb-s/pies.
Suponga que pies 3000 s , lb 25.0m , y que s/pies-lb 1.0k . Calcule, con una
exactitud de 0.01 s, el tiempo que tarda este peso de un cuarto de libra en caer al suelo.
105. [SN] El coeficiente de la fricción f para el flujo turbulento en un tubo está dado por
fDf Re
35.9log0.214.1
110
(Correlación de Colebrook).
donde Re es el número de Reynolds, es la rugosidad de la superficie del tubo y D es el
diámetro del tubo. a) Resuelva esta ecuación en términos de f, utilizando el método de
sustitución sucesiva para los siguientes casos:
a) D = 0.1 m, 0025.0 , 4103Re .
b) D = 0.1 m, 0001.0 , 6105Re .
(Sugerencia: primero reescriba la ecuación en la siguiente forma:
2
10Re
35.9log0.214.1
fDf
Introduzca una estimación inicial para f en el lado derecho. Reintroduzca de nuevo la f
calculada en el lado derecho y repita esta iteración hasta que f converja. Los resultados de
estos cálculos se pueden verificar con una tabla de Moody que se puede encontrar en
cualquier libro usual de mecánica de fluidos.
Sistemas eléctricos.
106. [CC] Una corriente alterna en un circuito eléctrico se describe mediante
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)(2sen 9 teI t
donde t está en segundos. Determine todos los valores de t tales que 5.3I .
107. [CC] La resistividad de un silicón revestido depende de la carga q en un electrón, la
densidad del electrón n y la movilidad del electrón . La densidad del electrón está dada
en términos de la densidad de revestimiento N y la densidad portadora intrínseca in . La
movilidad del electrón está definida por la temperatura T, la temperatura de referencia 0T y
la movilidad de referencia 0 . Las ecuaciones necesarias para calcular la resistividad son
nq
1
donde
)4( 22
21
inNNn y
42.2
0
0
T
T
Determine N, dados K 3000 T , K 1000T , 12
0 (V.s)cm 1330 , C106.1 19q ,
39cm1021.6 in , y una resistividad deseada cm/C s V106 6 . Use los métodos a) de
bisección y b) de la secante.
108. [CC] Una carga total Q se distribuye en forma uniforme alrededor de un conductor con
forma de anillo circular con radio a. Una carga q se localiza a una distancia x del centro del
anillo (Figura). La fuerza ejercida sobre la carga por el anillo está dada por
23
)(4
122
0 ax
xQqF
donde 2212
0 /N.mC1085.8 . Encuentre la distancia x donde la fuerza es de 1 N si q y Q
son C102 5 para un anillo con un radio de 0.8 m.
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109. [CC] Sea un circuito con un resistor, un inductor y un capacitor en paralelo. Las reglas
de Kirchhoff sirven para expresar la impedancia del sistema como
2
2
111
LC
RZ
donde Z = impedancia ( ) y la frecuencia angular. Encuentre para que la
impedancia resultante sea de 100 , usando los métodos de bisección y de la falsa
posición con los valores iniciales de 1 y 1000 para los siguientes parámetros: 225R ,
F106.0 6C y H5.0L .
Sistemas Químicos.
110. [CC] Los ingenieros mecánicos, así como los demás ingenieros, usan la
termodinámica en su trabajo. El siguiente polinomio se puede usar para relacionar el calor
específico a presión cero del aire seco, kJ/kg.K pc , con la temperatura:
414311284 109520.1105838.9107215.910671.199403.0 TTTTcp
Determine la temperatura que corresponda a un calor específico de kJ/kg.K .21 .
111. [CC] La siguiente ecuación permite calcular la concentración de un químico en un
reactor donde se tiene una mezcla completa:
tt
ent ececC 04.0
0
04.0 )1(
Si la concentración inicial es 40 c y la concentración de entrada es 10entc , calcule el
tiempo requerido para que C sea el 93% de entc .
Q
a
x
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112. [CC] En un proceso de ingeniería química el vapor de agua (H2O) se calienta a
temperaturas lo suficientemente altas para que una porción significativa del agua se disocie,
o se rompa, para formar oxígeno (O2) e hidrógeno (H2):
H2O → H2 + ½ O2
Si se asume que ésta es la única reacción que se lleva a cabo, la fracción molar x de agua
que se disocia se representa por
x
p
x
xK t
2
2
1
donde K = la constante de equilibrio de la reacción y tp = la presión total de la mezcla. Si
atm 3tp y 05.0K , determine el valor de x que satisfaga la ecuación.
113. [CC] Una reacción química reversible
CBA 2
se caracteriza por la relación de equilibrio
ba
c
cc
cK
2
donde la nomenclatura nc , representa la concentración del componente N. Suponga que se
define una variable x que representa el número de moles de C producido. La conservación
de la masa se utiliza para reformular la relación de equilibrio como
)()2( 0,
2
0,
0,
xcxc
xcK
ba
c
donde el subíndice 0 indica la concentración inicial de cada componente. Si 015.0K ,
420, ac , 300, bc y 40, cc , calcule x.
114. [CC] La ecuación de estado de Redlich – Kwong está dada por
Tbvv
a
bv
TRp
)(
donde R = constante universal de los gases ( kJ/kg.K 518.0R ), T = Temperatura absoluta
(K), p = presión absoluta (kPa) y v = volumen de un kg de gas (m3/kg). Los parámetros a y
b se calculan mediante
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c
c
p
TRa
5.22
427.0 c
c
p
TRb 0866.0
donde kPa 4600cp y K 191cT . Como ingeniero químico, se le pide determinar la
cantidad de combustible metano que se puede almacenar en un tanque de 3 m3 a una
temperatura de –40ºC con una presión de 65000 kPa. Emplee el método de localización de
raíces de su elección para calcular v y luego determine la masa de metano contenida en el
tanque.
115. [WM] Calcular el volumen que ocupa un mol de metano a 0°C y 50 atm utilizando la
ecuación de estado de Van der Waals
TRnbnVV
anP
)(
2
2
Para el metano
2
2
mol
atm.L25.2a ,
mol
L0428.0b . La constante universal de los gases
es
Kmol
L.atm082057.0R
La ecuación de Van der Waals se puede escribir del modo siguiente
bnVnaP
TRV
)/( 22
El valor de V obtenido con la ecuación de los gases ideales
TRnVP
se sustituye en el lado derecho de esta ecuación, calculando un valor aproximado de V
(aproximación inicial). Este valor se sustituye nuevamente en el lado derecho de la
ecuación para obtener un valor de V aún más exacto. Este proceso se continua hasta que el
valor calculado de V sea esencialmente el mismo que el utilizado en la sustitución del lado
derecho de la ecuación.
Identifique este método. Resuelva la ecuación de Van der Waals con una exactitud de 10–4
aplicando el método indicado.
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116. [SN] Una masa de 1 kg de CO está contenido en un recipiente a K 215T y
bars 70P . Calcule el volumen del gas utilizando la ecuación de estado de Van der Waals
para un gas no ideal, dada por
TRbVV
aP
)(
2
donde kgmol.K
bar.m08314.0
3
R , 2
6
(kgmol)
bar.m463.1a y
kgmol
m0394.0
3
b . Determine el
volumen específico v (en m3/kg) y compare los resultados con el volumen calculado por la
ecuación del gas ideal, TRvP .
117. [BF] En un artículo titulado “Holdup and Axial Mixing in Bubble Columns
Containing Screen Cylinders”, B. H. Chen calcula el gas atrapado en una columna de
burbujas gas – líquido aproximando primero la cantidad
1
22
22 2exp
2
sen2
n
n
n
nn t
M
MSM
MMS
SS
(1)
donde t y M son parámetros físicos y las nS son los valores más pequeños (en magnitud)
que satisfacen
MS
S nn
2tan , cuando n es impar, y
MS
S nn
2cot , cuando n es par.
a) Suponiendo que 7.3M , encuentre 1S , 2S , 3S y 4S .
b) Use los resultados de la parte a) para aproximar la suma en la ecuación (1), cuando 0t
.
118. [CC] La ecuación de Ergun, que se da abajo, sirve para describir el flujo de un líquido
a través de un lecho empacado. P es la caída de presión, es la densidad del fluido, 0G
es la velocidad másica (el cociente del flujo de masa dividido entre el área de la sección
transversal), pD es el diámetro de partículas dentro del lecho, es la viscosidad del
fluido, L es la longitud del lecho y es la fracción vacía del lecho.
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75.1)1(
150)1( 0
2
2
0
GDL
D
G
p
p
p
Dados los siguientes valores para los parámetros encuentre la fracción vacía del lecho.
10000
GDp
102
0
LG
Dp p
119. [CC] El volumen V de un líquido contenido en un tanque horizontal cilíndrico de radio
r y longitud L está relacionado con la profundidad del líquido h por
Lhhrhrr
hrrV
212 2)(cos
Determine h para m 2r , m 5L y 3m 8V . Observe que si usted utiliza un lenguaje
de programación o herramienta de software, el arco coseno se puede calcular como
2
11
1tan
2cos
x
xx
120. [BF] Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de
semicírculo con radio r. Cuando se llena de agua hasta una distancia h de la parte superior,
el volumen de agua V es
2
1
)(sen 22122
21 hrh
r
hrrLV
Suponga que pies 10L , pie 1r , y que 3pies 4.12V . Determine la profundidad del
agua en el abrevadero.
121. [CC] El volumen V del líquido contenido en un tanque esférico da radio r está
relacionado con la profundidad h del líquido por
3
)3(2 hrhV
Determine h para m 1r y 3m 5.0V .
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122. [CC] Para el tanque esférico del problema anterior, es posible desarrollar las siguientes
fórmulas para el método de punto fijo:
r
Vhh
3
33
y 3
23
Vhrh
Si m 1r y 3m 5.0V , determine si cualquiera de las dos alturas es estable, y el rango de
valores iniciales para los que sí son estables.
Sistemas ambientales.
123. [CC] En ingeniería ambiental (un área especial de la ingeniería civil), la siguiente
ecuación sirve para calcular el nivel de oxígeno en un río aguas abajo desde una descarga
de aguas residuales:
)(2010 75.02.0 xx eeC
donde x es la distancia aguas abajo en kilómetros. Determine la distancia aguas debajo
donde el nivel de oxígeno se encuentra a una lectura de 5. (Sugerencia: Este valor está
dentro de los 2 km de la descarga.) Determine la respuesta con un 1% de error.
124. [CC] La concentración de bacterias contaminantes c en un lago decrece de acuerdo
con la relación
tt eec 075.05.1 2570
Determine el tiempo requerido para que la concentración de bacterias se reduzca a 9 usando
a) el método gráfico y b) el método de Newton – Raphson.
125. [CC] En ingeniería marítima, la ecuación de una ola estacionaria reflejada en un
puerto está dada por 16 , 12t , 48v :
xe
vtxhh
2cos
2sen 0
Encuentre el valor positivo más bajo de x si 04.0 hh .
Sistemas Térmicos.
126. [WM] Un tubo de acero de D diámetro nominal cuya superficie exterior a iT se coloca
en aire inmóvil a 0T con el coeficiente de transferencia convectiva de calor entre la
superficie del tubo y el aire igual a h se sugiere agregar aislante de magnesio de 85% a las
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superficie exterior del tubo para reducir la pérdida de calor. ¿Qué espesor de aislante (
12 DD ) se requiere para reducir la pérdida de calor a una fracción del original si la
temperatura de la superficie del tubo y el coeficiente de transferencia convectiva de calor
permanecen constantes?
La ecuación que rige este fenómeno es
hDk
DD
TTTTDh i
i
2
12
00
2
1 1
2
)/(ln)]([
Pasando a un lado de la ecuación todos los términos que involucran a 2D y simplificando
al máximo se obtiene:
121
2 11ln
2 DDD
D
k
h
Determinar el espesor del aislante exacto a 10–4
, usando el método de Newton con
ft2.02 D como aproximación inicial y los siguientes datos:
Ffth
Btu5.1
2 h
Ffth
Btu041.0
k
in1D ( ft0.10951 D ).
Tecnología Automotriz.
127. [BF] En el diseño de vehículos, es necesario considerar las fallas del vehículo cuando
intenta pasar por dos tipos de obstáculos. Un tipo de falla es la llamada falla de colgado, la
cual ocurre típicamente cuando un vehículo trata de cruzar un obstáculo que causa que la
parte interior del vehículo toque el suelo (o el obstáculo). El otro tipo de falla se llama falla
de frente y ocurre comúnmente cuando el vehículo desciende en una zanja y su frente toca
el suelo.
La siguiente figura muestra las componentes asociadas con la falla de frente de un vehículo.
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Aplicaciones a la Ingeniería
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En esa referencia se demuestra que el ángulo máximo , que un vehículo puede tener
cuando es el ángulo máximo en que la falla de colgado no ocurre, satisface la ecuación
0sencossencossen 2 ECBA , donde
1sen lA 1cos lB
11 tan5.0sen )5.0( DDhC DDhE 5.0cos)5.0( 1
a) Se enuncia que cuando 89l , 49h , 55D y 5.111 , el ángulo es
aproximadamente 33°. Verifique este resultado.
b) Encuentre para la situación en la que l , h y 1 son los mismos que en la parte a)
pero 30D .
Ingeniería económica.
128. [CC] Si se compra una pieza de un equipo que cuesta $20000 al contado y en pagos de
4000 al año durante 6 años, ¿qué tasa de interés se está pagando? La fórmula que relaciona
el valor presente P, los pagos anuales A, el número de años n y la tasa de interés i es
1)1(
)1(
n
n
i
iiPA
129. [BF] El valor acumulado de una cuenta de ahorros que se basa en pagos periódicos
puede calcularse con la ecuación de anualidad vencida
]1)1[( nii
PA
En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita
periódicamente e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Aplicaciones a la Ingeniería
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ingeniero le gustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de 750000 dólares al
momento de retirarse dentro de 20 años y puede depositar 1500 dólares mensuales para
lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la tasa mínima de interés a que puede invertirse ese dinero,
suponiendo que es un interés compuesto mensual? [Sugerencia: Con el objeto de calcular la
tasa de interés mensual, el número de periodos debe trabajarse en meses.]
130. [BF] Los problemas relativos al dinero necesario para pagar una hipoteca de una casa
durante un periodo fijo de tiempo requieren la fórmula
])1(1[ nii
PA
Denominada ecuación de la anualidad ordinaria. En esta ecuación, A es el importe de la
hipoteca, P es el importe de cada pago e i es la tasa de interés por periodo para n periodos.
Supongamos que se necesita una hipoteca de 135000 dólares por una casa a 30 años y que
los pagos máximos que puede realizar el cliente son de 1000 dólares mensuales. ¿Cuál será
el interés más alto que puede pagar? [Sugerencia: Con el objeto de calcular la tasa de
interés mensual, el número de periodos debe trabajarse en meses.]
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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
1.14.- APLICACIONES A LA INGENIERÍA.
92. 72720931184.1 93. 31143462612.0
94. 178675292550.0 95. 946106352377.0
96. 3151660803.0t 97. 944935041.138/ AP
98. 32436036.1266AT
99. 246117975.201x , 861070103270.0max y
100. 021666247790.0d 101. 086331600893.0
102. 9423929822.25t 103. 373170617745.0
104. 3773378749.5t 106. nt 72248800338.2 , ,...2,1,0n
107. 191335715.72 , 5.51442924772n , 5.11175661359N
108. 46060610557.1x 109. 020156388.220
110. 00975084.1126T 111. 7108603291.53t
112. 4850282494411.0x 113. 0928783417.16x
114. 5577831974.12a , 9130018626153.0b , 15.233T , 57030028084086.0v ,
71090084252259.0m
115. Método iterativo de punto fijo. 15.273T , 6680579680155.0V
117. a) 52292828990.71 S , 55146866523.42 S , 52292828990.73 S ,
55146866523.44 S , b) –4.33552896998.
118. 653472949046.0 119. 557400152180.0h
120. 61661660346.0h 121. 424311206651.0h
122. La primera ecuación es inestable para cualquier h inicial. La segunda ecuación es
estable para cualquier h inicial, pero no conduce a la raíz físicamente aceptable del
problema. 4932.94494628h .
123. 626023554643.0x 124. 6220167724.13t
125. 0166121795.1x
127. a) 935754730121.0 ; b) 445789065809.0
128. 59998928211.4i 129. 050055507819.0i
130. 5930067499171.0i
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Aplicaciones a la Ingeniería
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 163
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