1.2 Ecuación diferencial con valor inicial

ECUACIÓN DIFERENCIAL CON VALOR INICIAL

TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO

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INTRODUCCIÓN

Un problema con valor inicial consistes en una ecuación diferencial y de un punto en el plano 𝑥, 𝑦 :

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑦 𝑥0 = 𝑦0

El teorema consiste en encontrar una función y = f(x) solución a la ecuación diferencial y que además cumpla𝑦 𝑥0 = 𝑦0, es decir que al evaluar dicha función en 𝑥 = 𝑥0 el valor resultante sea 𝑦0.

Generalmente este problema se resuelve primero encontrando la solución general en donde aparece “C”arbitraria y posteriormente se sustituyen los datos del punto 𝑥0, 𝑦0 para determinar el valor de “C”.

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EJEMPLO 1

EJEMPLO:𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥

𝑦

SOLUCIÓN:𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥

𝑦𝑦 𝑑𝑦 = −2𝑥 𝑑𝑥

𝑦 𝑑𝑦 = − 2𝑥 𝑑𝑥

𝑦2

2= −𝑥2 + 𝐶

𝑦 = −2𝑥2 + 𝐶

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Esta es una solución general explícita. Ahora aplicando una valor inicial, 𝑦 1 = 1, esdecir, 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 1:

𝑦 = −2𝑥2 + 𝐶

1 = −2 1 2 + 𝐶

1 = −2 + 𝐶

𝐶 = 3

Regresando y sustituyendo:

𝑦 = −2𝑥2 + 𝐶

∴ 𝑦 = −2𝑥2 + 3REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO 2

EJEMPLO:𝑦′ = 4 − 9𝑥2 − 6𝑥5 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 1 = 2

SOLUCIÓN:

Recordando que 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑦′ = 4 − 9𝑥2 − 6𝑥5

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4 − 9𝑥2 − 6𝑥5

Aplicando el método de separación de variables:𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4 − 9𝑥2 − 6𝑥5

𝑑𝑦 = 4 − 9𝑥2 − 6𝑥5 𝑑𝑥

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Realizando la integración:𝑑𝑦 = 4 − 9𝑥2 − 6𝑥5 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 4 − 9𝑥2 − 6𝑥5 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 4 𝑑𝑥 − 9 𝑥2 𝑑𝑥 − 6 𝑥5 𝑑𝑥

Recordando que:

1) 𝑑𝑣 = 𝑣 + 𝐶

2) 𝑣𝑛 𝑑𝑣 =𝑣𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶

Entonces:

𝑑𝑦 = 4 𝑑𝑥 − 9 𝑥2 𝑑𝑥 − 6 𝑥5 𝑑𝑥

𝑦 = 4 𝑥 − 9𝑥3

3− 6

𝑥6

6+ 𝐶

∴ 𝑦 = 4𝑥 − 3𝑥3 − 𝑥6 + 𝐶 REGRESAR AL CONTENIDO

Utilizando la condición inicial 𝑦 1 = 1, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥0 = 1 , 𝑦0 = 2

𝑦 = 4𝑥 − 3𝑥3 − 𝑥6 + 𝐶

2 = 4 1 − 3 1 3 − 1 6 + 𝐶

2 = 4 − 3 − 1 + 𝐶

𝐶 = 2

Regresando y sustituyendo el valor de la constante de integración C:

𝑦 = 4𝑥 − 3𝑥3 − 𝑥6 + 𝐶

∴ 𝑦 = 4𝑥 − 3𝑥3 − 𝑥6 + 2

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BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.

Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.

Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

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