2.2 figuras y cuerpos

MATEMÁTICAS III

Gonzalo Díaz Benito

EJE FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

2.2 figuras y cuerpos

Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

MOVIMIENTOS DEL PLANO (DEFINICIÓN).

Una traslación geométrica es una relación que hace corresponder a cada punto P y P´ del plano otro punto P´ del plano.

Se dice que P y P´ son homólogos por la trasformación en ellos mismos se dice que son invariantes o puntos dobles.

Un movimiento o isometría es una trasformación en la que todas las figuras mantienen su forma y su tamaño. La distancia entre dos puntos cualesquiera de la figura se mantiene constante.

Los movimientos pueden ser de dos tipos:

DIRECTOS: cuando el movimiento conserva el sentido, es decir si el punto A se trasforma en A´, el B en B´ y el C en C´ y al hacer el recorrido de estos puntos en el orden ABC se va en el sentido de las agujas del reloj. O sea, conserva la orientación de las figuras.

Son movimientos directos la traslación, el giro o rotación y la simetría central.

INVERSOS: cuando el movimiento cambia el sentido, es decir cuando se va en sentido contrario a las agujas del reloj. O sea invierten la orientación.

es un movimiento inverso la simetría axial o reflexión.

Traslación Una traslación de vector V es un movimiento directo en el plano que asocia a cada punto A un punto A´ de la forma que el vector es un vector que igual modulo dirección y sentido que V .

EJERCICIOS :(TRASLACIÓN)

Realiza una traslación de la siguiente figura:

El triángulo A´B´C´ es producto de la traslación del triángulo ABC.

a. Traza los segmentos AA´ , BB´´Y CC´.b. Verifica, que sean paralelos.c. Corrobora que sus medidas sean iguales.d. ¿Cuánto miden?

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Dibuja el pentágono de vértices A(1,4), B(4,5),

C(5,2), D(4,0) Y E(1,1). Aplica una traslación de vector t (-2,-5).Aplica al pentágono inicial (de vértices ABCDE) una simetría cuyo eje sea eje Y

Rotación: Un giro o rotación de centro O y ángulo α es un movimiento que cada punto A le hace corresponder A´ de la forma que OA=OA´ y el ángulo AOA´= α se presenta por g(O, α).

El ángulo del giro es positivo si es en un sentido contrario a las agujas del reloj y negativo si es en el mismo sentido. El ángulo de giro también se llama argumento.

EN CONTEXTO :La idea de rotación se presenta en diversas situaciones cotidianas :

Por ejemplo, los siguientes objetos rotan:

El minutero de un reloj, las canastillas de la rueda de la fortuna y la rueda de una bicicleta.

EJEMPLO:Efectuar la rotación del triangulo EMS, según el centro O y el ángulo de 90° hacia la derecha.

EJERCICIOS :(ROTACIÓN).

Encuentra el centro de rotación que

trasforma un triángulo en otro.

Rotar el triángulo rectángulo EHF según un ángulo de 90°, el centro, O, de libre ubicación

Rotar el triángulo XQP, con un ángulo de 180°, según el centro, O.

Considerando que le punto marcado es el centro de rotación y que cada figura girara según el angulo indicado . Dibuja en la tercera columna como queda la figura .

FIGURA INCIAL ANGULO DE ROTACION FIGURA FINAL

90°

180°

180°

Simetria axial: Una simetría axial de eje la recta r es un movimiento inverso que lleva cada punto A en otro A´ de forma que r es la mediatriz de AA´ . Esto es :

el eje r es perpendicular a AA´´

La distancia d(A,r) = d(r,A´)

Por tanto, para hallar el simétrico de un punto A respecto de la recta r, se traza una perpendicular a la recta r por el punto A. El punto A´ se encontrara a igual distancia que el punto A de r, pero al otro lado de la recta. Es decir, el eje de simetría actúa como un espejo.

Simetría central: Una simetría central de centro O es un movimiento directo que hace corresponder a un punto A otro A’ de forma que OA=OA´ y, además A, O y A´ están en la misma recta. A y A´ están uno a cada lado del centro O y a igual distancia de él.

Ejemplos en la vida real:

La simetría axial se puede dar también en un objeto con respecto de uno o mas ejes de simetría.

Ejercicio:¿cuantos ejes de simetría tienen?

La figura de la izquierda tiene centro de simetría,

¿Cuál es el menor ángulo que ha de girar para quedar invariante?

¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura de la izquierda?