2.6 Pendientes y rectas tangentes

PENDIENTES Y RECTAS TANGENTESTEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

Pendiente en forma polar: Si f es una función diferenciable (o derivable) de 𝜃, entonces lapendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑟 = 𝑓 𝜃 en el punto 𝑟, 𝜃 es:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦𝑑𝜃𝑑𝑥𝑑𝜃

=𝑓 𝜃 cos 𝜃 + 𝑓´ 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃

−𝑓 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑓′ 𝜃 cos 𝜃

Siempre que𝑑𝑥

𝑑𝜃≠ 0 en 𝑟, 𝜃

Si:

𝑑𝑦

𝑑𝜃= 0 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

𝑑𝑥

𝑑𝜃= 0 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

Rectas tangentes en el polo: Si 𝑓 𝛼 = 0 y 𝑓′ 𝛼 ≠ 0, entonces la recta 𝜃 = 𝛼 es tangente a lagráfica de 𝑟 = 𝑓 𝜃 en el polo.

PRIMER EJEMPLO APLICADO AL HALLAZGO DE RECTAS TANGENTES HORIZONTALES Y VERTICALES

EJEMPLO: Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales de la siguiente ecuación e intervalo:

𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

SOLUCIÓN:

Utilizando la ecuación siguiente y sustituyendo:

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

Derivándolo con respecto a “𝜃”𝑑𝑥

𝑑𝜃=

𝑑

𝑑𝜃𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

𝑑𝑥

𝑑𝜃= 𝑠𝑒𝑛 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 + cos 𝜃 cos 𝜃

𝑑𝑥

𝑑𝜃= −𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos2 𝜃

𝑑𝑥

𝑑𝜃= cos2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

Ahora, haciendo que 𝑑𝑥

𝑑𝜃= 0, se despeja el parámetro “𝜃”:

𝑑𝑥

𝑑𝜃= cos2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃

0 = cos2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃

0 = cos2 𝜃 − 1 − cos2 𝜃

0 = 2 cos2 𝜃 − 1

0 = 2 cos2 𝜃 − 1

2 cos2 𝜃 − 1 = 0

2 cos2 𝜃 = 1

cos 𝜃 =1

2

𝜃 = arccos1

2

𝜃 =1

4𝜋 𝑦 𝜃 =

3

4𝜋

Cuando 𝜃 =1

4𝜋 = 45°:

𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜋

4=

1

2

𝑟 =1

2

Cuando 𝜃 =3

4𝜋 = 135°:

𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑟 = 𝑠𝑒𝑛3

4𝜋 =

1

2

𝑟 =1

2

∴ Los puntos verticales son: 1

2,

𝜋

4𝑦

1

2,

3

4𝜋

Ahora:

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝜃

Derivándolo con respecto a “𝜃”𝑑𝑦

𝑑𝜃=

𝑑

𝑑𝜃𝑠𝑒𝑛2 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃= 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

Ahora, haciendo que 𝑑𝑦

𝑑𝜃= 0, se despeja el parámetro “𝜃”:

𝑑𝑦

𝑑𝜃= 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

0 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

0 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

0 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜃

𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0 = 2𝜃

2𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 0

Y se obtienen dos soluciones:2𝜃 = 0 𝑦 2𝜃 = 𝜋

Al despejar “𝜃” en ambas:

𝜃 = 0 𝑦 𝜃 =𝜋

2

Cuando 𝜃 = 0:

𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 0 = 0

𝑟 = 0

Cuando 𝜃 =1

2𝜋:

𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛1

2𝜋 = 1

𝑟 = 1

∴ Puntos horizontales: 0, 0 𝑦 1,𝜋

2

SEGUNDO EJEMPLO APLICADO AL HALLAZGO DE RECTAS TANGENTES HORIZONTALES Y VERTICALES

EJEMPLO: Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales de la siguiente ecuación:

𝑟 = 2 1 − cos 𝜃

SOLUCIÓN:

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑥 = 2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 cos 𝜃

𝑥 = 2 cos 𝜃 − cos2 𝜃

Derivándolo con respecto a “𝜃”:𝑑𝑥

𝑑𝜃=

𝑑

𝑑𝜃2 cos 𝜃 − cos2 𝜃

𝑑𝑥

𝑑𝜃= 2 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑑𝑥

𝑑𝜃= 2 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2 sen 𝜃 cos 𝜃

𝑑𝑥

𝑑𝜃= −2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 4 sen 𝜃 cos 𝜃

Ahora, haciendo que 𝑑𝑥

𝑑𝜃= 0, se despeja el parámetro “𝜃”:

𝑑𝑥

𝑑𝜃= −2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 4 sen 𝜃 cos 𝜃

0 = −2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 4 sen 𝜃 cos 𝜃

2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 4 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃

2 𝑠𝑒𝑛 𝜃

4 𝑠𝑒𝑛 𝜃= cos 𝜃

2

4= cos 𝜃

cos 𝜃 =2

4=

1

2

𝜃 = arccos1

2

Como existen dos valores de “𝜃”:

𝜃 =𝜋

3𝑦 𝜃 =

5𝜋

3

Cuando 𝜃 =𝜋

3𝑟 = 2 1 − cos 𝜃

𝑟 = 2 1 − cos𝜋

3

𝑟 = 2 1 −1

2= 1

𝑟 = 1

Cuando 𝜃 =5𝜋

3𝑟 = 2 1 − cos 𝜃

𝑟 = 2 1 − cos5

3𝜋

𝑟 = 2 1 −1

2= 1

𝑟 = 1

∴ Puntos verticales: 1,𝜋

3𝑦 1,

5

3𝜋

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑦 = 2 1 − cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

Derivándolo con respecto a “𝜃”: 𝑑𝑦

𝑑𝜃=

𝑑

𝑑𝜃2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃= 2 cos 𝜃 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 cos 𝜃 cos 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃= 2 cos 𝜃 + 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 2 cos2 𝜃

Ahora, haciendo que 𝑑𝑦

𝑑𝜃= 0, se despeja el parámetro “𝜃”:

𝑑𝑦

𝑑𝜃= 2 cos 𝜃 + 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 2 cos2 𝜃

0 = 2 cos 𝜃 + 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 2 cos2 𝜃

2 cos 𝜃 + 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 2 cos2 𝜃 = 0

2 cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − cos2 𝜃 = 0

cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − cos2 𝜃 =0

2

cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − cos2 𝜃 = 0

Recordando que:

𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 − cos2 𝜃

Entonces, sustituyendo:

cos 𝜃 − cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 0

cos 𝜃 − cos2 𝜃 + 1 − cos2 𝜃 = 0

−2 cos2 𝜃 + cos 𝜃 + 1 = 0

Para resolverlo, se usa fórmula general pero se obtienen primeramente los coeficientes de la ecuación:

𝑎 = −2 , 𝑏 = 1 , 𝑐 = 1

cos 𝜃 =− 1 ± 1 2 − 4 −2 1

2 −2=

−1 ± 1 + 8

−4=

−1 ± 9

−4=

−1 ± 3

−4

cos 𝜃1 =−1 + 3

−4=

2

−4= −

1

2

𝜃1 = 𝑎𝑟𝑐 cos −1

2

𝜃1 =2𝜋

3𝑦 𝜃1 =

4𝜋

3

Cuando 𝜃 =2𝜋

3:

𝑟 = 2 1 − cos 𝜃

𝑟 = 2 1 − cos2𝜋

3

𝑟 = 2 1 +1

2

𝑟 = 23

2𝑟 = 3

Cuando 𝜃 =4𝜋

3:

𝑟 = 2 1 − cos 𝜃

𝑟 = 2 1 − cos4𝜋

3

𝑟 = 2 1 +1

2

𝑟 = 23

2𝑟 = 3

Luego:

cos 𝜃2 =−1 − 3

−4=

−4

−4= 1

𝜃2 = 𝑎𝑟𝑐 cos 1

𝜃2 = 0 𝑦 𝜃2 = 2𝜋

Cuando 𝜃 = 0:𝑟 = 2 1 − cos 𝜃𝑟 = 2 1 − cos 0

𝑟 = 2 1 − 1𝑟 = 2 0

𝑟 = 0

Cuando 𝜃 = 2𝜋:𝑟 = 2 1 − cos 𝜃

𝑟 = 2 1 − cos 2𝜋𝑟 = 2 1 − 1

𝑟 = 2 0𝑟 = 0

∴ Puntos horizontales: 0, 0 , 4, 𝜋 , 3,2

3𝜋 𝑦 3,

4

3𝜋

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.