4.19 Cuando la gradiente es normal

CUANDO LA GRADIENTE ES NORMAL TEMA DE CÁLCULO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

El gradiente es normal a las curvas de nivel. Si 𝑓 es diferenciable en 𝑥0, 𝑦0 y𝛻𝑓 𝑥0, 𝑦0 ≠ 0 entonces 𝛻𝑓 𝑥0, 𝑦0 es normal (ortogonal) a la curva de nivel quepasa por 𝑥0, 𝑦0 .

EJEMPLO

Hallar un vector normal a una curva de nivel:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Con 𝑐 = 0.

Solución:

A partir de la función

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥0 = 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Ahora, derivando la función parcialmente:

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =

𝜕

𝜕𝑥𝑦 −

𝜕

𝜕𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑦

𝜕

𝜕𝑥1 −

𝜕

𝜕𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = −cos𝑥

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =

𝜕

𝜕𝑦𝑦 −

𝜕

𝜕𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥 =

𝜕

𝜕𝑦𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝜕

𝜕𝑦1

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 1

Y de la gradiente:

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑦

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = − cos 𝑥 𝑖 + 𝑗

Para tomar diferentes valores se hace lo siguiente:

𝛻𝑓 −𝜋, 0 = − cos−𝜋 𝑖 + 𝑗 = 𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓 −2𝜋

3,−

3

2= − cos −

2𝜋

3 𝑖 + 𝑗 =

1

2 𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓 −𝜋

2, −1 = 0 𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓 −𝜋

3,−

3

2= − cos −

𝜋

3 𝑖 + 𝑗 =

1

2 𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓 0, 0 = − cos 0 𝑖 + 𝑗 = − 𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓𝜋

3,

3

2= −cos

𝜋

3 𝑖 + 𝑗 = −

1

2 𝑖 + 𝑗

𝛻𝑓𝜋

2, 1 = − cos

𝜋

2 𝑖 + 𝑗 = 0 𝑖 + 𝑗

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.