Calculo del intervalo mediano y de los cuartiles

CALCULO DE LA MEDIANA Y LOS CUARTILES DE UNA

SERIE DE DATOS TABULADOS

Se llama mediana, una vez ordenado los valores de la variable, en forma creciente o decreciente, a aquel valor de la variable que se ubica la mitad de los valores de las variables (50%).

Para obtener la mediana y los cuartiles de una serie de datos tabulados es preciso antes determinar su intervalo mediano.

Es preciso comprender algunos conceptos previos, como: intervalo mediano; intervalo de clase; amplitud de intervalo y limite de clase.

INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE

El símbolo que define una clase, como por ejemplo 60–65 se llama intervalo de clase. A los números 60 y 65 se les conoce como limites de clase; el numero mas pequeño (60) es el limite inferior de clase, mientras que el numero mas grande (65) es el limite superior de clase.

Se acostumbra usar los términos “clase” e “intervalo de clase” indistintamente, aunque el intervalo de clase es en realidad un símbolo de la clase.

Se simboliza con las letras:

y’-1- yi, donde y’-1 es el límite inferior del intervalo e yi es el limite superior del intervalo. Para nuestro ejemplo, y`-1 = 60 e yi = 65

La amplitud de intervalo (C) se obtiene de la diferencia entre el limite superior y el inferior de la clase: yi - y’-1. Para nuestro ejemplo, la amplitud del intervalo seria:

65 – 60 = 5

INTERVALO MEDIANO:

Se llama intervalo mediano a los valores centrales de una serie de intervalos de unos datos tabulados. Ellos nos pueden señalar la mediana de los datos totales, pero no siempre son muy precisos.

Una forma simple de calcular el intervalo mediano es dividir n (muestra) en 2. Así, por ejemplo, si tenemos una muestra n = 20, su intervalo mediano será 20/2 = 10. Y su intervalo mediano estará ubicado aproximadamente junto a este valor, el cual se refleja en Ni (frecuencia absoluta acumulada).

Sin embargo esto solo nos aproxima al intervalo mediano, pero no siempre da un valor preciso sobre la mediana de todos los datos.

Simbología:

ni : Frecuencia relativa. y’j-1 : límite inferior del intervalo de orden j

(intervalo mediano). Cj : amplitud del intervalo mediano Nj : Frecuencia absoluta acumulada del intervalo

mediano. Nj-1 : Frecuencia absoluta acumulada del

intervalo anterior al mediano. N : tamaño de la muestra.

Para datos tabulados:

No es posible determinar la mediana por simple ordenamiento,sólo se puede determinar el intervalo en el que se encuentra suvalor y se denomina intervalo MEDIANO (Me) o de orden “j”.

Recordemos que el intervalo mediano, para una serie deintervalos, es n/2. Por ejemplo, veamos en la siguiente tabla:

Y’i-1 – y’

i ni Ni

45.5 – 54.5 2 2

55.5 – 64.5 4 6

65.5 – 74.5 7 13

75.5 – 84.5 4 17

85.5 – 94.5 3 20

Y’i-1 – y’

i ni Ni

45.5 – 54.5 2 2

55.5 – 64.5 4 6

65.5 – 74.5 7 13

75.5 – 84.5 4 17

85.5 – 94.5 3 20

En el ejemplo debemos encontrar n/2 para ubicar Nj (frecuencia absoluta acumulada del intervalo). Sabemos que n = 20 (el total de la muestra), entonces n/2 = 10

Significa que Nj esta ubicado más o menos en Ni=13, por lo que el intervalo mediano de esta serie de datos estaria en 65,5 – 74,5 y su amplitud seria de 9.

Ni= 6 seria la frecuencia absoluta acumulada del intervalo, anterior al intervalo mediano.(Nj-1)

Nj-1

Nj

Intervalo mediano.

Ejemplo:

Y’i-1 – y’

i ni Ni

45.5 – 54.5 2 2

55.5 – 64.5 4 6

65.5 – 74.5 7 13

75.5 – 84.5 4 17

85.5 – 94.5 3 20

Entonces, para este ejemplo tenemos que la amplitud de intervalo de cada clase es de 9, ya que

54,5 – 45,5 = 9; 74,5 – 65,5 = 9 , etc.

Por lo tanto Cj = 9

Y su intervalo mediano es 65.5 – 74.5

Su Nj es 13

Su Nj-1 es 6

Nj-1

Nj

Intervalo mediano

Ahora aplicamos la formula para el calculo más preciso de la Me de todos los datos:

1

1

1'2

jj

j

jj NN

Nn

cyMe

La mediana de los datos de nuestro ejemplo es de 70,142, lo cual significa que el 50% de la muestra esta bajo este valor y el otro 50% estuvo sobre este valor. Este valor esta dentro del rango de amplitud del intervalo mediano de la tabla (65,5 – 74,5).

Calculando cuartiles (Q)

Una vez ubicado el intervalo mediano (o la mediana de los datos de nuestra tabla) podemos aventurarnos a calcular los cuartiles.

Los cuartiles son medidas estadísticas de posición que tienen la propiedad de dividir la serie estadística en cuatro grupos de 25% cada uno (aproximadamente).

Significa que a través de los cuartiles podemos saber que variables se ubican en el 25%, 50% y 75% respectivamente.

Se denotan por Q1, Q2 y Q3

La fórmula para calcular el primer cuartil es:

1

1

'114

jj

j

jj NN

Nn

cyQ

1

1'

134

3

jj

j

jj NN

Nn

cyQ

La fórmula para calcular el segundo cuartil es:

La fórmula para calcular el tercer cuartil es:

Encontremos el primer cuartil en nuestra tabla de frecuencias…

Y’i-1 – y’

i ni Ni

45.5 – 54.5 2 2

55.5 – 64.5 4 6

65.5 – 74.5 7 13

75.5 – 84.5 4 17

85.5 – 94.5 3 20

Sabemos que el limite inferior del intervalo mediano (Y’i-1) es 65,5 y que su amplitud (Cj) es de 9.

Sabemos que Nj (frecuencia absoluta acumulada del intervalos mediano) es 13 y que Nj-1 (Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al mediano) es 6.

Por ultimo sabemos que n = 20.

Con estos datos podemos calcular los cuartiles:

Nj-1

Nj

1

1

'114

jj

j

jj NN

Nn

cyQ

Reemplazando tenemos:

64,21 Significa que el primer cuartil esta en Ni =6

Y’i-1 – y’

i ni Ni

45.5 – 54.5 2 2

55.5 – 64.5 4 6

65.5 – 74.5 7 13

75.5 – 84.5 4 17

85.5 – 94.5 3 20

Reemplazando tenemos:

70,64 Significa que el 2º cuartil se ubica en Ni =13

Y’i-1 – y’

i ni Ni

45.5 – 54.5 2 2

55.5 – 64.5 4 6

65.5 – 74.5 7 13

75.5 – 84.5 4 17

85.5 – 94.5 3 20

1

1'

134

3

jj

j

jj NN

Nn

cyQ

Reemplazando tenemos:

77

Y’i-1 – y’

i ni Ni

45.5 – 54.5 2 2

55.5 – 64.5 4 6

65.5 – 74.5 7 13

75.5 – 84.5 4 17

85.5 – 94.5 3 20

Significa que el 3er cuartil esta aproximadamente en Ni = 17

Así, solo nos queda el 4º cuartil. Pero no hay necesidad de calcularlo mediante una formula, pues sabemos que es el ultimo valor de N1= 20

Y’i-1 – y’

i ni Ni

45.5 – 54.5 2 2

55.5 – 64.5 4 6

65.5 – 74.5 7 13

75.5 – 84.5 4 17

85.5 – 94.5 3 20

Chaoo…!

Presentación creada

por

José Luis Escanilla A.

6 de diciembre de 2009