Compendio de Reglas de Inferencia - Lógica Simbólica

Compendio de Reglas de

Inferencia - Lógica Simbólica

William Cordón

Maria Andree Paz

Adolfo Zepeda

Lucia Perez

Reglas básicas de inferencia por

introducción

Introducción de conjunción

Si se tienen dos premisas

• Se sabe que ambas son ciertas

Entonces la conjunción de ambas es una

conclusión válida

Ejemplo:

P

Q

(P & Q)

Introducción de disyunciónSi se tiene una premisa

• Se sabe que es cierta

Entonces la disyunción de esa premisa con cualquier otra

es una conclusión válida.

En general:

• Introducción de disyunción a la derecha

• Introducción de disyunción a la izquierda

Introducción de condicionales

Se tiene una o más premisas

• Se sabe que son verdaderas

Se puede asumir una diferente como condición de las existentes

• Si la que se asume es falsa igual se tiene consecuente

verdadero

Ejemplo

P

Q

(N (P & Q))

Reglas básicas de inferencia por

eliminación

Eliminación de condicional

• Se tiene una implicación

• Se sabe que es verdadera

• Y se tiene como premisa el antecedente

• Entonces el consecuente es verdadero

• Ejemplo

(P Q)

P

Q

Eliminación de conjunción

Teniendo una conjunciónLos dos conyuntos son verdaderos

Cualquiera de los dos es una conclusión válida

EjemploT&M

T

O bienT &M

M

Eliminación de disyunción

Teniendo una disyunción.

Los dos disyuntos tiene que llegar a la misma conclusion.

Observar los ámbitos donde se asume.

Ejemplo:

Reglas indirectas

Introducción de Negación

Diagrama de Fitch

El símbolo

se llama Falsum

También le llamaremos absurdo

1. (P Q) Premisa

2. (P ~Q) Premisa

3. P Se asume 4. Q E: 1, 3

5. ~Q E: 2, 3 6. I: 4, 5

7. ~P ~I: 6

Eliminación de negación

Es la misma regla que la introducción

Comparación:

Eliminación de negación

Introducción de negación

a1. ~ φ Se asume … p1.

c. φ ~E: p1

a1. φ Se asume … p1.

c. ~φ ~I: p1

Doble negación Introducción

Eliminación

p1. φ

…

c. ~~φ DNI: p1

p1. ~~φ

…

c. φ DNE: p1

Reglas derivadas para

conjunciones y disyunciones

Conmutatividad El orden de los conyuntos no altera la conjunción.

El orden de los disyuntos no altera la disyunción.

p1. (φ & ψ)

…

c. (ψ & φ) Conm&: p1

p1. (φ v ψ)

…

c. (ψ v φ) Conmv: p1

Asociatividad Aplica solo a conjunciones y disyunciones.

Ejemplo:p1. ((φ & ψ) & ρ)

…

c. (φ & (ψ & ρ)) AsocR&: p1

p1. (φ & (ψ & ρ))

…

c. ((φ & ψ) & ρ) AsocL&: p1

p1. (φ v (ψ v ρ))

…

c. ((φ v ψ) v ρ) AsocLv: p1

p1. ((φ v ψ) v ρ)

…

c. (φ v (ψ v ρ)) AsocRv: p1

Idempotencia Aplicaciones repetidas de operaciones no cambia el resultado. Se

mantiene igual.

Idempotencia de conjunción.

Idempotencia de disyunción.

p1. φ

…

c. (φ & φ) Idem&I: p1

p1. (φ & φ)

…

c. φ Idem&E: p1

p1. φ

…

c. (φ v φ) IdemvI: p1

p1. (φ v φ)

…

c. φ IdemvE: p1

Distributividad Conjunción respecto de disyunción

Disyunción respecto de conjunción

p1. (φ & (ψ v ρ))

…

c. ((φ & ψ) v (φ & ρ)) Distr&: p1

p1. ((φ & ψ) v (φ & ρ))

…

c. (φ & (ψ v ρ)) Distr&C: p1

p1. (φ v (ψ & ρ))

…

c. ((φ v ψ) & (φ v ρ)) Distrv: p1

p1. ((φ v ψ) & (φ v ρ))

…

c. (φ v (ψ & ρ)) DistrvC: p1

Silogismo Disyuntivo Dada una disyunción

Sabiendo que un disyunto es falso

El otro debe ser verdadero

Silogismo: Argumento con exactamente 2 premisas

p1. (φ v ψ)

p2. ~φ

…

c. ψ DSR: p1, p2

p1. (φ v ψ)

p2. ~ψ

…

c. φ DSL: p1, p2

El Corte Se tienen dos disyunciones y un par de disyuntos en contradicción.

p1. (φ v ψ)

p2. (~φ v ρ)

…

c. (ψ v ρ) Corte: p1, p2

Leyes de Morgan La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones y

viceversa.

La negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones y

vicersa.

p1. ~(φ & ψ)

…

c. (~φ v ~ψ) DeM: p1

p1. ~(φ v ψ)

…

c. (~φ & ~ψ) DeM: p1

p1. (~φ v ~ψ)

…

c. ~(φ & ψ) DeM: p1

p1. (~φ & ~ψ)

…

c. ~(φ v ψ) DeM: p1

Reglas derivadas para

condicionales

Modus Tollens

Teniendo una condicional Se tiene la negación del consecuente

Se sabe que el consecuente es falso

Se concluye la falsedad del antecedente

Modus Tollens Silogismo que niega

p1. (φ ψ)

p2. ~ψ

c. ~φ MT: p1, p2

Transposición

Si se tiene un condicional

Se sabe que la negación del consecuente implica

la negación del antecedente

Conocido como silogismo hipotético.

Transitividad

p1. (φ ψ)

…

c. (~ψ ~φ) Trans: p1

p1. (φ ψ)

p2. (ψ ρ)

c. (φ ρ) HS: p1, p2

Exportar e importar

Exportar

Sacar de… (sacar del antecedente)

Importar

Traer a… (traer al antecedente)

p1. ((φ & ψ) ρ)

c. (φ (ψ ρ)) Expt: p1

p1. (φ (ψ ρ))

c. ((φ & ψ) ρ) Impt: p1

Definición de condicional

Un condicional es equivalente a

También la disyunción es equivalente a un

condicional

p1. (φ ψ)

c. (~φ v ψ) Def E: p1

p1. (~φ v ψ)

c. (φ ψ) Def I: p1

Condicional negado

El mismo caso que el anterior pero con el

condicional negado

p1. ~(φ ψ)

c. (φ & ~ψ) ~ E: p1

p1. (φ & ~ψ)

c. ~(φ ψ) ~ I: p1

Reglas derivadas para bicondicionales

Eliminación de Bicondicional

Izquierda

Derecha

p1. (φ ψ)

p2. ψ

c. φ EL: p1, p2

p1. (φ ψ)

p2. φ

c. Ψ ER: p1, p2

Introducción de bicondicional

Asumiendo antecedentes

Con dos premisas

a1. φ Se asume

…

p1. ψ

a2. ψ Se asume

…

p2. φ

c. (φ ψ) I: p1, p2

p1. φ

p2. ψ

c. (φ ψ) I: p1, p2

Eliminación de cuantificador

universal ( x)

Forma general

Ejemplo:

Introducción de cuantificador

existencial ( x)

• Forma general

• Ejemplo:

Eliminación de cuantificador

existencial ( x)• Forma general:

• Condiciones:

• es una variable

• no ocurre en φ

• no ocurre en ψ

• no ocurre “libre” en ninguna fórmula asumida de la que p2 dependa.

Ejemplo:

Introducción de cuantificador

universal ( x)

• Forma general

• Condiciones:

• es una variable

• no ocurre “libre” en ( υ)φ

• no ocurre “libre” en ninguna premisa o fórmula asumida de la

que p1 dependa

Ejemplo:

Reglas para cuantificadores

Replacement of Bound Variables

Reemplazo de Variables Atadas

1. Premisa

2. Premisa

3. RBV: 1

1. Premisa

2. Premisa

3. RBV: 1

( x)(P(x) & R(x))

(Q(w) S)

( z)(P(z) & R(z))

( x)(P(x) T(x))

( z)(P(z) & R(z))

( z)(P(z) T(z))

Definition of the Universal Quantifier

Definición del Cuantificador Universal

1. Premisa

2. DefE: 1

1. Premisa

2. DefI: 1

( x)(P(x) & R(x))

~( x)~(P(x) & R(x))

~( z)~(P(z) T(z))

( z)(P(z) T(z))

Definition of the Existential Quantifier

Definición del Cuantificador Existencial

1. Premisa

2. DefE: 1

1. Premisa

2. DefI: 1

( z)(P(z) v T(z))

~( z)~(P(z) v T(z))

~( y)~(T(y))

( y)(T(y))

Negated Universal

Universal Negado

1. Premisa

2.

Existentially Quantified Negation

Negación Cuantificada Existencialmente

1. Premisa

2.

~( z)(P(z) v T(z))

( z)~(P(z) v T(z)) ~ : 1

( z)~(P(z) v T(z))

~( z)(P(z) v T(z)) ~: 1

Negated Existential

Existencial Negado

1. Premisa

2.

Universally Quantified Negation

Negación Cuantificada Universalmente

1. Premisa

2.

~( x)(P(x) v T(x))

( x)~(P(x) v T(x)) ~ : 1

( x)~(P(x) v T(x))

~( x)(P(x) v T(x)) ~: 1

Universally Quantified Conjunction

Conjunción Cuantificada Universalmente

1. Premisa

2.

Conjunction of Universals

Conjunción de Universales

1. Premisa

2.

Existentially Quantified Conjunction

Conjunción Cuantificada Existencialmente

1. Premisa

2.

( x)(P(x) & R(x))

(( x)P(x) & ( x)R(x)) &: 1

(( x)(Q(x) v T(x)) & ( x)S(x))

( x)((Q(x) v T(x)) & S(x)) & : 1

( x)(P(x) & T(x))

(( x)P(x) & ( x)T(x)) &: 1

Disjunction of Universals

Disyunción de Universales

1. Premisa

2.

Disjunction of Existentials

Disyunción de Existenciales

1. Premisa

2.

Existentially Quantified Disjunction

Disyunción Cuantificada Existencialmente

1. Premisa

2.

(( x)P(x) v ( x)T(x))

( x)(P(x) v T(x)) v : 1

(( x)P(x) v ( x)T(x))

( x)(P(x) v T(x)) v : 1

( x)(A(x) v B(x))

(( x)A(x) v ( x)B(x)) v: 1

Universal Disjunctive Syllogism

Silogismo Disyuntivo Universalmente Cuantificado

1. Premisa

2. Premisa

3.

1. Premisa

2. Premisa

3.

( z)(T(z) v S(z))

( z)~T(z)

( z)S(z) DSR: 1, 2

( z)(T(z) v S(z))

( z)~S(z)

( z)T(z) DSL: 1, 2

Existential Disjunctive Syllogism

Silogismo Disyuntivo Existencialmente Cuantificado

1. Premisa

2. Premisa

3.

1. Premisa

2. Premisa

3.

( x)(T(x) v S(x))

( x)~T(x)

( x)S(x) DSR: 1, 2

( x)(T(x) v S(x))

( x)~S(x)

( x)T(x) DSL: 1, 2

Universally Quantified Conditional

Condicional Cuantificada Universalmente

1. Premisa

2.

Existential Quantifiers and the Conditional

Condicional y Cuantificador Existencial

1. Premisa

2.

1. Premisa

2.

( w)(Q(w) S(w))

(( w)Q(w) ( w)S(w)) : 1

( w)(Q(w) S(w))

(( w)Q(w) ( w)S(w)) : 1

( w)(Q(w) S(w))

(( w)Q(w) ( w)S(w)) : 1

Universal Hypothetical Syllogism

Silogismo Hipotético Universal

1. Premisa

2. Premisa

3.

Universal Modus Tollens

Modus Tollens Universal

1. Premisa

2. Premisa

3.

Contraposition

Contraposición

1. Premisa

2. Contra: 1

( w)(Q(w) S(w))

( w)(S(w) R(w))

( w)(Q(w) R(w)) HS: 1, 2

( w)(S(w) R(w))

( w)~R(w)

( w)~S(w) MT: 1, 2

( w)(S(w) R(w))

( w)(~R(w) ~S(w))

Universally Quantified Biconditional

Bicondicional Cuantificada Universalmente

1. Premisa

2.

Universal Replace Equivalents

Reemplazo de Equivalentes en Universal

1. Premisa

2. Premisa

3.

( x)((A(x) & B(x)) C(x))

(( x)(A(x) & B(x)) ( x)C(x)) : 1

( x)((A(x) & B(x)) C(x))

( x)(Q(x) & C(x))

( x)(Q(x) & (A(x) & B(x))) RE: 1, 2

Double Quantifiers

Cuantificadores Dobles

1. Premisa

2.

1. Premisa

2.

Existentially Quantified Universal

Universal Cuantificado Existencialmente

1. Premisa

2.

( x)( y)(Q(x) & C(y))

( y)( x)(Q(x) & C(y)) : 1

( x)( y)(P(x) Q(y))

( y)( x)(P(x) Q(y)) : 1

( x)( y)(P(x) Q(y))

( y)( x)(P(x) Q(y)) : 1

Ley de Identidad Todo individuo es idéntico a sí mismo

1.

2. a = a =I

Si dos individuos son idénticos

Cualquier cosa verdadera de uno es

verdadera para el otro

No Discernibilidad de Idénticos

1. P(s) Premisa

2. s = m Premisa

3. P(m) =E: 1, 2