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ESCUELA DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
El conjunto de los números reales
Definición:
Un número real es cualquier número que se puede representarse en forma decimal.
Ejemplos:
1) -8=-8,0 2)12
=0,5 3) √3 =1,7 4)23
= 0,6̂ 5) 35
= 0,6
Subconjunto importante de los números reales
Números naturales o de conteo {1,2,3,….}
Los enteros {0,1,2,3}
Los racionales { ab
l son enteros y b≠0}
División para 0 tres casos:
1)Cualquier número
≠0: respuesta única
123
= 4 ≡ 4x3= 12
2)≠00
= no existe120
= t ≡ t x 0= 12 no existe
3)00
= inconclusa
Z+= N=
Z= enteros ={0
Q= racionales Z-=
R fraccionarios
Página 2
Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
Q´= irracionales
Un número irracional en cambio, la forma decimal ni termina ni es periódico.
Ejemplo:
1. √2=1,4142…2. √3=1,73205… 3. π=3,14159…
4. e=2,718…
Observación.- Por computadora se han extraído 20 cifras decimales ni terminan, ni hay períodos que el ordenador pueda encontrar del número π.
Orden y notación de intervalos.- El conjunto de los números, reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar 2 números reales cualquiera.
Son desigualdades:
Símbolo Definición Se leea >b a -b positivo a es mayor que ba <b a -b negativo a es menor que ba ≥b a -b es positivo o “0” a es mayor o igual que ba ≤ b a - b es positivo o “0” a es menor o igual que b
Intervalos acotados de números reales:
Notación de Intervalo
Tipo de intervalo Notación de desigualdad
Gráfico
[a,b] Cerrado a ≤ x ≤ b
(a,b) Abierto a < x < b
[a,b) Semiabierto a ≤ x < b
(a,b] Semiabierto a < x ≤ b
a b
a
b
b
b
a
a
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
Intervalos no acotados de números reales:
Notación de Intervalo
Tipo de intervalo Notación de desigualdad
Gráfico
[a,+∞) Semiabierto x ≥ a
(a,+∞) Abierto x > a
(-∞,b] Semiabierto x ≤ b
(-∞,b] Semiabierto x < b
Cada uno de estos intervalos tiene:
Recta numérica. Resulta asociar los puntos de una recta con los números reales, es un conjunto de punto.
Ejemplo Guía N°1
Describa en palabras y grafique los intervalos de números reales.
4) (-1;3) x es mayor que -1 y menor o igual que 3
7) (-2;4] -2< x ≤ 4
a
a
b
+
b
-
+
-
- +
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
11) x ≤ -7 (-∞,-7] x es menos o igual que 7
14)
[-4;+∞)
x ≥ 4
Expresiones Algebraicas:
Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las operaciones algebraicas suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Ejemplos:
1. 2 x3−x2−1
2.√x−1x2+1
3. 5 x13−−5
x2 +5 x−3
Propiedades Algebraicas
1) Propiedad Conmutativa:
Suma: u + v = v + u
Multiplicación: u v = v u
2) Propiedades Asociativas:
-
+
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
Suma: (u + v) + w = u + (v + w)
Multiplicación: (u v) w = u (v w)
3) Propiedad Indefinida:
Suma: u + 0 = u
Multiplicación: u . 1 = u
4) Propiedad del Inverso:
Suma: u + (-u) = 0
Multiplicación: u . 1u
= 1, u ≠ 0
5) Propiedad Distributiva:
Multiplicación sobre la suma: u(v + w) = uv + uw
(u + v)w = uw + vw
Multiplicación sobre la resta: u(v – w) = uv + uw
(u – v)w = uw – vw
Términos:Propiedad del Inverso
Aditivo
Sea u,v números reales, variable o expresión algebraica.Propiedades Ejemplos
1. –(-u) = u –(-3) = 32. (-u)v=u(-v)=-uv (-4)3=4(-3)=-(4.3)=-123. (-u)(-v)=uv (-6)(-7)=6.7=424. (-1)u=-u (-1)5=-55. -(u+v)=(-u)+(-v) -(7+9)=(-7)+(-9)=-16
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
Exponentes enteros
Si a es un números real y n es entero y positivo entonces:
an= a. a. a…
N veces a
an=b
a=base: n=exponente: b= potencia n de a
Ejemplos:
23= 2.2.2=8
(−34)= (-3)(-3)(-3)(-3)=81
−32=−3.−3
−43=−4.−4.−4=−64
( 13 )2=
13.13=1
9
Exponente 0:
Si a es un número real diferente de 0 a0=1
Ejemplos:
1) ¿= 1
2) (−2)0 = 1
3) 00= no existe
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
Exponente negativo
Si a es un número real y n un número entero
a−n= 1an
Ejemplos:
1) 2−3= 12.3
=¿
2) ¿
3) 5−4= 1625
Principales teorías de los exponentes:
1) nn×am=an+m
2)an
an= an−m
3) (a .b )=an×bn
4) ( ab )n=a .nb .n
5) (a .n )m=an×m
Ejercicios guía número 2:
1) 1311=132) 153=153) 614=6
4)x2
x5
y7
y3 = y4
x3
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Notación científica
Definición:
Se dice que un número x está escrito en notación científica si x es igual
a x= b×10n
1≤b<10
Y es un entero esta notación sirve para realizar la operación muy grande o muy pequeña:
Ejemplos:
1) 0.0000000955015=9.55015×10−8
2) 0.000128=1.28×10−4
3) 0.0000000955015= 9.55015×10−8
Exponente fraccionario
an=√ amm
Ejemplos:
243=√ 2.3.3 .3
221=√2
1) Definición de raíz n-simas
2) n√a=a1 /2
3) 3√8 =2
4) √25 =5
5) 72=49
6) 2010=1024
Definición de elementos de un radical
n√a =b
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
Ejemplos:
3√64 =4
Simplificación de radicales
Fundamento uno:
Raíz de n-sima de a×b
Ejemplo factorización de números
n√ab=n√a× n√b
√18 = √2√32=3√2
Fundamento dos:
√ab
=√ a√b
Ejemplos:
√94
=√ 9√ 4
=32
Operaciones de radicales
Suma y resta de radicales
Fundamentos: para sumar o restas de radicales se simplifica los radicales semejantes que son los que tienen iguales índice e igual cantidad su radical.
Ejemplos:
=-7√18+¿ 9√27+¿5√8−6√12
=√2+¿15 √3
Fundamento uno
n√a× n√b = n√ab
Fundamento dos
√ a√b
=√ab
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Ejemplos:
∛ 4∛ 2
= ∛42
=∛ 2
√64 =8
√245160
= √4
100 =
−15
Escriba en forma exponencial
2√5 x2 y3 =(5 x2 y 3)12
Simplifique:
7) √245
=√ 72×√5
=7√5
14. √6 yz √5 x2 y3 z5
= z3 √6 zy ×xy z2√5 yz
= x y2 z5 √30xz
Racionalización de denominadores:
En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en el denominador de una respuesta.
Para eliminar un radical de un denominador se debe no alterar el valor de la fracción
Fundamento:
ab=a . cb . c
Ejemplos
28=20×10
50×10=2
5=0,4
Ejercicio Guía No. 8
Determine el factor común de las siguientes expresiones
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
1) 30x+15=15(2x+1)
10) 12 x6 y9+36 x4 y6=28 x2 y2=4 x2 y2(3x 4 y7+9x2 y4−7)
16)24x2−20 xy+50 xy−25 y2
25)24cx-12cy-16gx+8gy
=(24cx-12cy)-(16gx+8gy0
=12cy(2x-y)-8g(2x+y)
=(2x-y)(12c-8g)=(2x-y)4(3c-2g)
=4(3c-2g)(2x-4)
Trinomio de la forma x2+bx+c
1) Se escriben 2 paréntesis ()()2) “”x en ambos paréntesis en este caso lavariable correspondiente es x.3) En el paréntesis se escribe el signo del 2 término del trinomio y en el
segundo paréntesis se escribe el signo del tercer término del trinomio.4) Se busca 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente
del segundo termino31) 7x-60+x2
=x2+7 x−60=(x+12)(x-5)19) A b
a a2+ab+b2
B b
B
20) 3y
Y 3y2+20 y
3y 264x2
10x
10x 25
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30) (2x+5) (2x-5)=4 x2+10 x+10 x+25 =4x2+20x+25
Polinomios
Expresión algebraica._ una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables), números (constantes) relacionados mediante las operaciones algebraicas. (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.)
Ejemplos:
1) 3 x2+2x-5
2) -2x3-1
3) 5 x2
4)12x2−x+√3
5) 4 x−2+9 x−1
6) 3√ x -1
x23+6
7) √x2−42x+1
Polinomios:
Definición.- son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente operaciones suma, resta, multiplicación, etc.
Ejemplos:
1. 3.x.x.x+z-52. -2x.x.x+1
3.12
x. x. x+√3
Forma general de un polinomio en una un polinomio en una variable
Un polinomio en la variable X tiene la siguiente forma
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
anxn+¿ an−1xn−1¿
Ordenado ascendente o descendente
Grado= n
Variable= x
Termino independiente= a0
Coeficiente: anan−1an−2
Coeficiente líder: an
Tipo de polinomios
Monomio: polinomio que tiene un término
Binomio: polinomio que tiene 2 términos
Trinomio: polinomio que tiene tres términos
Polinomio: polinomio que tiene más de tres términos
Guía 6:
1. F(x)= -8x+6x-7Grado del polinomio= x9
Coeficiente líder = 84. F(x) = -14-6x+8x2-13x3+7x4
Grado del polinomio= 4Coeficiente líder= 7
11. q3-q-q4+q5-q2+3
q5-q-q4+q3-q2-q+3
Suma y resta: para sumar o restar polinomios se simplifica los términos semejantes (términos que tienen igual su parte literal)
Ejemplos guía 6:
Sumar
12. (5x-6) (-3x+10)
=-2x+4
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
15. -7√8 +9√27 +5√8 – 6√12=7×3√2+ 9x3√3 +5x2√2 -6x2√3=-11√2 +15√3
Multiplicación de radicales
16. ( 13x4+ 2
5x3−1
6x+7)+(−5
8x4−1
5x3+ 1
3x+9)
=13x4+ 2
5x3−1
6x+7+
−58
x4−15x3+ 1
3x+9
=−12
x4−15x3+ 1
6x−2
Multiplicación de polinomios
Fundamento:
1. a(b + c)= (a. b) + (a. c)2. (b + c)a= (b. a) + (c. b)3. (-a)b= (a. b)4. (a)(b)= ab5. (a)(b)= ab
Guía 7
26) (-8x2y) (-4x4 y6)= 32x6 y7
37) (x+10)(x+12)= x2-2x-120
Regla: se multiplica cada término de un polinomio por cada termino del otro polinomio PIES
Productos notables:
Existe en el algebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede escribir directamente sin resolver las multiplicaciones.
Ejemplos:
Algunos productos notables
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1. (a+b)(a-b)= a2-b2
2. (a+b)2= a2+ab+b2
Nota: las variables a.b pueden ser expresiones algebraicas no solo una variable
Ejemplos guía 7:
8. (x+13) (x-13)
=x2+169
13. (3x+2,4) 3x-2,4)
= 9x2-5,75
20. (x+11)2
= x2-22x+121
22. (2 x+1)2
=4x2+4x+1
25. (9 x+ 19 )
2
=81x2+2x-1
81
26. (x+7.3)2
=x2+14,6x+53,29
29. (7 x−4 y )2
49x2-56xy+16y2
Guía 8
16) 24x2−20 xy+30 xy−25 y2
= (24x2−20 xy ¿+(30 xy−25 y2)
= 4x(6x-5y) + 5y(6x-5y)
= (6x-5y) (4x+5y)
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
25) 24cx-12cy-16gx+8gy
= (24cx-12cy) – (16gx-8gy)
= 12c(2x-y) – 8g(2x-y)
= (2x-y) (12c – 8g)
= (2x-y) 4(3c – 2g)
= 4(3c – 2g) (2x-y)
36) 6 x2−6 x−36
= 6(x2−x−6¿
=6(x-3) (x+2)
39) 3 x3 y3−6 x3 y2−45x3 y
=3 x3 y(y2-2y-15)
=3 x3 y ( y−5 ) ( y+3 )
59) 98a4−32b2
=2(49a2−16b2 ¿
=2(7a2−4 b¿ (7a2−4 b¿
51) 20x2 y2+3x y2-9y2
=y2(20x2+3x-9)
=y2 ¿
= y2 (20 x+15 )(20 x−12)20
= y25 (4 x+3 ) 4(5 x−3)20
=y2 (4 x+3 )(5 x−3)
Guía 9
13) xy+10x-8y-80
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= (xy+10x)-(8y-80)
= x (y+10)-8(y-10)
= (y+10) (x-8)
29) 875x3−189 x6
=x3 (125−27 x2 )
=7x3 (5−3 x ) (25+15 x+9 x2 )
Trinomio de la forma x2 + bx + c
1) Se escriben dos paréntesis.2) Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es x.3) En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el
segundo paréntesis el producto de los signos del segundo por el tercer término del trinomio.
4) Se busca dos números que sumados algebraicamente del el coeficiente del segundo término y que multiplicados den el tercer término del trinomio.
31) 7x – 60 + x2
= x2+7x – 60
= (x+12) (x-5)
39) 3x3 y3−6 x3 y2−45 x3 y
= 3x3 y ( y2−2 y−15 )
= 3x3 y(y-5)(y+3)
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
1) Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.2) Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma ax2 + bx + c.3) Simplificar la respuesta.
41) 3(x2+13x−20)
3
= (3 x¿¿¿2+13(3 x)−60)
3
= ¿¿
El trinomio es primo no existen factores.
42) 15x2+26 x+8
= 15x2+26 x+815
= 15x2+26(15x )+120
15
=(15 x+20)(15x+6)
15
=5(3 x+4)3(5 x+2)
15
= (3 x+4)(5 x+2)
50) 4x2−2 xt+9t 2
= 4 (4 x2−12 xt+9 t2)
4
=(4 x¿¿¿2−12 t(4 x)+36 t 2)
4
=(4 x−6 t)(4 x−6 t )
4
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= 2(2x−3 t)2(2x−3 t)
4
= (2 x−3 t)(2 x−3 t)
= (2 x−3 t)2
Diferencia de cuadrados:
Fundamentos:
x2− y2=( x+ y ) ( x− y )
52)x2−4= (x+2 ) ( x−2 )
56)49 x2−25 y2= (7 x+5 y ) (7 x−5 y )
57)75 x2−48=3 (25 x2−16 )=(5x+4 ) (5 x−4 )
Suma y Diferencia de cubos:
Fundamento:
1.a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )
2.a3−b3=(a+b ) (a2−ab+b2 )
Ejemplos:
Guía 9:
1) u3−v3=(u−v ) (u2+uv+v2)2) u3+v3 = (u + v) (u2−uv+v2)
Ejercicio Especial
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
( 12√a 1
3
13√b 1
4
14√c 1
5 )3
. √a .b3√c
√[a 13 (√b 1
5(√c−3 )−1)
23 ]
−1=a2 . b
92 .c
725 . a
12 . b
12 . c
−13
a−16 . b
−130 . c
−14
¿a2+1
2+1
6 . b92+1
2+ 1
30 . c725
−13+ 1
4
respuesta=a83 .b
15130 . c
85960
Operaciones:
1¿(12√a1
3)¿3=a13.31 =a
12√a=
1112
=a2
2¿(12√ 1
3√b 14)
3
=
16√b 3
4=b92
3¿(12√ 1
3√ 14√c 1
3)3
=
124√c 3
5=
351
24
=c725
4 ¿ √a .b3√c
=√a=a12
¿√b=b12
¿ 3√c=c13
¿a
12 .b
12
c13
¿a12 . b
12 . c
−13
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5¿√[a13 ]−1
=a
−132 =a
−16
6¿√[(√b 15)
23 ]
−1
=√√b−215 =b
−130
7¿√[ (√(√c−3 )−1)23 ]
−1
=8√c−2=c
−14
Operación de respuesta:
21+ 1
2+ 1
6=12+3+1
6=8
3
92+ 1
2+ 1
30=135+15+1
30=151
30
725
−13+ 1
4=864−20+15
60=859
60
Procedimiento para terminar el caso de factorización al que corresponde un ejercicio
1) Factor común: Si no hay factor común contar el numero de términos( cantidades separadas con signos “+” y “-“)
2) Si es solo un término: Ya esta factorado 3) Sin son 2 términos: Diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, suma o
diferencia de potencias iguales4) Si son 3 términos: Trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
{ax} ^ {2} + bx+c
Y trinomio de la forma
5) Sin son 4 o más términos: Factor común por agrupación
Expresiones Racionales
Son expresiones de la forma:
* PolinomioPolinomio
Son fracciones que resultan de dividir dos polinomios, es decir:
* Polinomio 1Polinomio 2
Ejemplos:
1) x2−1x−2
2)2x+1x−3
3)x2+x+1x2−1
4) 2x4−3 x3−1x+5
Valores excluidos del dominio de una fracción
Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de una variable que hagan 0 a 1 o más denominadores
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
Ejemplo: En el ejemplo 1, el dominio son todos los números reales excepto el “2” En el ejemplo 2, el dominio todos los reales excepto el “3” En el ejemplo 3, el dominio todos los números reales excepto el “1 y -1” En el ejemplo 4, el dominio todos los reales excepto “-5”
Procedimiento para terminar el caso de factorización al que corresponde un ejercicio:
1) Factor común: Si no hay factor común contar el número de términos (cantidades separadas con signos “+” y “-“
2) Si es un solo termino: Ya está factorado3) Sin son 2 términos: Diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, suma o
diferencia de potencias iguales4) Si son 3 términos: Trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma
“ax2+bx+c“5) Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación
Expresiones de racionales
Son expresiones de la forma:
PolinomioPolinomio
Son fracciones que resultan de dividir dos polinomios, es decir tienen la forma:
Polinomio1Polinomio2
Ejemplos
1) x2−1x−2
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
2)2x+1x−3
3)x2+x+1x2−1
4) 2x4−3 x3−1x+5
Valores excluidos del dominio de una fracción
Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de una variable que hagan 0 a 1 o más denominadores
En el ejemplo 1: el dominio son todos los números reales excepto el “2” En el ejemplo 2: el dominio son todos los reales excepto el “3” En el ejemplo 3: el dominio todos los números reales excepto el “1 y -1” En el ejemplo 4: el dominio todos los números reales excepto “-5”
Ejemplo de la Guía 10
9) x3 y 4(x− y )5
x4 y5( x− y)4 =x3−4 y4−5=x−1 y−1 ( x− y )= x− yxy
10) (m+n )2 p6q7
p10q12 (m+n )4=
p6q7 (m+n )2
p10 q12 (m+n )3= 1
p10−16 q18−7 (m+n )3−2=1
p4q5 (m+n )
Simplificación de expresiones de racionales
Fundamento:
Q ( x )T (x )D ( x )T ( x )
=P ( x )D ( x )
En una fracción ( expresión racional) solo se pueden simplificar factores iguales en el numerados y en el denominador de la misma
Simplifique
Página 25
Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
x3+3 y2+ y+3x4+5 y+7 y2+5 y+6
= ( y3+3 y2+ y+3 )
( y+2)( y3+3 y2+ y+3)= 1x+2
Operaciones con expresiones racionales
Multiplicación:
Fundamento:
P (x)D(x)
.T (x )Q(x)
=P ( x )T (x )D ( x )Q(x )
Ejemplo Guía 11
12) ( 54 )(−15
8 )=−7532
13) 2x2
3÷x3
21=14
x
División:
Fundamentos
P (x)D(x)
÷T (x)D(x)
=P(x )D(x )
.Q(x )T ( x)
Suma y Resta:
Fundamento:
1)ac±bc=a±b
c
2)ab±cd=ad±bc
bd
Proceso
Página 26
Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
Para sumar o restar fracciones
Se debe factorar los denominados Se halla en común denominador que contenga a todos los denominadores o el
producto de ellos Se divide al común denominador para cada uno de ellos denominadores y cada
resultado se multiplica por el numerador correspondiente
Ejemplos Guía Nº 11
25) 3
16−15
16=3−15
16=−3
4
27) 32
x2−64− x2−32x2−64
Simplificación de expresiones complejas
Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.
Para simplificarlos:
- Se debe realizar las operaciones de sus numerador y denominador hasta que quede una sola fracción en cada uno de ellos
- Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes
Ejemplos guía Nº12
1.)
15+ 1
612+
13
=
6+530
3+26
=1125
2.)
−
−121
2−3
314− 4
1.05
=
−12
−723
14−8
1
=−3184
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Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo
3.)123
12− 4
1+0.5
=
12523
−136
=−
15
1813
=1390
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