Ecuacion Lineal y Cuadratica

2013

Christiam Huertas

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Ecuación lineal y cuadrática

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Importancia de las ecuaciones

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Teoría de ecuaciones

Ecuación

Es una igualdad condicional que se establece entre dos expresiones matemáticas

donde hay por lo menos una variable.

( ) ( )

son expresiones matemáticas.

Ejemplos

Transponiendo términos podemos llegar a lo siguiente

( ) ( )⏟

( )

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Es decir, ( ) es la forma general de una ecuación.

Dependiendo de una ecuación puede ser:

√ }

}

Solución de una ecuación

Es aquel valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad.

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Ejemplos

Sea la ecuación

Si , entonces (V)

Luego, es solución de la ecuación.

Sea la ecuación

Si , entonces (V)

Si , entonces (V)

Si , entonces ( ) (V)

Luego, y son las soluciones de la ecuación.

Sea la ecuación

Si , entonces (V)

Si , entonces ( ) (V)

Luego, y – son las soluciones de la ecuación.

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Sea la ecuación √

Si , entonces √ (V)

Luego, es solución de la ecuación.

Sea la ecuación

Vemos que la ecuación se verifica para cualquier número; es decir, la ecuación

tiene infinitas soluciones.

Sea la ecuación

Vemos que la ecuación no se verifica para ningún valor; es decir, la ecuación no

tiene solución.

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Aplicación

Si es una solución de la ecuación √ , determine el valor de

(

)

Solución

Como es solución de la ecuación, entonces

√

Luego, √

√

√

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Conjunto solución de una ecuación

Es el conjunto formado por la reunión de todas las soluciones que presenta una

ecuación y se denota por .

Si la ecuación no tiene solución, diremos que el conjunto solución es el conjunto

vacío: .

Ejemplos

Para la ecuación

su conjunto solución es

Para la ecuación

su conjunto solución es

Para la ecuación

su conjunto solución es

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Para la ecuación √

su conjunto solución es

Para la ecuación

su conjunto solución es

Para la ecuación

su conjunto solución es

Aplicación

Si es el conjunto solución de la ecuación

determine el valor de .

Solución

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Como es solución …(*)

Como es solución

Restamos las ecuaciones,

Reemplazamos el valor de en (*):

Por lo tanto, .

Nota.

Resolver una ecuación significa determinar el conjunto solución.

Ejemplo

Resuelva la siguiente ecuación.

( ) ( )

Resolución

De la ecuación se obtiene

( ) ( )

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Factorizando

( )( )

( )( )( )

Aplicamos el siguiente teorema.

Teorema del producto igual a cero.

Si , entonces,

En el ejemplo

Entonces, son las soluciones.

Por lo tanto, .

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Clasificación de las ecuaciones según su conjunto solución

1. Ecuación compatible

Es aquella que tiene al menos una solución.

Se subdividen en

a. Ecuación compatible determinada

Es aquella que tiene un número limitado de soluciones.

b. Ecuación compatible indeterminada

Es aquella que tiene un número ilimitado de soluciones.

2. Ecuación incompatible o inconsistente

Es aquella que no tiene soluciones; es decir, su conjunto solución es el vacio: .

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Ejemplos

√

son ecuaciones compatibles.

√ son ecuaciones compatibles determinadas.

es una ecuación compatible indeterminada.

También la ecuación √ es indeterminada.

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es una ecuación incompatible o inconsistente.

También la ecuación √ √ es incompatible.

Ecuación paramétrica

Forma general

Incógnita:

Parámetros: y .

1. Primer caso:

Entonces,

{

}

Luego, la ecuación será compatible determinada si .

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2. Segundo caso:

Reemplazamos en la ecuación

Luego, la ecuación será compatible indeterminada si .

3. Tercer caso:

Reemplazamos en la ecuación

Luego, la ecuación será incompatible (o inconsistente) si .

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Ejemplo

Dada la ecuación paramétrica.

( )( ) ( )( )

Halle los valores de para que la ecuación sea compatible determinada, compatible

indeterminada e inconsistente respectivamente.

Resolución

En la ecuación vemos que

( )( )⏟ ( )( )⏟

i. Compatible determinada,

( )( )

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ii. Compatible indeterminada,

( )( ) ( )( )

iii. Incompatible o inconsistente,

( )( ) ( )( )

Ecuación polinomial

Es aquella ecuación que presenta la siguiente forma general.

( )

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Donde

: son los coeficientes (reales o complejos)

: es la incógnita.

Si , tenemos ( )

Ecuación lineal

Si , tenemos ( )

Ecuación cuadrática

Si , tenemos ( )

Ecuación cúbica

y así sucesivamente.

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Raíz de un polinomio

Sea ( ) un polinomio no constante, diremos que es una raíz del polinomio ( ) si y

solo si ( ) .

Ejemplos

1. Sea el polinomio ( ) .

Si ( )

Si ( )

Entonces y son las raíces del polinomio ( ).

2. Sea el polinomio ( ) .

Si ( ) ( ) ( ) ( )

Si ( )

Si ( ) ( ) ( ) ( )

Entonces y son las raíces del polinomio ( ).

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Nota

A las soluciones de una ecuación polinomial, se les llama también raíces del

polinomio.

Ejemplo

Dada la ecuación polinomial ( ) ,

Sus soluciones son: y

Sus raíces son: y

Raíz de multiplicidad

Sea ( ) un polinomio. Diremos que es una raíz de multiplicidad , si y solo si

( ) es un factor de ( ) y ( ) no es factor de ( ).

Es decir, ( ) ( ) ( ) con ( ) .

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Ejemplos

1. Dado el polinomio ( ) ( ) ( )

Vemos que

es una raíz de multiplicidad cinco y

es una raíz simple.

2. Dada la ecuación ( ) ( ) ( )( ) .

Tiene por soluciones a: , y ; es decir, .

y sus raíces son:

} es una raíz de multiplicidad dos (raíz doble).

es una raíz simple.

} es una raíz de multiplicidad tres (raíz triple).

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La ecuación tiene en total 6 raíces contadas con todas sus multiplicidades,

Luego,

Aplicación

1. Dada la ecuación polinomial

( ) ( )

Si la suma de sus raíces es cero, calcule el valor de .

Solución

Vemos que las raíces son:

Por dato

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2. Dado el polinomio ( ) ( ) ( ) .

Si ( ) tiene cinco raíces y es una raíz de multiplicidad dos, halle la suma de las

soluciones de la ecuación ( ) .

Solución

Como es una raíz de multiplicidad dos, entonces

Por dato la ecuación tiene cinco raíces, entonces

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Las soluciones de la ecuación son:

y ; es decir y .

Por lo tanto, la suma de las soluciones es .

Ecuación lineal

Es aquella ecuación polinomial de la forma

( )

Hallemos la raíz y/o solución de la ecuación.

Se tiene la ecuación

es la solución o la raíz de la ecuación.

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{

}

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Ejemplos

1. Resuelva la ecuación lineal

Resolución

Multiplicamos por :

( ) ( )

Luego

{

}

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2. Resuelva la ecuación

√

√

√

√

Resolución

De la ecuación se obtiene

√

√

⏟

√

√

⏟

√ √

√

√ √

√

( √ √ ) (

√

√ )

⏟

√ √

√ √ {√ √ }

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Ecuación cuadrática

Es aquella ecuación polinomial de la forma

( )

con .

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Veamos algunos métodos para hallar las soluciones de una ecuación cuadrática.

1) Por factorización.

Ejemplo 1. Resuelva le ecuación

Factorizamos por aspa simple

( )( )

{

}

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Ejemplo 2. Resuelva la ecuación

( )

Se tiene la ecuación

( ) ( )

( )

( )( )

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2) Completando el cuadrado.

Ejemplo 1. Resuelva la ecuación

Sumamos

( ) √

( ) √

( √ )( √ )

√ √

√ √

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3) Por fórmula general.

Las raíces de la ecuación cuadrática estan dadas por

√

√

Demostración

De la ecuación

Multiplicamos por para completar el cuadrado.

( ) ( )

Sumamos :

( ) ( )

( )

( ) √

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( ) √

( √ ) ( √ )

√ √

√

√

Luego,

√

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Nota

A la expresión se le llama discriminante de la ecuación y se denota por ;

es decir,

es el discriminante de la ecuación.

Luego, las raíces se pueden expresar como

√

√

Ejemplo

Resuelva la ecuación

Identificando los coeficientes

Luego, ( ) ( )( )

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Entonces,

( ) √

( ) √

Es decir;

√

√

√

√

{ √

√

}

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Ejemplo

Resuelva la ecuación .

Identificando los coeficientes

Luego, ( ) ( )( )

Entonces,

( ) √

( ) √

√

√

{ √

√

}

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Propiedades

En la ecuación cuadrática de raíces y se cumple:

1. Suma de raíces

2. Producto de raíces

(son los teoremas de Cardano)

3. Diferencia de raíces

De la identidad de Legendre

( ) ( )

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Ejemplos

1. Dada la ecuación de raíces y .

Calcule el valor de

Solución

Por el teorema de Cardano

Se pide calcular

( )

( )

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2. Dada la ecuación de raíces y , de modo que

. Calcule el valor de .

Solución

Ordenamos la ecuación y obtenemos

( )

Por el teorema de Cardano

Pero por dato

(

)

( ) ( )

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Luego

3. Dada la ecuación de raíces y ,

calcule el valor de .

Solución

Como las raíces son y ,

entonces .

Por Cardano y .

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( )( )

Ahora por la identidad de Legendre se sabe que

( ) ( )

√ √

√

√

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Análisis de la naturaleza de las raíces

En la ecuación cuadrática de coeficientes reales, raíces ; y

discriminante se cumple:

i. Si , las raíces ; son reales y .

ii. Si , las raíces ; son reales y .

iii. Si , las raíces ; no son reales, son complejos imaginarios y

conjugados; es decir, son de la forma

, donde .

Vemos que

y

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Aplicación

1. Si el conjunto solución de la ecuación

(√ ) ( )

es , determine el menor valor de .

Solución

Como el conjunto solución de la ecuación es unitario, entonces, , luego

( (√ )) ( )

(√ ) ( )

(√ ) ( )

√ √

√ √

Por lo tanto, el menor valor de es √ .

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Reconstrucción de una ecuación cuadrática

Si ; son las raíces de una ecuación cuadrática, entonces la ecuación viene dada

por

( )

Ejemplos

1. Reconstruya una ecuación cuadrática de raíces: y .

La ecuación cuadrática es

( ) ( )( )

2. Forme una ecuación cuadrática de raíces: y .

La ecuación cuadrática es

( ) ( )( )

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3. Si y son las raíces de la ecuación ,

determine una ecuación cuadrática de raíces

( ) y ( )

Solución

Por el teorema de Cardano

y

La ecuación cuadrática de raíces ( ) y ( ) está dada por

( ( ) ( )) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

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Definiciones

Dada la ecuación cuadrática de raíces y (no nulas).

Diremos que la ecuación

1. Tiene raíces simétricas si y solo si ; es decir

2. Tiene raíces recíprocas si y solo si

; es decir

Ejemplo

Dada la ecuación cuadrática de raíces recíprocas cuyo conjunto

solución es {

}; halle el valor de y .

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Solución

Como la ecuación tiene raíces recíprocas

( ) (

)

𝛼 ⏟

𝑘

Luego las raíces son y

.

Por Cardano se obtiene: