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EJERCICIOS RESUELTOS 9 TEMA: Teorema del Límite Central
1. El diámetro interior de un anillo de pistón seleccionado al azar es una variable aleatoria con valor medio de 12cm y desviación estándar de .04cm
a) si x es el diámetro medio de la muestra para una muestra aleatoria de n=16 anillos, ¿dónde está centrada la distribución muestral de x , y cuál es la desviación estándar de la distribución de x ?
01.016
04.0===
nX
σσ
b) Conteste las preguntas formuladas en el inciso a) para un tamaño muestral de n=64 anillos
005.064
04.0===
nX
σσ
c) ¿para cuál de las dos muestras aleatorias, una del inciso a) y otra del inciso b), es más probable que x esté dentro de .01cm alejado de 12cm? Explique su razonamiento. La muestra del inciso b) ya que el tamaño de muestra es mayor y por lo tanto es más probable que esté dentro del rango.
Nota: el símbolo Φ(Z) se interpreta como buscar en tablas el área a la izquierda del valor de Z que se esta manejando. 2. Consulte el ejercicio 2 y suponga que la distribución del diámetro es normal.
a) calcule P(11.99≤ x ≤12.01) cuando n=16
( ) )00.1()00.1(01.0
00.1201.1201.0
00.1299.1101.1299.11 −Φ−Φ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ=≤≤ XP
( ) 6826.01587.08413.001.1299.11 =−=≤≤ XP b) ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro medio muestral exceda 12.01 cuando n=25?
008.025
04.0===
nX
σσ
( ) [ ] 1056.025.11008.0
00.1201.12101.12 =Φ−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ−=>XP
3. Represente con X1,X2,.....X100 los pesos netos reales de 100 bolsas de 50 libras de fertilizante, seleccionadas al azar.
a) Si el peso especificado de cada bolsa es 50 y la varianza 1, calcule P(49.75≤ x ≤50.25)(aproximadamente) empleado el TLC
1.0100
1===
nX
σσ
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2
( ) )50.2()50.2(01.0
00.5075.491.0
00.5025.5025.5075.49 −Φ−Φ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ=≤≤ XP
( ) 9876.00062.09938.025.5075.49 =−=≤≤ XP
b) Si el peso esperado es 49.8 lb, en lugar de 50 lb, de modo que en promedio las bolsas
tienen menos peso, calcule P(49.75≤ x ≤50.25)
( ) )50.0()50.4(1.0
8.4975.491.0
8.4925.5025.5075.49 −Φ−Φ=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ=≤≤ XP
( ) 6915.03085.0125.5075.49 =−=≤≤ XP
4. La resistencia a la ruptura de un remache tiene un valor medio de 10 000 lb/pulg2 y una desviación estándar de 500 lb/pulg2
a) ¿cuál es la probabilidad de que la resistencia media a la ruptura de la muestra, para una muestra aleatoria de 40 remaches, esté entre 9 900 y 10 200?
1.7940
500===
nX
σσ
( ) )26.1()56.2(1.79100009900
1.791000010200
102009900 −Φ−Φ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ=≤≤ XP
( ) 8912.01031.09943.0102009900 =−=≤≤ XP
b) Si el tamaño muestral hubiera sido 15, en lugar de 40, ¿podría calcularse la información pedida en el inciso a) a partir de la información dada?
No ya que la muestra es pequeña y se desconoce la distribución de la población original.
5. Se sabe que la dureza Rockwell de pernos, de cierto tipo, tiene un valor medio de 50 y desviación estándar de 1.2
a) si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 51?
4.09
2.1===
nX
σσ
( ) 0062.09938.01)50.2(14.05051
151 =−=Φ−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ−=≥XP
b) ¿cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 40 pernos sea al menos 51?
19.040
2.1===
nX
σσ
( ) 0000.0000.11)26.5(119.05051
151 =−=Φ−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ−=≥XP
6. Suponga que la densidad del sedimento (g/cm) de un espécimen seleccionado al azar, de cierta región, está normalmente distribuida con media 2.65 y desviación estándar .85 (sugerida en
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“Modeling Sedimental anda Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutants”. Water Research, 1984, pp. 1169-1174).
a) si se seleccionan una muestra aleatoria de 25 especimenes, ¿cuál es la probabilidad de que la densidad promedio de sedimento muestral sea a lo sumo 3.00? y ¿entre 2.65 y 3.00?
17.025
85.0===
nX
σσ
( ) 9802.0)06.2(17.0
65.200.300.3 =Φ=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ=≤XP
( ) =Φ−Φ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ=≤≤ )00.0()06.2(
17.065.265.2
17.065.200.3
00.365.2 XP
( ) 4802.05000.09802.000.365.2 =−=≤≤ XP
b) ¿Qué tan grande se requería un tamaño muestral para asegurar que la primera probabilidad del inciso a) sea por lo menos .99?
( ) 99.085.0
65.200.300.3 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
Φ=≤
n
XP
( ) 33.299.0 =⇒=Φ ZZ
3365.200.3
)85.0)(33.2(85.0
65.200.3 2
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−=⇒
−= n
n
Z
7. Se sabe que el tiempo de espera para ser atendido en una oficina es una variable aleatoria exponencial con β = 17 minutos.
a) Encuentre la probabilidad de que una persona que se selecciona al azar haya tenido que esperar más de 30 minutos.
1712.011)30(1)30( 1730
1730
==⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=−=>
−−eeFXP
b) Si se extrae una muestra de 64 personas, encuentre la probabilidad de que den un valor
medio en el tiempo de espera de menos de 12 minutos. 17== βµ ; 17== βσ
125.264
17===
nX
σσ
[ ] 0094.035.2125.2
1712)12( =−Φ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Φ≈<XP
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