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Ejercicio Resolver la integral
∫𝑥2
√1−𝑥2𝑑𝑥
1
0
Hacemos 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠(𝑢), entonces 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢, remplazamos
∫𝑥2
√1−𝑥2𝑑𝑥
1
0= ∫
𝐶𝑜𝑠2(𝑢)
√1−𝐶𝑜𝑠2(𝑢)[−𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢]
1
0 ①
Sabemos que 𝑆𝑒𝑛2(𝑢) + 𝐶𝑜𝑠2(𝑢) = 1 , luego 𝑆𝑒𝑛(𝑢) = √1 − 𝐶𝑜𝑠2(𝑢)
, remplazando en①
∫𝐶𝑜𝑠2(𝑢)
√1 − 𝐶𝑜𝑠2(𝑢)[−𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢] = − ∫
𝐶𝑜𝑠2(𝑢)
𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢
1
0
1
0
, simplificando
− ∫𝐶𝑜𝑠2(𝑢)
𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢
1
0= − ∫ 𝐶𝑜𝑠2(𝑢)𝑑𝑢
1
0 ②
, conocemos que 𝐶𝑜𝑠(2𝑢) = 𝐶𝑜𝑠2(𝑢) − 1, luego 𝐶𝑜𝑠2(𝑢) = 𝐶𝑜𝑠(2𝑢) + 1
, remplazando en ②
− ∫ 𝐶𝑜𝑠2(𝑢)𝑑𝑢1
0
= − ∫ (𝐶𝑜𝑠(2𝑢) + 1)𝑑𝑢1
0
= − [∫ 𝐶𝑜𝑠(2𝑢)𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑢1
0
1
0
]
− ∫ 𝐶𝑜𝑠2(𝑢)𝑑𝑢1
0
= − [1
2𝑆𝑒𝑛(2𝑢) + 𝑢]
10
= − [1
2(2𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝐶𝑜𝑠(𝑢)) + 𝑢]
10
− ∫ 𝐶𝑜𝑠2(𝑢)𝑑𝑢1
0
= −[𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝐶𝑜𝑠(𝑢) + 𝑢]10
Ahora como 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠(𝑢), gráficamente
Por tanto 𝑆𝑒𝑛(𝑢) = √1 − 𝑥2, remplazando
− ∫ 𝐶𝑜𝑠2(𝑢)𝑑𝑢1
0
= − [√1 − 𝑥2(𝑥) + 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝑥)]10
∫𝑥2
√1 − 𝑥2𝑑𝑥
1
0
= − [𝑥√1 − 𝑥2 + 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝑥)]10
∫𝑥2
√1 − 𝑥2𝑑𝑥
1
0
= − {[(1)√1 − 12 + 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(1)] − [(0)√1 − 02 + 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(0)]}
∫𝑥2
√1 − 𝑥2𝑑𝑥
1
0
= −{0 − [0 + 1,57]} = −(0 − 1.57) = 1,57
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