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Factorización de polinomios: Métodos de factorización con ejemplos para repasar.
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ALGEBRA
FACTORIZACIÓN
Prof. Widman Gutiérrez
FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es escribirla como la multiplicación de sus factores primos.
Ejemplos
20=4×535=5(5+2)49=(3+4 )2
4 𝑥+4 𝑦=4 (𝑥+ 𝑦 )𝑥2− 𝑦2= (𝑥+𝑦 ) (𝑥− 𝑦 )𝑥2+4 𝑥+4=(𝑥+2 )2
DEFINICIÓN DE FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓNMÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Método del Factor Común• Factor común monomio• Factor común Polinomio• Factor común por agrupación de términos
Factorización de Binomios• Diferencia de cuadrados• Suma de cubos• Diferencia de cubos
Factorización de Trinomios• Trinomio cuadrado perfecto• Trinomio de la forma: A+B+C
Factorización por otros Métodos• Aspa doble• Aspa doble especial• Divisores Binómicos
FACTOR COMÚN MONOMIO
El factor común de dos o más términos es el término formado por el M.C.D. de los coeficientes numéricos de los términos y las potencias de menor exponen-te de las literales comunes a todos ellos.La factorización de un polinomio con términos que tienen un factor común, es el producto de dicho factor por un polinomio, cuyos términos son los coicientes que resultan al dividir los términos del polinomio original entre el factor común.
Ejemplo: Factorizar el polinomio
3 2 2 312 30a b a b
FACTORIZACIÓN
Polinomio:
Factor común de los términos
3 2
2 2
12
6
a b
a b
2 3
2 2
30
6
a b
a b
M.C.D.
Divisores del 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
FACTORIZACIÓN
Solución:
12𝑎3𝑏2+30𝑎2𝑏3=¿ 6 𝑎2𝑏22𝑎 5𝑏
FACTOR COMÚN MONOMIO
+¿𝒚 (𝒙+𝟐 𝒚 )𝟕=¿(𝒙+𝟐 𝒚 )𝟑 𝒚 𝟐
Factor común (MCD):
Expresión de menor exponente
Si multiplicamos los polinomios
verificamos la factorización
FACTOR COMÚN POLINOMIO
FACTORIZACIÓN
(𝒙+𝟐 𝒚 )𝟑 𝒚𝟐
(𝒙+𝟐 𝒚 )𝟑𝒚
𝒚 (𝒙+𝟐 𝒚 )𝟕
(𝒙+𝟐 𝒚 )𝟑 𝒚
𝒚+(𝒙+𝟐 𝒚 )𝟒
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
FACTORIZACIÓN
Esta formado por el producto del m.c.d. de los coeficientes, con el (los) polinomio(s) común(es) que tiene el menor exponente.
Ejemplo Factorizar:
5 𝑥2 (𝑚+𝑛 )−3 𝑦 (𝑚+𝑛) −𝑚𝑧−𝑛𝑧
Identificamos el factor común polinomio, obtenemos el otro factor, dividiendoel polinomio entre el factor común polinomio 5 𝑥2 (𝑚+𝑛 )−3 𝑦 (𝑚+𝑛) −𝑧 (𝑚+𝑛)¿ (𝑚+𝑛)()5 𝑥2−3 𝑦−𝑧
Solución
DIFERENCIA DE CUADRADOSLa factorización de una diferencia de cuadrados es un producto de binomios conjugados, en los cuales el término común es la raíz cuadrada del minuendo y los términos simétricos se obtienen mediante la raíz cuadrada del sustraendo.
Ejemplo Factorizar la diferencia
el minuendo es
Solución
1.
9
Extrayendo raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, se obtiene:
y el sustraendo es
En2
,4
x2 1
4 9
x
FACTORIZACIÓN𝒂𝟐−𝒃𝟐=(𝒂+𝒃 ) (𝒂−𝒃 )
( + )( - )( 𝑥2
4−19 )=¿
𝑥2
𝑥2
13
13
2 1
4 9
x
SUMA DE CUBOS
FACTORIZACIÓN
La factorización de una suma de cubos es un producto de un binomio por un trinomio, en los cuales el binomio es la suma de la raíz cúbica del primero y el segundo, y los términos del trinomio son el cuadrado de la raíz cúbica del primero, el segundo el producto de las raíces cúbicas y el tercero el cuadrado de la raíz del cúbica del segundo, con signos alternados.Ejemplo Factorizar la suma:
el primero esSoluciónExtrayendo raíz cúbica del primero y al segundo, se obtiene:
y el segundo esEn
𝑦 3+64, 𝑦 3 64
𝑦 3+64=¿
𝒂𝟑+𝒃 𝟑=(𝒂+𝒃 ) (𝒂 𝟐−𝒂𝒃+𝒃 𝟐)
𝑦 24 𝑦 16𝑦 4¿
DIFERENCIA DE CUBOS
FACTORIZACIÓN
La factorización de una diferencia de cubos es un producto de un binomio por un trinomio, en los cuales el binomio es la diferencia de la raíz cúbica del minuendo y el sustraendo y los términos del trinomio son el cuadrado de la raíz cúbica del minuendo, el segundo el producto de las raíces cúbicas y el tercero el cuadrado de la raíz del cúbica del sustraendo, con signos positivos.Ejemplo Factorizar la
diferencia:el minuendo es
SoluciónExtrayendo raíz cúbica del minuendo y al sustraendo, se obtiene la factorización deseada. Observe:
y el sustraendo es
En
𝑥3−27
𝑥3−27 𝑥3 27
𝒂𝟑−𝒃𝟑=(𝒂−𝒃 ) (𝒂𝟐+𝒂𝒃+𝒃𝟐)
𝑥3+27=¿ 𝑥23 𝑥9𝑥3(−)¿
2 ,ax bx c
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
2 ;ax bx c , y a b c
Un trinomio es trinomio cuadrado perfecto (TCP), si es de la forma:
o bien
en donde2 4 0.b ac
son tales que
Un trinomio cuadrado perfecto de la forma:
se factoriza así:
2 ,ax bx c
FACTORIZACIÓN𝒂𝟐±𝟐𝒂𝒃+𝒃𝟐= (𝒂±𝒃 ) 𝟐
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=¿()2 √𝑐+¿− −
FACTORIZACIÓN
TRINOMIO DE LA FORMA
ASPA SIMPLE
Del producto notable “producto de dos binomios con un término común”
Por propiedad simétrica de la igualdad tenemos:
(𝑥+𝑚 ) (𝑥+𝑛)=𝑥2+(𝑚+𝑛)𝑥+𝑚 ∙𝑛
𝑥2+ (𝑚+𝑛)𝑥+𝑚 ∙𝑛= (𝑥+𝑚 ) (𝑥+𝑛 )Donde:
FACTORIZACIÓN
Factorizar:
Ejemplo
x2 + 5x - 24
𝑥𝑥
83
+¿−
+8𝑥−3 𝑥+5 𝑥
¿(𝑥+8 )(𝑥−3 )
𝑥2+5 𝑥−24¿(𝑥+8 )(𝑥−3 )∴
ASPA SIMPLE
FACTORIZACIÓN
Factorizar:
Ejemplo:
2x2 + 9x - 5
2 𝑥𝑥15
−
+¿−𝑥
+10 𝑥+9𝑥
¿(2 𝑥−1 )(𝑥+5 )
2 𝑥2+9 𝑥−5¿(2 𝑥−1 )(𝑥+5 )∴
ASPA SIMPLE
TRINOMIO DE LA FORMA
FACTORIZACIÓN
Factorizar:
Ejemplo
20 𝑥2+22𝑥𝑦+6 𝑦 2−33 𝑥−17 𝑦+75 𝑥4 𝑥
3 𝑦2 𝑦
+¿+¿
+10 𝑥𝑦+12 𝑥𝑦+22 𝑥𝑦
20 𝑥2+22𝑥 𝑦+6 𝑦2−33𝑥−17 𝑦+7¿Por lo tanto:
71
−−
−14 𝑦−3 𝑦−17 𝑦
ASPA DOBLE
(5 𝑥+3 𝑦−7 )(4 𝑥+2 𝑦−1 )
−5 𝑥−28 𝑥
−33 𝑥
POLINOMIO DE LA FORMA
FACTORIZACIÓNASPA DOBLE ESPECIAL
POLINOMIO DE LA FORMA
Se descompone el término de mayor grado y el término independiente, se calcula la suma del producto en aspa.
A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central. La expresión agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomio
Regla:
Método que utiliza para factorizar polinomios de cinco términos y de una sola variable.
FACTORIZACIÓNASPA DOBLE ESPECIAL
Factorizar:
Ejemplo
𝑥 4+5 𝑥 3+4 𝑥2−𝑥−15𝑥2𝑥2
3 𝑥2 𝑥
+¿+¿
+5 𝑥3
𝑥 4+5 𝑥 3+4 𝑥2−𝑥−15¿Por lo tanto:
53
−
+¿−10 𝑥+9𝑥−𝑥
(𝑥2+3 𝑥−5 )(𝑥2+2 𝑥+3 )
(4 𝑥2 ) − (−2𝑥2 )=6 𝑥2−5 𝑥2+3 𝑥2
−2 𝑥2
FACTORIZACIÓN
Factorizar:
Ejemplo
DIVISORES BINÓMICOS
𝑃 (𝑥 )=𝑥 3−6 𝑥2+11𝑥−6Posibles ceros:±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠𝑑𝑒6𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒1 ¿± (1;2 ;3 ;6 ), Probamos con:𝑥=1
11+1−5
−5+6
+60 R=0
Lo que significa que x=1, es un cero y luego un factor es:(𝑥−1)
𝑃 (𝑥 )=(𝑥−1)(𝑥2−5𝑥+6)
Por Ruffini
, y aplicando aspa simple al 2º paréntesis
𝑷 (𝒙 )=𝒙𝟑−𝟔 𝒙𝟐+𝟏𝟏𝒙−𝟔¿ (𝑥−1)(𝑥−3)(𝑥−2)∴
DIVISORES BINÓMICOS
FACTORIZACIÓN
GRACIAS
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