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FILTROS DIGITALES
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ESTRUCTURA DE PROCESADORES DIGITALES Realización de Forma Directa.
La forma general de la función de transferencia al pulso unitario para sistemas discretos es:
Que corresponde a la ecuación de diferencias:
Y se puede realizar con la siguiente estructura
jm
j
ij
r
i
ii
zK
zL
zXzYzH
1
0
1)()()(
m
jj
r
ii jTnTyKiTnTxLnTy
10
)()()(
Forma Directa I
H1(z) H2(z)
1Y(Z)
1/zUnit Delay1
z
1Unit Delay r
z
1Unit Delay m
z
1Unit Delay 3
z
1Unit Delay 2
z
1Unit Delay
Sum ofElements1
Sum ofElements
Lr
Lr
L2
L2
L1
L1
Lo
L0
-Km
Km
-K2
K2
-K1
K1
1
X(z)
Los bloques etiquetados 1/z o z-1 representan el almacenamiento de una muestra para un periodo de muestreo T.
Esta implementación requiere r+m retardos unitarios. Este requerimiento puede ser reducido en muchas aplicaciones definiendo el procesador como una cascada de 2 redes H1(z) y H2(z).
La primera red H1(z) realiza los ceros del procesador y la segunda red, H2(z) realiza los polos del procesador.
Si se intercambia H1(z) y H2(z) resulta en estructura como la que sigue.
Forma Directa I (Invertida)
A1
A2
B1
B2
H2(z) H1(z)
1Y(Z)
1/zUnit Delay1
z
1Unit Delay r
z
1Unit Delay m
z
1Unit Delay 3
z
1Unit Delay 2
z
1Unit Delay
Sum ofElements1
Sum ofElements
Lr
Lr
L2
L2
L1
L1
Lo
L0
-Km
Km
-K2
K2
-K1
K1
1X(z)
Forma Directa II
1Y(z)
z
1Unit Delay r
z
1Unit Delay m
z
1Unit Delay 2
z
1Unit Delay 1
Sum ofElements1 Sum of
Elements
Lr
Lr
L2
L2
L1
L1
Lo
L0
-Kr
Kr
-Km
Km
-K2
K2
-K1
K1
1X(z)
Cascada La realización de forma directa I resulta de la ecuación
general de diferencias. La realización mediante procesadores en cascada por el
reconocimiento de que los polos y ceros de la función de transferencia al impulso son reales o pares complejos conjugados.
H(z) puede ser escrita de forma factorizada.
21
21
1
11*
1
1
1
11*
1
1
)1)(1()1(
)1)(1()1()( D
lll
D
kk
N
jjj
N
ii
M
zdzdzc
zbzbzaKzzH
Cascada En esta expresión tenemos:
N1 ceros reales en z=ai. N2 pares conjugados de ceros en z=bj y z=bj
*. D1 polos reales en z=ck. D2 pares complejos conjugados en z=dl y z=dl
*. Los polos y ceros reales pueden ser realizados
típicamente usando la Forma Directa II. Por ejemplo, de la forma
)1()1(
)( 1
1
1
zcza
zHk
i
Cascada Los polos y ceros conjugados son realizados por pares.
Por ejemplo, el termino general:
2*1*
2*1*
11*
11*
2 )(1)(1
)1)(1()1)(1(
)(
zddzddzbbzbb
zdzdzbzb
zHjjjj
jjjj
ll
jj
Estructuras de Cascada
1
Y1(z)
-ak
ak
z
1Unit Delay 1
Ck
Ck
1
X1(z)
1Y2(z)
1
dl.dl*
1
dl+dl*
1
bj.bj*
z
1Unit Delay 2
z
1Unit Delay 1
1
-(bj+bj*)
1X2(z)
Paralelo La forma en paralelo resulta de expandir H(z) en suma de
fracciones parciales. La forma general de la expansión en fracciones parciales para polos simples
En el cual la primera sumatoria es incluida para realizar los términos de la expansión en fracciones parciales que resulten si r>m.
El segundo termino incluye los polos reales. El tercer termino incluye los pares de polos complejos
conjugados.
21
11*1
11
1 )1)(1(1
11)(
D
l lll
D
k kk
M
i
ii zdzd
Czc
BzAzH
Ejemplo de Construcción en Paralelo
)125.01)(5.01()1()( 11
31
zz
zzH
125.05.0)(
2
zD
zC
zB
zA
zzH
Para expandir la función de transferencia en fracciones parciales se debe cumplir con que el grado del numerador debe ser menor al grado del denominador, en este caso se soluciona dividiendo H(z)/z.
16)(lim 2
0
zzHzA
z
112)(lim 2
0
z
zHzz
Bz
34)()5.0(lim
5.0
zzHzC
z
3343)()125.0(lim
125.0
zzHzD
z
Estructura
125.03/343
5.03/411216)(
zzzzH
1
Y(z)
-1Z
-1Z
-1Z
1/8
1/2
343/3
-4/3
-112
-161
X(z)
Integración Tiempo Discreto Rectangular
Un integrador de tiempo discreto esta definido por la ecuación de diferencias:
)()()( TnTTxTnTynTy
nT- T nT
x(nT- T)
x(nT)
1
Y(z)
z
1Unit Delay 1
T
Gain
1X(z)
Integración Tiempo Discreto Trapezoidal
Un integrador de tiempo discreto esta definido por la ecuación de diferencias:
)()(2
)()()( TnTxnTxTTnTTxTnTynTy
nT- T nT
x(nT- T)
x(nT) 1Y(z)
z
1Unit Delay
1
T/2
1X(z)
Filtros Digitales El problema fundamental consiste en determinar los
coeficientes requeridos de la ecuación lineal de diferencias para realizar una tarea especifica. Esto es el problema de síntesis.
Las estructuras resultantes son referidas como filtros digitales y se clasifican en: Filtros de Respuesta al Impulso Infinita (IIR): son
usualmente implementados usando estructuras con feedback (estructuras recursivas).
Filtros de Respuesta al Impulso Finita (FIR): son usualmente implementados usando estructuras con ninguna de retroalimentación, aunque esto no es una restricción.
Filtros Digitales IIR En el diseño de los filtros IIR, el punto de inicio será la
función de transferencia del sistema análoga, Ha(s). El problema consiste en determinar un sistema
discreto, H(z), el cual aproxima su rendimiento al sistema análogo.
El procedimiento de derivar un filtro digital de un prototipo análogo puede ser realizado usando técnicas: En el dominio del Tiempo En el dominio de la Frecuencia
Síntesis en el Dominio del TiempoDiseño de Impulso Invariante Se asume una fuente de señal de impulso. La salida del filtro análogo deberá ser ha(t). Si muestreamos la respuesta al impulso se tiene ha(nT).
Fuente de Señalx(t)=(t)
Filtro Análogo
Muestreo
Muestreo
Filtro Digital
(t)
Equivalencia Invarianza al
Impulso
ha(t) ha(nT)
ha(nT)
Secuencias idénticas
Diseño de Impulso Invariante Si consideramos ahora un segundo camino de la señal en
el cual el filtro análogo y el muestreador son remplazados por un muestreador y un filtro digital.
Por lo tanto, la entrada al filtro digital es el impulso unitario, y la salida del filtro digital es la respuesta al impulso del filtro digital.
Si los parámetros del filtro digital son ajustados de tal manera que la respuesta al impulso unitario es equivalente al primer camino, entonces estos dos caminos son equivalentes.
Ejemplo Suponga la función de transferencia análoga
en la cual s=-si son los polos y los Ki es el residuo del polo en -si. Tomando la transformada inversa de Laplace
será la respuesta al impulso unitario del filtro análogo.
m
i i
ia ss
KsH
1 )()(
m
i
tsia
ieKth1
0 t,)(
Ejemplo Tomando la transformada z de la respuesta al impulso
unitario muestreada
Este filtro tiene una respuesta al impulso equivalente a la del filtro análogo muestreada de la cual fue derivado, sin embargo, la amplitud de la respuesta del filtro digital debe ser escalada por fs, debido al proceso de muestreo.
m
i n
Tsi
n
m
i
Tsi
n
na
ii eKeKznThzH1 0
n1-
0 1
n1-
01 )z()z()()(
m
iTsi
zeKzH
i1
11 1)(
m
iTsi
zeKTzH
i1
11)(
Síntesis General Invariante en el Tiempo El concepto general de invarianza en el tiempo es
ilustrado a continuación.
Filtro Analogo
ha(t), Ha(s)
Entrada:dominio t: x(t)dominio s:X(s)
Salida:dominio t: y(t)=x(t)*h(t)dominio s:Y(s)=X(s)H(s)
Filtro Digital
h(nT), H(z)
Entrada:dominio t: x(nt)dominio z:X(z)
Salida:dominio t: y(nt)=x(nt)*h(nt)dominio z:Y(z)=X(z)H(z)
MuestreoMuestreo
EquivalentesInvariantes
en el dominio del Tiempo
Síntesis General Invariante en el Tiempo La entrada al filtro análogo es x(t) La entrada al filtro digital en x(nT), la versión muestreada
de x(t). Con estas entradas equivalente aplicadas a los filtros
análogo y digital, los coeficientes que determinan H(z) son ajustados hasta que la salida muestreada del filtro corresponda a la salida del filtro digital.
La H(z) requerida es determinada por )()()( 1 sXsHLty aa
nTtaa sXsHLnTy )()()( 1
Síntesis General Invariante en el Tiempo La transformada z de esta expresión da la salida el filtro
digital en el domino z.
La constante G es incluida para tener similares respuestas en frecuencia para ambos filtros.
nTtaa sXsHLGZzXzHzY )()()()()( 1
nTtaa sXsHLZzX
GzH )()(
)()( 1
Diseño en el Dominio de la Frecuencia
Transformada Z bilineal Para evitar el efecto del aliasing que se puede presentar en las
técnicas de diseño en el dominio del tiempo, la función de transferencia de un filtro análogo debe ser limitada en banda al rango de
Ya que las funciones de transferencia análoga no satisface esta propiedad, ellos deben primero ser modificadas usando una transformación no lineal de tal manera que son de banda limitada. La técnica de transformar el plano s complejo en un plano s1 tal que el eje j en el plano s este mapeado en la región
ss fff21
21
1
ss fff 121
Diseño en el Dominio de la Frecuencia
Una transformación que satisface este requerimiento es
O
Se puede observar que para =∞ el filtro análogo se mapea en 1=0.5s para el filtro digital.
La constante C puede ser elegida de tal manera que la correspondencia de 1 pueda ser establecida a una frecuencia deseada. Como ejemplo, si r, se tiene que C
2tan
22/1tan 11 TCC
s
2cot 1TC
2cot TC r
r
Diseño en el Dominio de la Frecuencia
Para valores pequeños de r tal que
Se puede ver que
12
Tr
TTTC
rr
rr
222
cot
Diseño en el Dominio de la Frecuencia
La relación entre s y s1 es fácilmente determinada. Primero, reescribiremos la tan(x)
Haciendo s=j y s1=j1 esto nos da:
El filtro digital es determinado de Ha(s1), haciendo z=es1T
jxjx
jxjx
eeeej
xxsenx
)cos()(tan
2/2/
2/2/
11
11
TjsTjs
TjsTjs
eeeejCjs
2tanh 1
2/2/
2/2/
11
11 TsC
eeeeCs TsTs
TsTs
1
1
11
11
1
1
zzC
eeCs Ts
Ts
Mapeo de Filtro Análogo a Digital Así el filtro digital H(z) estará determinado del filtro
análogo Ha(s) remplazando
1
1
11
zzCs
Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal Los filtros pasabanda también puede ser desarrollados
usando la transformación bilineal z. Un filtro pasabanda puede ser generado de un filtro pasabajos sustituyendo la variable de Laplace s en la función del sistema por
El parámetro es la frecuencia geométrica central y b es el ancho de banda del filtro pasabanda análogo.
El filtro pasabanda es entonces generado utilizando la sustitución
1
1
11
zzCs
b
c
ss
22
Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal Estos dos pasos son combinados en un solo paso para ir
de s a z directamente.
2
212212
1
1
22
1
12
22
111
11
11
zCzzC
zzC
zzC
ss
b
c
b
c
b
c
2
2122
22
2222
1
21
z
zzCC
CC
ss c
c
b
c
b
c
2
2122
11
zzBzA
ss
b
c
CC
Ab
c
22
22
22
2c
c
CC
B
Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal El problema ahora es determinar los valores apropiados
de A y B. Primero consideraremos el valor de A. La frecuencia
central c en el plano s debe ser remplazada por Ctan(cT/2) para mapear el valor de la frecuencia central el plano s1.
donde u y l son la frecuencias superior y inferior, respectivamente
luc 2
2tan
2tan22 TTC lu
c
Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal El ancho de banda b en el plano s se convierte en
en el plano s1. Remplazando para A
2tan
2tan
TC
TC lu
b
2tan
2tan
2tan
2tan1
2tan
2tan
2tan
2tan
2
22
TT
TT
TTC
TTCCA
lu
lu
lu
lu
2cot TA lu
Remplazando para B
Las expresiones de A y B pueden ser simplificadas reconociendo que
]2/)cos[(]2/)cos[(
2
2tan
2tan1
2tan
2tan1
2
2tan
2tan
2tan
2tan
222
22
TT
TT
TT
TTCC
TTCC
Blu
lu
lu
lu
lu
lu
xx rT 2
lu rrA cot
])cos[(])cos[(
2
lu
lu
rrrr
B
Diseño de Filtros Digitales FIRTécnica General En este caso, la técnica de diseño no parte de un filtro
análogo sino de una respuesta en frecuencia arbitraria que representa la respuesta a la frecuencia deseada del filtro digital siendo diseñado.
Por lo tanto es posible diseñar filtros digitales que no tengan prototipo análogo equivalente.
La técnica consiste en derivar primero la realización de la función de transferencia de un filtro digital, la cual es periódica en la frecuencia de muestreo. Así la función de transferencia puede ser expandida en series de Fourier.
Veremos que los coeficientes de Fourier resultantes de esta expansion dan la respuesta al impulso del filtro digital.
Técnica General de Diseño La respuesta a una frecuencia deseada, la cual es
periódica en la frecuencia de muestreo, corresponde a un filtro digital no causal. En general, podemos escribir
Donde se permite que el filtro sea no causal empezando la sumatoria en n=-∞ en lugar n=0, como los filtros causales.
Es conveniente expresar la variable frecuencia en términos de la frecuencia normalizada r. Haciendo 2r=T
Tjn
nd
Tjdezd enTheHzH Tj
)()()(
nrj
nd
rjd enTheH 22 )()(
Técnica General de Diseño Una expresión para los coeficientes de Fourier de la
respuesta en frecuencia deseada puede ser encontrada multiplicando por ej2rl e integrando sobre un periodo la respuesta en frecuencia. Esto es
2/1
2/1
)(222/1
2/1
2 )()( drenThdreeH rlnj
nd
irjrjd
nl ,0nl ,12/1
2/1
)(2 dre rlnj
dreeHnTh nrjrjdd
22/1
2/1
2 )()(
Técnica General de Diseño Esto indica que hd(nT) representa los valores de la respuesta
al impulso de un filtro no causal para una respuesta en frecuencia deseada.
En este punto existen dos problemas: El filtro digital es no causal, lo cual se soluciona con un
desplazamiento a la respuesta al impulso no causal. Antes de hacer esto, la respuesta al impulso debe ser de
extensión finita. Lo que representa el segundo problema. A menos que la respuesta en frecuencia deseada, Hd(ej2r),
pueda ser expresada exactamente dentro de un numero finito de términos, lo cual usualmente no es el caso, los coeficientes de la serie de Fourier deben ser truncados a una serie finita de términos.
Truncando la serie de Fourier, la función de respuesta al impulso queda
La serie ha sido simplificada a 2M+1 términos. Otra manera de ver esto es considerar que la función de transferencia puede ser ventaneada y por lo tanto escrita como
donde
nM
Mndnc znThzH
)()(
n
ndrnc znThnzH
)()()(
n ,0
n ,1)(
MM
nr
Filtros Causales Un filtro causal, Hc(z), puede ser generado de Hnc(z)
multiplicada por z-M. Lo cual da
Definiendo los pesos del filtro causal como Lk, donde
kM
kd
MnM
Mnd
nM
Mnd
Mc zMTkThznThznThzzH
2
0
)( )()()()(
)( MTkThL dk
kM
kkc zLzH
2
0
)(
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