Fisica3– e cy t_3+4_camp_pot_gaussunsam

Física 3 – ECyT – UNSAM2012

Introducción al electromagnetismoDocentes:

Gerardo García BermúdezSalvador Gil

www.fisicarecreativa.com/unsam_f3

Clases 3 y 4

Campo y Potencial Eléctrico Ley de Gauss

Ley de Gauss

Clase 3 Revisión de los visto Campo Eléctrico Concepto de flujo de un campo

vectorial Ley de Gauss- Ley fundamental Aplicaciones

Electricidad y MagnetismoCuatro leyes básicas

Ley de Coulomb – Las cargas eléctricas se atraen o repelen

Ley de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados

Ley de Ampere – Las corrientes generan campos Magnéticos

Ley de Inducción de Faraday – Campos magnéticos en movimiento generan campos eléctricos. Tensiones eléctricas

Leyes básicas

Ley de Coulomb – Gauss Las cargas eléctricas se atraen o repelen

Ley de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados

Leyes básicas

Ley de Ampere – Las corrientes generan campos Magnéticos

A Ley de Inducción de Faraday – Un campo magnético variables (flujos variable) genera un campo eléctrico o tensión

Propiedades de las cargasConservación de la carga

Cuantización de la carga

Ley de Coulomb

Principio de superposición

La materia es de naturaleza esencialmente eléctrica, de hecho es la fuerza eléctrica la que liga los electrones al núcleo

2112 4

qqkF e

⋅=⋅=πε

Principio de superposición de las fuerzas eléctricas

)()(ai iaNeta

qFqF ∑=

Las fuerzas eléctricas son muchísimas más fuertes que las fuerzas gravitatorias ~1040

qqF ˆ

⋅=πε

Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales.

Junto a las fuerzas nucleares (Fuertes y débiles) son las cuatro fuerzas básicas del universo.

Hay una gran semejanza matemática de la Ley de Coulomb y la Ley de Gravitación Universal de Newton.

Semejanzas en r2 semejanzas en los productos mAmB y qAqB

Diferencias en las constantes

Diferencias en los signos.

⋅= 2

Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales

Átomo de hidrógeno K=8.99 109 N/m2c2

G=6.67 10-11 N/m2kg2

Me=9.11 10-31 kg Mp=1.67 10-27 kg e= 1.6 10-19C

⋅=Fe(N)= 8.2 10-8 N

Fg(N)= 3.6 10-47 N

Fe/Fg= 4.4 x 10-40

Las interacciones Eléctricas son Muchísimas más fuertes que las gravitatorias

Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa será

..+++= adacaba FFFF

o escrita de la siguiente forma:

041πε

Superpoción Lineal de las Fuerzas

CAMPO ELÉCTRICO

Campo Eléctrico; Fuerza por unidad de carga que se ejerce en un punto P de espacio sobre una carga de prueba q0

CAMPO ELÉCTRICO de UNA CARGA PUNTUALQ0Q

Q0, carga de prueba 0qF

⋅= 0rrQ

0πε=

E Limq

Líneas de Campo Eléctrico

Idea introducida por Faraday.Las líneas de campo en cada punto tienen la

dirección del campo.El número de líneas por unidad de área, es

proporcional a la intensidad del campo.Dan una idea grafica de la dirección e

intensidad del campo

Fotocopias e Impresoras LáserFotocopiadora Impresora Láser

Cilindro Fotosensible

El cilindro se carga

La imagen reflejada descarga selectivamente

El tonner se pega en la zona cargada

Las líneas de campo son, si ambas cargas son de signo contrario:

Campo Eléctrico (para un dipolo eléctrico )

Simetría Teorema: El Campo eléctrico siempre esta contenido

en el plano de simetría de una distribución de cargas

Plano de simetría

Permite calcular el campo creado por una distribución

de cargasr

kE eiii

∫∑ ⋅==→

Distribuciones Continuas: densidades de carga :

Volumétrica ρ =dQ/dV, {C/m3}

Superficial σ =dQ/dA, {C/m2}

Linealλ =dQ/dL, {C/m}

SUMA VECTORIAL

Líneas de campo en esferas y planos

Esfera con carganegativa Plano positivo

Simetría esférica Simetría planar

Plano simetría

Campo de un Dipolo

El campo disminuye más rápido que para una carga puntual

Algo para recordar…

Ex 3101

πεπεθ

πε===4/222

1 dyr +=

32/320

)2()1(

))2/(1(4

qEEE xxx +

=+=πε

−⋅⋅= ...22

Ex πε

Ex ⋅≈πε

......!2

1)1( 2 +−+++=+ xnn

dqp .≡

Campo de un Dipolo Ejercicio

El campo disminuye más rápido que para una carga puntual

Algo para recordar…

Ex 3101

πεπεθ

πε===4/222

1 dyr +=

?)( =xEx

......!2

1)1( 2 +−+++=+ xnn

dqp .≡

Ex ⋅≈πε

Campo de hilo cargado (L, Q)

000 )/2(1

≈ λπε

El campo disminuye más lentamente que para una carga puntual

λ=Q/L

dEy 20

πεθ

πε==

∫ +⋅=

2/ 2/320

πελ

0 2/32

0 )2/(

⋅= ∫ λ

πεπελE

22 yxr +=

Campo eléctrico sobre el eje de un anillo cargado, Q, a

Ed ˆ4

0πε=

dEθλ

θαλπε

αθλπε

Ex ∫+=

02/3220 )(

12/322

02/322

0 )(41

Ex +⋅=

πεθλ

Simetría

λ=Q/2π.a

CampoCampo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente cargado.

2/3220 )(4

xdQdEx +

⋅=πε

2/3220 )(

xdaadEx +

⋅⋅⋅⋅= πσπε

−=+⋅⋅= ∫ 22

00 2/322

12)(2 xR

xxadaax

x εσ

σ =Q/πR2

CampoCampo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente

cargado de radios R∞

−=∞→ 22

xLimER

x εσ

02εσ=xE

El campo es contante

Campo entre dos placas paralelas

++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Superposición S02ε

02εσ=xE

El campo uniforme confinado entre las placas

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

++++++++++++++++

0εσ=xE

Resumen de Campo Eléctrico El Campo Eléctrico es un campo vectorial. Líneas de Campo: en cada punto tiene la dirección

y sentido de la fuerza eléctrica. Simetrías Es una propiedad del punto Para calcular el campo de una distribución-

Superposición Densidad de carga: λ,σ, ρ Campo de un Dipolo: p=q.d Campo de una línea de carga , Anillo, Disco, etc.

qkE eii

∫∑ ⋅==→

Concepto de Flujo

Flujo Flujo ≈≈ Lat.Lat. Fluxus Fluxus ≈≈ Fluir, manar. Fluir, manar.El flujo de un campo de velocidad

está asociado al caudal o volumen del liquido que para en la unidad de tiempo.

v.dt Q=dVdt=

= A.v.dt/dt

Q=A.v.

Concepto de FlujoCaudal = volumen del

liquido que para en la unidad de tiempo.

Q=dVdt=

= A.v.dt/dt

Q=A.v.

A A’θ A=A’.cos θ

Q=A.v=A’.v.cosθ

vAQ ⋅=

FLUJO o descarga de un líquido

⋅==Φ ) cos( θAvAv

⋅=⋅=Φ

∫ ⋅=Φ Sdvv

dtdAdtvdVv⋅Φ=⋅= ).(

Definición de FlujoCampo Vectorial

La “cantidad” de campo que atraviesa una superficie imaginaria S.

Si tenemos un campo vectorial,

podemos en general definir un flujo que pasa por una superficie S, asociado a dicho campo, definido por:

∫∫ ⋅=ΦSB

),,( zyxB

Flujo Eléctrico- Ley de GaussFlujo Eléctrico- Ley de Gauss

Es la cantidad de “líneas de campo que atraviesan las superficie S.”

Unidades de Flujo E= N-m2/C

∫∫ ⋅=ΦSE

El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida ε0

Carl Friedrich Gauss 1777-1855Matemático, astrónomo y físico alemán. Contribuyó significativamente en muchos campos, teoría de númerosanálisis matemático,geometría diferencial, geodesia, magnetismo óptica. "el príncipe de las matemáticas" "el matemático más grande desde la antigüedad"

El cálculo de la órbita de Ceres en 1801, como entretenimiento, nombrado en 1807 director del Observatorio Astronómico de Göttingen

Flujo de campo

ε0Φ(S1)= +q

netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00

ε0Φ(S2)= -q

ε0Φ(S3)= 0

Ley de Gauss y Conservación de cargas

Para un campo vectorial A cualquiera

)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S

i=dq/dt ∫∫=s

Conservación de la carga

∫∫−=s

SdJdtdQ

Ley de Gauss del magnetismo

No hay polos magnéticos aislados Si B es campo magnético

Como no hay polos magnéticos aislados

Esta es ley de Gauss del magnetismo 0. =∫∫S

)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S

La ley de Gauss

La expresión anterior puede generalizarse La expresión anterior puede generalizarse para cualquier distribución de carga. El valor para cualquier distribución de carga. El valor del la carga de segundo miembro es la carga del la carga de segundo miembro es la carga neta interior a la superficie.neta interior a la superficie.

qSdE∫∫ =≡Φ

La ley de Gauss y la ley de Coulomb tienen el mismo contenido físico. Sin embrago para caso no estáticos se considera al ley de Gauss como más fundamental. No tiene la implicancia de acción instantánea, implícitas en la ley de Coulomb.

Superficies GaussianasEs una superficie cerrada (imaginaria) Es una superficie cerrada (imaginaria) que rodea una distribución de cargas.que rodea una distribución de cargas.

SdEE ∫∫ =≡Φ

0.∫∫ =≡Φ SdE

Ley de Gauss- Ley de Coulomb

De la ley de Coulomb sabemos que:

Por la simetría del problema:

Ley de Gauss

∫∫∫∫ ⋅=⋅=Φ dSESdESE

24 rEdSE

E⋅==Φ ∫∫ π

Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?

Sólo es útil para situaciones donde hay simetría.

Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección.

Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).

Cuando conviene usar la ley de Cuando conviene usar la ley de Gauss para calcular camposGauss para calcular campos

La Ley de gauss es de validez universal Es “útil” para calcular campo E, cuando

por simetría podemos suponer que sobre una dada superficie E =constante y conocemos su dirección.

Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).

Ejemplo- Hilo delgado de cargaEjemplo- Hilo delgado de cargaEste problema tiene Simetría cilíndrica.

• Tomamos una superficie Gauussina como se ve el la figura.

• La carga encerrada es q=λ l• Sobre las tapas ΦE=0, pues es

perpendicular a

• Sobre la cara lateral es paralelo a

• Por lo tanto

∫ =⋅⋅==Φπ

ελπ

λπε

1 λπε

Ley de Gauss- Campo de una placa plana

=⋅∫∫

εσ=2

Ejemplo-Ejemplo- Esférica maciza con una Esférica maciza con una distribución uniforme de carga distribución uniforme de carga

RadioRadio aa

∫∫∫ ==⋅=ΦSSSEdSEdSESdE ..

2)( 41

⋅=> πε

2/4. επ QrE

E=⋅=Φ

Ejemplo-Ejemplo- Esférica maciza con una Esférica maciza con una distribución uniforme de carga distribución uniforme de carga

RadioRadio aa

Er a ∫∫∫ ==⋅=Φ

SSSEdSEdSESdE ..

ar 3)( 41 ⋅=< πε

E επ =⋅=Φ

2)( 41

⋅=> πε

Ejemplo- Placa plana cargadaEjemplo- Placa plana cargadaEsfera cargada uniformementeEsfera cargada uniformemente

E rr ao

< = ρε3

o> = ρ

Palca plana con distribución Palca plana con distribución de carga uniformede carga uniforme

= σε2

εσ ==E

Dos placas conductoras cargadas

Conclusiones

La ley de Gauss es útil para La ley de Gauss es útil para determinar campos cuando hay determinar campos cuando hay simetría en el problemasimetría en el problema

Ojo, Pero su validez es universal.Ojo, Pero su validez es universal.

Potencial Eléctrico

Clase 4 Revisión de los visto Campo Eléctrico- Ley de Gauss Trabajo y energía Concepto de Potencial eléctrico Campo y Potencial Aplicaciones

Expresión Matemática de la Ley de Gauss

Electricidad: El flujo de campo = carga al interior de una superficie Gaussiana

Magnetismo No hay polos aislados

Conservación de cargas

0. =∫SSdB

0εinS qSdE =∫ ⋅

∫−=S

Ley de Gauss

El flujo de campo eléctrico a través de cualesquier superficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga neta encerrada, por la misma, entre la constante ε0.

Si aplicamos la Ley de Gauss a Si aplicamos la Ley de Gauss a un conductor, cargado y un conductor, cargado y estado estacionario estado estacionario (Electrostática) Entonces: No (Electrostática) Entonces: No hay campo en su interior.hay campo en su interior.

Si tomamos una sup. Si tomamos una sup. Gaussiana, cercana a la Gaussiana, cercana a la superficie externa superficie externa qqnetaneta=0=0

La carga en el conductor esta La carga en el conductor esta en la superficie.en la superficie.

Ley de Gauss - Conductores

netaSqSdE =⋅∫

Ejemplo 3

Superficies esféricas Gaussianas

a) carga puntual positiva

Flujo Positivo

a) carga puntual negativa

Flujo Negativo

Campo eléctrico de una carga puntual

Considere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio r será:

π QrEdAESdE ===⋅=Φ ∫∫

netaESQSdE =Φ=⋅∫ 00 εε

Por la simetría del problema:

y E=E(r)

rE ∝

πε==

Campo eléctrico de una carga puntual

πε==

επ q

rEdAESdE ===⋅=Φ ∫∫

netaSQSdE =⋅∫

La ley de Gauss es equivalente a la ley de Coulomb

Textos R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, Física para estudiantes de

ciencias e ingeniería, 4ª ed., vol. II (México, 1992). Sears, F. et al., Física Universitaria: Volumen II (Addison Wesley

Longman, México D.F., 1999). G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. D. Giancoli, Física: Principios y aplicaciones, Prentice Hall,

México, 1997. Gettys, Keller, Skove Fisica Clásica y Moderna Mc Graw-Hill

México, 1996 http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html

http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/

Trabajo para mover una carga

∫∫ −==2

.. ldEqldFW

∫−=≡2

. ldEq

Diferencia de Potencial= Trabajo por unidad de carga

F F F1 2

∆=∆ ..

Potencial= Trabajo por unidad de carga

∆−=∆=∆ .

∆−=∆ . xV

Ex ∂

∂−=

Ey ∂

∂−=zV

Ez ∂

∂−=max

∂∂−=

E VE ∇−=

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinito

Ey ∂

∂−=z

z ∂∂−=

VE ∇−=

Ex ∂

∂−=

∫−=≡2

. ldEq

Si conocemos el potencial, podemos calcular el campo y si sabemos el campo, podemos calcular el potencial

Carga Puntual

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=

∫−=≡2

. ldEq

=∆12

=−=−=−=∆ ∫∫∫ 2

drdrErdEV

−=−=∆

2101212

VVVπε

−−=−= 114

20122 r

VVVπε

Física 3 – ECyT – UNSAM2010

Introducción al electromagnetismoDocentes:

Gerardo García BermúdezSalvador Gil

www.fisicarecreativa.com/unsam_f3

Clase 5

Potencial En general:

El trabajo para mover una carga de 1 a 2 no depende del camino.

La fuerza eléctrica (el potencial electrico) es conservativo

=−=∆ ∫CldEW

Carga Puntual

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=

∫−=≡2

. ldEq

)(πε

∫∫∫=v rdq

)(πε

Por el teorema de superposición

∫∑ ⋅==→

3 SUMA VECTORIAL

SUMA Escalar

Trabajo y Energía Campo eléctrico no uniforme y trayectoria no rectilínea

Debemos dividir la trayectoria en pequeños desplazamientos infinitesimales, de forma que

∫∫ ⋅−=⋅=B

ABrdEqrdFW

∫ ⋅−==−B

WVV El potencial en este caso

Dipolo en campo Uniforme

F=q.E θθτ senEdqsendF ..... == Ep ×=τ

θθθθ dsenEdqdsendFdW ⋅=⋅= .....

EpU.)( =θ)(cos.. θdEpdW −=

0 180º

DÍPOLO ELÉCTRICO Es un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distancia

Momento dipolar

Energía de un dipolo eléctricoTrabajo necesario

para girarlo en contra de un campo

eléctrico

Dipolo en un campo eléctrico uniforme

Ep ×=τ

EpU ⋅−=

Polarización Eléctrica

Cuando se coloca una carga positiva, los átomos se polarizan o alinean con el campo

Se rompe la simetría original, y los átomos se polarizarán, quedando la nube electrónica con carga negativa orientada hacia la localización de la carga positiva introducida. Ep

⋅= α α= Polarizabilidad

Dipolos

Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo de los átomos está más positivamente cargado y el otro más negativamente cargado.

Cada átomo polarizado de esta forma se convierte en un dipolo.

Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el efecto del campo eléctrico producido por la carga positiva introducida.

Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto del material será distinto al campo eléctrico que mediríamos cuando colocamos la misma carga eléctrica positiva en el espacio libre, sin la presencia del material y sus átomos formando dipolos.

POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

Para una distribución discreta de cargas

∑ ∑==n n n

Para una distribución continua de cargas

Ley de Gauss

∫ ∫==r

oπε41

netaSQSdE =⋅∫

En un dado problema, ¿qué ley uso o qué calculo primero, el campo E o el potencial V(r)?

VE ∇−=

∫∞

Cascarón Esférico hueco

r ≥ R

r ≤ R

Hay simetría Ley de Gauss

Primero el campo E

PotencialPotencial eléctrico en el interior y el exterior de un cascarón esférica de carga.

Cascarón Esférico hueco

)(r ≥ R

∫∞−=

rdrrErV ').'()(

r ≤ R

Después el potencial

cos 24 r

θπε

Recordando la definición de momento dipolar eléctrico

qap ⋅= 2

1 cos 4

πεθ

πε=⋅=

V = 0 para α = 90º

No se requiere trabajo para llevar una carga de prueba desde el infinito hasta el dipolo a lo largo de la línea perpendicular al punto medio entre las dos cargas.

Dipolo - +

P=2a.q-q q

rar +=1 θcos2

1⋅⋅−+= rarar

)cos)/(1(1

θ⋅−≈ rarr

)cos)/(1(2

θ⋅+≈ rarr

No hay simetría – Primero V(r)

Campo creado por un dipolo

Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy pequeña ( d = 2a ).

Aproximación r>> l

- +-a a

)()( 33 arar

+−+−

dqp = Momento dipolar - +

−⋅=

⋅∇−=∇−= p

CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICO

Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas libres que pueden moverse en su interior.

Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su carga libre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En

estas condiciones se dice que el conductor está en Equilibrio Electrostático (E’ = Eo).

+++++++++++++ oE

Cualquier exceso de carga se colocará en la superficie del conductor, ya que el campo eléctrico externo no es lo suficientemente intenso como para vencer las fuerzas de ligadura.

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

IToda la carga libre de un conductor se coloca en su superficie.

Dado un conductor, supongamos una superficie gaussiana justo en el interior de la superficie del conductor. Como E =0 dentro del conductor, también será nulo en todos los puntos de la superficie gaussiana. Por lo tanto el flujo a través de la superficie del conductor es cero.

Por el Teorema de Gauss

=Φ intComo 0=Φ 0int =q

Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor

Conductor

El campo eléctrico en la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie y vale

Para hallar el campo eléctrico en la superficie del conductor consideremos un elemento infinitesimal plano, con densidad superficial de carga σ. Como superficie gaussiana tomamos un cilindro con una cara en el exterior y otra en el interior del conductor

Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficie debe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través de la cara superior.

ε==⋅=Φ ∫ EsdE

s q σ=into

Eεσ=

Distribución esférica, r ≥R

Distribución uniforme, r ≤R

⋅=πε

Esfera cargada

Distribución esférica, r ≥R

Carga uniforme, campo r ≤R

⋅=πε

Esfera cargada

)(πε

rQrV +⋅−=

−= 2

Ejercicio: Ley de Gauss: Cascarón Esférico

Calcular Campo y Potencial en todo el espacio

Cascaron esféricaUsando la ley de Gauss y las propiedades de simetría:

Para r ＜ R2

0=EEntre a r ＜ R2

Para r >R1

1ερπρ

πε==

1RRq −= πρ

Electrostática

Campo electrostático y potencial

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. El trabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo, una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneas será

rdFdW ⋅−=

En términos de incrementos

rEV ∆⋅−=∆

E alar perpendicu r∆ 0=∆V V constante

E a paralelo r∆ Variación máxima de

potencial

Superficies equipotenciales

Es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico

El trabajo desarrollado para mover una partícula de un punto A a otro punto B a lo largo de una superficie equipotencial es nulo, ya que

VV =−

A lo largo de una superficie

equipotencialBA VV = 0=ABW

Ejemplos de superficies equipotenciales

Conductor en un campo eléctrico

El campo interior siempre es nulo.

Deforma las líneas de campo exterior.

Se produce una redistribución de carga en la superficie debido a la fuerza eléctrica.

Sobre la superficie del conductor el campo es siempre perpendicular a al superficie

Potencial eléctrico

La fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico.

Por ser conservativa

Potencial eléctrico

Campo eléctrico = gradiente del potencial eléctrico

Unidades : el Voltio

)()( rEqrF

= )(rUF

∇−=

Energía potencial

∇−=

[ ] [ ]CJVV /==

Se puede elegir el origen de potencial

El potencial es constante en todos sus puntos.

El vector gradientees ortogonal a S.

El gradiente va de menores a mayores valores de V.

ctezyxV =),,(

0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii VVrVrE

VVrVrE

<−−=∆⋅∇−=∆⋅ ⊥⊥ 0)(

Vectores campo eléctrico

Campo producido por un dipolo

Campo producido por una carga puntual

Campo uniforme

Superficie equipotencial Campo eléctrico

Referencias Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D.

Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (México, 1992). Física II - SERWAY R. FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Ed.

CENGAGE LEARNING- Mexico 2003 Física Universitaria: Volumen II Sears, F. et al., (Addison Wesley

Longman, México D.F., 1999). G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. Física: Principios y aplicaciones, D. Giancoli, Prentice Hall, México,

1997. Física Clásica y Moderna Gettys, Keller, Skove -Mc Graw-Hill

México, 1996 http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html

http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/

Problema 1 Calcular Campo y Potencial para: Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del

problema)

V(r)a b

Dentro del conductor E=0

Problema 2

−≈+= −

22/122

−=+−=

222 )2/(dxr +=

xxr−=−

−=≈−

kxV −= 4

kxE −=

Problema 3

Agradecimiento

Algunas figuras y dispositivas fueron tomadas de:

Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT Argentina

Clases E. y M. del Colegio Dunalastair Ltda. Las Condes, Santiago, Chile

Ángel López

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Education

gias laboratorio de FISICA3

Experiencia 6 Laboratorio de Fisica3

F cy e febrero[1]

Manejo defensivo cy s

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Presentacion cy s 2013

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Me Cy Tcontextosdeencierro

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Laboratorio de Fisica3 (8) Campo Magnetico Terrestre

informe 6 fisica3

Ti cy telecentros

Programa fe cy t 2014

Lop cy mat 2009

Sar: Cy/it112014-

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