General competencias basicas y matematicas
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- 1. Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 1
COMPETENCIAS BSICAS EN EL REA DE MATEMTICAS Gonzlez Mar, J. L.
Didctica de la Matemtica. Universidad de Mlaga gmari@uma.es
(documento bsico que se ha de completar con otros documentos y con
las exposiciones) Indice Introduccin Los fines (Para qu la Educacin
Matemtica?Qu se pretende y qu se debera conseguir?) Evaluacin
diagnstica del rendimiento en matemticas: Principios y elementos
(qu preparacin matemtica efectiva proporciona el Sistema
Educativo?) Evaluacin PISA-OCDE 2003 Fines Instrumento Principios y
elementos bsicos Alfabetizacin Matemtica Competencias Matemticas
Segn Niss Ejemplos En el proyecto Pisa 2003 Ejemplos de tareas
Algunos resultados Evaluacin de diagnstico Junta de Andaluca Fines
y principios Competencias evaluadas Ejemplos de tareas Condiciones
y medios (Qu hacer a partir de ahora?) Currculo: Diseo y
orientaciones Fines: Matematizacin o proceso de hacer y aplicar
Matemticas Orientaciones oficiales LOE Primaria y ESO Otras
consideraciones. Organizadores. Diseo de unidades didcticas
Currculo y Enseanza: Algunas notas para una aproximacin Algunas
orientaciones Nuestra posicin Tipos de situaciones didcticas
Competencias bsicas y avanzadas Esquema del proceso didctico
Ejemplos Bibliografa Introduccin Las nuevas orientaciones
educativas a nivel europeo establecen el aprendizaje por
competencias como el centro de la planificacin y el desarrollo
didcticos. El planteamiento no es nuevo, sino que viene siendo
analizado desde hace algunos aos.
- 2. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 2
Pero . . . Por qu hablamos del aprendizaje por competencias? . Los
motivos los podemos agrupar en tres grandes categoras
interrelacionadas: CAMBIOS, HECHOS Y EXIGENCIAS. CAMBIOS: Especie
de revolucin cultural caracterizada por: - aumento del nivel de
exigencia social que requiere un aumento del nivel de formacin; -
crisis de la vigencia de los contenidos formativos rgidos y de la
acumulacin de conocimientos separados / independientes; - formacin
orientada a la vida y a una multiplicidad de situaciones complejas;
- la necesidad de mejorar el equilibrio entre los mtodos de gestin
y la evaluacin de los resultados - cambios cientficos y de
orientacin de la relevancia y el inters de los temas en virtud de
cambios reales - el cambio de paradigma educativo centrado ya en el
alumno y menos en el docente y la escuela; HECHOS: - las nuevas
orientaciones psicolgicas y pedaggicas (nuevos datos, experiencias,
etc.) - la cultura de la eficacia, importada de la economa, etc.; -
el xito del modelo de formacin empresarial en competencias;
EXIGENCIAS: - la inflacin y complejidad del currculum que desbordan
a los educadores; - la necesidad de paliar el fracaso escolar y
procurar un bagaje mnimo de formacin a la totalidad de la poblacin
escolar - la preocupacin de todos por la calidad de la educacin La
Educacin Matemtica no es un campo aislado en el marco descrito.
Como parte del complejo proceso de formacin que se vislumbra, la
Educacin Matemtica presenta numerosos problemas tanto derivados de
su adaptacin a las nuevas exigencias como debidos a la naturaleza
del conocimiento matemtico y a las caractersticas propias de los
procesos de enseanza y aprendizaje correspondientes. Tres de los
problemas ms importantes de la Educacin Matemtica son: los fines
(Qu ensear, porqu y para qu?; qu se quiere conseguir?), los medios
(Cmo lograr los fines propuestos?) y la evaluacin (Cmo averiguar si
se han alcanzado los fines propuestos y en qu grado, empleando los
medios previstos y qu consecuencias se deducen de los resultados
obtenidos para mejorar los planteamientos y desarrollos futuros?)
La Unin Europea1 ha contemplado como eje fundamental de la poltica
educativa comn, el nfasis en una educacin centrada en el
aprendizaje en contraposicin a una educacin centrada en la
enseanza2 , es decir, en la adquisicin de capacidades, habilidades,
competencias y valores que permitan al individuo una actualizacin
permanente de los conocimientos para desenvolverse con soltura en
un mundo cambiante y complejo. Ello significa que es obligado
prestar atencin al aprendizaje orientado al desarrollo de
competencias y a la consecucin de lo que se conoce como
alfabetizacin matemtica y no slo a la enseanza y aprendizaje de
contenidos, a los aspectos funcionales y formativos de las
matemticas y no slo, ni prioritariamente, a los aspectos
instrumentales y tcnicos. Los conceptos de competencia,
matematizacin y alfabetizacin matemtica, como veremos, ponen el
acento en los resultados del aprendizaje, en lo que el alumno es
capaz de hacer al trmino del proceso educativo y en los
procedimientos que le permitirn continuar aprendiendo de forma
autnoma a lo largo de su vida. Tomando como base los principios
mencionados, y bajo lo que se conoce como informe PISA 2003, la
OCDE ha desarrollado un proceso evaluador del rendimiento matemtico
de alumnos de determinadas edades cuyos resultados en Espaa han
sido ms bien modestos. Pero dicho proceso se ha realizado 1
Proyecto Scrates-Erasmus "Tuning Educational Structures in Europe"
2 Tudela y otros (2005).- Las Competencias en el Nuevo Paradigma
Educativo para Europa. Vicerrectorado de Planificacin, Calidad y
evaluacin. Universidad de Granada
- 3. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 3
tomando como base unos fines y unos medios tericos para la
consecucin de los mismos que no son exactamente los fines y los
medios que han caracterizado los procesos educativos en matemticas
en Espaa y en el resto de pases. Por tal motivo, los resultados slo
se pueden interpretar de las tres formas representadas por los
nmeros 1, 2 y 3 en el grfico adjunto y que se explican a
continuacin: 1) en trminos de lo que podramos llamar el rendimiento
relativo de cada pas, es decir, la valoracin de los resultados
obtenidos en el marco de los supuestos curriculares tericos del
proyecto PISA en relacin con los planteamientos curriculares reales
de cada pas; 2) en trminos de la comparacin absoluta aislada de los
resultados; 3) en trminos de la comparacin de los rendimientos
relativos de los diferentes pases. La interpretacin 1 es la que
sirve de base para realizar una revisin de los diseos y desarrollos
curriculares bajo la ptica de los supuestos tericos de la OCDE. A
la luz de los resultados e interpretaciones mencionadas, de otros
diseos y desarrollos curriculares efectivos en Educacin Matemtica
(NCTM, KOM, etc.), y en base a las exigencias del espacio europeo
educativo comn, surgen recientemente nuevos diseos curriculares
base para las enseanzas mnimas en Primaria y en ESO en Espaa y en
las Comunidades Autnomas. Estas orientaciones se fundamentan en los
principios del proyecto PISA y su desarrollo efectivo requiere de
nuevas consideraciones en cuanto a los medios necesarios para
alcanzar los nuevos fines que se proponen y a los criterios para
evaluar la adecuacin de todo el proceso educativo. En lo que sigue
se plantea una primera reflexin sobre los fines de la Educacin
Matemtica, en la que se establezcan referencias para situar los
nuevos planteamientos. A continuacin, de acuerdo con los fines
generales establecidos y con objeto de profundizar en los aspectos
que van a guiar los procesos educativos en matemticas en Europa a
partir de ahora, se abordarn brevemente los principios y resultados
de las evaluaciones PISA y de Diagnstico de la Junta de Andaluca.
El anlisis concluye con las orientaciones curriculares del
desarrollo normativo de la LOE para Primaria y ESO y algunas
consideraciones para el diseo y el desarrollo curriculares en Espaa
y en Andaluca. Los fines Para qu la Educacin Matemtica?Qu se
pretende y qu se debera conseguir? (pas i) Fines Xi Medios Yi
Relatividad e interpretacin de los procesos y resultados Espaa
resto pases OCDE Resultados RE Resultados PISAi Fines XE Medios YE
Evaluacin PISA 2003 Resultados Ri Evaluacin EViEvaluacin EVE
Resultados PISAE Proyecto PISA 2003 Fines Xp ? 11 2 3 ?
- 4. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
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El problema de la determinacin de las finalidades o metas de la
Educacin Matemtica, es una cuestin de especial relevancia para el
diseo y el desarrollo de cualquier currculo de matemticas (Rico,
L.;1997). Se trata, en nuestra opinin, de uno de los aspectos
centrales de la Educacin Matemtica, estrechamente relacionado con
la naturaleza del conocimiento matemtico, con las necesidades
socioculturales e individuales y con las caractersticas globales
del proyecto sociocultural que ha de albergar la formacin de las
nuevas generaciones; en defintiva, se trata del conjunto de
argumentos que justifican la enseanza misma de las matemticas y su
situacin, organizacin y tratamiento dentro del Sistema Educativo.
Pero los fines de la Educacin Matemtica varan sustancialmente de
unos pases a otros y sufren cambios importantes a travs de la
historia. Desde el punto de vista ms reciente, la Ley de Ordenacin
General del Sistema Educativo en Espaa estableca las siguientes
finalidades educativas generales: - El pleno desarrollo de la
personalidad del alumno; - La formacin en el respeto de los
derechos y libertades fundamentales y en el ejercicio de la
tolerancia y de la libertad dentro de los principios democrticos de
convivencia; - La adquisicin de hbitos intelectuales y tcnicas de
trabajo, as como de conocimientos cientficos, tcnicos, humansticos,
histricos y estticos; - La capacitacin para el ejercicio de
actividades profesionales; - La formacin en el respeto de la
pluralidad lingstica y cultural de Espaa; - La preparacin para
participar activamente en la vida social y cultural; - La formacin
para la paz, la cooperacin y la solidaridad entre los pueblos. Las
Matemticas deben y pueden contribuir, junto a otras disciplinas, a
la consecucin de todas y cada una de las metas generales
anteriores. Pero al mismo tiempo deben contribuir a la consecucin
de una formacin matemtica especfica. Tradicionalmente se han
planteado numerosos interrogantes en torno a la finalidad de la
Educacin Matemtica: Para qu ensear matemticas?, qu matemticas
ensear en una sociedad tecnolgica?, cmo lograr un currculo flexible
que atienda a las diversas necesidades de los escolares?, cmo
atender a la diversidad cultural?. Sin embargo, se aprecian
diferencias importantes entre los fines propuestos por diversos
autores. A la pregunta Por qu se ensean matemticas?, se han dado
numerosas respuestas, como la que aparece en el documento
Mathematics from 5 to 16 del Department of Education and Science
Britnico (1985) para la Educacin Matemtica en el periodo
obligatorio: 1.- Las matemticas son un elemento esencial de
comunicacin 2.- Las matemticas son una herramienta potente 3.- Hay
que apreciar las relaciones internas dentro de las matemticas 4.-
Las matemticas deben resultar una actividad fascinante 5.- Hay que
fomentar la imaginacin, iniciativa y flexibilidad de la mente 6.-
Trabajar de modo sistemtico 7.- Trabajar independientemente 8.-
Trabajar cooperativamente 9.- Profundizar en el estudio de las
matemticas 10.- Conseguir la confianza del alumno en sus
habilidades matemticas O en estudios y propuestas como el Informe
Cokcroft (1982): Meta 1: Permitir que cada alumnos desarrolle, de
acuerdo con sus propias aptitudes, las destrezas y los
conocimientos matemticos necesarios para su vida adulta, para el
empleo y para continuar el estudio y la formacin, siendo consciente
al mismo tiempo de las dificultades que algunos alumnos
experimentarn. Meta 2: Proporcionar a cada alumno el tipo de
matemticas que pueda necesitar para el estudio de otras
materias.
- 5. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
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Meta 3: Ayudar a cada alumno a desarrollar en lo posible su
apreciacin y disfrute de las matemticas por s mismas y su
comprensin del papel que stas han desempeado y seguirn desempeando
tanto en el desarrollo de la ciencia y la tecnologa como de nuestra
civilizacin. Meta 4: Por encima de todo, hacer conscientes a todos
los alumnos de que las matemticas les proporciona un poderoso medio
de comunicacin. O el N.C.T.M. (1989), en cuyos planteamientos se
empiezan a apreciar elementos que apuntan a los planteamientos
actuales: Meta 1: Aprender a valorar las matemticas. Comprender su
evolucin y el papel que desempean en la sociedad y en las ciencias.
Meta 2. Adquirir confianza en la aptitud propia. Llegar a confiar
en el pensamiento matemtico propio y poseer la capacidad de dar
sentido a situaciones y resolver problemas. Meta 3. Adquirir la
capacidad de resolver problemas matemticos. Esto es esencial para
llegar a ser un ciudadano productivo y exige experiencia para
resolver diversos problemas generalizados y no rutinarios. Meta 4.
Aprender a comunicarse matemticamente. Aprender los signos, los
smbolos y los trminos matemticos. Meta 5. Aprender a razonar
matemticamente. Realizar conjeturas, reunir pruebas y construir
argumentos matemticos. Asimismo, son de destacar los fines
establecidos en documentos curriculares, tales como el Decreto de
Educacin Primaria de la Junta de Andaluca (1992): "La finalidad que
se le atribuye a la formacin matemtica es la de favorecer, fomentar
y desarrollar en los alumnos la capacidad para explorar, formular
hiptesis y razonar lgicamente, as como la facultad de usar de forma
efectiva diversas estrategias y procedimientos matemticos para
plantearse y resolver problemas relacionados con la vida cultural,
social y laboral". Este problema central aparece tambin en los
debates y reuniones de expertos, como ocurre en el caso de
DAmbrosio (1979) sobre el trabajo realizado en el ICME III y la
reflexin de Romberg, T. (1991) sobre las funciones de la Educacin
Matemtica. Este ltimo considera dos tipos de justificaciones:
funcionales y otras; las comentamos brevemente a continuacin. Las
justificaciones funcionales se basan en la idea de que las
matemticas satisfacen una necesidad funcional de largo alcance, es
decir, son necesarias para la formacin de los sujetos en orden a
cumplir diversas finalidades tanto individuales como sociales o
cientficas. Las cuestiones que surgen a partir del planteamiento
anterior tienen que ver con las matemticas que sern tiles en el
futuro, con las que deben ser comunes a todos los individuos y las
que deben corresponder a currculos diferenciados, o con las
matemticas que se debieran implantar en el contexto de los diversos
planes de reforma educativa. Las justificaciones no funcionales
atienden, segn Romberg, a razones que tienen que ver con la belleza
de las matemticas, con el desarrollo de capacidades, actitudes y
destrezas de alto nivel, con la necesidad de formacin de matemticos
profesionales o con la importancia de las matemticas como parte de
nuestra cultura. Niss, en un trabajo ms reciente (Rico, op. cit.,
pg. 10), y en la misma lnea que Romberg, reconoce tambin dos tipos
de argumentos en los estudios sobre fines de la Educacin Matemtica:
argumentos utilitarios y argumentos de formacin general. Entre los
primeros se encuentran: la formacin para desenvolverse en la vida y
las necesidades tanto laborales como para el estudio de otras
ciencias. Entre los segundos se pueden situar: el desarrollo de las
capacidades formativas, de la personalidad y de las actitudes as
como las que atienden al carcter esttico y recreativo de las
matemticas. Pero no parece haber an consenso en las respuestas que
hay que dar a la pregunta: Porqu enseamos matemticas? (op. cit.,
pg. 11). Por otra parte no est clara la correspondencia entre los
fundamentos contemplados y las implicaciones curriculares que se
pretenden derivar de los mismos (op. cit., pg. 10),
- 6. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 6
ya que se aprecian disparidades e incoherencias entre las
finalidades pretendidas y la puesta en prctica del currculo de
matemticas; entre los fundamentos y las prcticas reales. Se pueden
identificar dos categoras amplias de finalidades: socioculturales y
formativas. Las finalidades socioculturales tienen que ver con la
transmisin de la herencia cultural bsica de cada sociedad y con la
consecucin de dos tipos de finalidades sociales: a) proporcionar al
ciudadano comn las herramientas matemticas bsicas para su desempeo
social; b) proporcionar cualificacin profesional adecuada para
atender a las necesidades y a los retos de la sociedad actual. No
en vano, el conocimiento matemtico no puede considerarse aislado
del medio cultural, se conforma socialmente, es pblico y tiene
lugar mediante relaciones de comunicacin entre las personas. La
Matemtica y la Educacin Matemtica no pueden vivir de espaldas a la
realidad sociocultural, sencillamente porque tendran que vivir de
espaldas a los matemticos que hacen posible la creacin matemtica y
a los alumnos que la aprenden, recrean y transmiten en el futuro,
lo cual es un contrasentido. Es de destacar aqu la contribucin de
las matemticas a cuestiones tan relevantes como: los fenmenos
polticos, econmicos, ambientales, de infraestructuras, transportes,
movimientos poblacionales; los problemas del trfico en las
ciudades; la necesidad y formacin de profesionales cualificados;
los suministros bsicos; el diseo de parques y jardines; la provisin
de alimentos; la economa familiar o la formacin en cultura
matemtica de las nuevas generaciones. Entre las finalidades
socioculturales se ha de tener en cuenta tambin que el conocimiento
matematico es un conocimiento auxiliar de primer orden para la
mayora de las ciencias, de manera que la modelizacin matemtica
permite reducir los fenmenos a dimensiones manejables. El estudio
de problemas importantes actuales, como el calentamiento de la
atmsfera, la globalizacin, las clulas madre, energas alternativas,
los problemas de la salud, etc., necesitan de las matemticas. Por
ltimo, aunque no en ltimo lugar, son importantes la difusin de los
valores democrticos y de integracin social as como la realizacin y
el ejercicio de la crtica y el esfuerzo por la accin comunicativa,
aspectos en los que las matemticas proporcionan estilos de
pensamiento adecuados. Tambin tiene especial relevancia en este
punto el debate sobre las aplicaciones de las matemticas
consideradas como conocimiento tecnolgico y las consecuencias ticas
y sociales de las mismas. Las finalidades formativas se justifican
en base a la satisfaccin de necesidades individuales. Pero la
utilidad individual de la matemtica en la vida diaria es ms
indirecta que directa. Quin ha tenido necesidad alguna de vez de
hacer una integral, hallar las races de un polinomio de 6 grado o
calcular un lmite?. Es evidente que no es una justificacin slida,
por s sola. Sin embargo, quin no necesita cada da: ordenar,
estructurar, establecer prioridades, axiomatizar, algoritmizar
acciones, decidir estrategias, estimar, razonar, codificar y
decodificar mensajes, construir comportamientos complejos, manejar
varias variables simultneamente, utilizar esquemas topolgicos,
etc.?. Esto s es til, pero, cmo se lo explicamos a los alumnos o a
los padres?. Quizs no haya que explicrselo; simplemente que lo
comprueben por ellos mismos. Est fuera de toda duda que las
matemticas son una herramienta intelectual potente, cuyo dominio
porporciona privilegios y ventajas intelectuales (op. cit., pg.
15); la educacin matemtica debe contemplar, por este motivo, adems
de la informacin y la instruccin en habilidades y tcnicas, el
desarrollo de capacidades, estructuras conceptuales y
procedimientos y estrategias cognitivas, tanto particulares como
generales, que conformen un pensamiento abierto, creativo, crtico,
autnomo y divergente. En este sentido, las matemticas poseen unos
valores formativos innegables, tales como: - La capacidad para
desarrollar el pensamiento del alumno para determinar hechos,
establecer relaciones, deducir consecuencias, y, en definitiva,
potenciar el razonamiento y la capacidad de accin simblica, el
espritu crtico, la tendencia a la exhaustividad, el inconformismo,
la curiosidad, la persistencia, la incredulidad, la autonoma, la
rigurosidad, la imaginacin, la creatividad, la sistematicidad,
etc.
- 7. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 7
- La utilidad para promover la expresin, elaboracin y apreciacin de
patrones y regularidades, as como su combinacin para pbtener
eficacia o belleza; las matemticas han de promover el uso de
esquemas, representaciones grficas, y fomentar el diseo de formas
artsticas y la apreciacin y creacin de belleza; - La facilidad para
estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crtica, la
participacin y colaboracin, la discusin y defensa de las propias
ideas, y para asumir la toma conjunta de decisiones; - La
potencialidad para desarrollar el trabajo cientfico y para la
bsqueda, identificacin y resolucin de problemas; - La riqueza de
situaciones para movilizar este tipo de conocimientos, de manera
que se estimule la gratificacin por los esfuerzos intelectuales y
la satisfaccin con el trabajo bien hecho. En resumen Participamos
de las consideraciones generales establecidas, que resumimos desde
nuestro punto de vista en tres grandes finalidades de la Educacin
Matemtica: El proceso de enseanza-aprendizaje de las matemticas
debe favorecer y permitir alcanzar, mediante la adquisicin de unos
instrumentos, unas tcnicas y procedimientos, unas habilidades, unas
actitudes, unas estrategias y un vocabulario especfico, una
formacin cultural e intelectual que permita al individuo: 1.- Su
adaptacin al medio, organizarlo y potencialmente transformarlo, lo
que implica un conocimiento profundo del mismo y el desarrollo de
capacidades relacionadas con el anlisis de la realidad, la
construccin de modelos y la creacin de alternativas que mejoren la
situacin individual asi como de la sociedad y la vida en ella. 2.-
Adquirir un buen nivel de autonoma intelectual, lo que se traduce
en que el individuo sea capaz de analizar todas las posibilidades
de una situacin real o ficticia y, de entre ellas, elegir las
mejores; 3.- Conocer la Matemtica como parte de la cultura
universal y desenvolverse en su mundo, lo que conlleva un gusto por
el trabajo matemtico y una profundizacin en los objetos y mtodos
propios, siendo consciente de su situacin actual y de la evolucin
sufrida a travs de la historia. La enseanza de las matemticas debe
contribuir, al igual que otras disciplinas, al fin 1, es un factor
importante para alcanzar el fin 2 y es fundamental para alcanzar el
fin 3. Algunas precisiones finales - La determinacin de los fines
depende de la naturaleza y fenomenologa del conocimiento, de su
contribucin formativa, de los medios de que se disponga y de
intereses y consideraciones sociales, culturales, polticas y
econmicas, es decir, de lo que la sociedad establezca para el
Sistema de la Educacin Matemtica a travs de sus representantes y
organismos; - Los fines condicionan en buena medida el proceso, los
medios, la evaluacin y los resultados; - No es suficiente con
enunciar las finalidades para que se desarrollen de manera
armoniosa y coordinada; - Algunas de las metas enunciadas suelen
ser contradictorias en la prctica; - Los fines suelen ser
sobreabundantes o excesivos y a veces utpicos; Evaluacin diagnstica
del rendimiento Qu preparacin matemtica proporciona el Sistema
Educativo? El concepto de evaluacin atiende a la regulacin tanto de
la planificacin de la enseanza como de su desarrollo,
constituyndose en pieza clave del proceso educativo; constituye la
base de lo que Gimnez (1997) denomina la regulacin del proceso
educativo. Desde el punto de vista general de la enseanza y
aprendizaje de las matemticas, las orientaciones dadas por el NCTM
(1991) distinguen cinco propsitos en la accin de evaluar: 1)
Propsito de diagnstico: qu entiende el alumno, qu le es difcil,
etc.
- 8. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 8
2) Retroalimentacin docente: qu saben los alumnos de lo expuesto,
qu ritmo llevar, etc. 3) Calificacin: puede aplicar lo aprendido,
puede pasar de nivel, etc. 4) Logros matemticos generales:
capacidad matemtica general en relacin con otros. 5) Valoracin del
programa: es eficaz el programa?. y las siguientes competencias
matemticas3 a evaluar: a) Potencia matemtica La potencia matemtica
engloba todos los aspectos del conocimiento matemtico, su inter-
conexin y su aplicacin. - capacidad para aplicar lo que saben a la
resolucin de problemas. - capacidad de utilizar el lenguaje
matemtico para expresarse - capacidad de razonamiento y anlisis -
comprensin de la naturaleza de las matemticas b) Resolucin de
problemas - formular problemas - aplicar diversas estrategias para
resolver problemas - resolver problemas - comprobar e interpretar
resultados - generalizar soluciones c) Comunicacin - expresar ideas
matemticas hablando, escribiendo, demostrndolas y representndolas;
- entender, interpretar y juzgar ideas matemticas presentndolas de
forma escrita oral o visual; - utilizar vocabulario matemtico,
notaciones y estructuras para representar ideas, describir
relaciones y modelar situaciones. d) Razonamiento - utilizar el
razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular
conjeturas; - utilizar el razonamiento proporcional y espacial -
utilizar el razonamiento deductivo - analizar situaciones para
hallar propiedades y estructuras comunes - reconocer la naturaleza
axiomtica de las matemticas e) Conceptos matemticos - dar nombre,
verbalizar y definir conceptos; - identificar y generar ejemplos
vlidos y no validos; - utilizar modelos, diagramas y smbolos para
representar conceptos; - pasar de un modo de representacin a otro;
- reconocer los diversos significados e interpretaciones de los
conceptos - identificar propiedades de un concepto determinado -
comparar y contrastar conceptos f) Procedimientos matemticos -
reconocer cuando es adecuado un procedimiento - explicar las
razones para los distintos pasos de un procedimiento - llevar a
cabo un procedimiento de forma fiable y eficaz - verificar el
resultado de un procedimiento - reconocer procedimientos
incorrectos - generar procedimientos nuevos g) Actitud matemtica -
confianza en el uso de la matemtica 3 El trmino no tiene aqu el
mismo significado que se est utilizando en la actualidad, pero se
puede decir que estos planteamientos han constitudo el grmen para
los principios y fines que se estn tratando aqu.
- 9. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 9
- inters, curiosidad e inventiva al hacer matemticas - valorar la
aplicacin matemtica en la experiencia diaria. Pero en la reflexin
que se presenta nos interesa particularmente la evaluacin de
diagnstico con propsitos de averiguar si un proceso educativo en
matemticas prepara realmente a los alumnos para la adquisicin de
unas capacidades y competencias que se desea que constituyan los
elementos clave que guen en el futuro la formacin matemtica de las
nuevas generaciones. De los resultados se seguirn recomendaciones y
modificaciones curriculares en el sentido de introducir tales
elementos bsicos como principales organizadores de un nuevo
currculo que ser implementado en todos los paises de la Unin
Europea. En Andaluca se han desarrollado recientemente dos
evaluaciones del tipo mencionado: la evaluacin del proyecto PISA
2003 y la evaluacin de diagnstico de la Junta de Andaluca.
Evaluacin PISA-OCDE 2003 Los nuevos objetivos de la educacin
europea tuvieron sus inicios en el proyecto Scrates-Erasmus,
conocido como proyecto Tunning, en el que se adoptaba la adquisicin
de competencias como eje central de los nuevos diseos y desarrollos
curriculares. En consonancia con esta iniciativa, surgi en el seno
de la OCDE el Programa Internacional de Evaluacin de Estudiantes
(Programme for International Student Assessment, PISA). El Programa
para la Evaluacin Internacional de los Alumnos PISA, es un estudio
de evaluacin internacional del rendimiento de los alumnos de 15
aos, realizado a iniciativa y bajo la coordinacin de la Organizacin
para la Cooperacin y Desarrollo Econmico (OCDE). Las materias
evaluadas son: Matemticas, Lectura, Ciencias y Solucin de
problemas. PISA evala el conocimiento y las destrezas de los
alumnos de 15 aos. El objetivo general es conocer como estn
preparados los alumnos de esa edad para afrontar los retos de la
vida adulta en un contexto de vida cotidiana. PISA no es una
evaluacin curricular en la que se evala lo que se les ha enseado a
los alumnos en la escuela. Es una evaluacin de los conocimientos y
destrezas esperables en un alumno prximo a terminar su escolaridad
obligatoria y a punto de incorporarse al mercado laboral o de
proseguir estudios no obligatorios. El carcter no curricular de
PISA facilita que los resultados entre pases sean comparables, con
independencia de los distintos modos de organizar las enseanzas en
cada pas. Los estudios PISA se repiten cada tres aos. En cada uno
de ellos se profundiza especialmente en una de las materias. En el
primer estudio, realizado en el ao 2000, se profundiz en Lectura;
participaron 32 pases. En el segundo, realizado en 2003, se ha
profundizado en Matemticas y en l han participado 41 pases. El
tercer estudio se he llevado a cabo en 2006 y la materia principal
ha sido Ciencias; han participado ms de cincuenta pases. En cada
uno de los estudios, adems de las pruebas de conocimientos y
competencias sobre las materias sealadas, tambin se recoge
informacin sobre el origen social, el contexto de aprendizaje y la
organizacin de la enseanza a travs de cuestionarios dirigidos a los
propios alumnos y a los directores de sus centros, con el fin de
identificar los factores asociados a los resultados
educativos.caracterizado por los siguientes elementos: Fines de la
evaluacin
- 10. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 10
1) concretar y someter a prueba los principios y elementos bsicos
del espacio europeo de Educacin; 2) averiguar en qu medida los
jvenes de l5 aos: o estn preparados al finalizar la escolaridad
obligatoria para utilizar lo que han aprendido en situaciones
cotidianas, desempear un papel activo en la sociedad del siglo XXI
y satisfacer los desafios que dicha sociedad les plantea4 o dominan
las herramientas matemticas, usan y se implican con las Matemticas
y tienen un buen nivel de Alfabetizacin Matemtica (Mathematical
Literacy) en trminos de capacidades relacionadas con las matemticas
y sus aplicaciones para enfrentarse con problemas cotidianos.
Instrumento Una EVALUACIN DIAGNSTICA del rendimiento acumulado de
los estudiantes, en trminos de capacidades para utilizar y hacer
matemticas en situaciones reales, es decir, para analizar, razonar
y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven
problemas matemticos en una variedad de dominios y situaciones.
Todo ello significa, no slo utilizar las matemticas y resolver
problemas matemticos sino tambin, comunicar, relacionarse con las
matemticas, valorar e incluso apreciar y disfrutar con ellas. La
evaluacin se ha basado en unos principios y elementos bsicos que
son: - el concepto de alfabetizacin matemtica - el concepto de
competencia matemtica - el concepto de matematizacin y se han
tenido en cuenta: 1.- Las situaciones y contextos, en la medida en
que en el proceso de hacer matemticas (matematizacin) siempre se
hace referencia a alguna parcela de la experiencia o de la
realidad, incluso aunque esta sea virtual. 2.- Los contenidos
matemticos, tanto desde el punto de vista de la disciplina
(aritmtica, geometra, lgebra, etc.) como desde el punto de vista de
los fenmenos reales (cantidad espacio y forma, cambios y
relaciones, incertidumbre). 3.- Las competencias necesarias para
desarrollar con soltura los procesos de matematizacin (aunque las
competencias en s no son variables de tarea sino de sujeto).
Principios y elementos bsicos Alfabetizacin Matemtica Se conoce
como alfabetizacin matemtica o mathematical literacy a: La
capacidad individual para identificar y entender el papel que las
matemticas tienen en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e
implicarse con las matemticas en aqullos momentos en que se
presenten necesidades en la vida de cada individuo como ciudadano
constructivo, comprometido y reflexivo (OCDE, 2003). La
alfabetizacin matemtica . . se refiere a las capacidades de los
estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente, cuando
enuncian, formulan y resuelven problemas matemticos en una variedad
4 Rico, L. (2003): Investigacin en el aula de matemticas. La
evaluacin
- 11. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 11
de dominios y situaciones . . (Rico, 2004)5 y es considerada por
unanimidad como un elemento muy importante a tener en cuenta para
el desarrollo individual, social y cientfico de cualquier pas. La
alfabetizacin matemtica supone: - atreverse a pensar con ideas
matemticas; - utilizar lo aprendido en situaciones usuales de la
vida cotidiana; - que dicha utilizacin sea espontnea y con plena
conciencia de su importancia y necesidad y de la evidencia de su
utilidad, es decir, que sea incorporada plenamente al conjunto de
instrumentos y capacidades que el sujeto utiliza en sus relaciones
cotidianas con su entorno; Formacin para una alfabetizacin
matemtica Una formacin matemtica adecuada y completa debe abarcar
todos los aspectos de las matemticas: o PURO O FUNDAMENTAL, como
ciencia pura o APLICADO como ciencia aplicada o INSTRUMENTAL, como
conjunto de herramientas prcticas o EDUCATIVO, como materia
formativa o ESTTICO, como campo creativo y de belleza En
consecuencia, la formacin para una alfabetizacin matemtica efectiva
debe contemplar, al menos6 : - los contenidos: conceptos y
procedimientos matemticos, aisladamente y en contextos (en su
faceta de aplicacin) - las tcnicas y destrezas, aisladamente y en
contextos (en su faceta de aplicacin) - el conocimiento del uso
social de las matemticas, de su carcter prctico - las relaciones de
las matemticas con los valores de equidad, objetividad y rigor -
los aspectos de creatividad, ingenio y belleza de las matemticas
Pero: - no es suficiente, aunque s necesario, conocer los
contenidos del currculo oficial de matemticas, aunque quizs deberan
ser conocidos o experimentados o aprendidos como medios y no como
fines7 ; - no es suficiente, aunque s necesario, el mero dominio de
los aspectos instrumentales bsicos, de los conceptos y de las
tcnicas y destrezas matemticas, aunque quizs deberan ser conocidos
o experimentados o aprendidos como medios y no como fines; - la
alfabetizacin matemtica no se puede reducir al mero conocimiento de
los conceptos, procedimientos y destrezas matemticas. Estos son
prerrequisitos, pero no son suficientes. Amplitud de la
alfabetizacin matemtica La alfabetizacin matemtica no slo aporta
beneficios especficos, relacionados con las matemticas, sino que
contribuye a la formacin o alfabetizacin general. Se encuentra en
el centro de los modos segn los que se percibe y comprende el mundo
y es un componente esencial de dicha alfabetizacin general o
liberating literacy, que tiene que ver con la comprensin de los
hechos generales y sus relaciones en la construccin del mundo,
cubriendo cuestiones que tienen que ver con la naturaleza, la
sociedad, la cultura, la tecnologa, etc. y sus relaciones. Aqu se
pueden poner como ejemplos los siguientes: distinguir entre
astronoma y astrologa; entre medicina cientfica y no cientfica;
entre 5 Evaluacin de competencias matemticas. Proyecto PISA/OCDE
2003. En: Castro y de la Torre (eds.). Actas del VIII Simposio de
la SEIEM. A Corua. Universidad de A Corua. 6 Nota aadida del autor
7 Opinin del autor
- 12. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 12
psicologa y espiritismo; entre afirmaciones descriptivas y
normativas; entre hechos e hiptesis; exactitud y aproximacin; el
comienzo y el fin de la racionalidad, etc. Alfabetizacin matemtica
y rendimiento escolar tradicional Es posible que existan personas
con un buen nivel de alfabetizacin matemtica y que, sin embargo, su
rendimiento en las matemticas escolares ha sido bajo o malo?. De
hecho, la alfabetizacin matemtica se configura mediante un
repertorio bsico de conocimientos, tcnicas y destrezas matemticas a
las que hay que aadir un cmulo de capacidades y competencias
constituidas sobre la base de la utilizacin de dicho repertorio en
contextos cotidianos. Es posible que un individuo no domine las
reglas algebraicas, la resolucin de la ecuacin de segundo grado, el
signo igual, etc. y tenga un buen nivel de pensamiento algebraico y
relacional?. Es posible que tenga una formacin amplia en
regularidades, patrones y relaciones funcionales desde un punto de
vista prctico y no domine la simbolizacin algebraica, las
propiedades y las manipulaciones algebraicas formales?. En este
caso, se puede dar un mayor grado de alfabetizacin, aunque limitado
por la falta de dominio de cuestiones que permiten extender y
ampliar las competencias. La alfabetizacin aqu se produce a travs
de las experiencias vividas fuera del contexto de la educacin
formal?. Algunas cuestiones para la reflexin Surgen numerosas
cuestiones interesantes, como por ejemplo: - hasta qu punto es
importante el contenido, las destrezas, los conceptos, los
procedimientos matemticos desarrollados en el currculo escolar
tradicional? - es necesario realizar una seleccin urgente de
contenidos matemticos elementales?es necesario revisar los
contenidos?y la metodologa? Conjetura La alfabetizacin matemtica se
consigue gracias al desarrollo de capacidades especficas que
denominamos competencias matemticas Competencias matemticas El
concepto de competencia hace referencia a lo que el individuo es
capaz de hacer (capacidad de respuesta)8 . El concepto de
competencia matemtica est ntimamente relacionado con el punto de
vista funcional de las matemticas, que tiene que ver con: - las
matemticas como modo de hacer - la utilizacin de herramientas
matemticas - el conocimiento matemtico en funcionamiento y en el
que intervienen los siguientes elementos: o tareas contextualizadas
o herramientas conceptuales y procedimientales o sujeto cognitivo y
las relaciones entre ellos, tal y como se representa en el grfico
adjunto. Sujeto 8 Este planteamiento coincide con el que se adopta
a propsito de las manifestaciones observables de la comprensin segn
el modelo para el diagnstico y evaluacin de la comprensin del
conocimiento matemtico de Gallardo (2004)
- 13. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 13
Competencias (cognitivas, matemticas) Capacidades, conocimientos, .
. . generales y especficos Pensar y razonar Argumentar Comunicar
aprende y utiliza Representar Modelizar . . . Matemticas
Herramientas conceptuales y procedimentales Acta y aplica
Conocimientos bsicos, destrezas Realidad Tareas y situaciones
Fenmenos Contextos Problemas Significados Tres significados para el
trmino competencia: 1).- La competencia como dominio de estudio y
finalidad principal y prioritaria de la enseanza y el aprendizaje
de las matemticas. Tiene que ver con la idea de alfabetizacin
matemtica y un modo global de hacer matemticas, de resolver
problemas prcticos; 2).- La competencia como conjunto de procesos
generales. Las competencias son procesos matemticos generales que
concretan las finalidades educativas, orientan las tareas y
caracterizan los niveles en el rendimiento de los alumnos 3).- Las
competencias agrupadas en forma de grupos o niveles de complejidad
cognitiva expresables mediante una escala. Utilidad mltiple del
concepto de competencia matemtica Las competencias matemticas
sirven para: 1.- Propsitos formativos Para orientar los procesos de
formacin hacia el desarrollo de determinadas capacidades. 2.-
Propsitos normativos para especificar aspectos curriculares, fines,
mtodos, etc. 3.- Propsitos descriptivos para describir y
caracterizar las prcticas de enseanza de las matemticas en el aula,
las respuestas de los estudiantes, los fines que se persiguen con
determinadas tareas, etc. 4.- Propsitos comparativos Se pueden
comparar diferentes curricula, diferentes clases de educacin
matemtica, en diferentes niveles o en diferentes lugares, etc. 5.-
Propsitos evaluadores; como soportes metacognitivos para evaluacin
de procesos tanto de profesores como de alumnos
- 14. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 14
Las competencias matemticas han sido analizadas con los fines
descritos por Niss, M. (1999)9 a propsito de la preparacin del
Proyecto dans KOM (Competencias y aprendizaje de las Matemticas).
De dichos planteamientos, aunque esta vez con fines comparativos y
evaluadores, la OCDE adopt una parte de dichas consideraciones para
el desarrollo del proyecto PISA 2003. Veamos primero el enfoque de
Niss con una cierta amplitud para pasar posteriormente al exmen de
las consideraciones realizadas para la elaboracin y desarrollo del
proyecto PISA 2003. Competencias matemticas segn Niss Arranca de la
pregunta Qu significa dominar las matemticas?: domina las
matemticas quin posee competencias matemticas. Poseer una
competencia, o ser competente, en algn campo o dominio de la vida
personal, profesional o social es dominar, en un cierto grado y
dependiendo de las condiciones y circunstancias, aspectos
esenciales de la vida en ese dominio o campo. Poseer competencia
matemtica significa: poseer habilidad para comprender, juzgar,
hacer y usar las matemticas en una variedad de contextos intra y
extra matemticos y situaciones en las que las matemticas juegan o
pueden tener un protagonismo Las competencias matemticas: - se
adquieren, se construyen o se desarrollan; - se poseen, se dispone
de ellas o se tienen en mayor o menor grado; - se manifiestan en
las actuaciones del sujeto ante situaciones que las activan. Es
necesario distinguir, por tanto, entre tareas de diagnstico, tareas
de aprendizaje y tareas de aplicacin o utilizacin prctica de dichas
competencias, si bien todas pueden cumplir todas las funciones con
las orientaciones adecuadas. Requisitos bsicos (necesarios pero no
suficientes) para tener competencia matemtica: - poseer
conocimiento factual - poseer destrezas tcnicas Tipos de
competencias matemticas y situaciones en las que se manifiestan10
El autor distingue dos grupos de competencias: 1 grupo,
competencias 1, 2, 3 y 4. 2 grupo, competencias 5, 6, 7 y 8 Primer
grupo Tienen que ver con la habilidad para preguntar y responder
cuestiones en matemticas y por medio de las matemticas 1.- PENSAR
MATEMTICAMENTE (dominar los modos matemticos de pensamiento) -
proponer cuestiones caractersticas de las matemticas conociendo las
clases de respuestas (no necesariamente las respuestas concretas ni
como obtenerlas); - comprender y manejar el alcance y las
limitaciones de un concepto dado; - ampliar el dominio de un
concepto abstrayendo algunas de sus propiedades; - generalizar los
resultados a clases ms amplias de objetos; - distinguir entre
diferentes clases de enunciados / afirmaciones matemticas,
incluyendo sentencias condicionadas, cuantificadores, suposiciones,
definiciones, teoremas, conjeturas, casos, etc. 9 Niss, M. (1999).-
Mathematical competencias and the learning of mathematics: The
Danish KOM Project 10 Se proponen algunos ejemplos a pesar de la
complejidad de la eleccin y representatividad de las tareas y
situaciones.
- 15. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 15
Ejemplos: 1.a.- Dos hermanos se quieren repartir un campo
rectangular en partes iguales. Cmo lo pueden hacer?. De cuntas
maneras distintas?. Cmo pueden estar seguros de que los trozos son
iguales?. 1.b.- Sin hacer la multiplicacin se puede saber si 17 x
28 es mayor o menor que 400?. Explica porqu. Hay varias formas de
hacerlo?. 2.- PROPONER Y RESOLVER PROBLEMAS DE MATEMTICAS -
identificar, proponer y especificar diferentes clases de problemas
de matemticas (puro-aplicado, abierto con solucin-cerrado, etc.); -
resolver diferentes clases de problemas de matemticas
(puro-aplicado, abierto con solucin o cerrado, propuesto por otros
o por uno mismo, propuestos de diferentes modos, etc.); Ejemplos:
2.a.- 2.b.- Encontrar los nmeros enteros a, b, c y d tales que: 4 /
a = 1 / b + 1 / c + 1 / d 3.- MODELIZAR MATEMTICAMENTE (analizar,
construir y evaluar modelos) Se puede entender tambin la
competencia de modelizacin como el conjunto de habilidades,
destrezas y actitudes que son importantes para el proceso de
modelizacin matemtica. Dicho proceso se puede referir a: - analizar
fundamentos y propiedades de modelos existentes, valorar su rango y
validez; - decodificar modelos existentes (traducir e interpretar
elementos de un modelo en trminos de la realidad modelizada); -
aplicar un modelo a un contexto dado, lo que requiere: -
estructurar el campo - matematizar - interpretar y resolver
problemas
- 16. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 16
- trabajar con el modelo - validar el modelo, interna y
externamente - analizar y criticar el modelo, en s mismo y en sus
posibles alternativas - comunicar el modelo y sus resultados -
observar y controlar el proceso de modelizacin Niveles en la
competencia de modelizacin11 Nivel 1.- Reconocer y comprender la
modelizacin Se caracteriza por la habilidad para: - reconocer y
describer el proceso de modelizacin, - caracterizar, distinguir y
localizar las fases en el proceso de modelizacin Nivel 2.-
Modelizacin independiente Se caracteriza por la habilidad para: -
analizar y estructurar los problemas y abstraer las cantidades, -
adoptar diferentes perspectivas, - aplicar y establecer modelos
matemticos, - trabajar sobre modelos matemticos, - interpretar
resultados y otros aspectos de los modelos, - validar los modelos y
el proceso completo. Nivel 3.- Reflexin sobre el proceso de
modelizacin Se caracteriza por la habilidad para: - analizar
crticamente el proceso de modelizacin, - caracterizar los criterios
para la evaluacin del modelo utilizado, - reflexionar sobre la
causa de la modelizacin, - reflexionar sobre las aplicaciones de
las matemticas. Ejemplos basados en el estudio PISA (OCDE, 2003)
para cada uno de los niveles 3.1.- El problema del tanque de agua
(nivel 1) Tenemos un tanque vacio que se llena de agua a la razn de
un litro por segundo. Lo que aparece en las figuras siguientes son
los resultados de un proceso de construccin de un modelo realizado
por un grupo de alumnos. En dicho proceso, los alumnos han hecho
ciertas suposiciones sobre el tanque con las que han dibujado el
grfico que acompaa al dibujo del tanque. 11 Los niveles y ejemplos
que se mencionan en este apartado han sido elaborados a partir de:
Henning, H.; Keune, M. (2004). Levels of modelling competence.
Department of Mathematics. Otto-von-Guericke Universitt Magdeburg,
Germany. 1.0 m
- 17. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 17
Tanque de agua a) Describe cmo crees que los alumnos realizaron el
proceso de modelizacin b) Qu suposiciones hicieron? c) Qu clase de
modelo usaron? d) Cul puede ser el prximo paso teniendo en cuenta
el grfico? 3.2.- Fiesta escolar (nivel 2) (resolver un problema
utilizando tcnicas de modelizacin) Se va a celebrar una fiesta en
el colegio a la que va a venir a tocar un famoso grupo musical. La
mayora de los alumnos del centro y de otros centros cercanos querrn
asistir a la fiesta, de manera que es posible que se llene el
local. Sabiendo que el grupo cobra una cantidad y que el colegio
subvenciona con otra cantidad, los organizadores te encargan la
tarea de averiguar el mximo nmero de personas que caben en el
gimnasio y fijar un precio para la entrada. a) Explica como haras
para resolver el problema y los pasos necesarios para encontrar la
solucin; b) Completa la tarea como creas conveniente. Si falta
informacin precisa, emplea la estimacin. Los organizadores quieren
convencer al Director del colegio mediante una presentacin corta de
las conclusiones de tu trabajo, c) Elabora un guin corto con los
puntos clave para que dicha exposicin sea convincente. 3.3.-
Accidentes de trfico (nivel 3) (reflexin crtica sobre el proceso de
modelizacin y su uso en una aplicacin real; evaluar el uso
tendencioso de modelos matemticos en general) En la siguiente tabla
se indica el nmero de muertes por accidente de trfico en un pais en
una serie de aos. ao 1960 1965 1970 1975 1980 1984 Nmero de
accidentes 110 200 330 480 590 550 La tabla es utilizada por una
marca de coches conocida para justificar la necesidad de un nuevo
sistema de seguridad instalado en sus vehculos. El slogan que
acompaa a la tabla es el siguiente: Cada 10 aos se duplica o
triplica el nmero de accidentes. Con nuestros vehculos equipados
con el sistema HB1 viajar ms seguro!!! a) Es correcta la frase de
la primera parte del slogan?. Justifica la respuesta b) Porqu esta
casa comercial utiliza este recurso matemtico? altura tiempo 1.5 m
1.5 m
- 18. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 18
c) Es posible utilizar errneamente las matemticas? 4.- RAZONAR
MATEMTICAMENTE - seguir y valorar cadenas de argumentos - saber lo
que es una demostracin matemtica y cmo se diferencia de otras
clases de razonamiento y de otras clases de razonamiento matemtico
(por ejemplo el razonamiento heurstico) - descubrir las ideas
bsicas en una lnea argumental, distinguiendo principales sublneas a
partir de detalles, ideas y aspectos tcnicos Ejemplos: 4.a.-
Completa: 4.b.- Cada cuadrado tiene de rea 1. Qu parte del total
representa lo sombreado? 4.c.- razonamiento combinado
geomtrico-algebraico sobre el teorema de Pitgoras Segundo grupo de
competencias. Tienen que ver con la habilidad para utilizar el
lenguaje y las herramientas matemticas. 8 x 4 5 5 0 2 1 0 2 6
0
- 19. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 19
5.- REPRESENTAR OBJETOS Y SITUACIONES MATEMTICAS - comprender,
utilizar, decodificar e interpretar diferentes clases de
representaciones de objetos, fenmenos y situaciones matemticas y
distinguir entre ellos; - comprender y utilizar las relaciones
entre diferentes representaciones de la misma entidad u objeto,
incluido el conocimiento de sus restricciones y limitaciones; -
elegir entre diferentes representaciones y pasar de unas a otras
Ejemplos: 5.a.- 5.b.-
- 20. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 20
6.- UTILIZAR SIMBOLOS Y FORMALISMOS MATEMTICOS - decodificar e
interpretar lenguaje matemtico simblico y formal y comprender sus
relaciones con el lenguaje natural; - comprender la naturaleza y
las reglas de los sistemas matemticos formales (desde ambos puntos
de vista, sintctico y semntico); - traducir entre el lenguaje
natural y el lenguaje simblico/formal; - utilizar y manipular
sentencias y expresiones que contienen smbolos y formulas.
Ejemplos: 6.a.- el cuadrado del binomio. Proceso de investigacin
mediante cuadrados de puntos12 12 Extraido de Gmez, B. (1992).- Las
Matemticas y el proceso educativo. Cap. 2 En: rea de Conocimiento
Didctica de la Matemtica. Madrid: Sntesis
- 21. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 21
7.- COMUNICAR EN, CON Y SOBRE LAS MATEMTICAS - comprender los
textos escritos, las expresiones visuales o las frases orales de
otros, en una variedad de registros lingsticos, sobre cuestiones
materias o temas de contenido matemtico; - expresarse uno mismo
sobre tales cuestiones materias o temas, con diferentes niveles de
precisin terica y tcnica, de forma oral, visual o escrita;
Ejemplos: 7.a.- 4 o ms jugadores. El profesor forma una fraccin
sencilla con los multicubos. Por turno, cada jugador debe formar
una nueva fraccin equivalente a la primera, utilizando el mismo
material, y convencer al resto de jugadores y a los dems de que
efectivamente es una fraccin equivalente a la primera. Slo se
apuntar el tanto si hay consenso en la bondad de la construccin. El
profesor moderar el debate. 7.b.- Un grupo de alumnos recaba
informacin de las familias de los compaeros para averiguar las
preferencias en la ocupacin del tiempo libre, elaborar con los
datos unos informes y grficos y exponer las conclusiones a toda la
clase. 7.c.- Relaciones funcionales y su representacin
- 22. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 22
8.- UTILIZAR RECURSOS AUXILIARES Y HERRAMIENTAS (tecnolgicas, entre
otras) - conocer la existencia y propiedades de varias herramientas
y recursos para la actividad matemtica, sus alcances y
limitaciones; - ser capaces de usar racionalmente tales recursos y
herramientas. Ejemplos: 8.a.- Conocer la calculadora13 8.b.- Con
regla y comps, construir distintos cuadrilteros a partir de sus
diagonales, enunciar las regularidades que se observan y
generalizar los resultados. Algunos comentarios del autor 13
Extraido de Hernn, F. (1989).- Recursos en el aula de Matemticas.
Madrid: Sntesis
- 23. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 23
- todas las competencias tienen que ver con procesos, actividades y
comportamientos mentales o fsicos, con lo que se centran en lo que
el individuo puede hacer; - las competencias estn relacionadas
entre s; - todas las competencias tienen un aspecto analtico y otro
productivo - el aspecto analtico se centra en torno a la
comprensin, interpretacin, anlisis y valoracin de los fenmenos y
procesos (reflexin); - el aspecto productivo se centra en la
construccin activa y el desarrollo de procesos (aplicacin); - todos
los trminos son especficamente matemticos (lenguaje, smbolos,
representacin, etc.); - son independientes de contenidos y niveles
educativos; no estn sujetos a tpicos matemticos, curricula o
clases; - al igual que ocurre con la lengua, se pueden producir
diferencias entre niveles y zonas; - la intuicin matemtica, la
creatividad y la capacidad de abstraccin se encuentran distribuidas
a lo largo de las ocho competencias; - las competencias y los
contenidos son dos campos que se deben entrecruzar entre s como en
una tabla de doble entrada. Cada casilla indicar como se manifiesta
la competencia concreta en el caso de un contenido concreto.
Aspectos complementarios que tienen que ver con la Matemtica como
disciplina Las 8 competencias no cubren todo el campo de las
matemticas. Existen tres aspectos que no se derivan de las
competencias y que es necesario completarlos mediante el estudio
interno de la disciplina. Son: - las aplicaciones actuales de las
matemticas a otras ciencias o campos - el desarrollo histrico de
las matemticas - la naturaleza especial de las matemticas como
disciplina Se podran identificar con lo que se conoce como el
conocimiento sociocultural de las matemticas como disciplina.
Anlisis de tareas desde el punto de vista de su contribucin al
desarrollo de competencias matemticas segn Niss Son mltiples las
situaciones que requieren de las matemticas y que se resolveran
antes, mejor y ms fcilmente si se utilizaran dichos conocimientos.
Por ejemplo: - Necesito controlar lo que gasto mensualmente en
transporte - Tengo que hacer una planificacin del trabajo para la
semana que viene con objeto de preparar los exmenes. - Voy a pintar
mi habitacin . . . cunta pintura necesito?de qu precio?cunto me va
a costar? . . - El partido empieza a las nueve y estoy lejos de la
casa. A qu hora lmite tengo que salir para llegar a tiempo y verlo
desde el principio?qu tengo que averiguar?si no dispongo de
informacin exacta, qu debo hacer? - Me quiero comprar una
bicicleta. Cunto tiempo aproximado debo estar ahorrando hasta tener
la cantidad total si ingreso una media semanal de 100 euros y un
gasto medio semanal de 70 euros? - Estoy pensando en comprar una
vivienda, pero como mximo puedo dedicar 600 euros al mes. qu
posibilidades tengo?qu tipo de vivienda me puedo comprar? - Quiero
que la vivienda est en el centro, que sea grande, soleada, con
garaje y con calidades excepcionales. cmo puedo compatibilizar mis
deseos con mi disponibilidad econmica? - A qu hora quedo con Blanca
en el centro para que me de tiempo a llegar? - Si tengo que ir en
taxi a la calle . . . cul ser el mejor camino para llegar
antes?tendr dinero suficiente si el taxista decide ir por un camino
ms largo? - Quiero invitar a todos mis amigos a mi fiesta de
cumpleaos . . . cmo lo hago?, qu necesito? - Me gusta esa librera
casera y quiero hacer una igual . .;
- 24. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 24
- cmo puedo construir un cuadrado cuya superficie sea el doble que
la de otro cuadrado?; - Mi hijo quiere empezar a estudiar una
carrera. . qu ser lo mejor?; Ejercicio: Analizar las tareas desde
el punto de vista de las competencias requeridas, es decir,
teniendo en cuenta: - informacin necesaria y accesible - informacin
a averiguar (no accesible directamente) - actuaciones a llevar a
cabo: organizacin de la informacin, anlisis de relaciones,
estructuracin de la situacin, etc. - modelos matemticos a utilizar
en su caso - resolucin de problemas - conceptos y procedimientos -
capacidades necesarias para afrontar la tarea - competencias
involucradas (en orden de importancia) Competencias matemticas en
PISA 2003 El Proyecto PISA utiliza las siguientes competencias
matemticas para propsitos evaluadores y comparativos
fundamentalmente: - Pensar y razonar (distinguir entre diferentes
tipos de enunciados, plantear cuestiones propias de las matemticas,
etc.); - argumentar (conocer lo que son pruebas matemticas, tener
sentido para la heurstica, crear y expresar argumentos matemticos,
etc.); - comunicar (expresin matemtica, oral y escrita, entender
expresiones, etc.); - modelizar (estructurar el campo, interpretar
los modelos, trabajar con modelos, etc.); - plantear y resolver
problemas; - representar (codificar, decodificar e interpretar
representaciones, traducir entre diferentes representaciones,
etc.); - utilizar varios lenguajes. Niveles de complejidad 1.-
Niveles de complejidad por grupos de competencias (niveles tericos)
Para el diseo de las pruebas, puesto que las competencias en s no
se pueden asignar sin ms a tareas concretas para cada una de ellas,
se han establecido tres niveles de complejidad que hacen referencia
a clases o grupos de competencias; son tres: de reproduccin y
procedimientos rutinarios, de conexiones e integracin y de
reflexin, razonamiento y argumentacin para resolver problemas
originales. Esta variable ha servido para construir las tareas de
acuerdo con los siguientes indicadores14 : REPRODUCCIN CONEXION
REFLEXIN - Contextos familiares - Conocimientos practicados -
Aplicacin de algoritmos estndar - Realizacin de operaciones
sencillas - Uso de frmulas elementales - Contextos menos familiares
- Interpretar y explicar - Manejar y relacionar diferentes sistemas
de representacin - Seleccionar y usar estrategias de resolucin de
problemas no rutinarios - Tareas que requieren comprensin y
reflexin - Creatividad - Ejemplificacin y uso de conceptos -
Relacionar conocimientos para resolver problemas complejos 14 Tabla
extrada de Rico, L. (2005) (documento indito)
- 25. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 25
- Generalizar y justificar resultados obtenidos 2.- Niveles de
complejidad expresables mediante una escala (obtenidos
empricamente) Existen 6 niveles de competencia matemtica obtenidos
empricamente que expresan la maestra en la realizacin de las tareas
matemticas y la riqueza cognitiva asociada a tal realizacin. Son
los siguientes15 : - Primer Nivel (1): los alumnos saben responder
a preguntas planteadas en contextos conocidos, donde est presente
toda la informacin pertinente y las preguntas estn definidas
claramente. Son capaces de identificar la informacin y llevan a
cabo procedimientos rutinarios al seguir instrucciones directas en
situaciones explcitas. Pueden realizar acciones obvias que se
deducen inmediatamente de los estmulos presentados. - Segundo Nivel
(2): los alumnos saben interpretar y reconocer situaciones en
contextos que slo requieren una inferencia directa. Saben extraer
informacin pertinente de una sla fuente y hacer uso de un nico
sistema de representacin. Pueden utilizar algoritmos, frmulas,
procedimientos o convenciones elementales. Son capaces de efectuar
razonamientos directos e interpretaciones literales de los
resultados. - Tercer Nivel (3): los alumnos saben ejecutar
procedimientos descritos con claridad incluyendo aqullos que
requieren decisiones secuenciales. Pueden seleccionar y aplicar
estrategias de solucin de problemas sencillos. Saben interpretar y
utilizar representaciones basadas en diferentes fuentes de
informacin y razonar directamente a partir de ellas. Tambin son
capaces de elaborar escritos breves para exponer sus
interpretaciones, resultados y razonamientos. - Cuarto Nivel (4):
los alumnos pueden trabajar con eficacia con modelos explcitos en
situaciones complejas y concretas que pueden conllevar
condicionantes o exigir la formulacin de supuestos. Pueden
seleccionar e integrar diferentes representaciones, incluyendo las
simblicas, asociandolas directamente a situaciones del mundo real.
Saben utilizar habilidades bien desarrolladas y razonar con
flexibilidad y cierta perspicacia en estos contextos. Pueden
elaborar y comunicar explicaciones y argumentos basados en sus
interpretaciones, argumentos y acciones. - Quinto Nivel (5): Los
alumnos saben desarrollar modelos y trabajar con ellos en
situaciones complejas, identificando los condicionantes y
especificando los supuestos. Pueden seleccionar, comparar y evaluar
estrategias adecuadas de resolucin de problemas para abordar
problemas complejos relativos a estos modelos. Pueden trabajar
estratgicamente utilizando habilidades de pensamiento y
razonamiento bien desarrolladas, as como representaciones
relacionadas adecuadamente, caracterizaciones simblicas y formales
e intuiciones relativas a estas situaciones. Pueden reflexionar
sobre sus acciones y formular y comunicar sus interpretaciones y
razonamientos. - Sexto Nivel (6): Los alumnos saben formar
conceptos, generalizar y utilizar informacin basada en
investigaciones y modelos de situaciones complejas. Pueden
relacionar diferentes fuentes de informacin y representaciones y
traducirlas de una manera flexible. Los estudiantes de este nivel
poseen un pensamiento y razonamiento matemtico avanzado. Pueden
aplicar su entendimiento y comprensin, as como su dominio de las
operaciones y relaciones matemticas simblicas y formales y
desarrollar nuevos enfoques y estrategias para abordar situaciones
nuevas. Pueden formular y comunicar con exactitud sus acciones y
reflexiones relativas a sus descubrimientos, argumentos y su
adecuacin a las situaciones originales (OCDE, 2004, p. 47; OCDE,
2005, pp 47 y 48). La siguiente tabla, extraida de Rico, L. (2005),
recoge los resultados empricos obtenidos en trminos de descriptores
resumidos por niveles y competencias. Niveles 1 2 3 4 5 6 15
Maestro, C. y otros (2005)
- 26. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 26
Competencias Pensar y razonar Responder a cuestiones en contextos
muy conocidos Responder a cuestiones en contextos poco familiares
Responder a cuestiones complejas en multitud de contextos Formar y
relacionar conceptos Argumentar y justificar Elaborar argumentos
basados en las propias acciones Formular los razonamientos
desarrollados Elaborar argumentos desde la propia reflexin
Comunicar Describir resultados obtenidos Realizar explicaciones
sencillas Comunicar conclusiones con precisin Modelizar Usar
modelos explcitos en situaciones concretas Desarrollar y usar
modelos en mliples situaciones Resolucin de problemas Resolver
problemas con datos sencillos Seleccionar y aplicar estrategias
sencillas Seleccionar, comparar y evaluar estrategias Generalizar
resultados de problemas Representar Leer datos directament e de
tablas o figuras Usar un nico tipo de representa cin Conocer y usar
diferentes sistemas de representacin Vincular diferentes sistemas
de representaci n, incluido el simblico Relacionar entre s y
traducir con fluidez diferentes sistemas de representacin Lenguaje
simblico Realizar operaciones bsicas Usar algoritmos y frmulas
elementale s Aplicar procedimientos descritos con claridad
Representar situaciones reales mediante smbolos Dominar con rigor
ellenguaje simblico Ejemplos de tareas de la evaluacin del proyecto
PISA 2003
- 27. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 27
Pregunta 19: ESTANTERAS Para construir una estantera un carpintero
necesita lo siguiente: 4 tablas largas de madera, 6 tablas cortas
de madera, 12 ganchos pequeos, 2 ganchos grandes, 14 tornillos. El
carpintero tiene en el almacn 26 tablas largas de madera, 33 tablas
cortas de madera, 200 ganchos pequeos, 20 ganchos grandes y 510
tornillos. Cuntas estanteras completas puede construir este
carpintero? Respuesta: estanteras.
- 28. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 28
Pregunta 3: CUBOS En esta fotografa puedes ver seis dados,
etiquetados desde la (a) a la (f). Hay una regla que es vlida para
todos los dados: La suma de los puntos de dos caras opuestas de
cada dado es siempre siete. Escribe en cada casilla de la tabla
siguiente el nmero de puntos que tiene la cara inferior del dado
correspondiente que aparece en la foto. (a) (b) (c) (d) (e)
(f)
- 29. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 29
EL MEJOR COCHE Una revista de coches utiliza un sistema de
puntuaciones para evaluar los nuevos coches y concede el premio de
Mejor coche del ao al coche con la puntuacin total ms alta. Se estn
evaluando cinco coches nuevos. Sus puntuaciones se muestran en la
tabla. Las puntuaciones se interpretan de la siguiente manera: 3
puntos Excelente; 2 puntos Bueno; 1 punto - Aceptable Para calcular
la puntuacin total de un coche, la revista utiliza la siguiente
regla, que da una suma ponderada de las puntuaciones individuales:
Puntuacin total - (3x S) + C + D + H Calcula la puntuacin total del
coche Ca. Escribe tu contestacin en el espacio siguiente. Puntuacin
total de Ca: Pregunta 38: El fabricante del coche Ca pens que la
regla para obtener la puntuacin total no era justa. Escribe una
regla para calcular la puntuacin total de modo que el coche Ca sea
el ganador. Tu regla debe incluir las cuatro variables y debes
escribir la regla rellenando con nmeros positivos los cuatro
espacios de la ecuacin siguiente. Puntuacin total = .........S +
..... C + .... ..D + ......H. Algunos resultados PISA 2003 La
materia principal en el estudio PISA 2003 ha sido Matemticas, a la
que se le ha dedicado un 55% del tiempo de evaluacin. Las otras
materias en esta ocasin han sido Lectura, Ciencias y Solucin de
problemas, con un 15% del tiempo de evaluacin cada una. En PISA
2003 han participado 41 pases, los 30 pases miembros de la OCDE y
11 no miembros. Entre ellos quedan incluidos los 15 pases que eran
miembros de la Unin Europea en 2003. Se ha evaluado un total de
276.165 alumnos provenientes de 10.104 centros escolares. La
participacin de Espaa Espaa ha participado en PISA 2003, como ya lo
hizo en PISA 2000, y ha sido el Ministerio de Educacin y Ciencia el
que ha llevado a cabo las tareas de coordinacin e implantacin del
estudio, a travs del Instituto Nacional de Evaluacin y Calidad del
Sistema Educativo (INECSE) y en estrecha colaboracin con las
Administraciones educativas de las Comunidades Autnomas.
- 30. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 30
Las Comunidades Autnomas de Castilla y Len, Catalua y Pas Vasco han
participado en el proyecto PISA 2003 con una muestra ampliada, lo
que ha permitido una mayor precisin en la medida de sus resultados,
suficiente para una presentacin desglosada de los mismos. El nmero
de alumnos y de centros en la muestra espaola en PISA 2003 ha sido
el siguiente: Territorio Alumnos Centros Espaa 10.761 383 Castilla
y Len 1.490 51 Catalua 1.516 50 Pas Vasco 3.885 141 Rendimiento
medio en matemticas Los alumnos espaoles de 15 aos muestran un
rendimiento en matemticas 15 puntos por debajo del promedio de la
OCDE, fijado en 500 puntos. Esta diferencia es estadsticamente
significativa. El rendimiento de los alumnos de Castilla y Len y
del Pas Vasco es significativamente superior al del conjunto de
Espaa. Los resultados de Espaa no son significativamente diferentes
de los de Eslovaquia, Noruega, Luxemburgo, Polonia, Hungra, Letonia
y Estados Unidos. Aunque Espaa figura en el puesto 26 de la lista,
la falta de significatividad estadstica de las diferencias con los
pases mencionados en el punto anterior hace que Espaa ocupe un
puesto indeterminado entre las posiciones 22 y 24 entre los pases
de la OCDE, o entre las posiciones 25 y 28 entre los 41 pases
participantes. Espaa ocupa el puesto 22 entre estos pases en cuanto
a PIB per capita. La distribucin de puntuaciones individuales en
Matemticas ha sido dividida en siete niveles de rendimiento. Los
niveles se numeran del 1 al 6, pero el nivel inferior se denomina
nivel menor que 1 ya que agrupa a aquellos alumnos con un
rendimiento tan bajo que PISA no es capaz de describirlo
adecuadamente. Evaluacin de Diagnstico Junta de Andaluca Fines y
principios La evaluacin de diagnstico que se ha realizado en la
Comunidad Autnoma Andaluza se enmarca dentro de un proceso
orientado al establecimiento de una nueva Ley de Educacin para
Andaluca dirigida a mejorar la calidad de su Sistema Educativo y
conforme con las orientaciones de la Unin Europea al respecto. La
evaluacin se ha llevado a cabo asumiendo los principios de: -
Compromiso tico - Participacin democrtica - responsabilidad
compartida - confidencialidad - transparencia Fines Fin general
Evaluacin del rendimiento del alumnado como parte de un proceso de
evaluacin ms amplio. La evaluacin ha sido censal por un lado, para
informacin a los propios centros, y muestral con caracter de
evaluacin externa realizada por la Consejera de Educacin.
Contenido
- 31. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 31
Esta evaluacin del rendimiento se ha centrado en la evaluacin de
competencias en el mismo sentido que la evaluacin del proyecto PISA
2003. Objetivos o mejorar el rendimiento de los alumnos o favorecer
la cooperacin e integracin de esfuerzos o conocer el grado de
consecucin de los objetivos educativos o potenciar modelos de
evaluacin formativa Principios Concepto de competencia Saber hacer
complejo, resultado de la integracin, movilizacin y adecuacin de
capacidades, conocimientos, actitudes y habilidades utilizados
eficazmente en situaciones que tengan un carcter comn16 Otro
enfoque: Una combinacin de habilidades prcticas y cognoscitivas
interrelacionadas, conocimientos, motivaciones, valores y tica,
actitudes, emociones y otros componentes sociales y
comportamentales que pueden movilizarse conjuntamente para una
accin eficaz en un contexto particular17 O tambien: el desarrollo
armnico del intelecto, de la inteligencia emocional y de la posesin
de las habilidades y destrezas necesarias para aplicar y
desarrollar los conocimientos adquiridos en cualquier contexto o
situacin, todo ello sustentado en valores ticos, morales y
culturales comnmente aceptados en el contexto social en el que nos
desenvolvemos18 Nota del autor: Estas definiciones o descripciones
contrastan, en el sentido de su complejidad, indeterminacin y falta
de claridad, con las consideraciones mucho ms simples de los
planteamientos de la OCDE, en los que se concibe la competencia
como: capacidad de respuesta a demandas complejas y de realizacin
de tareas diversas de forma adecuada o dicho de otras manera, como
capacidad de respuesta adaptada o capacidad de poner en
funcionamiento, de forma globalizada, conocimientos, destrezas y
actitudes adquiridas en distintos contextos Competencia En el
documento de la Junta de Andaluca se define la competencia como una
combinacin de conocimientos, capacidades y actitudes adecuadas al
contexto. Competencias bsicas o claves Aqullas que van a permitir a
la persona en la sociedad del conocimiento, lograr una realizacin
de su ser individual, social y su inclusin en el mundo laboral. Son
las que todas las personas precisan para su relacin y desarrollo
personales as como para la ciudadana activa, la inclusin social y
el empleo. Se caracterizan por: saber hacer en diversidad de
contextos 16 Lasnier, F. (2000); cita en: Consejera de Educacin.de
la Junta de Andaluca. Evaluacin de Diagnstico. Marco Terico.
Direccin General de Ordenacin y Evaluacin Educativa. 17 Rychen y
Tiana (2004); cita en: Consejera de Educacin.de la Junta de
Andaluca. Evaluacin de Diagnstico. Marco Terico. Direccin General
de Ordenacin y Evaluacin Educativa. 18 Bentez, A. (2006).- Las
competencias bsicas en la LOE. Revista Escuela Espaola, n 3701.
Madrid.
- 32. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 32
con un carcter integrador constituidas por interrelacin de saberes
de los distintos mbitos educativos Tipos de competencias bsicas
Comunicacin en lengua materna Comunicacin en lenguas extranjeras
Competencia matemtica y competencias bsicas en ciencia y tecnologa
Competencia digital (TIC) Aprender a aprender Competencias
interpersonales, interculturales, sociales y cvicas Espritu de
empresa Expresin cultural Competencia matemtica: capacidad del
individuo para resolver situaciones prcticas cotidianas, utilizando
para este fin los conceptos y procedimientos matemticos. Habilidad
para utilizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y
fracciones en el clculo mental escrito con el fin de resolver
diversos problemas en situaciones cotidianas. Descartamos por tanto
el mero aprendizaje de conocimientos y procedimientos matemticos en
s mismos, poniendo el nfasis sobre la aplicacin de stos a
situaciones de la vida real. El nfasis se sita en el proceso y en
la actividad, aunque tambin en los conocimientos. La competencia
matemtica entraa, en distintos grados, la capacidad y la voluntad
de utilizar modos matemticos de pensamiento (pensamiento lgico y
espacial) y representacin (frmulas, modelos, construcciones,
grficos y diagramas). las competencias matemticas que han sido
tomadas como objeto de la evaluacin son: Competencia 1. Organizar,
comprender e interpretar informacin Elementos: - Identifica el
significado de la informacin numrica y simblica. - Ordena
informacin utilizando procedimientos matemticos. - Comprende la
informacin presentada en un formato grfico. Competencia 2. Expresar
Elementos: - Se expresa utilizando vocabulario y smbolos matemticos
bsicos. - Utiliza formas adecuadas de representacin segn el
propsito y naturaleza de la situacin. - Expresa correctamente
resultados obtenidos al resolver problemas - Justifica resultados
expresando argumentos con una base matemtica. Competencia 3.
Plantear y resolver problemas. Elementos: - Traduce las situaciones
reales a esquemas o estructuras matemticos. - Valora la pertinencia
de diferentes vas para resolver problemas con una base matemtica. -
Selecciona estrategias adecuadas. - Selecciona los datos apropiados
para resolver un problema. - Utiliza con precisin procedimientos de
clculo, frmulas y algoritmos para la resolucin de problemas.
- 33. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 33
Entendiendo que el desarrollo de competencias es un proceso
continuo a lo largo de la vida escolar del alumnado, las aqu
contempladas constituiran una referencia vlida tanto en cuarto de
Educacin Primaria como en segundo de la Educacin Secundaria
Obligatoria. No obstante, la redaccin de los tems para la medicin
de estas competencias, en cada uno de los niveles considerados, ha
tenido en cuenta la amplitud con la que, los diferentes elementos
de competencia, han de estar presentes y los niveles de ejecucin
que se esperan del alumnado de cada una de esas etapas. Ejemplos de
tareas de la evaluacin de diagnstico de la Junta de Andaluca
Primaria
- 34. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA
34
- 35. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 35
Rutas de senderismo Educacin Secundaria obligatoria
- 36. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 36
Las condiciones y los medios (Qu hacer y cmo a partir de ahora?) La
evaluacin despus de un proceso educativo, o durante el desarrollo
del mismo, permite apreciar si se han alcanzado o no los fines
propuestos y en qu aspectos es necesario modificar los
planteamientos para diseos y desarrollos didcticos posteriores.
Tambin permite ir modificando sobre la marcha los aspectos
necesarios, incluidos los propios fines examinados. En este caso,
las evaluaciones de diagnstico se han llevado a cabo externamente,
al margen de los diseos y desarrollos curriculares de los pases
participantes, si bien basadas en unos fines y principios que se
pretenden tomar como base del nuevo espacio educativo europeo. En
cualquier caso, para alcanzar los fines propuestos en un proceso
educativo, una vez modificados como consecuencia de un proceso de
evaluacin, se ha de atender a las condiciones y a los medios
necesarios para ello. En la figura 2 se aprecian los principales
instrumentos y categoras de instrumentos (recuadro central) que
hacen posible la consecucin de los objetivos y la constatacin de
este hecho por medio de la evaluacin. El paso siguiente es el diseo
del proceso, la adopcin de las medidas adecuadas y el desarrollo de
la enseanza en el aula. La evaluacin, esta vez como elemento
integrado en el proceso y no como elemento externo, como se ilustra
en el grfico de la figura 2, permitir, por ltimo, averiguar si se
han utilizado los medios adecuados para alcanzar los objetivos. No
es el momento de entrar aqu en profundidad sobre los aspectos
ordinarios del diseo curricular, las orientaciones oficiales y los
medios materiales y personales de todo proceso educativo. Antes de
prestar atencin a dichos aspectos instrumentales y ver cmo puede
afectar la introduccin de las competencias matemticas al diseo y
desarrollo ordinarios, a lo que dedicaremos la ltima parte de este
anlisis, nos
- 37. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 37
interesa especialmente clarificar en qu consiste la modificacin que
se ha de realizar y los cambios de perspectiva que necesariamente
debemos introducir en la preparacin y desarrollo de la labor
docente. figura 2.- La diversidad de los medios en el proceso
educativo en matemticas Currculo: Diseo y orientaciones
Competencias matemticas y currculo: Crtica desde el Danish KOM
Project Tradicionalmente, un currculo de matemticas viene
especificado por tres componentes - propsitos y logros a alcanzar -
contenido matemtico dado en forma de temas y unidades o lista de
tpicos, conceptos, teoras, mtodos y resultados a cubrir Fines
generales, conocimientos, disciplina, sujetos, etc. Medios (III)
Estructurales, organizativos y de control: Diseo Curricular base,
leyes, documentos curriculares, normas generales, proyectos,
planificacin de aula, publicaciones oficiales, etc. Materiales:
Aulas, Centros, recursos, libros de texto, saberes matemticos
(libros de matemticas), material didctico, presupuestos, etc.
Personales: Profesores, Alumnos, Inspectores, Asesores, etc. Diseo
curricular: Objetivos, contenidos, metodologa, recursos, evaluacin,
actividades, temporalizacin, organizadores, etc. Desarrollo
curricular Evaluacin I.- Matemticas II.- Sujetos III.- Medios
Administracin educativa Sociedad Familia Cultura Sistema de la
Educacin Matemtica Principios generales, necesidades sociales,
individuales, cientficas. Inercia. Conveniencias. Etc. Informacin
de I, II y III
- 38. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 38
- formas e instrumentos para evaluar hasta qu punto los alumnos han
alcanzado los logros previstos Hay serias objeciones a este
modelo19 y es necesario modificar los planteamientos. Orientaciones
oficiales en Espaa LOE Primaria y ESO La ley Orgnica de Educacin,
2/2006, de 3 de mayo, en su artculo 6: . . . el currculo es el
conjunto de objetivos, competencias bsicas, contenidos, mtodos
pedaggicos y criterios de evaluacin de cada una de las enseanzas .
. . Competencias bsicas en la LOE En el currculo de la educacin
obligatoria en Espaa se contemplan las siguientes competencias
bsicas, que hemos ordenado en funcin de la contribucin de las
matemticas a la consecucin de cada una de ellas: - Competencia
matemtica - Aprender a aprender - Autonoma e iniciativa personal -
Conocimiento e interaccin con el mundo fsico - Tratamiento de la
informacin y competencia digital - Competencia social y ciudadana -
Comunicacin lingstica - Competencia cultural y artstica Fines de la
introduccin de las competencias bsicas en el curriculo El
planteamiento de las competencias bsicas en Educacin tiene como
finalidad en Espaa: - Enriquecer el currculo - Orientar la enseanza
(para que los alumnos desarrollen formas de actuacin y adquieran
capacidades para enfrentarse a situaciones nuevas) - Servir de
referencia (para la promocin de ciclo en Educacin Primaria y para
la titulacin al final de la ESO. Igualmente, para las evaluaciones
de diagnostico) Caractersticas curriculares en relacin con las
competencias bsicas a) todas las competencias bsicas estn
relacionadas entre s. No son independientes; b) existen elementos
comunes a todas . . actitudes, resolucin de problemas, creatividad,
etc. c) No existe relacin unvoca entre la enseanza de materias y la
adquisicin o desarrollo de competencias; d) Cada rea contribuye al
desarrollo de varias competencias. Algunas reas contribuyen ms que
otras. e) Cada competencia bsica se alcanza como consecuencia del
trabajo en varias reas o materias, aunque no slo se adquiere con el
trabajo en las materias. Otros factores tales como organizacin,
participacin, instalaciones, entorno, accin tutorial, etc.,
aspectos que no forman parte de ninguna materia, contribuyen tambin
al desarrollo de las competencias bsicas. f) COMPETENCIAS BSICAS Y
OBJETIVOS. Para cada etapa se han de especificar los objetivos as
como el grado de desarrollo esperado de las competencias bsicas al
final de la misma. 19 Niss, M. (1999).- Quantitative literacy and
Mathematical Competencies
- 39. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 39
g) COMPETENCIAS Y ORGANIZADORES CURRICULARES. - El currculo de cada
rea debe especificar los objetivos, los contenidos, los criterios
de evaluacin y la contribucin del rea a la adquisicin de las
competencias bsicas. - Los contenidos (conceptos, procedimientos y
actitudes) y criterios de evaluacin se han de establecer para cada
uno de los ciclos y se debe asegurar la presencia de los contenidos
que se relacionen directamente con la adquisicin de las
competencias bsicas. No obstante, pueden existir tambin contenidos
necesarios para alcanzar objetivos de la materia y que no se
relacionen directamente con competencias bsicas h) COMPETENCIAS Y
DISEO. El diseo curricular del plan de formacin debe contemplar,
por tanto, dos tareas previas: a) analizar la actividad en la que
se pretende que el alumno llegue a ser competente b) identificar
las competencias necesarias para la realizacin de dicha actividad
La competencia matemtica en la LOE Aunque tiene una formulacin algo
confusa, se concibe como: Habilidad para utilizar nmeros y
operaciones, formas de expresin y razonamiento matemtico para
producir e interpretar informaciones, conocer aspectos
cuantitativos y espaciales y resolver problemas. Asimismo, se
incluyen los siguientes aspectos: identificacin de situaciones
matematizables, seleccin de tcnicas adecuadas y aplicacin de
estrategias de resolucin de problemas. El nfasis de esta
competencia se pone en: - elementos matemticos bsicos - procesos de
razonamiento para: resolucin de problemas, obtencin de informacin,
valoracin de la validez de informaciones y argumentaciones, . . .
para lo cual es importante: espritu crtico fundado, confianza en
las propias habilidades, actitudes positivas, espontaneidad,
seguridad, efectividad, habilidad para tomar decisiones, . .
Contribucin del rea de Matemticas al desarrollo de las competencias
bsicas Los contenidos del rea se orientan de manera prioritaria a
garantizar el mejor desarrollo de la competencia matemtica en todos
y cada uno de sus aspectos, lo que incluye la mayor parte de los
conocimientos y de las destrezas imprescindibles para ello. Es
necesario remarcar, sin embargo, que la contribucin a la
competencia matemtica se logra en la medida en que el aprendizaje
de dichos contenidos va dirigido precisamente a su utilidad para
enfrentarse a las mltiples ocasiones en las que nios y nias emplean
las matemticas fuera del aula. El desarrollo del pensamiento
matemtico contribuye a la competencia en el conocimiento e
interaccin con el mundo fsico porque hace posible una mejor
comprensin y una descripcin ms ajustada del entorno. En primer
lugar, con el desarrollo de la visualizacin (concepcin espacial),
los nios y las nias mejoran su capacidad para hacer construcciones
y manipular mentalmente figuras en el plano y en el espacio, lo que
les ser de gran utilidad en el empleo de mapas, planificacin de
rutas, diseo de planos, elaboracin de dibujos, etc. En segundo
lugar, a travs de la medida se logra un mejor conocimiento de la
realidad y se aumentan las posibilidades de interactuar con ella y
de transmitir informaciones cada vez ms precisas sobre aspectos
cuantificables del entorno. Por ltimo, la destreza en la utilizacin
de representaciones grficas para interpretar la informacin aporta
una herramienta muy valiosa para conocer y analizar mejor la
realidad. Las Matemticas contribuyen a la adquisicin de la
competencia en tratamiento de la informacin y competencia digital,
en varios sentidos. Por una parte porque proporcionan destrezas
asociadas al uso de los nmeros, tales como la comparacin, la
aproximacin o las relaciones entre las diferentes formas de
- 40. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP
Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 40
expresarlos, facilitando as la comprensin de informaciones que
incorporan cantidades o medidas. Por otra parte, a travs de los
contenidos del bloque cuyo nombre es precisamente tratamiento de la
informacin se contribuye a la utilizacin de los lenguajes grfico y
estadstico, esenciales para interpretar la informacin sobre la
realidad. En menor escala, la iniciacin al uso de calculadoras y de
herramientas tecnolgicas para facilitar la comprensin de contenidos
matemticos, est tambin unida al desarrollo de la competencia
digital. Los contenidos asociados a la resolucin de problemas
constituyen la principal aportacin que desde el rea se puede hacer
a la autonoma e iniciativa personal. La resolucin de problemas
tiene, al menos, tres vertientes complementarias asociadas al
desarrollo de esta competencia: la planificacin, la gestin de los
recursos y la valoracin de los resultados. La planificacin est aqu
asociada a la comprensin en detalle de la situacin planteada para
trazar un plan y buscar estrategias y, en definitiva, para tomar
decisiones; la gestin de los recursos incluye la optimizacin de los
procesos de resolucin; por su parte, la evaluacin peridica del
proceso y la valoracin de los resultados permite hacer frente a
otros problemas o situaciones con mayores posibilidades de xito. En
la medida en que la enseanza de las matemticas incida en estos
procesos y se planteen situaciones abiertas, verdaderos problemas,
se mejorar la contribucin del rea a esta competencia. Actitudes
asociadas con la confianza en la pro