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método de interpolación por diferencias divididas de Newton
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INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON Pervys Rengifo Rengifo
MÉTODOS NUMÉRICOS
REGRESIÓN E INTERPOLACIÓN
INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
• Para n+1 puntos no colineales se puede hallar un polinomio de interpolación de grado n, que pasa por todos ellos
• La forma general de este polinomio, que utiliza el método de diferencias divididas de Newton es
donde
10102010 ...... nnn xxxxbxxxxbxxbbxP
0 0
1 1 0
2 2 1 0
3 3 2 1 0
3 1 0
,
, ,
, , ,
, , ,n n
b f x
b f x x
b f x x x
b f x x x x
b f x x x
INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
,
i j
i j
i j
f x f xf x x
x x
, ,, ,
i j j k
i j k
i k
f x x f x xf x x x
x x
1 1 1 2 1 0
1 1 0
0
, , , , , , ,, , , ,
n n n n
n n
n
f x x x f x x x xf x x x x
x x
EJEMPLO
Halle el polinomio de interpolación por diferencias divididas de Newton para el siguiente conjunto de puntos, y estime el valor de la función para x=3.5 utilizando este polinomio
i xi f(xi) 0 1.5 -5 1 2.7 2 2 5.6 -2 3 7.2 10
EJEMPLO Con el fin de tener una idea de la distribución de los puntos y poder anticipar comportamientos atípicos, se grafican los puntos a interpolar
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
MÉTODO DE INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE
NEWTONPUNTOS A INTERPOLAR
• En este caso se tienen 4 puntos, es decir que se puede hallar un polinomio de grado 3 que interpole estos puntos:
• Reemplazando los valores de x0, x1 y x2, se obtiene:
EJEMPLO
21031020103 xxxxxxbxxxxbxxbbxP
6.57.25.17.25.15.1 32103 xxxbxxbxbbxP
Ahora de hallan los valores de b0, b1, b2, b3
EJEMPLO
500 xfb
8333333.55.17.2
52,
01
01011
xx
xfxfxxfb
12
1212 ,
xx
xfxfxxf
37931034.17.26.5
22, 12
xxf
EJEMPLO
02
01120122
,,,,
xx
xxfxxfxxxfb
759181385.15.16.5
8333333.537931034.12
b
13
1223123
,,,,
xx
xxfxxfxxxf
973180077.17.22.7
37931034.15.7,, 123
xxxf
EJEMPLO
03
01212301233
,,,,,,,
xx
xxxfxxxfxxxxfb
654800256.0
5.12.7
759181385.1973180077.13
b
EJEMPLO
TABLA DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS
xi f[xi] f[xi+1,xi] f[xi+2,xi+1,xi] f[xi+3,xi+2,xi+1,xi]
1.5 -5 5.83333333 -1.759181385 0.654800256
2.7 2 -1.37931034 1.973180077
5.6 -2 7.5
7.2 10
A continuación se presenta una tabla que resume el cálculo de las diferencias divididas para el problema
i xi f[xi] f[xi+1,xi] f[xi+2,xi+1,xi] f[xi+3,xi+2,xi+1,xi]
0 1.5 f[xo] f[x1,xo] f[x2,x1,xo] f[x3,x2,x1,xo]
1 2.7 f[x1] f[x2,x1] f[x3,x2,x1]
2 5.6 f[x2] f[x3,x2]
3 7.2 f[x3]
La siguiente tabla indica la denominación de cada una de las diferencias dividas de la tabla anterior
EJEMPLO
En la gráfica siguiente se observa que el polinomio de interpolación efectivamente pasa por los puntos iniciales
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
MÉTODO DE INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE
NEWTONPUNTOS A INTERPOLAR Y POLINOMIO DE INTEROPACIÓN
EJEMPLO
Finalmente, reemplazando los valores de bo, b1, b2 y b3 resulta el siguiente Polinomio de interpolación:
Para estimar el valor de la función en x=3.5, simplemente se evalúa el polinomio de interpolación en este valor
65184759.15.3P3
6.55.37.25.35.15.3654800256.07.25.35.15.3759181385.15.15.38333333.555.3P3
6.5x7.2x5.1x654800256.07.2x5.1x759181385.15.1x8333333.55xP3
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