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Demetrio Ccesa Rayme
Integrales indefinidas
Esquema
Primitiva de una función
La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I
si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.
Ejemplo: la función F(x) = x4
4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3.
También la función G(x) = x4
4 + 2 es una primitiva de f . Ambas en
cualquier intervalo de la recta real.
Integral indefinida
Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de to-das las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe f(x) dx, y se lee «in-
tegral de f(x)»
Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = e
x + C, donde C es una cons-
tante. Se expresa de la siguiente manera: ex dx = e
x + C
Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real.
Las primitivas se diferencian en una constante
Integrando Derivando
Propiedades de la integral indefinida
I k f(x) dx = k f(x) dx con k R Las constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida.
II [ f(x) g(x)] dx = f(x) dx
g(x) dx La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las inte-
grales indefinidas.
Propiedades de la integral indefinida
Propiedades de la derivada
I (kf )' (x) = k f '(x) con k R La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función.
II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x) La derivada de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las deri-vadas de cada una de ellas.
Integrales inmediatas
Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona primitivas e integrales indefinidas.
1.-
xa dx =
xa+1
a+1 + C, si a -1, a R
2.-
1
x dx = ln x + C
3.-
ex dx = ex + C
4.- ∫ax = ln
xa
a + C, si a>0, a 1
5.-
sen x dx = – cos x + C
6.-
cos x dx = sen x + C
7.- 2
1
1dx arcsen x C
x
8.- 2
1arctg
1dx x C
x
Integrales inmediatas para funciones compuestas
x r dx =
x r+1
r + 1 + C, para cualquier constante r – 1
f '(x) [f(x)]r dx = [f(x)]r+1
r + 1 + C para r -1
1
2 2 cos 2x sen3 2x dx =
1
2 sen4 2x
4 =
1
8 sen4 2x + C
Tipo general
cos 2x sen3 2x dx =
Ejemplo:
1
x dx = ln | x | + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
Tipo general
Ejemplo:
dxxf
xf
)(
)(' = ln |f(x)| + C
tg 3x dx = – 1
3 – 3 sen 3x
cos 3x dx = –
1
3 ln |cos 3x | + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
ax
dx = a
x
ln a + C, para cualquier a > 0
Para a = e se obtiene
ex
dx = ex + C
Tipo general
Ejemplo:
f '(x) af(x) dx = af(x)
ln a + C, para a > 0
x2 e
x3 dx =
1
3
3x2 e
x3 dx =
1
3 e
x3 + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
sen x dx = – cos x + C
Tipo general
Ejemplo:
f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C
e3x
sen (e3x
+ 5) dx =1
3
3 e3x
sen (e3x
+ 5) dx = – 1
3 cos (e
3x + 5) + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
cos x dx = sen x + C
Tipo general
Ejemplo:
f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
e7x
cos (e7x
+ 5) dx =1
7
7 e7x
cos (e7x
+ 5) dx = 1
7 sen (e
7x + 5) + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
2
1arcsen( )
1dx x C
x
Tipo
general
Ejemplo:
g '(x)
1 - [g(x)]2 dx = arcsen g(x) + C
e3x
1 – e6x
dx =
e3x
1 – (e3x
)2 dx =
1
3
3e3x
1 – (e3x
)2 dx =
1
3 arcsen e
3x + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
1
1 + x2 dx = arctg x + C
2
f ( )arctg( )
1 f ( )
xdx x C
x
Tipo
general
1
1 + 2x2 dx =
Ejemplo:
1
1 + ( 2x)2 dx =
1
2
2
1 + ( 2x)2 dx =
1arctg 2x
2C
Integración por partes
Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene:
f(x)g'(x)
dx = f(x)g(x) –
g(x)f '(x)
dx
Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene
poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:
u dv = uv –
v du
Consejos 1. Llamar g a una función de la que sea cómodo obtener g.
2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para
g, llamar entonces g a aquella que haga que ∫ f g se más cómoda
que ∫ f g .
Integración por partes: Ejemplos
= x2 e
x – 2[xe
x –
e
x dx ] = e
x (x
2 – 2x + 2) + C
x
2 e
x dx = x
2 e
x –
e
x 2x dx = x
2 e
x – 2
x e
x dx =
u = x2 du = 2x dx
dv = ex . dx v = ex
u = x du = dx
dv = ex . dx v = ex
u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dx
dv = dx v = x
= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –
sen(ln x) . dx
Despejando la integral buscada queda:
u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dx
dv = dx v = x
x . sen (ln x) –
cos (ln x) . dx =
sen(ln x) . dx =
sen(ln x) . dx =
1
2x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C
Integración por sustitución o cambio de variable
Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:
(F o g)'(x) =F(g(x))’= F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)
Por lo que la integral del elemento final es:
f[g(x)]g'(x)
dx = F[g(x)] + C
Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx.
Con esta sustitución se tiene
f(u) du = F(u) + C
Integración por sustitución: Ejemplos I
1
x ln x dx
Cambio ln x = u dx / x = du
= dxLnx
x
/1 =
1
u du = ln | u | + C
deshacer el cambio
= ln | ln x | + C
Para calcular una integral por cambio de variable: • Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral
inmediata.
• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante.
du = g'(x) dx • Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio
poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.
Integración por sustitución: Ejemplos II
deshacer el cambio
x3 x
4 + 2 dx =
Cambio x4 + 2 = u 4x3 . dx = du x3 dx = du/4
4
duu
sen3 2x
. cos 2x dx =
1
2
t3 . dt =
Cambio sen 2x = t 2 cos 2x . dx = dt cos 2x dx = dt/2
= 1
8 sen
4 2x + C
1
2
t4
4 + C
deshacer el cambio
Integración de funciones racionales
Pretendemos obtener
P(x)
Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n
Caso 1: m n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2.
P(x) Q(x)
C(x) R(x)
con grad[R(x)] < grad[Q(x)]
P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) P(x)
Q(x) = C(x) +
R(x)
Q(x)
Por tanto:
P(x)
Q(x) dx =
C(x) .dx +
R(x)
Q(x) dx
En donde la primera integral es inmediata y la segunda corresponde al
Caso 2
Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.
Como m n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x)
Descomposición en fracciones simples I
Pretendemos obtener
P(x)
Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n
• Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la ecuación Q(x) = 0.
• Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene: • Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1). • Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2). • Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que
son necesariamente conjugadas). • El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.
Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho polinomio se factoriza de la siguiente manera:
Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)
2 . (x2 + bx + c) tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado.
P(x)
Q(x) dx =
1
ao
P(x)
(x – x1) . (x – x2)
2 . (x
2 + bx + c)
dx =
Paso 1. Factorización del polinomio Q(x)
Descomposición en fracciones simples II
Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples
P(x)
(x – x1) . (x – x2)
2 . (x
2 + bx + c)
= A
x – x1
+B
(x – x2)2 +
C
x – x2
+ Mx + N
x2 + bx + c
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
Proceso de cálculo:
• Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una identidad polinómica.
• Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más).
• Resolver el sistema.
Descomposición en fracciones simples: ejemplo
Descomponer en fracciones simples: x
2 + x + 1
x5 – x
4 – x + 1
Paso 1. Factorización del polinomio denominador
Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)
Paso 2. Descomponer en fracciones simples
x2 + x + 1
x5 – x
4 – x + 1
= A
x + 1 +
B
(x – 1)2 +
C
x – 1 +
Mx + N
x2 + 1
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
x2 + x + 1= A(x–1)
2(x
2+1) + B(x+1)(x
2 +1) + C(x–1)(x+1)(x
2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)
2
x=1 B=3/4
x=–1 A=1/8
x=0 – C + N = 1/8
x=2 5C+2M+N = –13/8
x=–2 5C+6M–3N = 3/8
Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4
Integrales racionales con denominador de grado 2
Estudio de la integral
Mx + N
ax2 + bx + c
dx Sea D el discriminante del denominador: D = b2 – 4ac
Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser resuelta como inmediata tipo neperiano.
En caso contrario: • Si D 0 la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples. • Si D < 0 la integral es tipo neperiano + arco tangente.
Pasos para su obtención:
M 0 Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador. Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras
dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente. M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente).
Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado (cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan los números fraccionarios.
Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado (sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e integramos como inmediata tipo arco tangente
Integración de funciones trigonométricas: fórmulas
Fórmulas trigonométricas fundamentales
sen2px + cos
2px = 1
Fórmula fundamental de la
trigonometría.
sen 2px = 2 sen px . cos px
cos 2px = cos2px – sen
2px
Seno y coseno del ángulo
doble.
cos2px =
1 + cos 2px
2
sen2px =
1 – cos 2px
2
Fórmulas de reducción de
grado.
sen a . cos b = 1
2 sen (a + b) +
1
2 sen (a – b)
cos a . cos b = 1
2 cos (a + b) +
1
2 cos (a – b)
sen a . sen b = – 1
2 cos (a + b) +
1
2 cos (a – b)
Fórmulas de conversión de
productos de senos y
cosenos en suma.
sen (– px) = – sen px
cos (– px) = cos px
Seno y coseno del ángulo
opuesto.
1 + tg2 px = sec
2 px;
1 + ctg2 px = csc
2 px
Integración de funciones trigonométricas: métodos
Forma Condiciones Método
n par Reducir el grado del integrando por medio de las fórmulas de reducción de grado (3), según convenga. (I)
sen
n px dx
cos
n px dx
n impar
Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia sustituyendo en el resto de la potencia la rela-ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial.
m y n pares
Reducir el grado del integrando aplicando las fórmulas 3.
(II)
sen
n px . cos
n px dx
m ó n impares
De la potencia de exponente impar se saca un factor, sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-nen integrales inmediatas tipo potencial.
Caso particular Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener:
sen
n px . cos
n px dx =
12
n
sen
n 2px dx
que es del tipo (I).
Forma Condiciones Método
(III)
sen px.cos qx.dx
sen px.sen qx.dx
cos px.cos qx..dx
p y q números reales cuales-
quiera
Convertir los productos en sumas mediante la
relaciones 4 según convenga.
Integración de funciones trigonométricas: métodos II
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I
=
sen3x.dx +
cos43x sen 3x.dx –2
cos23x sen 3x.dx =
= – 1
3 cos 3x -
2
9 cos
3 3x +
1
15 cos
5 3x+C
Tipo I. Exponente impar
= 1
4 x +
1
4
1 + cos4x
3
2 dx –
3
4 sen
2x
3 =
3x
8 –
3
4 sen
2x
3 +
3
32 sen
4x
3 + C
Tipo I. Exponente par
sen5 3x.dx =
(sen23x)2 sen 3x.dx =
(1–cos23x)2 sen 3x.dx =
sen4 x
3 dx = 1
4
1 + cos2 2x
3 – 2 cos
2x
3 dx =
sen2 x
3
2
dx =
1 – cos
2x
3
2
2
dx =
= 1
4
1.dx +
1
4
cos2 2x
3dx – 2
1
4
cos
2x
3 dx =
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II
Tipo II. Al menos un exponente impar
cos
4 5x.sen
3 5xdx =
cos
4 5x . sen
25x .sen 5x . dx =
cos
4 5x . (1 – cos
25x).sen 5x.dx =
=
cos
45x.sen 5x.dx –
cos
65x.sen 5x.dx =
= – 1
25 cos
5 5x +
1
35 cos
7 5x + C
= 1
8
1 – cos 12x
2 dx –
1
48 sen
36x
3 =
= 1
8
sen
26x dx –
1
8
sen
26x .cos 6x.dx =
= x
16 –
1
144 sen
3 6x –
1
192 sen 12x + C
Tipo II. Todos los exponentes pares
sen
43x .cos
2 3x.dx =
(sen
23x)
2 .cos
2 3x.dx =
1 – cos 6x
2
2
1 + cos 6x
2 dx =
= 1
8
(1 – cos 6x)(1 – cos
26x) dx =
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x)
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)
sen2 6x
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III
Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento
sen 3x.cos 5x.dx =
1
2
sen 8x .dx +
1
2
sen( – 2x) .dx =
= – 1
16 cos 8x +
1
4 cos( – 2x) + C == –
1
16 cos 8x +
1
4 cos 2x + C
Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas
en productos
Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abcisas x = a, x = b.
Área (Trapecio rectilíneo) =
= f(a) + f(b)
. (b – a)
Área (Trapecio curvilíneo)
f(a) + f(b)
. (b – a)
Error
Recommended