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La armonía del Universo. De Pitágoras a Mandelbrot
Entre maestros
Antonio Pérez Sanz
http://platea.pntic.mec.es/aperez4
aperez4.blogspot.com.es
aperez.sanz@gmail.com
PRIMER DÍA DE CLASE. 4º DE ESO. LA PREGUNTA DEL MILLÓN
Escribe el nombre de los matemáticos famosos que conozcas, por ejemplo Pitágoras
Los resultados
Matemáticos conocidos
20
119 8
53 3 2 2 2 2 2 2
0
5
10
15
20
25
Pitágora
s
Ein
ste
in
Thale
s
New
ton
Aristó
tele
s
Sócra
tes
Arq
uím
edes
Pla
tón
Sófo
cle
s
Galileo
Copérn
ico
Rufini
Eúfr
ate
s
1ª Conclusión
El panorama es más que desolador. Pitágoras y poco más constituye todo su bagaje cultural sobre la historia de una asignatura que están estudiando desde los 6 años.
Para los alumnos las matemáticas no tienen autores, detrás de los resultados, de las fórmulas y de los teoremas no hay personas, ni épocas, ni caras.
¡No hay nada!
Pero la culpa no es suya
¿Cuántos de nosotros hemos eludido la consideración de la experiencia acumulada en la Historia de la Matemática y nos hemos conformado con repetir mecánicamente fórmulas, definiciones y teoremas, sin pensar ni siquiera por qué y para qué, comunicar ese conocimiento?
Presentación en clase de las Matemáticas
matemáticas
ahistóricas
resultados matemáticos
terminados y cerrados
muy poco de las
personas y las peripecias
matemáticas rigurosas pero muertas
formalismo lógico-simbólico
UN CURSO LLENO DE...
EXCURSIONES POR LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS DE PITÁGORAS A MANDELBROT
MATEMÁTICAS - HISTORIA - INVESTIGACIÓN
Propuesta didáctica 2000-2007
Investigar
Historia Visualizar
Descubrir
DIVULGACIÓN
CURRÍCULO
Juego. Belleza
Objetivos del curso
Trabajar las actitudes.
Proporcionar una visión distinta de las Matemáticas.
“Conocer” al menos a 20 personajes matemáticos, vinculados a resultados curriculares concretos
Los protagonistas de la clase de Matemáticas...
No son los radicales y los polinomios, las fracciones y los logaritmos...
Son: Pitágoras, Teano, Euclides, Arquímedes, Al-Kuwaritmi, Fibonacci, Tartaglia, Cardano, Galois, Abel, Gauss, Newton, Leibniz, Euler, Ramanujan, Apolonio, Galileo, Kepler, Laplace, Legendre, Lagrange, Monge, Mme. de Châtelet, Fermat, Sophie Germain, Sofía Kovaleskaya, María Agnesi...
Los alumnos han ido descubriéndolos no de manera ajena al desarrollo de las clases, impuestos como divertimento histórico, sino al hilo de los temas matemáticos que íbamos tratando a lo largo del curso.
Los materiales
Libros de divulgación de historia de las Matemáticas. Ed. Nivola y otros
Vídeos: Universo Matemático y Más por Menos
Internet: aula de informática, ordenador en el aula + cañón de proyección
Exposiciones y murales
Programas de matemáticas
INVESTIGACIÓN
Investigaciones aritméticas http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/software.htm
hojamat
Aritmética. Sur de Italia. Siglo VI antes de Cristo La lucha por explicar la Naturaleza bajo la luz de la Razón. El principio.
No todo en la vida son radicales y progresiones aritméticas y geométricas.
Pitágoras.
El nacimiento de las matemáticas como ciencia.
La búsqueda de la armonía del Universo.
El primer modelo matemático para explicar el mundo. El misticismo numérico
El nacimiento de la Aritmética: la Teoría de Números.
Para empezar bien la aritmética …un buen día…
Siglo XVII. En un regimiento de artillería apilaban sus balas de cañón formando una pirámide. Una tormenta empapó las balas y el coronel ordenó extenderlas en el suelo para secarlas.
Cuando lo hicieron formaban un cuadrado perfecto. ¿Cuántas balas había?, ¿cómo era la pirámide?, ¿cuántos pisos tenía?...
Primos, perfectos, amigos, poligonales...los números ¿Cuál es el número mínimo de naranjas con las que puedo formar o
bien un cuadrado o bien una pirámide de base cuadrada?
1, 5, 14, 30, 55... a(n)?
N = D + D + D
13 + 23 + 33 + ... + n3 = ??
Pitágoras, Euclides, Fermat, Euler, Gauss, Cauchy...
Propuesta didáctica de trabajo de investigación
Regularidades numéricas: Los números poligonales. Teoremas particulares.
Teoremas generales
Fórmulas para cada tipo de números
A la caza de una fórmula general.
Los números poligonales a través de la historia. Hipsicles, Teón, Nicómaco, Diofanto, Boecio, Bachet, Fermat, Descartes, Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy...
Material complementario:
Vídeos Pitágoras mucho más que un teorema. (Universo Matemático). Números triangulares números cuadrados. (Ojo Matemático).
Libros: Pitágoras, el filósofo del número. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola. La Gaceta de la RSME. Nº 2. Filosofía y mistica del número. M. Ghyka. Apóstrofe.
GeoGebra. MAT-TIC
Los pitagóricos
Las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos, triángulos y cuadrados.
Pitágoras. El filósofo del número. Pedro M. González Urbaneja. Ed. NIVOLA. Madrid 2001
Perspectivas
Números poligonales en la Historia
Integración de recursos visuales
Actividades de investigación
GeoGebra
Resultados algebraicos
Polig Gnomon Recurrencia Descomp. triangular
T(n) n T(n) = T(n–1) + nC(n) 2n–1 C(n) = C(n–1) + (2n–1) C(n) = T(n) + T(n–1)P(n) 3n–2 P(n) = P(n–1) + (3n–2) P(n) = T(n) + 2T(n–1)H(n) 4n–3 H(n) = H(n–1) + (4n–3) H(n) = T(n) + 3T(n–1)········ ········ ········ ········Pr(n) (r–2)(n–1)+1 Pr(n) = Pr(n–1) + (r–2)(n–1)+1 Pr(n) = T(n) + (r–3) T(n–1)
Formulas particulares
Triangulares Cuadrados Pentagonales Hexagonales
1,3,6,10... [n(n+1)]/2 1,4,9,16.. n2
1,5,12,22.. [n(3n–1)]/2 1,6,15,28... n(2n–1)
Fórmula general:
2
)1()2(,
+
nndnN nd
Los otros resultados...
Los números poligonales a través de la historia.
Hipsicles,
Teón,
Nicómaco,
Diofanto,
Boecio,
Bachet,
Fermat,
Descartes,
Euler,
Lagrange,
Gauss,
Cauchy...
Fase 1
Introducción de los números triangulares y cuadrados.
Regularidades numéricas de las sucesiones
NÚMEROS POLIGONALES
NÚMEROS POLIGONALES
En todos los casos las series numéricas son sumas parciales de los primeros términos de progresiones aritméticas cuyo primer término es siempre 1 y cuya diferencia es d.
Siendo d el número de lados del polígono asociado a la serie menos dos unidades
Lo que viene a demostrar, que sin ningún apoyo algebraico, y utilizando exclusivamente modelos geométricos, los pitagóricos dominaban los métodos para sumar progresiones aritméticas simples del tipo
y seguramente del tipo
kk
n
1
( )2 11
kk
n
kk
n
2
1
Esta visión geométrica les permitió obtener los primeros resultados generales sobre propiedades de los números naturales: "La suma de los n primeros números naturales es un número triangular".
2
1)n(nn...4321Tn ++++++
n
n + 1
Fase 2
Los primeros teoremas geométricos
Conocemos a Hipsicles, Teón de Esmirna, Nicómaco de Gerasa y Boecio
"La suma de los n primeros números impares es un número cuadrado"
C1 = 1
C2 = 1+3
C3 = 1+3+5
...
Cn = 1+3+5+...+2n -1
n2 = 1 + 3 + 5 + ... +(2n -1)
"Todo número cuadrado es suma de dos números triangulares consecutivos". Teorema de Teón
Cn = Tn + T n-1
Hipsicles. S II a. C.
N n,d = T n + (d-3)·T n-1
N n,d = n + (d-2)·T n-1
Nicómaco. s I d. C.
"Todo número poligonal es la suma del poligonal del mismo orden y de una dimensión inferior más el nº triangular de orden inferior". Teorema de Nicómaco
Cn = Tn + Tn-1
Pn = Cn + Tn-1...
Nd,n = Nd-1,n + Tn-1
GeoGebra
Fase 3
¿Cuánto suman los n primeros cubos?
La sorpresa de Nicómaco
Nicómaco. s I d. C.
Introducción a la Aritmética
13 = 1;
23 = 3+5;
33 = 7+9+11;
43 = 13+15+17+19
...
13+23+33+...+n3 =
=1+3+5+7+...+n(n+1)-1=
= (1+2+3+...+n)2 =Tn2
Fase 4
La Edad Media.
La herencia de Diofanto y Boecio.
Los teoremas generales
Diofanto de Alejandría ( s. III d. de C)
Aparecen los números piramidales, que se obtienen apilando en capas los sucesivos números poligonales de un mismo orden
Tetragonales: 1, 4, 10, 20...
Los piramidales cuadrados:
1, 5, 14, 30...
Los de base pentagonal: 1, 6, 18, 40...
Diofanto de Alejandría (s. III d. de C.)
Conjetura
«Todo número entero positivo se puede poner como suma de a lo sumo cuatro números cuadrados»
Hoja de cálculo
Boecio. Aritmética
Fase 5
El Renacimiento.
Bachet y su famosa edición de la Aritmetica de Diofanto (1621)
Bachet de Meziriac. S XVII
Descomposición triangular
Todo número poligonal de tipo d es la suma de un número triangular del mismo orden y d–3 números triangulares de orden previo
Nd, n = Tn + (d–3) T n–1
Fórmula general
Nd, n = Tn + (d–3) T n–1
N n,d = 1/2 ·(n+1)·n + 1/2 ·(d-3)·n·(n-1)
N n,d = n + 1/2 n·(n-1)·(d-2)
2
)1()2(,
+
nndnN nd
Descubrir teoremas generales no es tan difícil...
Números D\N 1 2 3 4 5
Triangul. 3 1 3 6 10 15
Cuadrad. 4 1 4 9 16 25
Pentag. 5 1 5 12 22 35
Hexag. 6 1 6 15 28 45
Heptag. 7 1 7 18 34 55
Fase 6
Descartes
Progymnasmata de Solidum Elementis
Recupera los números piramidales e hiperpiramidales
descubriendo tanto los gnomons que permiten su formación como las fórmulas generales de los mismos.
También realiza un estudio profundo sobre los números figurados sólidos basados en los poliedros regulares
Materiales diversos...
Pirámides cuadradas...
PC(n)=1/6 n·(n+1)·(2n+1)
++
+
3
2n
3
1nPC(n)
++++ 2n....232221
Pirámides triangulares...
PT(n)=1/6 n·(n+1)·(n+2)
+
3
2nPT(n)
El Triángulo de Pascal
Presencia de tres tipos de números:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
tetragonales triangulares naturales
Modificando el triángulo
¿Qué pasa si cambiamos un lado de unos por doses...?
1
1 2
1 3 2
1 4 5 2
1 5 9 7 2
1 6 14 16 9 2
Pirámides cuadradas – cuadrados – impares
Historia
A. J. Meyl demostró en 1878 que sólo hay 3 números tetragonales que sean cuadrados
G. N. Watson demostró en 1918 que sólo hay un número piramidal de base cuadrada que a su vez sea un cuadrado
Para los inquietos
¿ Cuántos números hay que son a la vez tetragonales y piramidales de base cuadrada?
Fase 7. Aritmética superior Pierre de Fermat
Conjetura
"Todo número entero puede expresarse mediante suma de, a lo sumo, n números n-gonales”
1772 1796 1815
Euler Lagrange Gauss Cauchy
Cuadrados Triangulares General
Gauss
Disquisitiones Arithmeticae
293. Las disquisiciones precedentes también proporcionan una demostración del famoso teorema que dice que todo entero positivo se puede descomponer en tres números triangulares, como hace tiempo fue descubierto por Fermat, pero cuya demostración rigurosa ahora se ha logrado.
Un largo viaje de más de 2500 años
Para hacerse famoso...
¿Existe algún número perfecto impar?
¿SI? ¿NO?
Responde, demuéstralo e...
Inscribe tu nombre en el gran libro de la Historia de las Matemáticas...
Una ayuda...
Euler demostró que si existe alguno ha de ser de la forma
p 4q + 1 ·r 2 , con p = 4n + 1
Hoy sabemos:
debe ser divisible por al menos 8 primos
uno de ellos mayor que 10 20
tiene al menos 29 factores primos
y más de 300 dígitos
¿cuántos primos hay menores que n?
Conjetura de Joseph Bertrand (1822-1900)
“entre n y 2n siempre hay un número primo, si n > 2 “
Demostrado por Chebichew en 1850
Conjetura de Gauss
Demostrado en 1896 por Vallée -Puossin y Hadamard
( )nn
Ln
Ganar un millón de dólares
El reto de Golbach (1742)
“TODO NÚMERO PAR, MAYOR QUE DOS, ES SUMA DE DOS NÚMEROS PRIMOS”
La historia continúa...
Sucesiones y Series…
Series infinitas
S+++++ ...151
101
61
311
1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =
=(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... =
= 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1
S = 2 Leibniz. 1673
Parecido, pero no igual
El problema de Basilea:
1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... =
“Grande será nuestra gratitud si alguien encuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos”
Jakob Bernoulli
1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... = 2/6 El genial Euler
Los trabajos de los alumnos
Centenario de Euler
Examen
Presentaciones
Las cónicas El Renacimiento Un nuevo modelo geométrico: las cónicas. Las esferas dejan paso a las cónicas de Apolonio.
Las esferas de Aristóteles
Los epiciclos de Ptolomeo
La teoría heliocéntrica
Las órbitas elípticas. Las cónicas
Orden y Caos: la búsqueda de un sueño.
Serie: Universo Matemático. TV2. 2000
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizadora: Ana Martínez
Distribuidora: RTVE
Propuesta didáctica: Estudio de las cónicas
La secciones cónicas
Definiciones
Elementos característicos
Propiedades métricas
Propiedades físicas.
Menecmo, Apolonio, Galileo, Kepler
Material complementario:
Vídeos: Las cónicas: del baloncesto a los cometas. (Más por menos).
Libros: Ptolomeo. Carlos Dorce, Galileo de J.M. Vaquero. Ed. NIvola
Copérnico y Kepler. J.Luis García Hourcade. Ed. Nivola.
Programas informáticos: Cabri, GEOGEBRA, Winplot
Las sombras en la caverna
Platón Las matemáticas constituyen un universo de
ideas independientes del mundo de los fenómenos.
Forman un lenguaje intermedio que permite a partir de lo sensible apuntar al mundo de las ideas.
Las formas perfectas:
círculos y esferas… y poliedros regulares. El Timeo
Aristóteles El reino de las esferas y los círculos
La duplicación del cubo. Hipócrates de Quíos. Arquitas Dado un cubo de arista a encontrar otro de volumen
doble.
Duplicando el cubo Menecmo
Encontrar dos medias geométricas entre a y b
by
yx
xa
33
2
2
22
axxay
yax
Si b = 2a
¡ La parábola !
Y nacen las cónicas...
Basándose en este planteamiento, Arquitas de Tarento, Menecmo y Eratóstenes de Cirene, entre otros, presentan soluciones, ninguna de las cuales puede resolverse con el uso exclusivo de la regla y el compás, cuestión que se demostró imposible ya en el año 1837 gracias a los trabajos del geómetra francés L. Wantzel.
El Renacimiento
El modelo matemático de Ptolomeo es demasiado complejo y poco útil a la hora de hacer predicciones a largo plazo
Copérnico pone en marcha un nuevo modelo matemático que mejora las predicciones y sobre todo que es más sencillo a la hora de calcular
Galileo: la experimentación y la observación de la realidad como criterio de validación de la teoría científica
Kepler construirá toda su teoría y descubrirá las leyes del movimiento de los planetas basándose en las precisas observaciones de Tycho Brahe.
Kepler
Las cónicas, esas atractivas curvas matemáticas estudiadas por Apolonio hace tantos siglos van a constituir una imprescindible herramienta matemática para explicar el mecanismo celeste. La eficacia de las matemáticas en el primero de los momentos estelares de la historia.
Las leyes de Kepler
Serie: Universo Mecánico. Annenberg/CPB
Proyect. 1987
Producción: California Institute of Tecnology
Distribuidora: Arait Multimedia S.A.
Kepler
La batalla de Marte
Sus Leyes
Primera Ley Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.
Segunda Ley Las áreas barridas por la recta que une el sol con el planeta son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
Tercera Ley Los cuadrados de los períodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas.
La relación existente entre la distancia al origen del foco y el semieje mayor se denomina excentricidad de la cónica.
En la elipse la excentricidad está comprendida entre 0 y 1
Si es 0, entonces la elipse es una circunferencia.
Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
0,206 0,007 0,017 0,093 0,043 0,051 0,046 0,004 0,250
Pascal (1623-1662)
Ensayo sobre las cónicas
los puntos de intersección de los pares de lados opuestos de
un hexágono inscrito en una cónica están en línea recta
Geometría Atenas. Siglo V a. de C.
LA GEOMETRÍA
Una herencia pitagórica. El pentagrama y los sólidos platónicos.
El más bello modelo geométrico-cosmogónico de la historia.
Una de las primeras teorías matemáticas completa: los poliedros regulares
Orden y Caos: la búsqueda de un sueño.
Serie: Universo Matemático. TV2. 2000
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizadora: Ana Martínez
Distribuidora: RTVE
Platonismo
Según la concepción platónica los matemáticos son, como Colón, descubridores de continentes. El papel de las matemáticas no es otro que el de ejercer de mediador entre el mundo de los sentidos y el mundo de las ideas con una existencia propia e independiente del mundo sensible.
Las teorías matemáticas tienen su existencia propia en ese mundo ideal, el matemático sólo se limita a interpretar las sombras de esas ideas en las paredes de la caverna.
Propuesta didáctica. Timeo. De la razón áurea a los poliedros regulares.
La razón aúrea y el pentagrama. Los inconmensurables
Poliedros regulares. Definición pitagórico-platónica.¿Por qué 5 y solo 5?
Propiedades. Construcción con varillas y plegados.
Los poliedros regulares en el Timeo de Platón
Los poliedros en los Elementos de Euclides. Las aristas
En el Renacimiento: Piero de la Francesca, Luca Pacioli, Durero y Kepler.
Trigonometría elemental
Resultados
Proposición 8.XIII de los Elementos de
Euclídes: = .
GB
EG
EG
EB
B E
D C
A
G
F
Resultados: los irracionales Proposiciones 13-18. XIII de los Elementos de Euclides.
AD = 2DB
AH = AB, CL = KC
AZ es la arista del tetraedro =
BZ es la arista del cubo =
BE es la arista del octaedro =
MB es la arista del icosaedro =
NB es la arista del dodecaedro =
A B C D L
Z E M
N
H
K
T
63
2R
2R
33
2R
55105
R
3153
R
Material complementario
Vídeos Pitágoras mucho más que un teorema. (Universo Matemático).
El número Áureo (Más por menos).
Libros: Diálogos de Platón. Gredos
Pitágoras, el filósofo del número. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola.
Platón y la Academia de Atenas. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola.
Euclides. La fuerza del razonamiento matemático. Ana Millán. Ed Nivola.
Elementos de Euclídes. Libros X-XIII. Gredos.
Luca Pacioli. La divina proporción. Akal.
B E
D C
A
G
F
Y más sorpresas...
El número áureo y 1:
++++ 1111
++
+
+
1
11
11
11
Funciones Newton y Leibniz La Naturaleza posee unas leyes matemáticas y el ser humano puede encontrarlas.
Funciones
El problema de la tangente
Máximos y mínimos
El cálculo diferencial y el cálculo integral.
La medida del Meridiano terrestre.
Orden y Caos: la búsqueda de un sueño
Newton y Leibniz. Sobre hombros de gigantes
Serie: Universo Matemático. TV2. 2000
Newton
Newton
los Principia Mathematica, la explicación matemática definitiva del sistema del mundo
el cálculo diferencial y el cálculo integral
El mundo es un engranaje que funciona como un mecanismo de relojería.
Las ecuaciones diferenciales podrán predecir el estado del sistema conociendo las condiciones iniciales del mismo.
Propuesta didáctica
Introducción a las funciones.
Máximos y mínimos.
Introducción al cálculo diferencial
Resolución de triángulos. Razones trigonométricas
Material complementario
Vídeos: El lenguaje de las gráficas ( Más por Menos). Derivadas e Integrales. (Universo Mecánico).
Libros: Newton: el umbral de la ciencia moderna. J. Muñóz. Ed. Nivola. Principios matemáticos de la Filosofía Natural. I . Newton. Ed. Tecnos.
Nuevos recursos
Aplicaciones de Geogebra
La página de Manuel Sada
Probabilidad
Los orígenes de la teoría de la probabilidad:
Cardano, Fermat, Pascal, Jacques Bernoulli, Laplace, Euler...
Vídeo
Las leyes del azar. Serie: Más por Menos.
TV2. 1996
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizador: Pedro Amalio López
Distribución: RTVE
Propuesta didáctica
El problema del caballero de Mèré.
Las partidas interrumpidas. La esperanza matemática
Los juegos justos
La ley de los grandes números. ¿Cuánto de grandes?
El nacimiento de la combinatoria
La aguja de Buffon. Modelos geométricos y analíticos para es estudio de la probabilidad
Material complementario
Vídeos: Las leyes del azar ( Más por Menos). Matemáticas en la Revolución Francesa. (Universo Matemático).
Libros: Los Bernoulli. Viajeros y geómetras. C. Sánchez y C. Valdés. Ed. Nivola. Ensayo filosófico sobre las probabilidades. P.S. de Laplace. Alianza editorial. Material manipulable: Proyecto SUR
Problemas con historia
Dos jugadores apuestan 6 ducados cada uno que se lleva el que gane 3 partidas. Lo suspenden cuando el resultado es de 2 a 1.
¿Cómo han de repartirse los 12 ducados?
Euler
Dado un conjunto de n letras a, b, c, d, e, ...
Encontrar el número de maneras distintas en que pueden colocarse sin que ninguna regrese a la posición inicial que ocupaba
El siglo XX. Fractales y Caos. La Geometría de la Naturaleza
"las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son lisas y los relámpagos no se desplazan en línea recta". B. Mandelbrot
Orden y caos: la búsqueda de un sueño.
Universo Matemático. TV2. 2001
Fractales: la geometría del caos
Serie: Más por Menos. TV2. 1996
Fractales y Caos
Paradigmas científicos
el determinista, con sus ecuaciones diferenciales, para los sistemas simples;
el estadístico para los sistemas complicados, con muchos grados de libertad en los que reina el azar.
Lo que nadie podía imaginar es que un sistema simple pudiese tener un comportamiento caótico; y ahí poco podían decir las matemáticas
La geometría fractal
Incluso en aquellas regiones de la naturaleza lejos de las cómodas regularidades de las ecuaciones diferenciales, las matemáticas se revelan como la herramienta imprescindible para interpretar la naturaleza.
Y por supuesto siguen manifestando de manera rotunda su increíble eficacia.
La geometría del caos
M.C. Escher
La magia de las particiones periódicas del plano
Las opiniones a final de curso (2000-01)
Este año he empezado a disfrutar de las matemáticas. En mi vida
me había enterado de tantas cosas en clase... Las clases de matemáticas son amenas... Me entero de diversas cosas y de la biografía de diversos personajes matemáticos por los que nunca me había interesado y por los que ahora hasta me meto en internet para recaudar información.
Durante ese curso he aprendido más matemáticas que durante cualquier otro, pero también he aprendido a apreciarlas de forma diferente a como lo hacía antes. Antes solo veía las matemáticas como una herramienta imprescindible para muchas facetas de la vida. Ahora además he conocido muchos nombres de matemáticos de la historia y qué cosas lograron descubrir. Esto nos acerca de una forma más humana a las matemáticas.
No nos hemos limitado a saber matemáticas, como los demás años, también a saber de dónde han salido y por qué razón.
...Además de todo esto, es demasiado interesante saber la historia de los mejores matemáticos y los problemas que tuvieron para dar a conocer, fueran ciertos o no, sus hipótesis y teorías.
Una forma práctica de que veamos nosotros mismos lo que estamos aprendiendo, que utiliza el profesor, es hacer que nosotros nos veamos en el problema con que estaba el descubridor del teorema que vamos a tratar.
Ha sido el año, con diferencia, que más he aprendido, porque otros años, sí, te enseñan cosas, fórmulas y métodos pero al cabo de dos meses ya se me había olvidado todo.
Las matemáticas han ido evolucionando a lo largo de la historia. Euler, Pitágoras, Fibonacci... y también mujeres Teano, Hypatia, Sophie Germain... nos han introducido en esta ciencia.
Durante estos años siempre me han gustado las matemáticas. En especial este año me han acabado por cautivar y captar mi atención. El aumento de conocimientos de esta ciencia en este último año me ha permitido observar con más detenimiento la mágica forma que posee ésta para presentarse en nuestra vida cotidiana y en la naturaleza.
Las matemáticas son y me "saben" a futuro, a un continuo reciclaje del presente que mantiene viva la creatividad humana.
Este año la clase de matemáticas realmente nos ha mostrado el mundo matemático.
Las matemáticas nos rodean, invaden nuestras vidas y, aunque cerremos los ojos van a seguir estando ahí. No podemos evitarlo, así que tendremos que aprovecharlo, y no sólo por obligación, sino por satisfacer nuestra propia curiosidad, por tener el orgullo de decir "veo todo lo que me rodea, pero además lo entiendo”
Belén González. 4º ESO
Las matemáticas son y me "saben" a futuro, a
un continuo reciclaje del presente que mantiene viva la creatividad humana.
Este año la clase de matemáticas realmente nos ha mostrado el mundo matemático.
Alejandro Martín. (Alumno de 4º de ESO)
Vídeos
Serie "Más por menos". RTVE. Autor: Antonio Pérez. Realizador: Pedro Amalio López
1. Números naturales. Números primos
2. Fibonacci. La magia de los números
3. El número áureo
4. Un número llamado e
5. El mundo de las espirales
6. Cónicas: del baloncesto a los cometas
7. Fractales. La geometría del caos
8. Fibonacci. La magia de los números
Vídeos
Serie "Universo Matemático". RTVE. Autor: Antonio Pérez. Realizadora: Ana Martínez
- Pitágoras. Mucho más que un teorema
- Fermat. El margen más famoso de la Historia
- Números y cifras. Un viaje en el tiempo
- Gauss. El príncipe de los matemáticos
- Euler. Una superestrella
- Newton y Leibniz
- Historias de pi
Libros: NIVOLA
http://www.nivola.com/categorias.asp?cat=matensuspersonajes
Otros libros
Boyer, Carl B. Historia de la Matemática. Ed. Alianza. Madrid 1987
Dunham, William. El universo de las matemáticas. Ed. Pirámide. Madrid 1995.
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