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Presentación de Powerpoint a cargo de D. Francisco Martín Casalderrey (Curso de Historia de las Matemáticas. Marzo 2003 Sevilla)
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La historia del Álgebra en la escuela
desde Cardano a nuestros días
Francisco Martín Casalderrey
fcomartínc@terra.es
Los inicios del Álgebra en Europa
Trataremos de
• El álgebra y el contexto en que comenzó su desarrollo.
• Centrándonos sobre todo en la Italia de los siglos XV y XVI.
• Las escuelas de ábaco.• La resolución de las ecuaciones de tercer
y cuarto grado.• Algunas notas sobre la evolución posterior
del álgebra.
Al-Khwarizmi
• Mohammet ibn Mose Al-Khwarizmi (c. 780-c. 835)
• Al-jabr wa’l Muqābala • Primera traducción
por Roberto de Chester en el 1145
Los inicios del álgebra
“La regla del álgebra, según Guillermo de Lunis traductor, lleva en sí estos siete nombres, que son:
al geber, al mechel, al chal, al chelif,
al fatir, di ffar, al buram, al termen”
Maestro Benedetto de Florencia (c.1432-c.1487)
La matemática árabe
• Confluyen tres culturas matemáticas distintas:
• La babilónica, astronómica y aritmética
• La griega, fundamentalmente platónica y aristotélica
• La hindú, con una aportación básica, el sistema de numeración posicional.
La matemática árabe en Europa
• Vía ibérica: Escuela de traductores de Toledo.
• Vía italica: el comercio de la repúblicas marineras: Génova, Pisa, Venecia y Amalfi.
Sobre el origen de la x
• Los árabes para referirse a la incognita usan la palabra shay, que significa cosa.
• En las traducciones latinas se usa la palabra res.
Sobre el origen de la x
• En las traducciones italianas se usa la palabra cosa.
• Se llega a utilizar:
Álgebra = El arte de la cosa
Algebrista = Cosista
Sobre el origen de la x
• En algunas traducciones españolas se conserva la palabra árabe shay, trascrita en caracteres romanos como xay.
• Ésta se abrevia, como era costumbre, con la incial: la x, que después se generalizaría
La escuelas de ábaco
• Comienzan en el siglo XIII.
• Y se extienden hasta más allá del siglo XVI
• Escuelas para comerciantes y para artesanos
El currículo de lasescuelas de ábaco
Se dividía en tres niveles:
El currículo de lasescuelas de ábaco
En el más elemental se estudiaba:• La escritura y lectura de números con el sistema
indoarábigo.• La indigitación, y las técnicas para calcular con los
dedos.• Los algoritmos para las operaciones• Las operaciones con fracciones• La regla de tres• Pesos, medidas y monedas• Nociones de geometría práctica
El currículo de lasescuelas de ábaco
Este nivel elemental era el estudiado por los artesanos y los empleados en los talleres.
El currículo de lasescuelas de ábaco
En el segundo nivel se estudiaba:
• Aritmética comercial• Contabilidad• Teneduría de libros
Este nivel es el que seguían los empleados de las grandes compañías comerciales
El currículo de lasescuelas de ábaco
En tercer nivel se reservaba a los que eran aficionados a la matemática o los que se querían convertir en maestros abacistas. Se enseñaba:
• El álgebra y la almúcabala.• Problemas de teoría de números.• Algunos problemas mercantiles complicados.
La metodología de lasescuelas de ábaco
• Los contenidos se dividían en lecciones llamadas mudanzas.
• Cada alumno progresaba según su propio ritmo, todos juntos en la misma clase.
• Para pasar de mudanza había que demostrar conocer la anterior.
• El aprendizaje se basaba en la realización repetitiva de ejercicios.
• Se mandaban tareas para casa.
Los deberes en lasescuelas de ábaco
“Esta es regla general: cada tarde les daréis las razones (problemas) a cada uno según su mudanza, que deberán traer hechas a la mañana siguiente... Y nótese que si fuera fiesta, las antedichas razones se darán dobles.”
Los tratados de ábaco
Parten del modelo del
Liber abaci (1202)
de Leonardo de Pisa Fibonacci(c. 1170, después de 1240).
Leonardo de Pisa Fibonaci
• Natural de Pisa, nació alrededor de 1170.
• Viaja con su padre a Bugía en la actual Argelia.
• Aprende allí lo que el llama el ábaco.
• De regreso escribe el Liber abaci.
Leonardo de Pisa Fibonaci
Obras de Leonardo:
• Liber abaci• Practica geometriae (1220)• Flos (1225)• Liber quadratorum (1225), y • Epistula ad Magistrum
Teodorum (s.a.)
Luca Pacioli
• Luca Pacioli (c. 1445-1517)
• Estudio con Piero de la Francesca, que era su conciudadano y también matemático.
• Fue amigo de Leonardo da Vinci y de León Battista Alberti.
Luca Pacioli
Su obra principal:• La Summa de
arithmetica geometria proportioni et proportionalità (1494)
Escribió varias aritméticas y:
La divina proporción, ilustrada por Leonardo
Luca PacioliPala di Brera , de Piero de la Francesca
Luca Pacioli
Luca Pacioli
Refiriendose a las ecuaciones de tercer grado:
“Diría que el arte [el álgebra] a tal caso todavía no ha dado modo [solución], así como todavía no ha dado modo al cuadrar del círculo.”
La resolución de la ecuación de tercer grado
• 1505 ó 1515 Scipione del Ferro, en Bolonia.
• Annibale della Nave y Antonio María del Fiore “heredan” la fómula en un momento no precisado.
• 1535 Del Fiore desafía a Trataglia en Venecia.
La resolución de la ecuación de tercer grado
• El 12 de febrero de 1535, por la noche, Tartaglia redescubre la fórmula.
• La ecuación:
3 32 2
3 3
2 22 3 2 3 q qq p q px
3 px qx
Gerolamo Cardano
• 1501-1576• Médico y matemático,• Levantador de
horoscopos.• Supersticioso.• Arrestado por hereje.• Predijo su propia
muerte.• …y acertó.
La resolución de la ecuación de tercer grado
1539
Cardano escribe a Tartaglia y le pide su
fómula
La resolución de la ecuación de tercer grado
25 de marzo de1539
Tartaglia, muy presionado accede
Los versos de Niccolò Tartaglia
Quando che’l cubo con le cose appressose agguaglia a qualche numero discretotrovan dui altri differnti in esso.
Da poi terrai questo per consuetoche il lor produtto sempre sia egualeal terzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generaledelli lor lati cubi ben sottrattivarrà la tua cosa principale.
Los versos de Niccolò TartagliaCuando está el cubo con las cosas
presoy se iguala a algún número discretobusca otros dos que difieran en eso
Harás luego esto que te espeto:que su producto siempre sea igualal tercio cubo de la cosa neto
Después el resto generalde sus lados cúbicos bien restadoste dará a ti la cosa principal.
Tres años mas tarde, en 1542, Cardano viaja a Bolonia con su alumno y secretario Ludovico Ferrrari.
Della Nave les deja los papeles de Del Ferro.
Encuentran en ellos la fórmula.
La resolución de la ecuación de tercer grado
En 1545 aparece publicada su
Ars magna
Con la famosa fórmula y su demostración. Junto con la de 4º grado debida a Ferrari.
La resolución de la ecuación de tercer grado
La resolución de la ecuación de tercer grado
En 1546 aparece Tartaglia replica en su
Quesiti et inventioni diverse
Empieza la polémica.
La resolución de la ecuación de tercer grado
En 1547 por fin Tartaglia recibe respuesta pero no de Cardano, sino de Ludovico Ferarri, su secretario
Intercambio de Cartelli
(12 en total)
La resolución de la ecuación de tercer grado
El 21 de abril Tartaglia envía 31 problemas a FerrariEl 24 de mayo Ferrari contesta con otros 31.El 10 de agosto de 1548, en Milán tiene lugar el debate.Trataglia pierde la disputa.
Notas para un epílogo
• Las ideas de Del Ferro, Tartaglia, Cardano y Ferrari fueron reescritas por Rafael Bombelli, que publicó en primer libro con el nombre de Álgebra en 1572, 78 años después de la aparición de la Summa de Luca Pacioli.
• Intentos de encontrar una solución mediante radicales a la ecuación de 5º grado
Notas para un epílogo
• Leonhard Euler (1707-1873)
• Etienne Bézout (1730-1783)
• Josheh Louis Lagrange (1773-1813)
Réflexions sur la résolution algébraique des equations (1771)
Notas para un epílogo
Lagrange establece que:
• La resolvente de una ecuación de grado n, es otra ecuación de grado (n-1)!.
Grado ecuación Grado resolvente
2 1! =1
3 2! =2
4 3! =6
5 4!=24
Notas para un epílogo
• Giuseppe Ruffini (1765-1822)
Teoria generale delle equazioni (1779)
Primera demostración, pero con errores, de la imposibilidad de resolver la ecuación de 5º grado.
Notas para un epílogo
• Niels Henrik Abel (1802-1829)
Demuestra en 1829, finalmente, la imposibilidad de resolver las ecuaciones de grado superior al cuarto
Notas para un epílogo
• Evariste Galois (1811-1832)
Inicio de la Teoría de grupos y final definitivo al tema de las ecuaciones.
Para terminar, un desafío
• 17 problemas de matemáticas renacentistas.
• Algunos de ellos metaproblemas.
• Las respuestas pueden ser enviadas a:
fcomartin@wol.es
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