La pregunta para la que no me puedo decidir

La pregunta para la que no me puedodecidir

To iterate is human, to recurse divine.—L. Peter Deutsch

Ivan Meza

La tesis de Turing-Church (relajada)Toda computación real puede ser transformada a una

máquina de Turing

La tesis de Turing-ChurchToda computación efectiva puede llevarse a cabo por una

máquina de Turing

Método efectivo, M está compuesto por un número finito de instrucciones cuando llevado a cabo sin error siempre produce el resultado

deseado en un número finito de pasos puede llevarse a cabo por un humano sin la necesidad de una

computadora, pero con lápiz y papel no necesita de conocimiento externo o ingenuidad de parte

del humano que lo ejecuta

MM

M

M

EvidenciaToda función efectivamente calculable se ha comprobado ser unamáquina de TuringTodos los métodos para obtener nuevas funciones efectivamentecalculables tienen un equivalente en máquina de TuringTodos los intentos de formalizar la noción intuitiva deefectivamente calculable han resultado en el mismo conjunto,recursivo enumerable

Otras formalizacionesCálculo lambdaGramática tipo 0Funciones parcialesrecursivasAlgoritmos PostForma canónica PostAlgoritmos de Markov

VariacionesTodas las funciones físicas computables son Turing-computableUna máquina probabilistica de Turing puede simulareficientemente cualquier modelo razonable de computaciónMáquinas razonables pueden simularse las unas a las otras conun exceso polinomial en tiempo y un factor constante en espacioUna máquina de Turing cuántica puede simular eficientementecualquier modelo realista de computación

Problemas computables, REProblemas no computables, NRE, Ld

Jerarquía de Chomsky extendida*Lenguaje Gramática Máquina Ejemplo

No RE -- --

RE Tipo 0 ( ) MT ,

Rec Tipo 0 ( ) MT decidible

DC Tipo 1 ( ) APDo/ALF

IC Tipo 2 ( ) AP

Reg Tipo 3 ( ) AF

Ld

α → β mw mmi

α → β =1i1j 1i∗j

αV β → αγβ ww, anbncn

V → α w ,wr anbn

V → aA|ϵ w, a∗

Lenguajes decidibles

MT Verdadero

FalsoW

Suma¿Dado dos número en notación unaria, verificar que se

puedan sumar?

Los sumamos

Muy fácili, O(n + m)

Verificación de suma¿Dado tres número en notación unaria, verificar que el último

sea la suma de los dos primeros?

Los sumamos y comprobamos que sean el mismo valor

Muy fácil, O(n + m)

Multiplicación¿Dado dos número en notación unaria, verificar que se

puedan multiplicar?

Los multiplicamos

Más o menos fácil, (naive)O(n ∗ m)

Verificación de multiplicación¿Dado tres número en notación unaria, verificar que el último

sea producto de los dos primeros?

Los multiplicamos y comprobamos que sean el mismo valor

Más o menos fácil, (naive)O(n ∗ m)

Verificar número primos¿Dado un número en notación unaria, es primo?

Dividir número entre factores de hasta 2 n√

¡Más o meno algo de tiempo! O( )n√

Identificar factores¿Dado un número en notación unaria, identificar si es

divisible entre dos factores primos?

Encontrar un par de primos menores a que produzcan elnúmero n

n

¡Más dificil! O( )n∗ n)(√

log(n)2

Verificación factor¿Dado tres número en notación unaria, verificar que el último

sea el producto de los dos primeros?

Los multiplicamos y comprobamos que sean el mismo valor

Más o menos fácil, (naive)O(n ∗ m)

Sacar un elemento de un arreglo Sacar un elemento de un ábol B Verificar que mi usuario esté en la base de datos

O(n)O(log(n))

O(n)

Nuestro talón de aquiles comienza con que el complementode decidibles son decidibles

Lenguajes no decidibles

Problema del paroExiste una máquina de Turing que pueda tomar cualquier

máquina y una entrada y pueda determinar si elprograma para.

Mh

M w

La respuesta es NO

T F F T F

F F F F F

T T T T T

F T F F F

T F T F F

M i0 i1 i2 i3 i4 …j0 …j1 …j2 …j3 …j4 …… … … … … … …

Cualquiera recursiva/decidibleM(i, j)

La función computable (no decidible)

(i) = {Mg0loop

siM(i, i) = 0otherwise

Sabemos que es computable

Definición de halt

(M, w) = {Mh10

si M para con entrada xotherwise

Dos opciones¿Qué define a ?M Mh

Si entonces , entonces M( , ) = 0Mg Mg ( ) = 0Mg Mg

( , ) = 1Mh Mg Mg

Si entonces loops, entonces M( , ) = 1Mg Mg ( )Mg Mg

( , ) = 0Mh Mg Mg

No hay una que que corresponda con para elprograma

M Mh

Mg

Uno de los primeros problemas descubiertos ser nodecidibles

Es común transformar problemas al problema de paro parademostrar que también son no decidibles

Teorema de RiceToda propiedad no trivial de los lenguajes RE es indecidible

Todo conjunto de lenguajes de RE es unapropiedad

y RE son propiedades triviales∅

El conjunto de que regresan verdadero para toda El conjunto de que no aceptan al lenguaje vacioEl conjunto de que corresponde a un lenguajes libres decontexto

M wMM

La app va a vigilarmeLa app va alentar micelularLa app va a pasmarse

No recursivamente enumerables

Nuestro talón de aquiles continua con que hay problemaspara los cuales no hay una MT

y son Rec y no en RE

y no enRE

L L¯ ¯¯̄

L L¯ ¯¯̄

L ∈ RE ⋂ R¯ ¯¯̄

L¯ ¯¯̄

Los complementos de REM_u=\{[M,w] | w \in L(M) } \}

\overline{M_u}=\{[M,w] | w \not \in L(M) \text{y }M\text{i no una máquina de Turing\}

Los complementos de REh = {[M, w]|w ∈ L(M) y para}

= {[M, w]|w ∈ L(M)no para si M  es una máquina de Turing oh¯¯̄

M  no es una Máquina de Turing

El conjunto de que regresan falso para toda o no es unaMTEl conjunto de que aceptan al lenguaje vacio o no es unaMTEl conjunto de que corresponde a los lenguajes no son libresde contexto o no es una MT

M w M

M M

MM

La app no va a vigilarmeLa app no va alentar micelularLa app no va a pasmarse

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