Limite y continuidad de funciones de varias variables

Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación

I. U. P Santiago MariñoSede Barcelona

Ingeniería de SistemasMatemática III

Límite y Continuidad de Funciones de Varias Variables

Profesor:Pedro Beltrán

Bachiller:Rafael Brito

C.I: 25.286.285

Barcelona, Agosto 2016

Limites de funciones de varias variables

En este apartado se estudia el concepto de limite de una función de varias variables y algunas de las técnicas utilizadas en su calculo. Después, basándose en este concepto, se establece la definición de función continua y como estudiar la continuidad de una función de varias variables. En principio se comienza con campos escalares y después se extiende la definición a los campos vectoriales.

Sea una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en excepto quizás en el punto y sea L un numero real. Entonces,

si para cada existe un tal que siempre que Gráficamente, esta

definición de limite implica que para cualquier tipoEn el disco de radio el valor de Esta entre y

𝑓

Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que X se aproxime a A, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento, por la izquierda o por la derecha. Que podemos ver por aquí Límite de una función de una variable. Para funciones de dos variables, la situación no es tan sencilla, puesto que podemos dejar que (x, y) se aproxime a desde un número infinito de direcciones y de cualesquiera formas.

La definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) yNo habla a la dirección de aproximación. Por eso, si el límite existe, entonces debe aproximarse a mismo límite, sin importar la forma en que (x, y) se aproxime a Así pues, si podemos encontrar dos diferentes trayectorias de acercamiento a lo largo de las cuales tiene distintos límites, entonces se concluye que el límite no existe.

Si conforme a lo largo de una trayectoria y conforme a lo largo de una trayectoriaDonde entonces el límite no existe.

Limites de una función de una variable:

Ejemplos limites de una función de una variable

Propiedades

Ejemplo:

Continuidad de funciones de varias variablesEn este apartado se introduce la definición de función de varias variables continua en un punto. La forma de definir la continuidad en este contexto es análoga al ser utilizada para funciones reales de variable real. Se comienza con la continuidad de campos escalares y se extiende, de forma natural, para campos vectoriales.

ContinuidadLa definición de continuidad es enteramente análoga al caso de funciones de una variable real. Diremos que una función f es continua en un punto x0 cuando x0 Dom f, existe el límite de f ∈en x0 (y es finito), y el valor de dicho límite y el de f(x0) coinciden. El estudio de la continuidad de una función en un punto se reduce fundamentalmente al estudio de la existencia y, en su caso, el valor del límite de la función en el punto. . Intuitivamente, la definición de continuidad significa que la función no tiene saltos repentinos. Cuando tratamos con subconjuntos de R, solo contamos con dos direcciones mediante las cuales un punto puede ser aproximado: desde la izquierda o desde la derecha. Sin embargo, cuando hay más variables la situación cambia, ya que tenemos muchas trayectorias posibles de aproximación.

Continuidad de campos escalares

La definición de campo escalar continuo en un punto es la siguiente.Definición: Sea el campo escalar de n variables, n > 0 de la forma:

siendo D abierto, y sea un punto D. Se dice que es continua en si: si la función no es

continua se denomina discontinua.

Continuidad de campos vectoriales

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Bibliografía https://portal.uah.es/portal/page/portal/GP_EPD/PG-MA-

ASIG/PG-ASIG-32395/TAB40335/VariasVariables02L%EDmites%20y%20continuidad.pdf

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/segundo/Hojas%20de%20ejercicios%20MII/F.%20de%20varias%20variables,%20limites%20y%20continuidad/soluciones/Limites%20y%20continuidad.pdf

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