Modelos Lineales y No Lineales

Integrantes:•Myriam Sarango•Augusto Cabrera•Flor Cuenca

ECUACIONES DIFERENCIALES

MODELO DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

Modelo Un modelo es un elemento que pretende

asemejar a la realidad pero que no es en sí la realidad misma

Los modelos de crecimiento son modelos específicos que simulan como se desarrolla la población.

El modelo es una herramienta para predecir el tamaño de una población pero Nunca debe considerarse el objetivo en la Ecología de Poblaciones

Llevan un patrón

Crecimiento y Decaimiento- Una de las aplicaciones de la integral se refiere

al crecimiento y decaimiento exponencial- El crecimiento o disminución de algún dato se

puede expresar de forma matemática con las funciones y usar la integración y derivación para encontrar una fórmula que nos permita hacer el cálculo de alguna cantidad que crece en un tiempo determinado, encontrar ese tiempo o bien , la constante de crecimiento o decaimiento a la cual está sujeta cierta cantidad inicial

PROBLEMA DEL VALOR INICIAL

Donde K es una constante de proporcionalidad. Como ya sabemos que la tasa de crecimiento de

ciertas poblaciones en periodos cortos es proporcional a la población presentes en el tiempo t, es decir que si se conoce la población en un tiempo arbitrario t0, la solución de la ecuación puede utilizarse para predecir en el futuro es decir, en tiempos t>t0 , donde

Factor de integración

ekt

la constante de proporcionalidad en k se determina a través de la solución del problema de valor inicial con una medida posterior de x en un tiempo t1>t0.

Ley del enfriamiento de Newton:

Como ya se ha mencionado, Newton dedujo por observación y experimentación el siguiente principio denominado Ley del Enfriamiento de Newton: La razón de cambio de la Temperatura de un cuerpo respecto del tiempo es proporcional a diferencia entre la temperatura del cuerpo en el instante t y la temperatura del ambiente T0. Siempre que T0 se mantenga constante.

Obsérvese que este principio se modela directamente como dT/dt = k (T - T0), donde la constante de proporcionalidad se determina por experimentación en cada caso específico.

La rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la deferencia entre la temperatura de cuerpo y la temperatura del medio ambiente T(t) representa la temperatura del cuerpo en el tiempo t, Tm es la temperatura del medio ambiente.

Cuando se saca un pastel del horno, se mide su temperatura en 300 A°F . Tres minutos después su temperatura es de 200A°F . ¿Cuanto tarda el pastel en alcanzar la temperatura ambiente de 70{°}F?

• La forma general de un circuito RL serie bajo excitación de tensión es la siguiente:

• La respuesta a esta de tensión será una corriente i que producirá sobre la resistencia y sobre la inductancia sendas caídas de tensión, las cuales vendrán dadas respectivamente por:

• Así, se obtiene la ecuación diferencial lineal para la corriente i(t), donde L y R son constantes que se conocen como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se conoce también como la respuesta del sistema.

El mezclado de dos soluciones de diferente concentración a veces da lugar a una ecuación diferencial de primer orden.Ejemplo: Mezcla de soluciones de sal

Supóngase que un gran tanque de mezclado contiene inicialmente 300 galones de salmuera (es decir, agua en la que se han disuelto cierta cantidad de libras de sal). Otra solución de salmuera se bombea hacia el tanque a una rapidez de 3 galones por mi nuto; la concentración de la sal en este flujo de entrada es 2 libras por galón. Cuando la solución en el tanque está bien agitada, se bombea a la misma rapidez que la solución entrante.

La tasa de entrada Rentrada a la que la sal entra al depósito es el producto de la concentración del flujo de entrada de la

sal y la rapidez del flujo de entrada del líquido. Rentrada se mide en libras por minuto:

Ahora, como la solución está siendo bombeada hacia fuera del depósito a la misma rapidez que se bombea hacia adentro, el número de galones de salmuera en el depósito en el tiempo t es una constante de 300 galones. Puesto que la concentración de la sal en el depósito, así como en el flujo de salida es c(t) = A(t)/300 lb/gal, y por tanto la rapidez de salida de la sal es

***

La rapidez neta se convierte en:

Si Rentrada y Rsalida denotan las tasas de entrada y salida generales de las soluciones de salmuera, entonces hay tres posibilidades: rentrada = rsalída, rentrada > rsalida y rentrada < rsalida.

• DINÁMICA POBLACIONAL

• La dinámica de una población es su desarrollo en el tiempo y en el espacio, y está determinada por factores que actúan en el organismo, en la población y en el medio ambiente. Se refiere a la dispersión, a la densidad y al crecimiento.

• Si P(t) denota el tamaño de una población en el tiempo t, el modelo para el crecimiento exponencial comienza con la suposición de que dP/dt = kP para alguna k > 0. En este modelo, la rapidez de crecimiento es relativo, o específico.

• Ejemplo: Numero de usuarios de telefonía móvil. Donde Llamaremos a P (t) como la población total en un instante t, y su derivada ( ) sería el cambio de ritmo de la misma, estas dos son proporcionales

Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x y que todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden. Una ecuación no es lineal cuando no cubre los requerimientos anteriores.

GRAFICA DEL MODELO LINEAL

GRAFICA DEL MODELO NO LINEAL

La ecuación logística es un segundo modelo sobre evolución poblacional que le pone más realidad al modelo de crecimiento exponencial.

La ecuación logística es un segundo modelo sobre evolución poblacional que le pone más realidad al modelo de crecimiento exponencial.

Un entorno es capaz de mantener no mas de un número fijo k de individuos en su población donde:

La cantidad K se llama capacidad de soporte del ambiente.

Donde:

En la ecuación (2) (dP/dt)P = f (P) o dP/dt = Pf (P)

Se tiene f(K) = 0 y es permitido que

f(0)=r, suponiendo que f(P) es lineal se tendría:

f(P)= c1 P + c2 en cambio para f(0)=r y f(K)=0 se tiene: c2 =r y c1 = -r/K por lo que la ecuación (2) se cambia a:

dP / dt = P (r – r/K* P)

Con otras constantes la ecuación no lineal se cambia a:

dP/dt = P (a - bP) ecuación logística

Y su solución se llama función logística.La ecuación dP/dt =kP no nos proporciona un

modelo preciso cuando la población es grande.

Suponga que un estudiante portador de la gripe vuelve al la universidad aislado de 1000 estudiantes, suponiendo que la rapidez a la que se disemina el virus es proporcional no solo al numero de x de estudiantes infectados sino también al numero de estudiantes sanos, determinar la cantidad de estudiantes infectados despues de 6 días teniendo como referencia que a los cuatro días x(4)=50

Ningún estudiante abandona el campus.dx/dt = kx(1000 - x), x(0)=1

Identificando a =1000k y b=k, se obtiene:x(t)= (1000k)/k + 999ke-1000kt

= (1000)/1 + 999e-1000kt

Ahora reemplazando con x(4)=50, K50=1000/1 + 999e-4000k

Se encuentra que -1000K = ¼ In 19/999 = -0.9906

X(t)= 1000/ 1+999e-0.9906t

X(6)= 1000/ 1+999e-5.9436 = 276 estudiantes.

http://es.wikipedia.org/wiki/Función_logística

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/logistica.htm

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001091/html/capitulo_7/leccion-07-02.html

http://www.youtube.com/watch?v=HLTKsBMZsQQ