View
1.537
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
Xosé Manuel Besteiro Colexio Apostólico Mercedario VERÍN
Números Reais
NÚMEROS REAIS(R)
NÚMEROS RACIONAIS Nº
I RRAC I ONA I S
Nº ENTEIROS(Z) Nº FRACCIONARIOS
NATURAIS(N)
ENTEIROSNEGATIVOS
DECIMAISLIMITADOS
ILIMITADOSPERIÓDICOS
PERIÓDICOSPUROS
PERIÓDICOS MIXTOS
Este conxunto está composto polos seguintes elementos:
R = Q I , ademáis N Z Q .
Conxunto de números reais
inicio
Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Q={ p:q / p,q є Z e q≠ 0 }
N={1,2,3,4,5,6,7,8,...} Nº racional é o conxunto de fraccións equivalentes a unha dada
Números Naturais(NN) Un número natural é calquera dos números
0, 1, 2, 3... que se poden usar para contar os elementos dun conxunto finito.
Denominaremos N ao conxunto de tódolos números naturais.
O conxunto dos nº naturais é un conxunto ordenado e polo tanto pode representarse sobre unha recta
Operacións de números naturais A suma de dous números naturais é
sempre outro nº natural O produto de dous nº naturais é
sempre outro nº natural A resta non sempre é posible entre
números naturais.
a-b é natural só se ba
Números enteiros negativos A cada número natural b distinto
de cero asignouselle como correspondente un número negativo –b, chamado o oposto de b, que ten a propiedade
b + (-b) = 0
Números enteiros Ao conxunto dos números enteiros
represéntase co símbolo Z, aos enteiros negativos con Z- e aos enteiros positivos con Z+.
ZZZ 0
Os nº enteiros pódense sumar, restar e multiplicar. O seu resultado sempre será un
enteiro.
Número Enteiros (ZZ) Aos números naturais e os seus
opostos chámaselle NUMEROS ENTEIROS
Representación na recta real
VALOR ABSOLUTO DUN Nº ENTEIRO
Números enteiros
Se X é un número enteiro, o seu valor absoluto represéntase por e defínese así:
X
0XX =
X se X é positivo
-X se X é negativo
0X
Números fraccionarios Se a unha unidade a fraccionamos en n
partes iguais, cada parte é a n–ésima parte da unidade e simbolízase por
Se tomamos m das n-ésimas partes, decimos que esa cantidade é
e representa unha proporción da unidade
n
1
nm
8
2
TÉRMOS DUNHA FRACCIÓN
b
a NUMERADOR
DENOMINADOR
EXEMPLO:
5
3TRES
QUINTOS
Numerador
Denominador
¿Qué indica o denominador?
Indica as partes iguais en que se dividiu a unidade. Por exemplo.
A unidade dividiuse en 5 partes iguais ;cada parte é1/5
¿Que indica o numerador?¿Que indica o numerador?Indica o número de partes que se toman ou consideran da unidade dividida. Por exemplo
Se da unidade dividida se toma 3 partes entonces a fracción será 3/5
3/5
Números fraccionarios Se se multiplica ou divide numerador e
denominador dunha fracción por un mesmo nº(r) distinto de cero, a fracción non varía
n
m
rn
rm
n
m
rn
rm
Fraccións equivalentes Dúas fraccións e son equivalentes
ou iguais se se cumple:
b
a
d
c
cbda
b
a
b
a= cbda
Suma e resta de fraccións con igual denominador Súmanse ou réstanse os numeradores e
ponse o mesmo denominador
Ex:
d
cba
d
c
d
b
d
a
5
9
5
137
5
1
5
3
5
7
NON SE ELIMINAN DENOMINADORES
Suma e resta de fraccións con distinto denominador Substitúense por fraccións
equivalentes que teñan o mesmo denominador
Para elo. calculamos o m.c.m dos
denominadores O novo denominador común de todas será o m.c.m Dividimos o m.c.m entre o denominador de cada
unha e multiplicamos ese cociente polos numeradores
Sumamos e restamos numeradores e poñemos o mesmo denominador
Suma e resta de fraccións con distinto denominador Ex:
8
7
12
5
4
3
4=22 ; 12 = 22.3 ; 8 =23.
m.c.m(4,12,8) = 23.3 =24
24
29
24
211018
24
21
24
10
24
18
SIMPLIFICAMOS O RESULTADO SEMPRE QUE SE POIDA
Produto de dúas fraccións Multiplícanse os numeradores e os
denominadores
Ex:
db
ca
d
c
b
a
35
12
57
43
5
4
7
3
PARA MULTIPLICAR E DIVIDIR NON SE CALCULA O m.c.m
SIMPLIFICAMOS O RESULTADO SEMPRE QUE SE POIDA
División de dúas fraccións Multiplícase a primeira pola inversa da
segunda
Ex:
cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
28
15
47
53
4
5
4
3
5
4
7
3
PARA MULTIPLICAR E DIVIDIR NON SE CALCULA O m.c.m
SIMPLIFICAMOS O RESULTADO SEMPRE QUE SE POIDA
Operacións combinadas de fraccións Se só hai sumas e restas entre
parénteses ou corchetes Quitamos os parénteses, corchetes, etc aplicando
as regras dos signos Sumamos ou restamos as fraccións resultantes
Ex:
20
3
3
2
2
1
4
31
3
1
5
3
20
3
3
2
2
1
4
31
3
1
5
3
20
3
3
2
2
1
4
31
3
1
5
3
Operacións combinadas de fraccións
Se hai produtos e/ou divisións entre parénteses:
SEGUIMOS A XERARQUÍA DE OPERACIÓNS:
1. Parénteses2. Produtos e divisións(de esquerda a
dereita)3. Sumas e restas (de esquerda a dereita)
Operacións combinadas de fraccións
Ex:
6
3
3
2
3
1
6
30
3
1
5
2:
6
1
3
1
3
2
3
1
2
3
6
21
3
1
5
2:
3
2
3
2:
1
Ejercicios
3
1 : .
3
7 a)
7
4
5
3
13
3
5
3
7
1- .
7
13- : -
2
7 . 2
. : 3
11
b)
3
7
3
2
1
6
1
809
71
5
3
Cada punto da recta correspóndese cun número real.Para representar os números enteiros necesitamos fixar o cero e a lonxitude da unidade.
0 1-2 -1 32
Despois basta con levar a unidade de lonxitude tantas veces como queiramos cara a dereita do cero para os positivos,
e cara a esquerda para os negativos.
Representación dos nº reais na recta real
Racionais comprendidos entre 0 e 1Racionais comprendidos entre 0 e 1
Nos números racionais comprendidos entre 0 e 1 o denominador é maior co numerador.
Representaremos:
1ba
0 ba 53
•Partindo de cero trazamos unha recta inclinada cara a dereita.
0-1 21
•Divídese en tantas partes iguais como indica o denominador.
5
3
53
•Trazamos unha recta dende o 1 ata a última división.
•Debúxase unha paralela a esta última recta pola división que sinale o numerador.•O número que queremos representar é o punto de corte desta recta coa recta real.
Para fixar ben este procedemento, que se basa no teorema de Thales, vexamos outro exemplo:
Racionais comprendidos entre 0 e 1.Racionais comprendidos entre 0 e 1.
114
Representaremos:
0-1 21
11
4
•Debuxamos unha líña dende o cero con inclinación dereita.
•Dividímola en 11 partes.
•Unimos a última división co punto 1.
•Trazamos unha paralela a esta última recta pola división 4.
114
Racionais maiores co 1Racionais maiores co 1Nos números racionais maiores co 1 o denominador é menor co numerador.
1ba ba Representamos:
725
•Efectuamos a división enteira (sen decimales).
25 7
3214
74
3725
•Representamos 7
4
32 54
7
4
725
a partir de 3.
Faise todo igual que para os positivos, pero cara a esquerda.
Racionais negativosRacionais negativos
•Efectuamos a división enteira (sen decimais).
25 7
3214
74
3725
•Representamos 7
4
-3 -2-5 -4
7
4
725
a partir de
Representamos:725
3
Irracionais co teorema de Pitágoras 1Irracionais co teorema de Pitágoras 1
•Trátase de representar números radicais do tipo:
13
ab
c
222 cba
Debemos encontrar dous números tales que a suma dos seus cadrados sexa 13. No noso caso son 2 e 3.
22 cba
22 3213
0 3
2
13
•Debúxase a recta real. •Márcase un dos números (3) e
trazamos unha perpendicular, marcamos o outro número (2) sobre esta última recta.
•O número que estamos buscando é a hipotenusa do triángulo rectángulo
•Coa axuda dun compás trasladamos este número á recta. 13
a
•Neste caso debemos encontrar dous números cuxa diferenza de cadrados sexa o número que estamos buscando.Por
ejemplo:
Usando o teorema de Pitágoras 2Usando o teorema de Pitágoras 2 a b
c
222 cba
22 cab
21 22 25
0 2
21
215 •Prestade atención á
construción do debuxoc
a
2225221
IntervalosIntervalos
Intervalo aberto de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b.
}bxa/Rx{)b,a(
•A este conxunto non pertenecen os extremos.
a b
Intervalo cerrado de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b. }bxa/Rx{b,a
•A este conxunto si pertenecen os extremos.
a b
Intervalos semiabertos ou semicerrados.
}bxa/Rx{b,a }bxa/Rx{b,a
a b a b
Aberto pola esquerda
Aberto pola dereita
SemirrectasSemirrectasNunha semirrecta atópanse tódolos números menores ou maiores ca un nº dado
c
Semirrecta pechada positiva
Semirrecta pechada negativa c
Un dos extremos do intervalo é sempre +∞ ou - ∞
cx/Rx,c Semirrecta aberta positiva
c cx/Rx,c
cx/Rxc,
c
Semirrecta aberta negativa cx/Rxc,
Ao conxunto formado por tódolos enteiros e tódolos fraccionarios denomínase números racionais
a é o numerador e b o denominador
Números racionais(QQ)
e e
Expresión decimal dos números racionais
Para escribir un número fraccionario en decimal basta con dividir o numerador polo denominador
Expresión decimal limitada (exacta) Ex: 7/4 = 1,75. Ao facer a división o resto é cero Expresión decimal ilimitada periódica
pura Ex: 8/3 = 2,666…= No cociente aparece ,inmediatamente despois da coma ,
unha cifra ou grupo de cifras (6)que se repite indefinidamente (período)
Expresión decimal ilimitada periódica mixta
EX: 23/6 = 3,8333…= No cociente aparece unha cifra ou grupo de cifras(3)
que se repite indefinidamente, pero entre a coma e o período hai outra cifra ou cifras(8) chamada anteperíodo
Expresión decimal ilimitada non periódica = nº irracional
Ex Л = 3,141592… ;
Tipos de expresións decimais
62,
383
,
...,414213512
¿Cómo saber o tipo de expresión decimal sen dividir?
Factorizamos os denominadores Se o denominador contén só os factores 2,5 , ou ambos ,
é decimal limitada.
Ex: 2/25 ; 13/4 ; 324/500 Se o denominador non contén os factores nin 2 nin 5, é
periódica pura Ex: 2/3 ;2/21 Se o denominador contén os factores 2 e 5 ademáis
doutros factores, é periódica mixta E: 2/30 ; 7/ 110
É unha fracción que ten por numerador o nº sen a coma, e por denominador a unidade seguida de tantos ceros como cifras decimais ten o nºdecimal
Simplificamos a fracción obtida Demostración:X = 2,25.100 X = 225
Expresión fraccionaria dun nº decimal limitado
4
9
100
225X
Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico puro É unha fracción que ten por numerador a parte enteira
seguida da parte periódica menos a parte enteira, e por denominador tantos noves como cifras teña o período
Demostración: X = 2,43 43 43….100 X = 243,43 43 43…. ( multiplicamos pola unidade
seguida dos ceros necesarios para pasar o período para a parte enteira)
Restamos membro a membro para eliminar a parte decimal100 X = 243,43 43 43…. X = 2,43 43 43…. 99 X = 243-2
Se podemos simplificamos
99
241
99
2243
X =
Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico mixto
É unha fracción que ten por numerador a parte enteira seguida do anteperíodo e da parte periódica menos, a parte enteira seguida do anteperíodo, e por denominador tantos noves como cifras teña o período seguidos de tantos ceros como cifras teña a anteperíodo.
Demostración: X = 2,4 56 56 56…. 10 X = 24,56 56 56…. ( multiplicamos pola unidade seguida dos
ceros necesarios para pasar a periódica pura)Multiplicamos a expresión anterior pola unidade seguida dos ceros
necesarios para pasar o período para a parte enteira1000 X = 2456,56 56 56…. 10X = 24, 56 56 56… 990 X =2456-24
Se podemos simplificamos
990
2432
990
242456
X=
Os números irracionais son aqueles equivalentes a unha expresión decimal ilimitada non periódica
Non se poden escribir en forma de fracción Para traballar cos nº irracionais hai que aproximar Redondeo:
Se a primeira cifra eliminada é menor ca 5 deixamos a anterior tal como está
Se a primeira cifra eliminada é maior ou igual ca 5 engadimos unha unidade a anterior
Ex: = 1,7320508…
Redondeo ás décimas 1,7 (3 é menor ca 5)Redondeo ás dez milésimas: 1,7321(A primeira eliminada é 5)
Números Irracionais(II)
3
Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados Ex: = 1,25992105…
3 2
APROXIMACIÓN
POTENCIAS INTERVALO
Enteira 13=1; 23=8 1 < <2
Decimal1,13=1,3311,23=1,7281,33=2,197
1,2 < <1,3
centesimal1,243=1,9071,253=1,9531,263 =2,0004
1,25 < < 1,26
3 2
3 2
3 2
1 2
Determinación de intervalos encaixados
1.2
1.3
1 2.1 .2 .9.3 .8.4 .7.6.5
3 2
Obtemos unha sucesión de intervalos que cumple: Cada intervalo está contido no anterior A diferenza entre os extremos tende a 0
“Toda sucesión de intervalos encaixados determina un único nº real”
Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados(Cont)
FinFin
Recommended