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Presentacion útil para docentes para explicar de una forma mas activa el desarrollo de los productos notables. Considerado aplicacion de las tics en clase.
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PRODUCTOS NOTABLES
Por: HERNÁN GILDARDO VÁSQUEZ MARTINEZ
Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre 2 o mas polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, y cumplen ciertas reglas fijas. Su resultado puede ser escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación o no verificar con la multiplicación.Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.
Términos:*De 1 término ; ej: 2x , 4xyw. Se llama Monomio*De 2 términos ; ej: x+y , 7xy-1. Se llama Binomio *De 3 términos ; ej: x+y+z , 2x+5y+3z. Trinomio*De 4 términos o más ; ej: 3+y+z+w , xy+xz+xw-9y. Se llama Polinomio
CONCEPTO:
SON PRODUCTOS NOTABLES
BINOMIO AL CUADRADO
BINOMIO AL CUBO
TRINOMIO AL CUADRADO
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES
PRODUCTO DE LA FORMA (x+a).(x+b)
TRIANGULO DE PASCAL
NAVEGA EN CUALQUIER
A
BINOMIO AL CUADRADO
Cuadrado de la suma de dos términos:
Demostración 1
Demostración 2
Demostración 3 AL
INICIOCuadrado de la diferencia de dos términos.
DEMOSTRACIÓN 1
a
a
b
bREGRESAR
Conclusión:Encontrando las áreas de las figuras geométricas, se puede leer el cuadrado de la suma de dos términos (a2 + 2ab + b2 ).
2
DEMOSTRACIÓN 2
a
a
b
b
1
= + +
++
Lectura: “El primero al cuadrado mas dos veces el primero por el segundo mas el segundo al cuadrado”
DEMOSTRACIÓN 3
a +
b a +
b
a2
ab+ ab
+
b2
a2 +
2ab
+
b2
Mira de fácil que se hace
Cuadrado de la diferencia de dos términos:
Demostración 1
Demostración 2
a2
DEMOSTRACIÓN 1
a
ba-b
b.(a – b)
a-b (a – b)2
a.b
b b2
(a – b)2
=
a2 – [b.(a-b)+ab]a2 – [ab-b2+ab]
a2 – [ab+ab-b2]
a2 – ab – ab+b2
a2 – 2ab + b2
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2
Lectura: “El primero al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo mas el segundo al cuadrado”
a - b
a - b
a2
- ab
- ab
+
b2
a2- 2ab
+
b2
DEMOSTRACIÓN 2
BINOMIO AL CUBO
Demostración 1Demostración 2Demostración 3
a
b
a
a
a
a
a
b b
b
b
b𝒂𝟑
𝒂𝟐𝒃
𝒂𝟐𝒃
𝒂𝟐𝒃
𝒂𝒃𝟐
𝒂𝒃𝟐𝒃𝟑
DEMOSTRACIÓN 1
Conclusión:Encontrando el volumen de cada cubo formado, se puede ver la lectura de un binomio al cubo.
a
b
a
a
a
a
a
b b
b
b
b𝒂𝟑
𝒂𝟐𝒃
𝒂𝟐𝒃
𝒂𝟐𝒃
𝒂𝒃𝟐
𝒂𝒃𝟐𝒃𝟑𝒂𝟑+3 +𝟑𝒂𝒃𝟐 𝒃𝟑+
Se lee: “El primero al cubo, mas tres veces el primero al cuadrado por el segundo, mas tres veces el primero por el segundo al cuadrado, mas le segundo al cubo.
DEMOSTRACIÓN 2
DEMOSTRACIÓN 3
a + b
a + b
a2
ab+ ab
+ b2
a2+ 2ab
+ b2
a2 + 2ab+
b2 a + b
a3
+ 2a2b
+
ab2 a2b
+
2ab2 + b3
a3+ 3a2b
+
3ab2 + b3
Que divertido es este producto notable, ponle
cuidado.
TRINOMIO AL CUADRADO
Demostración 1
Demostración 2
Demostración 3
a
DEMOSTRACIÓN 1
a b c
c
b
𝒂𝟐
𝒃𝟐
𝒄𝟐
ab
ab
ac
ac
bc
bc
Conclusión:Al sacar el área de cada cuadrilátero, se puede observar
la lectura de un trinomio al cuadrado.
a
a b c
c
b
ab
ab
ac
ac
bc
bc
a2 b2 c2 2ab
2ac
2bc+ + + + +
Se lee: “El primero al cuadrado, mas el segundo al cuadrado, mas el tercero al cuadrado, mas dos veces el primero por el segundo, mas dos veces el primero por el tercero, mas dos veces el segundo por el tercero”.
DEMOSTRACIÓN 2
DEMOSTRACIÓN 3
(a + b + c)2 =
a + b + ca + b + ca2 +
ab
+ ac
+ c2 ab
+b2
+ ac
+bc
+bc
a2 +
2ab
+ 2ac +b2
+2bc + c2
Ordenando:
a2+b2
+ c2+
2ab
+ 2ac
+2bc
PRODUCTO DE LA SUMA POR UNA DIFERENCIA DE DOS
EXPRESIONES
Demostración 1Demostración 2
No necesita ser un genio
para resolver
esto.
DEMOSTRACIÓN 1
b
a
ba-b
a+b
DEMOSTRACIÓN 2
a + b
(a + b)
a - b
.(a – b)=
a2
+ ab- ab- b2
a2 - b2
Es muy fácil comprobarlo, solo hay que multiplicar
Es verdad
PRODUCTO DE LA FORMA (X+A). (X+B)
Demostración 1
Demostración 2
Demostración 3
Dependiendo de los signos que tengan
se harán las operaciones
DEMOSTRACIÓN 1
x
b
x a
ax
bx ab
x2
Si encontramos el área a estos cuadriláteros y luego los sumamos,
sacando el factor común que hay en dos de ellos,
se puede ver esta lectura: x2 + (a+b)x +
ab
x
b
x a
ax
bx ab
x2
x2 + ax + ab
DEMOSTRACIÓN 2
bx +
x2 + (a+b)x +
ab
DEMOSTRACIÓN 3
(x + a).(x + b) =
x + ax + bx2 +x
a + xb
+ ab
x2 + xa
+ xb
+ ab
Factorizando los dos del medio
x2 + (a +b)x+ ab
TRIANGULO DE PASCAL
Es un arreglo de números que permite hallar los coeficientes de expresiones de la forma (a+b)n , donde n es un número natural.
En el triangulo de Pascal, cada fila comienza y termina en 1. El resto de valores se obtienen de la suma de los dos números que se encuentran exactamente sobre él, ubicados en la fila inmediatamente superior.
11
11 2
1
13 31
16 441
1 110
510
5
6 115
620
15
1
21
121
735
35
7
1
1
56
128
856
70
28
8
9 126
136
984
12684
361
1 45
252
145
10
120210210
120
10
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
(a + b)6
(a + b)7
(a + b)8
(a + b)9
(a + b)10
CONSTRUCCIÓN DEL TRIANGULO
DE PASCAL
EJEMPLOS APLICANDO EL TRIANGULO DE PASCAL
Hallar el producto notable de (2a + b)6 -Primero se escribe los coeficientes del nuevo polinomio, sacados del triangulo de Pascal, todos separados con un signo mas (+), si el signo del binomio es mas (+). Asi:
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1
-Segundo se escribe la parte literal, colocando el primer termino con sus exponentes en orden descendente, y el segundo termino con sus exponentes en orden ascendente. Así:
(2a + b)6 =1(2a)6 + 6(2a)5 b +15(2a)4 b2 + 20(2a)3 b3 + 15(2a)2 b4 + 6(2a) b5 + 1b6
(2a + b)6 = 64a6 + 6.32a5b +15.16a4b2 + 20.8a3b3 + 15.4a2 b4 + 6.2ab5 + b6
(2a + b)6 = 64a6 + 192a5b +240a4b2 + 160a3b3 + 60a2 b4 + 12ab5 + b6
-Tercero se hacen las operaciones indicadas. Asi:Primero potencias.
Luego multiplicaciones.
MUCHAS
GRACIA
S
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