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Determinar PIDs dada la grafica de respuesta en el tiempo de una planta dada
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1. En el sistema de control que se muestra en la figura 2, la planta tiene como respuesta temporal a un escalón unitario la siguiente (figura 1):
Figura 1. Respuesta del sistema a un escalón unitario
Figura 2. Sistema de Control
Tiempo de respuesta del sistema de 20 s.
Primero determinamos un modelo aproximado de la planta de la forma:
Donde K es la ganancia en regimen estacionario, T el polo de primer orden del sistema y Td el retardo.
Para el calculo de esas constantes procedemos a calcular para que tiempo ocurre el 63% y el 28% del valor final:
63% Vf = 0.63*10 = 6.3 y ocurre para un t2 = 10 seg 28% Vf = 0.28*10 = 2.8 y ocurre para un t1= 5 seg
Donde t1 y t2 son valores aproximados
Por lo tanto,
T = 3/2 * (t2 - t1) = 7.5 seg
K es la ganancia en regimen estacionario:
Lim S 1 K e-TdS
S0 * ---- * ---------------- = 10
S S (TS + 1)
Por lo tanto, K = 10
El retraso es :
Td = t2 – T = 2.5 seg
Por lo cual obtenemos el modelo aproximado de la planta como:
G(s) = 10 e-2.5S
----------------
7.5S +1
Con estos valores proseguimos a obtener los PID pedidos:
1. Zieguer y Nichols:
El PID deseado es serie, tal que:
Calculando las constantes tenemos que:
TN = Td / T = 0.3333
Kc = 1.2/KTN = 0.36
Ti = 2Td = 5
Td = 0.5Td = 1.25
Por lo tanto el PID pedido es:
PID = 0.36 * ( 1 + 1/ 5S) * (1.25S +1) ------------------------
(0.125S+1)
Por lo tanto, la planta con el PID será:
P(s) = G(s) * PID = 0.36 * (1 + 1/ 5S) * (1.25S +1) * e-2.5S
---------------------------------------------------
(0.125S+1) * (7.5S + 1)2. Lugar de las raices:
El PID deseado es de la forma:
PID = Kc * (t1S + 1) * (t2S + 1) -----------------------------------------------
S * (Tf + 1)
Donde t1 = T y t2 = Td/2
El modelo de la planta es diferente al anterior ya que aproximan: e-TdS = 1 – TdS
G(s) = -K * ((Td/2)S – 1) ---------------------------------------
(TS+1) * ((Td/2)S + 1)
Se pide tss = 20s, esto quiere decir que el polo deseado debe ser:
a = 4 / tss = 0.2
Para determinar los valores de Tf y Kc tenemos que:
2 Tf = -------------------------------------- = 2.2222
a * ( 4 + a * Td)
a2 * Tf Kc = ----------------- = 0.0089
K
Con estos valores tenemos que el PID es:
0.0089 * (7.5S + 1) * (1.25S + 1)PID = -----------------------------------------------------------
S * (2.222S+1)
Por lo tanto la planta con el PID es:
-0.089 * (1.25S – 1)P(s) = G(s) * PID = -------------------------
S * (2.222S+1)
3. IMC – PI:
El PI deseado viene dado por:
Calculando las constantes tenemos que:
TN = 0.3333
Kc = [1.279(TN)-0.945]/K = 0.3612
Ti = [T(TN)-0.586]/0.535 = 26.6886
Con estos valores tenemos que el PID es:
0.3612S + 0.0135PI = -------------------------------
S
Por lo tanto, la planta con el PID es:
0.3612S + 0.0135 e-2.5S
P(s) = G(s) * PID = ----------------------------------------------
S * (7.5S + 1)4. IMC – PI:
Este metodo consiste en determiner el PID a traves de la function de transferencia a lazo cerrado. En este metodo asumimos un T(s) cuyas caracteristicas son las deseadas por el diseñador. Por lo tanto:
e-2.5S
T(s) = ---------------------
TmS+1
Donde:
4 * Tm = tss = 20s Tm = 5
El PID deseado es de la forma:
TS + 1 7.5S + 1
PID = ------------------------------------- = -----------------------
K * (Tm + Td) * S 75 * S
Por lo tanto, la planta con el PID es:
e-2.5S
P(s) = G(s) * PID = --------- 7.5S
Comparando los PID estudiados tenemos que:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5
0
0.5
1
1.5
2
PID LGR
PID ZIEGLER-NICHOLS
PI ITSE
PI IMC
De la grafica tenemos que el PID que mejor responde es el IMC que trabaja sin oscilaciones y con un tss deseado. Para el ITSE, trabaja con pocas oscilaciones en un intervalo corto de tiempo pero tarda en llegar al valor deseado.
El PID de Z-N tiene sobrepicos muy bruscos, aunque el tiempo de respuesta es muy cercano al deseado. Para el PID del L-R es una respuesta suave aunque el tiempo de respuesta no se ajusta al deseado.
De la grafica se observa la influencia del retardo en los PIDs ya que ninguno responde a un tiempo de t= 0 seg
Por lo tanto, la planta responde mejor a un controlador definido a lazo cerrado con un funcion de transferencia definida por el diseñador.
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