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RESUMEN PSU MATEMÁTICAS
Números y Proporcionalidad Álgebra y Funciones
lN : números naturales {1, 2, 3...}
Reglas de Divisibilidad
- 2 : si termina en 0 o en cifra
par.
- 3 : la suma de sus cifras es
múltiplo de 3.
- 4 : sus dos últimas cifras son 00
o múltiplo de 4.
- 5 : si termina en 0 o en 5.
- 6 : si lo es por 2 y por 3 a la
vez.
- 7 : la última cifra de la derecha
se multiplica por 2 y se resta
de las cifras restantes, si la
diferencia es 0 o igual a 7,
entonces es divisible.
- 8 : las tres últimas cifras son
000 o es múltiplo de 8.
- 9 : la suma de sus cifras es
múltiplo de 9.
- 10 : si termina en 0.
( )
Grado de un término: se suman los
exponentes de sus letras.
Grado de un polinomio: se considera el
grado del término más alto.
Productos Notables:
( ) =
( )( )
( )( )
( )( )
Factorización:
Trinomio : el producto de
los dos factores hallados es c, la suma
de los dos factores corresponde a b.
Trinomio de un cuadrado perfecto:
Hallar la raíz del primer y segundo
término.
Trinomio cualquiera: el recíproco del
número que acompaña al primer
Números primos : son aquellos
divisibles por 1 y por el mismo
número.
{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23...}
Números compuestos : son aquellos
divisibles por 1, por el mismo y por
otros números.
{4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18…}
* El 1 no es primo ni compuesto.
Teorema Fundamental de la
Aritmética : Todo número compuesto
se puede descomponer de manera
única como el producto de números
primos.
M.C.M. : El menor número natural
que es múltiplo de cada uno de los
números dados.
M.C.D. : El mayor número natural
que divide a cada uno de los
números dados.
lN0 : números cardinales {0,1,2}
Z : números enteros {-2, -1, 0,1}
Son todos los lN0 más su parte
negativa.
Número par : 2p
Número impar : 2p+1
cuadrado se multiplica por trinomio
completo y éste por el número que
acompaña al primer cuadrado.
Ecuaciones: se encuentran tres tipos de
soluciones o raíces.
a 0, tiene 1 raíz
a y b = 0, infinitas
a=0 y b 0, no tiene
Interpretación Algebráica:
n° par 2x es =
n° impar 2x+1 mayor
que
>
cuociente a/b Menor
que
<
exceso de
a sobre b
a-b
no es
mayor
≤
la mitad x/2 a lo
más
≤
aumen
tado en
a+b no es
menor
≥
de, del al
menos
≥
Par + Par = Par
Par + Impar = Impar
Impar + Impar = Par
* Primos relativos : números cuyo
M.C.D es 1.
Valor absoluto de un entero :
| x | x , si x ≥ 0
-x , si x < 0
Propiedades en Z :
Adición y sustracción : se realiza la
operación conservando el signo del
número mayor.
( a, b, c Z)
Clausura : - (a + b) Z
- (a b) Z
Asociativa : - (a+b)+c = a+(b+c)
- (ab) c = a (bc)
Elemento neutro : - 0 + a = a
- a1 = 1a = a
Desigualdades e Inecuaciones
Tricotomía : si se tienen dos números
reales entonces se cumple solo una de
las siguientes propiedades.
a > b ; a = b ; a < b
Transitiva: a, b, c lR, entonces
i) a < b y b < c a < c
ii) a > b y b > c a > c
Propiedad: al multiplicar por una
cantidad mayor que 0, la desigualdad se
mantiene, si la cantidad es menor que
0, la desigualdad cambia.
Propiedad: al transformar la
desigualdad a sus respectivos
recíprocos, cambia el signo, solo si
estos son números positivos.
Propiedad:
a, b lR+, a < b /( ) =
a, b lR-, a < b /( ) =
Elemento inverso: - a-a=-a+a=0
- no existen
Inversos
multiplicativos
en Z.
Conmutativa : - a + b = b + a
- a b = b a
Distributiva : - a(b+c)=ab + ac
(Q) números racionales : todos
aquellos números que pueden
represetarse como fracción (
)
siendo a y b números enteros y b
distinto de 0.
; a es el numerador y b el
denominador.
Fracción propia : si | a | < | b |
Fracción impropia : si | a | > | b |
Equivalencia de números racionales
ad = bc
Relación de orden:
Número mixto :
Sistema de Inecuaciones: se resuelven
las inecuaciones por separado y luego
se intersectan las soluciones.
Propiedades del valor absoluto:
|x| 0 ; |-x| = |x| ; √ = |x|
Si a>0 [|x| = a (x = a v x = -a)]
Inecuaciones con valor absoluto
Se resuelve la inecuación (<, >) por
separado |a + b|
(a+b) = x ; (a+b) = -x
y se unen los resultados.
Inecuaciones con igual signo =
Inecuaciones con ≠ signo =
Sistema de coordenadas cartesianas y
Ecuaciones Lineales en dos variables:
y (ordenadas)
II I
x (abscisas)
III IV
Ecuación de la Recta: y= mx + n
Opuesto aditivo de
Recíproco o inverso de
= [
]
=
Finito: cantidad limitada
De cifras decimales.
Decimal Infinito periódico:
tiene una parte
entera más el periodo
Infinito semiperiodo:
parte entera, antepe-
riodo y un periodo.
Ej. 0,1 =
; 0,01 =
Ej.
Ej.
(Q*) números irracionales : no
pueden representarse como fracción,
no son exactas ni periodicos.
Ej. √ √ , etc.
Donde m es la pendiente y n el
coeficiente de posición. (punto en el
que intersecta al eje Y)
Dados los puntos (x1,y1) y (x2,y2), la
pendiente se calcula así:
m =
Casos :
m<0 n>0 m>0 n>0
m>0 n=0 m=0 m=∞
* Se ve de izquierda a derecha.
Ecuación de la recta que pasa por dos
puntos : (x1,y1) y (x2,y2)
Ecuación de la recta dado punto-
pendiente: (x1,y1)
y - y1 = m(x - x1)
Aproximaciones :
- Por defecto : más pequeño
que el número original.
- Por exceso : más grande que el
número original.
Redondeo : la cifra de orden n se
deja como está si la siguiente cifra es
menor que 5, y si es mayor o igual a 5
se aumenta una unidad.
Truncamiento : se eliminan las cifras
posteriores a la coma.
Cifras decimales: 1, 2 3 4 5 6
1: unidad
2: décima
3: centésima
4: milésima
5: diez milésima
6: cien milésima
Notación Científica : el producto
entre un número entre 1 y 10 y una
potencia de 10. El exponente de
dicha potencia corresponde a la
cantidad de ceros.
Ej: 10 = 0,02
Ej: 10 = 100
Rectas Paralelas, coincidentes y
perpendiculares:
Paralelas: Cuando las pendientes de las
rectas son iguales y sus coeficientes de
posición distintos.
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2
* Una recta que es paralela al eje x,
tiene pendiente 0.
Coincidentes: Cuando sus pendientes
son iguales y sus coeficientes de
posición también.
Perpendiculares: L1 L2 cuando m1·m2
= -1.
Distancia entre dos puntos:
d =√( ) ( )
Ecuación del punto medio:
(lR) números reales : Q Q*
Q* + Q* = Q*
Q* Q* = depende
Q* : Q* = depende
Razones y Proporciones
Razón : comparación entre dos
cantidades mediante una división.
a : b = K , donde a es el
antecedente y b el consecuente.
Proporción : igualdad de dos razones.
a : b = c : d , donde a y d son
extremos, y b y c son medios.
Teorema Fundamental:
a d = b c
√
√
√
√
Potenciación:
BASE
exponente positiva negativa
par + +
impar + -
Propiedades:
( )
Radicación:
Suma y resta de raíces: Solo se pueden
sumar y restar raíces semejantes.
Producto y división de raíces:
Del mismo índice:
lR Q
lN+
0
lN- Q*
Serie de razones : igualdad entre más
de dos razones.
Proporción discontinua : todos los
términos son distintos y cada uno de
estos se llaman cuarta proporcional.
Proporción contínua : sus términos
medios o extremos son iguales; el
término repetido se llama media
proporcional y los no repetidos,
tercera proporcional.
Proporción directa :
Línea recta que
pasa por el
origen.
Proporción inversa : a b = k
y
Corresponde a
una hipérbola
equilátera.
√
√
√
√
√( ) ( )
√
√
√√
√
√
De distinto índice:
Raíz de una raíz: Se multiplican los
índices.
Potencia de exponente racional:
Propiedad: √ √
√
Propiedad: √ √
√
Racionalización de monomios
irracionales: multiplicar por el mismo
número ambas partes de la fracción.
Proporción compuesta : se deja la
incógnita al medio y si es p.directa se
multiplica cruzado; si es p.inversa se
multiplica hacia al lado y se forma
una ecuación.
Porcentaje e Interés:
a% =
a% del b% de N =
Porcentajes Especiales :
4%
5%
10%
20%
25%
40%
60%
75%
80%
Racionalización de binomios
irracionales: utilizar suma por diferencia
en ambas partes de la fracción.
Producto Cartesiano : Dados los
conjuntos A {1, 2, 3} y B {s, f} entonces,
(AB)={(1s),(1f),(2s),(2f),(3s),(3f)}
Relación : subconjunto de un producto
cartesiano que cumple una o más
condiciones. Por ejemplo, en un dado
{(x,y) ss / 2x = y} , {(1,2), (2,4), (3,6)}.
Funciones : A cada elemento de A le
corresponde uno de B.
AB ; f(x) = y
Conjunto A : Dominio (Dom) o conjunto
de partida. Es la variable independiente
(x) que contiene las preimágenes que se
calculan reemplazando la x por el valor
dado.
Conjunto B : Codominio o conjunto de
llegada.
Recorrido : (Rec) todos los valores
posibles de f(x). Es el subconjunto del
codominio que contiene las imágenes o
variables dependientes (y), que se
calculan igualando al valor que se pide.
(y o f(x) = n)
Para calcular el dominio de una función,
se busca la manera en que ésta no de
un número real.
Problemas de compra y venta :
$ de venta = $ de compra + ganancia
(%) $ de compra
$ de venta = $ de compra – pérdida
(%) $ x
Ganancia = $ final – $ invertido
Interés Simple : Cf = Ci (1 + n)
I. Compuesto :Cf = Ci ( )
interés en fracción o decimal
n número de periodos (días,
meses, años, etc.)
* Recordar :
= cuociente +
Dividendo = divisor cuo + resto
¿Qué me falta para echar a perder la
máquina?
Para calcular el recorrido se iguala la
función a y, despejando x y luego ver
qué número no puede incluirse dentro
de éste.
¿Qué número nunca va a salir de la
máquina?
Clasificación de funciones :
Inyectiva: imagen de B es una de A (no
más de una)
Epiyectiva: Cada elemento de B es
imagen de al menos un elemento de A,
es decir no hay elementos de B solos.
Biyectiva: Inyectiva y epiyectiva a la
vez.
Función Inversa : se despeja la X, y
luego a de éste resultado intercambiar
la x por la y, y la y por la x; la función
obtenida es inversa a la función dada.
Evaluar Funciones: x se reemplaza por
el valor dado.
Geometría Álgebra y Funciones
Ángulos y Triángulos:
360°= 2
Agudo: más de 0° y menos de 90°
Obtuso: + de 90° y - de 180°
Consecutivos: tienen el vértice y un
lado común
Adyacentes: 180°, tienen el mismo
vértice, un lado en común y estos
sobre una recta.
Opuestos por el vértice: =
Complementarios: suman 90°
Suplementarios: suman 180°
Alternos: miden lo mismo
Correspondientes: son iguales
Colaterales: son suplementarios
Triángulos: la suma de dos lados es
siempre mayor que el tercero.
La diferencia positiva es siempre
mayor que el tercer lado. Sus ángulos
interiores suman 180°. Sus ángulos
exteriores suman 360°, un ángulo
exterior es igual a la suma de los
otros dos ángulos interiores.
Aspectos a estudiar en el gráfico de
una función :
Intersección con el eje X: igualar la
función f(x) o y a cero, los valores de x
son los puntos que se intersectarán al
este eje.
Intersección con el eje Y:
reemplazamos el x de la función por 0
y el resultado es el punto de
intersección con el eje y.
Función Afín (ax + b): no pasa por el
origen. Intersecta en (0,b)
a>0 a<0
Función Lineal (ax + (b=0)): pasa por
el origen (0,0). El dominio y el
recorrido son todos los reales.
Bisectriz : incentro (2 ángulos =’s)
Altura :otrocentro (ángulo de 90°)
Transversal de gravedad : centro de
gravedad (lados iguales)
Simetral : circucentro (h + t)
Área: √s(s-a)(s- )(s-c)
s= perimetro/2
Equilátero: (la o)2√
4; h =
la o√
2
Euclídes:
a2= c
2= c
2=
h = a
c
En un triángulo isósceles: h=t=b=s
* tg: divide en el punto medio.
√ 2 4ac
2a
Función Identidad ((a=1)x): asociada a
la proporción directa.
Función Cuadrática (ax2+bx+c): forma
e ará ola,con a ≠ 0, cuyo ominio
son todos los reales y su recorrido
desde el vértice (hacia arriba o abajo)
los puntos de intersección con el eje x
corresponden a las soluciones de la
ecuación dada.
Concavidad: a acompaña al x2, si a >
0, a = , si a < 0, a = .
Intersección con el eje Y: si c>0
entonces la parábola se ubica por
encima del eje x, si c<0, la parábola se
ubica por debajo del eje x.
Intersección con el eje X:
factorización o la siguiente fórmula.
Discriminante ( 2-4ac): determina en
cuántos puntos corta al eje x.
C
D B A
Trigonometría:
sen Cos tg Cotg sec cosec
co
ca
co
ca
ca
co
ca
co
Identidades Fundamentales:
Sec =1
cos
cosec =1
sen
tg =sen
cos
cotg =cos
sen
sen2 cos2 =1
sec2 =1 tg2
cosec2 =1 cotg2
F(x) 30 45 60
sen 1
2 √2
2 √
2
cos √
2 √2
2
1
2
tg √
1 √
Congruencia: trazos de igual longitud
y ángulos de igual medida.
LLL: tres la os omólogos =’s.
LAL: el ángulo formado entre sus
la os omólogos =’s, es =.
x=x1 x22
=
2a
2a, 4ac 2
4a
2a, (
2a)
(x)
(x)=0, (
2a)
Δ > 0 = 2 soluciones reales y ≠
Δ=0 =2 soluciones iguales (1 to)
Δ < 0 = no lo toca (soluciones
imaginarias y ≠)
Eje de Simetría: divide a la parábola
en dos ramas congruentes.
Vértice: hay 3 formas para calcular el
vértice (x,y) los cuales representan el
máximo o el mínimo de la parábola.
ALA: os ángulos =’s y el la o
comprendido entre ellos es el h.
LLA: os ángulos omólogos =’s y el
ángulo opuesto al mayor es =.
Semejanza: (AA) con dos ángulos de
igual medida y que sus tres lados
sean proporcionales.
La razón entre los perímetros de dos
triángulos semejantes = razón entre
elementos homólogos.
La razón entre las áreas de dos
triágulos se. = razón entre sus
e.homólogos al cuadrado.
Equivalencia: igual área.
Polígonos:
d = n-3 (n° diagonales desde un
vértice)
D = ( )
(n° total de diagonales)
Si =180 (n-2) (suma ángulos
interiores de un polígono)
Cuadriláteros: Sus ángulos interiores
y exteriores suman 360°
Se pueden trazar dos diagonales.
Función Valor Absoluto (|x|): su
dominio son todos los reales y el
recorrido todos los reales positivos
más el 0.
|x| a
-a x a
|x|=a
–a=x=a
Función Parte Entera ([x]): su dominio
son todos los números reales y su
recorrido todos los enteros. Solo se
considera la parte entera de la
función.
Función Raíz Cuadrada (√x): el
dominio y el recorrido son todos los
reales positivos y el cero. Función
creciente (lenta).
m= 1 2
2
* P.Oblicuos (Rombo, romboide):
lados y ángulos opuestos son
congruentes, ángulos consecutivos
son suplementarios, diagonales se
dimidian.
Rombo: diagonales no congruentes,
perpendiculares y bisectrices.
Romboide: diagonales no
congruentes, no perpendiculares, no
bisectrices.
* P.Rectos: (Cuadrado, rectágulo):
ángulos interiores 90°
Cuadrado: diagonales congruentes,
perpendiculares y bisectrices.
Rectángulo: diagonales congruentes,
no perpendiculares y bisectrices.
* Trapecios: escalenos (no paralelos
desiguales), isósceles (no paralelos
iguales, basales iguales) y rectángulos
(2 a.rectos)
* Deltoides: diagonales son
perpendiculares, la diagonal mayor
es bisectriz y dimidia a la diagonal
menor.
* Para encontrar la intersección con
el eje Y, hay que igualar X a 0.
* Para encontrar la intersección con
el eje x, hay que igualar y a 0.
Función Exponencial (ax): la función
es siempre creciente (rápido) y se
encontrará siempre sobre el eje x, en
el primer y segundo cuadrante. Su
dominio son todos los reales y el
recorrido todos los reales positivos.
a>1 0<a<1
f(x) = k ax, donde
k = cantidad inicial
a = crecimiento
x = tiempo
= 1 22
Perímetro: 2a+2b
En todo cuadrilátero inscrito en una
circunferencia, los ángulos opuestos
son suplementarios.
En todo cuadrilátero circunscrito a
una circunferencia, las sumas de los
la os o uestos son =’s.
Geometría de Proporciones:
Teorema de Apolonio: a
u=
a b
u v
A B C
División Interior: B
B =
División Exterior:
B =
División Áurea:
B= B
B =1,618.
Función Logarítmica (logax): la
función logaritmica tiene una base
mayor que uno (crecimiento lento),
es inyectiva, los números negativos
no tienen logaritmo y su dominio son
los reales positivos y el recorrido
todos los reales. (intersección en el
eje x es el punto (1,0) en ambas
funciones).
x>0 x<0 0<a<1
Propiedades:
logaa=1
loga1=0
loga( c)= loga logac
loga (
c) = loga - logac
loga( c)=c loga
loga√ n
=1
nloga
loga = logc
logca
aloga =
Estadística y Probabilidades:
Población o universo: total de
individuos u objetos.
B=
A B C D
División Armónica: el total dividirlo
en la suma de las razones dadas.
B
B =
=
Teorema de Thales: paralelas!
A C
= B
B=
B D
A B
C D
Muestra: grupo de la población. (Si es
+50% es representativa).
Frecuencia Absoluta: n° de veces
que se repite el dato.
Medidas de Tendencia Central
Media Aritmética: promedio; se
suman todos los valores y se divide
por el total de casos.
Mediana: está en el centro de una
distribución. Se ordenan los valores y
se divide el total por 2.
Moda: lo que más se repite.
Marca de clase: valor medio de cada
intervalo.
Medidas de Dispersión
Desviación Media: el valor absoluto
de las distancias hacia la media,
dividido en el total de valores
entregados.
Desviación Estándar: la raíz cuadrada
de la distancia entre la media y los
valores al cuadrado, dividido en el
total de casos.
A D
B E
C F
Circunferencias:
· Perímetro: 2 p r
· Área del círculo: p r2
· Á. Sector circular: r2
60
· P. del sector circular: 2 r
60 +2r
· Longitud de Arco: 2 r
60
· Ángulo del centro: arco=ángulo.
<AOC = 2<ABC
√( ) ( )
n
Tabla de frecuencias con clase (con
datos agrupados):
Intervalos [x, y[
Frecuencia Relativa: porcentajes de
cada f.absoluta.
Frecuencia Absoluta Acumulada F.A.
+ la suma de las frecuencias absolutas
de todos los valores anteriores y la
frecuencia relativa (% de la frecuencia
relativa del intervalo + la suma de las
frecuencias relativas de todos los
valores anteriores).
Gráfico circular: los 360º del
círculo representan el 100 % de
los datos clasificados
Probabilidades: 0<p(x)<1, se
representa en % o fracción.
B= B
2
Si los lados de un ángulo son
tangentes a una circunferencia,
entonces los trazos desde el vértice a
los puntos de tangencia son
congruentes.
= -B
2
PA PC = PB PD
PB PA = PD PC
Laplace: casos a ora les
casos osi les
Suceso Imposible: 0
Suceso Seguro: 1
Sucesos Independientes: producto de
ambas p(x).
Probabilidad Total: p(x) de que ocurra
el suceso A o el suceso B o ambos
sucesos.
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
Si los eventos son excluyentes (A
B = ):
P(AB)=P(A)+P(B)
Probabilidad Condicionada:
Con reposición: Los eventos son
incluyentes si el suceso B es
independiente de la ocurrencia del
suceso A:
P(AB)=P(A)P(B)
PC2 = PB PA
Ángulos inscritos miden lo mismo
El ángulo del centro mide el doble del
ángulo inscrito.
olución etos
Sin Reposición:
P(AB)=P(A)P(B/A)
* Para saber cuántos elementos
saldrán en un espacio muestral de un
diagrama de árbol:
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