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I.E. “Teodosio Franco Garcia” Matemática Cuarto Secundaria - 2016
Equipo de Matemática http://luiscanedocortez.blogspot.pe/ Prof. Luis Cañedo Cortez
Teoría de exponentes
Potenciación:
an =
2n,nsi;a.aa.a
1n:si;a
veces"n"
TEOREMAS
Si a m, n
1. Multiplicación de
potencias bases
iguales.
am . an = am+n
2. División potencias
de bases iguales
nmn
ma
a
a
3. Potencia de una
multiplicación.
(a.b.c)n = an.bn.cn
4. Potencia de una
Fracción n n
n
a a
b b
; b ≠ 0
5. Potencia de
potencias.
([ ] )Pm n mnpa a
Observación:
m mn na a
6. Potencia de
exponente negativo
n na b
b a
Radicación
Donde: n: índice (n 2n )
a: radicando o cantidad subradical
r: raíz n-ésima principal de “a”
TEOREMAS
Si n
a y n
b existen, entonces se cumple:
1. Raíz de una Multiplicación.
2. Raíz de una División.
3. Raíz de una Radicación.
Nota:
* m n p
cba = p.n.mn.mm cba
* m n
aa =
n.m na
Ejercicios:
1. Reducir: 22
2
45.35
49.25.15M
a) 3
1 b)
2
1 c)
9
1 d)
5
1 e) 5
2. Simplificar: 4n
3n4n
2
22N
a) 2 b) 3 c) 1/3 d) 1/2 e) 1/5
3. Calcular:
1382532F
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Calcular: 1 10,2 0,250,25 (0,2) 1P
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
5. Efectuar:
1 13 2 08 4 39 4 6
a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
6. Efectuar:
37753
4010864
x.......x.x.x.x
x........x.x.x.xM
a) x60 b) x54 c) x57 d) x63 e) x51
7. Simplificar: 1
4
11
3
11
2
1
4
1
3
1
2
1N
a) 287 b) 281 c) 235 d) 123 e) 435
an = P ; a ; n
Exponente Cero: a0 = 1 a 0
Exponente Negativo: n
n
a
1a ; a 0
Exponente Fraccionario:
n mn
m
aa n 2; n
ran
rn = a
nnnb.aab
nnn abb.a
n
nn
b
a
b
a
n.mm nbb
nnn abb.a
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11 2 2 5 3
3A
3 3 2
22
m m
mm m
x x
x x
8. Halle el exponente final de “x”.
cba3
veces"b"
acacacabcbca
))x((
x......x.x.)x(.)x(
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
9. Si: 2xxx . Calcular:
xxxxxP
a) 2 b) 1/2 c) 4 d) 2 e) 4
2
10. Si: 2
1a5b ba . Calcular:
1abaR
a) 30 b) 32 c) 34 d) 35 e) 33
11. Calcular:
7
60502
7
74249.7.7E
a) 650 b) 754 c) 755 d) 741 e) 1
12. Determine el inverso multiplicativo de 30A, donde:
a) 1/77 b) -1/77 c) 77 d) -1/30 e) 2/77
13. Reducir: 3 2
2 32 2
a)0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
14. Reduzca la expresión, considere m ,
x
a) 0 b) 1 c) m d) x e) xm
15. Reducir: 54 33 2 a.a.aN
a) 12 47a b) a46/12 c)
12 113 aa d) a11 e) a47
16. Reducir:
8
72 324 324 224 323 4
7
77377.27M
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) N.A.
17. Reducir: aa
a
21
21R
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18. Calcular: 3
1
5
3
3
1
)32(64T
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
19. Calcular: 3 4 3 5 40732 2222I
a) 3
2 b) 3
8 c) 3
4 d) 3
22 e) 1
20. Si 4 25 5
5
x x
xA
y
5 33 3
3
y y
yB
.
Calcular 36A
SB
a) 10 b) 100 c) 100/36 d) 216 e) 600
21. Si 2aa , calcular el valor de E: 1 2aa aE a a
a) 6 b) 12 c) 8 d) 20 e) 32
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Polinomio
Expresión algebraica Es la representación de una o más operaciones algebraicas.
Ejemplos:
E(x) = x3 – 2x + x
3 E(x,y) =
1y
x3xy2
R(x) = 1 + x + x2 + x3 ………..
Clases de expresiones algebraicas
A) Por su forma o naturaleza Expresión algebraica racional. Es aquella que luego de ser reducida o simplificada, presenta en todas las variables del numerador exponentes enteros. Expresión algebraica racional entera. Los exponentes de todas sus variables son números naturales. Ejemplo: P(x; y; z) = 3x2y + z2x2y + 2xy Expresión algebraica racional fraccionaria. Es cuando por lo menos una de sus variables tiene exponentes enteros negativos en el numerador.
Ejemplo: 2 7
2
7 1( , ) 2
3A x y x y
x xyz
Expresión algebraica irracional. Es cuando al menos una de sus variables tiene exponentes fraccionarios o signo radical.
Ejemplo: 21( ) 2
2P x x x
B) Por su número de términos Monomio: 1 término Es aquella expresión algebraica racional en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplos: 8x
5y
3; – 2x; 5
Polinomio: 2 ó más términos.
Ejemplo: 3x2 – 2x + x3 + 8 ; x2 + x – 1 ; x + 2
Nota: si un polinomio tiene 2 términos recibe el nombre de binomio; si tiene 3, recibe el nombre de trinomio. Si tiene "n" términos se le denomina polinomio de "n" términos.
Término algebraico Es una expresión algebraica racional (entera, fraccionaria y/o racional) que consta de una parte numérica (coeficiente) y una parte literal (variables gobernadas solo por las operaciones de multiplicación y potenciación).
Términos semejantes Son aquellos términos algebraicos que sin importar sus coeficientes poseen las mismas variables afectadas del mismo exponente (misma parte literal).
Ejemplos: Son términos semejantes: Igual parte literal:
10x7y-1 ; -8x
7y-1 ;
𝑏
𝑎x
7y-1 x
7y-1
3x1/2
y-1/2 ; 2x
1/2y-1/2
; ax1/2
y-1/2 x
1/2y-1/2
Grado de las expresiones algebraicas Es la categoría que se le asigna a un polinomio racional entero. Tipos de grado Grado relativo (GR): se da respecto a una de sus variables. Grado absoluto (GA): o simplemente grado. Se da respecto a todas sus variables.
GRADOS:
Grado Relativo de un Monomio: Esta dado por el exponente de la variable indicada. M(x, y, z) = 4x
2y
4z
5
GR(x) = 2 GR(y) = 4 GR(z) = 5
Grado Absoluto de un Monomio (G.A.): Esta dado por la suma de los exponentes de las variables. M(x, y, z) = 32x4y5z7
G.A. = 4 + 5 + 7 = 16
Grado Relativo de un Polinomio: Estado dado por el mayor exponente de la variable referida. Ejm.: P(x, y) = 2x4y2 + 6x3y5 + 7x7
GR(x) = 7 ; GR(y) = 5
Grado Absoluto de un Polinomio: Esta dado por el monomio de mayor grado.
P(x, y) =
10
64
7
52
5
23 yx6yx2yx4
G. A. (P) = 10
POLINOMIOS ESPECIALES Son aquellos que presentan ciertas características particulares relacionadas a los exponentes de las variables o a los coeficientes de las mismas. Los más importantes son:
1. Polinomio Mónico:
Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal uno se le denomina mónico.
Ejemplos: A(x) = 1 + x2 + 3x
B(x) = 7 – 2x2 + x
3
C(x) = x
2. Polinomio Ordenado Es aquel donde los exponentes de la variable van aumentando o disminuyendo.
Ejm.: P(x, y) = x16 – 2x10 + x2 + 1
Polinomio Ordenado Descendente
Q(x, y) = 2 + x4 + 5x7 + x10 Polinomio Ordenado Ascendente
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3. Polinomio Completo Es aquel donde aparecen todos los exponentes de la variable, desde el mayor, hasta el término independiente.
Ejm.: P(x) = 6x2 + 2x + 3x3 + 5
4 términos
Q(x) = 2 + x + 3x2 + 5x3 + 4x4 5 términos
Propiedad: En todo polinomio completo se cumple:
# Términos = Grado + 1
Sea: P(x) = 2x2 + 5x + 1
Tiene 3 términos: 3 = 2 + 1
4. Polinomio Homogéneo Es aquel donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.
Ejm.:
a. P(x, y) = º2
2
º2º2
2 yxyx6
b. Q(x, y) = º6
6
º6
33
º6
24 yyx3yx2
5. Polinomio Idénticamente Nulo Es aquel donde para cualquier valor asignado a su variable, el resultado es siempre cero.
P(x; y; z) = Ax2y2 + Bxz2 + Cy3z 0 A = B = C = 0
6. Polinomios idénticos Son aquellos cuyos coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales. Ejemplos: R(x) = (x+7)
2; T(x) = x
2 + 14x +49: son polinomios
idénticos R(x) T(x)
Ejercicios:
b) Hallar el grado del siguiente monomio: M(x; y; z) = – 3a(x2y3)4 . z2
A. 22 B. 26 C. 20 D. 25
c) Sea el polinomio:
F(x; y) = xm + 8.ym – 4 + xm + 7.ym + x2m + 1.y8 ; cuyo
grado es 27. Calcular: G.R.(x) + G.R.(y)
A. 28 B. 30 C. 26 D. 25
d) El polinomio: P(x) = axa + 2 + 3axa + 4 – 4xa; es de grado 8.
Calcular la suma de sus coeficientes.
A. 16 B. 12 C. 14 D. 18
e) En el polinomio:
P(x; y) 2xn+3ym-2z6-n + xn+2ym+3 el G.A. = 16
y G.R.(x) – GR(y) = 5.
Calcular el valor de: 2m + n + 1
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
f) Dado el polinomio:
P(x; y) = xa-2yb+5 + 2xa-3yb + 7xa-1yb+6
Donde: G.A. = 17 G.R.(x) = 4
Calcular: (a - b)2
a) 1 b) 2 c) 4 d) 9 e) 16
g) Si: P(x) = x2 + x – 2; calcular: P(8) + P(2)
A. 56 B. 49 C. 54 D. 74
h) Si: F(2x – 1) = x2 – 3x – 4 ; calcular: F(3) – F(1)
A. – 12 B. – 6 C. 4 D. 0
i) Hallar: a + b
ax2 + bx + 7 k(3x2 – 2x + 1)
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
j) Calcular: m + 2n en:
m(x + n) + n(x + m) 3x - 56
a) -3 b) -2 c) -1 d) 3 e) 5
k) Hallar: a + b + c. Si el polinomio es idénticamente nulo.
P(x) = a(3x2 – x + 2) + b(2x - 1) - c(x2 - x) – 6x
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
l) Si: P(x) es un polinomio completo y ordenado ascendentemente. Hallar: (a + b + c + d)
P(x) = xa+d-1 + 2xb-c+1 + 3xa+b-4
a) 9 b) 10 c) 8 d) 7 e) 11
m) Hallar: (a + b), si el polinomio es homogéneo:
P(x, y) = 3x2a-5y4b + 5x2a-4by3 + x4y9
a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 5
n) Halla el coeficiente del monomio:
P(x; y) = 9m + 1
.3-n
.x3m + 2n
.y5m - n
, si su grado
absoluto es 10 y el grado con respecto a x es 7.
A) 9 B) 3 C) 18 D) 27 E) 81
o) El polinomio:
P(x; y) = mx2y + nx2y - 4x2y + mxy - xy – nxy es
idénticamente nulo. Halla: 4mn
A) 8 B) 12 C) 15 D) 10 E) 18
p) En el siguiente polinomio:
P(x; y) = xmyn - 1 + xm + 1yn - xm-2yn + 2 + xm + 3yn + 1 el GR(x) = 12 y GA(P) = 18. Calcula el GR(y).
A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 5
q) Calcular “a + b”, si los siguientes términos son
semejantes: t1(x; y) = nxa + 1yb + 3 t2(x; y) = xby2b
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
r) Si: F(x + 3) = x2 + 2x – 15; hallar: F(x + 5)
A. x2 + 6x – 7 B. x
2 + 6x C. x
2 – 7 D. x
2 + 5x + 7
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22 ba4
3x
1x 2
2
x
1x
5x
1x
44
x
1x
10
1b.a
5
22
22
)162()162(
)37()37(R
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar polinomios utilizaremos la propiedad distributiva. Ejemplo:
PRODUCTOS NOTABLES
Son aquellas multiplicaciones cuyos productos se obtienen de forma directa sin necesidad de realizar operación alguna.
BINOMIO AL CUADRADO:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
IDENTIDADES DE LEGENDRE:
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
BINOMIO AL CUBO:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
SUMA POR DIFERENCIA DE BINOMIOS:
(Diferencia de cuadrados) (a + b)(a – b) = a2 – b
2
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COM ÚN:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
MULTI PLICACIÓN DE UN BINOMIO POR UN TRINOMIO
: (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 Suma de cubos
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 Diferencia de cubos
PRINCIPALES IDENTIDADES:
Desarrollo de un trinomio al cuadrado:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
Desarrollo de un trinomio al cubo:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc
Identidad trinómica (Argand):
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
IGUALDADES CONDICIONALES:
Si: a + b + c = 0 , se cumple:
I. a3 + b3 + c3 = 3abc
II. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)
III. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
Nota: Sean: a; b; c ∈ lR y m; n ∈ lN
a2n + b2m = 0 ⇒ a = b = 0
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ⇒ a = b = c
Ejercicios:
1. Sabiendo a + b = 11; ab = 20. Calcular:
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7
2. Si: x + y = 3 xy = 1
Indicar el valor de: (x - y)2
a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 1
3. Si: . Calcular:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8
4. Si: . Dar el valor de:
a) 5 b) 7 c) 25 d) 13 e) 10
5. Si:
Hallar el valor de: W = (5a + 3b)2 - (5a - 3b)2
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
6. Dar el valor más simple de:
a) 5 b) 10 c) 25 d) e) 15
7. Simplificar:
a) 1 b) 0.2 c) 0.4 d) 0.5 e) 2
8. Reducir:
A = (x + y)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8)(x - y) + y16
a) x b) 2x2 c) x4 d) x16 e) x8
9. Simplificar: (x + 1)2 – (x + 2)2 – (x + 3)2 + (x + 4)2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. Efectuar: (4x + 3)(2x + 1) – 8(x + 1)2 + 6(x + 2)
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
11. Efectuar: (x + 1)(x + 2) – (x + 3)2 + (x– 3)2 – (x– 4)(x– 5)
A. – 14 B. – 16 C. – 18 D. – 20
12. Efectuar: (x + 4)3 – (x + 3)(x + 4)(x + 5)
A. x + 4 B. x + 3 C. x + 2 D. x – 1
13. Hallar el área de la siguiente figura:
A. 10x2 + 30x + 45
B. 10x2 + 34x + 15
C. 15x2 + 34x + 45
D. 15x2 + 30x + 15
14. Efectuar: (x + y + 1)3 – (x + y)3 – 3(x + y)(x + y + 1)
A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 1
15. Reducir: (x2 + 8x + 11)2 – (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
16. Si: a = 2 1 b = 2 1
Calcular el valor de: a2 + b2 + 3ab A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
16 16842 1)15)(15)(15)(15(26T
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17. Si: a + b + c = 0 ; reducir:
(2a + b + c)3 + (a + 2b + c)3 + (a + b + 2c)3
A. – 3 B. 3abc C. – 3abc D. 3
18. Si: x = 2 3 5 y = 2 3 5
Evaluar: N = (x + 1)2 + (y + 1)2 + 2xy – 1
A. 23 B. 25 C. 34 D. 36
19. Si: m + n = 5 mn = 1 ; calcular: (m2 – n2)2
A. 25 B. 5 C. 5 D. 5 5
LOGARITMO
Definición. Se denomina logaritmo de un número real positivo, al exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesto.
Entonces: LogbN = N = b
Donde:
= Logaritmo; R
b = base; b > 0 ; b 1 N = número al cual se le toma logaritmo. N > 0
Ejemplos:
Log525 = 2 ; porque: 25 = 52
Log1/3
9 = -2 ; porque: 9 = (1/3)-2
Log31 = 0 ; porque: 1 = 30
Identidad Fundamental: NbNb
Log
x > 0 a R+ - {1}
Ejemplos:
1. 53 53Log
2. 98 9Log8
Observación:
decimalesaritmoslogllamansearitmoslogdetipoEste
10ogNLNogL
Ejemplos:
1. Log100 x10Log 210
102 = 10x
2. Log1000 x10Log 310
103 = 10x
NdenaturalaritmologcomoconocesearitmologdetipoEste
e NlogLnN
Ejemplos:
1. Ln e xeLoge e1 = ex , x = 1
2. Lne5 = 5 3. Lne6 = 6
Debemos saber: Log2 0,3 Log10 = 1
Log3 0.47 Log5 0,69
PROPIEDADES:
a) 01Logb
Ejemplo Log31 = 0
b) 1bLogb
Ejemplo Log33 = 1 ; log
55 = 1
c) Logxab = Log
xa + Log
xb (a, b, x R+)
Ejemplo
Log10
6 = Log10
2 + Log10
3
= 0,3 + 0,47 = 0,77
d) Logx(a/b) = Log
xa - Log
xb (a, b, x R+)
Ejemplo
Log10 2
3 = Log10
3 - Log10
2
= 0,47 - 0,3 = 0,17
e) NLogm
nNLog a
nma
(n R; m R; N > 0)
Propiedad del Sombrero
Ejemplo
1) 3Log3
23Log
52
35
2) 2Log4
32Log
33
43
3) 3Log23Log5
215
4) 2Log2
12Log
31
23
f) bLogaLog
1a
b
Propiedad Inversa
Ejemplo
1) 2Log3Log
13
2
2) 2Log6Log
16
2
x = 2
x = 3
Este sistema fue implementado por Neper cuya base es
e 2,718…
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g) Cambio de base.
bLog
aLogaLog
x
xb
Ejemplo 1: 3Log8Log
3Log
85
5
Ejemplo 2: 3Log3
5Log3
2
3Log
5Log
27Log
25Log
2
2
32
232
2
8
5Log9
23
BLOQUE I
1. Determina los siguientes logaritmos.
a) Log30 =
b) Log2
3=
c) Log24 =
d) Log39 =
e) Log36 =
2. Aplicando la identidad fundamental determinar
el valor de las siguientes expresiones:
a) 5
3Log
3 =
b) 2
5Log
5 =
c) 5
4Log
43 =
d) 2
4Log2
4 =
e) 37Log3
7 =
f)
25
Log543 =
3. Determinar el valor de:
E = Log10 + Log1000 + 1
a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
4. Determinar el valor de:
A = Log104 + Log
ee
5 + Ine
a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 10
5. Hallar “x” en cada uno de los siguientes logaritmos:
a) Log39 = x
b) Log5625 = x
c) Log5x = 2
d) Logx25 = 2
e) Logx36 = 2
6. Hallar: “E ” Si: 3Log2Log
6LogE
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
7. Indicar el valor de:
4
3Log
3
2Log
2
4LogA
222
a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) 4
8. Si: Log2 = 0,3 Log3 = 0,4
Hallar el valor de: E = Log39 + Log
24 + Log6
a) 1,4 b) 4,3 c) 4,7 d) 4,9 e) 5,3
9. Indicar el valor de:
a) Log327 =
b) 8Log2
=
c) 325
5Log =
d) 3Log3
=
10. Hallar “x” en: 3
5Log
5100Logx a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
BLOQUE II
1. Calcular:
9
1Log
3,0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4
2. Simplificar:
243
32Log
81
50Log
16
75LogG
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Calcular: 12
3
3Log2Log
1E
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Reducir: (Log23 + Log
25) . Log
152
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. Calcular: 2LogM64
6. Calcular: 3 2
33LogM
7. Indicar el valor de:
3
1Log27LogE
232/13
a) 4/3 b) 5/2 c) ½ d) 3/2 e) 4/5
8. Reducir: 3( 10 )
3Log Log Lne
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. El valor de “x” en la ecuación:
1)8(Log3
1)16(Log
2
1)x(Log
es: a) 18 b) 20 c) 10 d) 30 e) 25
10. Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4
a) 0,5 b) 1 c) -5 d) 2 e) -1/2
11. Calcular: 22LogLog816
a) -1/4 b) 4 c) -4 d) 1/2 e) -8
I.E. “Teodosio Franco Garcia” Matemática Cuarto Secundaria - 2016
Equipo de Matemática http://luiscanedocortez.blogspot.pe/ Prof. Luis Cañedo Cortez
TEMA: LOGARITMOS – PROPIEDADES
1. Cologaritmo. Cologaritmo de un número se define como el logaritmo de la inversa del número dado.
cologbN = - logbN Ejemplo 1: colog25 = - log25
Ejemplo 2:
3Log3
13Log
3
1Log3logCo
31
332727
= 3
1
2. Antilogaritmo
Nb
bNaritmologAnti
Nota: Logb(antilogbN) = N
Antilogb(logbN) = N
Ejemplo 1: Antilog23 = 23 = 8
Ejemplo 2: Antilog3[antilog23 – 7]
= Antilog3[23 – 7] = 31 = 3
3. Regla de la cadena.
Logba . Log
cb . Log
dc = Log
da
Ejemplo
Log35 . Log
23 . Log
252 = Log
255 = 5Log 2
5
= 2
15Log
2
15
EJERCICIOS: 1. Transforma y simplificar de ser posible:
a) Log2 a base 3
b) Log9 a base 3
c) Log5 a base 5
d) Log32 a base 2
e) Log75 a base 5
f) Log62 a base 2
g) Log916 a base 32
2. Hallar aquello que se indica en cada caso:
a) colog24
b) colog5125
c) colog20,5
d) colog2(log381)
e) colog4(log5625) Rpta: - 1
f) log log 6426
co Rpta: - 2
g) antilog2(log27)
h) antilog3(log381)
i) antilog(colog100) Rpta: 1/100
j) antilog2(log83) Rpta: 3 3
k) antilog2(log162) Rpta: 4 2
3. Indicar el producto de logaritmos:
a) Log2
3 . Log3
2 =
b) Log5
2 . Log2
5=
4. Hallar: nmmn nLog.mLogE
Siendo (m, n Z+ > 10)
a) m + n b) n
m c)
m
n d) 1 e)
nm
nm
5. Evaluar: A = Log53 . Log
27125
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Indicar el valor de: E = Log53 . Log
34 Log
47
a) Log37 b) Log
47 c) Log
75 d)
5Log
1
7
e) N.A.
7. Hallar: M = Log53 . Log
47 . Log
36 . Log
64
a) Log37 b) Log
73 c) Log
75 d) Log
57 e) Log
53
8. Determinar el valor de: E = Log53 . Log
35
a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
9. Determinar: “E2”
Si: E = Log3 . Log710 . Log
37
a) 1 b) 4 c) 16 d) 9 e) 25
10. Hallar: “M”
Si: 3
4Log.4
3Log 5
3Log
95
Log.53
Log
3
5M
a) 25 b) 25/4 c) 25/3 d) 5 e) 1
11. Calcular:
E = - Colg4Antilog2log2antilog24 A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) N.A.
12. log3(log216 + 5) + antilog32
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
13. log log 81 log 253 52
anti
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Calcular
K= 49logloglogloglog 752532 anticoantianti
a) 2 b) 3 3 c) 3 d) 3 2 e) N.A
15. Calcular “x” en:
813logloglog 224 antiantianti x
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
16. Reducir:
R= 25log5log512log 932 coCo
a) -5 b) -7 c) -9 d) -11 e) 7
17. Reducir
P= 5loglog5loglog2log 22333 antiantianti
a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20
18. Calcular:
5
22Log50
5
1Log
32,03
4,0
a) 5/6 b) 1/3 c) ½ d) 1/6 e) 5/3
I.E. “Teodosio Franco Garcia” Matemática Cuarto Secundaria - 2016
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19. Reducir: 8
5Log
57Log7
2Log
25
Log
25LogA
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
20. Calcular: 5 8
log 6 log36 1,5 27
P
a) 4 b) 5 c) 4,5 d) 4,25 e) 4,75
21. Hallar: 3 54log 9 log 2 log 53 4 5
R
a) 1/60 b) 1/30 c) 1/10 d) 1/40 e) 1/50 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
I. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 1. 6
x – 9(2
x) – 4(3
x) + 36 = 0 Rpta: 2
2. 15x – 5
x – 125(3
x) + 125 = 0 Rpta: {0; 3}
3. 6x – 4(3
x) – 9(2
x) + 36 = 0 Rpta: 2
4. 6x – 3(2
x) – 16(3
x) + 48 = 0 Rpta: {1; 4}
5. 3x + 3
x – 1 + 3
x – 2 + 3
x – 3 + 3
x – 4 = 121
Rpta: 4
II. Determinar el valor de x en las siguientes ecuaciones logarítmicas:
1. log2x = log43 Rpta: 3
2. log2x = log2(3x – 12) Rpta: 6
3. log3x = log92 Rpta: 2
4. logx + logx3 = 16 Rpta: 104
III. Resolver los siguientes problemas:
1. Hallar “x” en: logx + log(x+1)=colog6-1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Hallar “x” en: antilog25 = 32
x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Hallar: “E”
Si: ...........xxxE
Además: x = Antilog5Log
52
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
4. Resolver: Antilog5x = 3
a) Log53 b) Log
35 c) Log3 d) Log5 e) Log10
5. Resolver:
13log8x.logx8 + logx3x + logx16 = 16 + logx
29
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. Calcular “x”:
log3(2x + 1) + log1/3(x + 8) = 0 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7. Calcular “x”, en: log2x + log4x = 3
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16
8. Hallar “x” en: Logx = Log25 . Log
52
a) 1 b) 0 c) 10 d) 100 e) 1 000
9. Determinar el valor de x en la ecuación:
log2[log2(colog2x)] = 0
a) ¼ b) 1/3 c) 2 d) 4 e) ½
10. Resolver la ecuación: log log 22 2
2 log 2
x x
x
y
dar como respuesta la suma de las raíces
obtenidas.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
11. Hallar x a partir de: 5x + 2
– 10 = 5x + 1
a) Log(2/5) b) –log(2/5) c) –log2/log5 d)
log2/log5 e) log(2,5)
12. Resolver: log2x + log8x = 4
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16
13. Hallar x en: log 5232 3 log 1
5
x
a) log3
log5 b) log5
log3 c) log5
5log3 d) log3
3log5 e) log3
5log5
14. Hallar el valor de x en:
2logx + 1 = log45 + log25 – log32
a) 15/8 b) 8/15 c) 2/15 d) 4/15 e)
15/4
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