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SERIES INFINITAS
Gregory Batista
¿Que es una serie?
Una serie es una es la suma de los términos de una sucesión. Esta se representa con el termino de an como la siguiente figura siendo N el valor final de la serie. Las series infinitas es donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.
an= ∑Ni=1 ai
Series infinitas
una aplicación importante de la sucesión
infinita es la representación de las sumas
infinitas. Informalmente si {an } es una
sucesión infinita, entonces:
∑∞n=1 = a1 + a2 + a3 +…+ an
A esto se le llama una serie infinita. Los
números a1 , a2 , a3 , an son los términos
de la serie.
Sucesión de sumas parciales.
Para encontrar la suma de una serie infinita, se debe considerar la siguiente sucesión de las sumas parciales.
S1= a1
S2= a1 + a2
S3= a1 + a2 + a3
Sn= a1 + a2 +a3 + … + an
Continuación sucesión de
sumas parciales. La sucesión de sumas parciales Sn Para las
series.
, , , etc.
La serie es convergente si su sucesión es de su sucesión nos da un resultado =S tomando como S que es la suma de la serie si S no existe entonces se dice que la serie es divergente.
Un ejemplo de las sumas parciales seria
Continuacion sumas
parciales. Por fracciones parciales el termino
general “a” a la n de la serie se
puede escribir
de tal modo la suma parcial n-esima
de la serie toma todos los numeros
reales.
Definición de serie convergente y
divergente.
Dada una serie infinita la n-esima
suma parcial esta dada por :
Si la sucesión de la suma parcial es { sn } converge a
S, entonces la serie es convergente esto significa
que sn tiende a un limite infinito.
Una serie divergente es una serie por lo cual los
términos individuales no tienden a cero. Un
ejemplo cuyos términos se aproximan a cero es la
serie armónica.
∑∞n=1 = an
Sn= a1 + a2 +a3 + … + an
Serie geométrica
Una serie geométrica
es una serie en la cual
cada termino se
obtiene multiplicando
el anterior por una
constante, a la cual
llamamos razón. La
razón Z, es
convergente, solo si
|z|<1, a:
Serie geométrica
continuacion Todo decimal repetido es una serie
geométrica convergente. Exprese el
decimal repetido 0.121212 como un
cociente de enteros 12/100 +12/10
000+ 12/1 000 000= 0.121212.
Serie armonica
La serie armónica se define como una serie infinita.(serie divergente)
Puesto que la longitud de onda de los armonicos de la cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie.
Serie armonica
También sabemos que es la suma por
los recíprocos de todos lo números
reales .
Serie alternada
Es una serie donde los terminos
alteran el signo. Esta serie es
convergente.
Ejemplo:
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