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Presentación de mi autoria de como podemos de manera sencilla y paso a paso resolver diferentes sistemas de ecuaciones 2x2 por os diferentes metodos
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SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2
ING ORLANDO MARIO FUENTES GUEVARA
ING DE MINAS UFPS CUCUTA
La presente presentación tiene como objetivo
mostrar de una forma muy clara la diferentes formas de solucionar sistemas de ecuaciones 2x2 ya que a muchos estudiantes de 9 grado se les dificulta un sistema de ecuaciones 2x2 son aquellos sistemas el cual cuenta con dos incógnitas y dos ecuaciones ya se cuentan con calculadoras que las resuelven pero es bueno conocer los diferente métodos de solución que existen y el estudiante escoja el que más fácil le parezca.
INTRODUCCION
Los diferentes sistemas de ecuaciones que se
conocen son los siguientes:1. Por sustitución.2. Por igualación.3. Por reducción o suma y resta.4. Por determinantes.5. Método grafico.
SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2
Este método consiste en que se tiene dos
ecuaciones de dos incógnitas y se escoge una de las ecuaciones y se despeja la incógnita que se dese despejar y luego remplazar en la ecuación que se dejo quieta y resolverla como se resuelve en un sistema de ecuaciones de una sola incógnita.
Consejos: busca la incógnita mas fácil de despejar para que no se te complique lo demas.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE SUSTITUCION
Ejemplo de manera explicativa paso por paso. sea el sistema
Lo primero que hacemos es escoger la ecuación que se desea despejar para dejarla en función de la otra incógnita en este caso escogemos la ecuación (1) 3X+Y =11 y despejamos y quedando así.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE SUSTITUCION
Y= 11-3X queda la variable y en función de x. Luego remplazamos Y en la ecuación (2) quedando de la siguiente
manera: 5X-11+3X=13. Ya teniendo esto resolvemos las x de un lado y las variables
independientes del otro lado quedando así: 5X+3X=13+11 resolvemos y recordemos que lo que suma pasa del otro lado negativo y viceversa. luego de resolver queda de la siguiente manera: 8X=24 ya aquí recordemos lo que multiplica del otro lado sale a dividir y viceversa. Nuestra ecuación queda así : X=24/8 donde X=3. Ya conociendo el valor de X remplazamos en cualquier ecuación ese
valor y hallamos Y .
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE SUSTITUCION
Remplazamos en la ecuación (2) el valor de X
el cual quedaría así: 5(3)-Y=13 y despejamos Y recordando que lo
que suma de un lado pasa a restar y multiplica de un lado pasa a dividir y viceversa.
Resolviendo quedaría así: 15-Y=13 , Y =15-13 , Y=2
Finalmente queda nuestro sistema de ecuaciones resuelto X=3 Y=2.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE SUSTITUCION
Este método consiste en coger las dos
ecuaciones y despejar las misma incógnitas que queden en función de la misma incógnita y luego igualamos y resolvemos como se resuelve un sistema de ecuaciones de una sola incógnita.
recordando que lo que suma de un lado pasa a restar y lo que multiplica pasa a dividir del otro lado y viceversa.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE IGUALACION
Ejemplo de manera explicativa paso por paso. sea el sistema
Lo primero que hacemos es despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita en este caso la Y por que sale mas fácil de remplazar y sin compliques.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE IGUALACION
La ecuaciones quedan así: Ecuación (1) Y=11-3X Ecuación (2) Y=5X-13
quedando ecuación 3 y 4. Ahora hacemos 3=4 quedando así: 11-3X=5X-
13 resolvemos y recordando lo mencionado anteriormente.
Ahora quedaría esta ecuación de esta manera: -3X-5X=-13-11 y resolviendo nos queda así: -8X=-24 dejamos X solo para saber su valor quedando: X=-24/-8X=3
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE IGUALACION
Luego que hallamos la variable X ahora
remplazamos en cualquier ecuación el valor de X y hallamos Y
Escogemos la ecuación (1) y queda de esta forma:
3(3)-Y=11 resolviendo 9-Y=11 , Y= 11-9 , Y=2 X=3 Y=2.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE IGUALACION
Este método también conocido como suma y
resta consiste en realizar sumas y restas con el objetivo de eliminar una de las incógnitas o sea que el valor de una de las incógnitas quede positiva y la otra negativa con el mismo valor absoluto y despejar la incógnita que nos quedo.
recordando que lo que suma de un lado pasa a restar y lo que multiplica pasa a dividir del otro lado y viceversa.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE REDUCCION
Ejemplo de manera explicativa paso por paso. sea el sistema
Lo primero que hacemos es ver que incógnita es mas fácil de eliminar y analizamos que la incógnita Y sale más sencilla de eliminar resolviendo quedaria.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE REDUCCION
3X+Y=115X-Y=13________8X+/- 0 =24 Ya teniendo esto hallamos X que quedaría así:
X=24/8 X=3. En cualquier ecuación despejamos el valor de
X pero ahora eliminaremos la variable X .
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE REDUCCION
témenos el sistema
Ahora como se dijo eliminaremos X para eso tenemos que nos queda mismo valor absoluto pero diferente signo y para que se cumpla multiplicamos ecuación (1) por 5 y ecuación (2) por -3 quedando asi.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE REDUCCION
15X+5Y=55 (*5)-15X+3Y=-39 (*-3)____________0 +8Y=16 Buscamos el valor de Y quedando : Y=16/8 , Y =2 X=3 Y=2
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE REDUCCION
Una de las aplicaciones más importantes de
los determinantes la encontramos en la resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Así se puede adicionar otro método de resolución de éste sistema de ecuaciones a los vistos anteriormente.
Sea el sistema de ecuaciones:
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE DETERMINATES
Resolviendo éste sistema de ecuaciones por
alguno de los métodos de eliminación vistos anteriormente, por ejemplo sustitución se tiene:
de la ecuación
se despeja la variable x, para luego sustituirla en la otra ecuación:
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE DETERMINATES
Al sustituir el valor de x en la ecuación (2):
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE DETERMINATES
Ahora remplazando este valor en cualquiera
de las dos ecuaciones iniciales, resulta el valor de x:
Los valores encontrados para las dos variables se pueden escribir también:
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE DETERMINATES
Ejemplo de manera explicativa paso por paso. sea el sistema
Lo primero que se hace es meter los valores numérico en la matriz o determinante teniendo en cuenta la variable a encontrar.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE DETERMINATES
Para X seria: X=
Ahora aplicamos la multiplicación en cruz según estas formulas
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE DETERMINATES
11 113 -1
3 15 -1
Resolvemos: X= (11)*(-1)-(1)*(13) (3)*(-1)- (5)*(1) X= (-11)- 13 (-3) – 5 X= -24/-8 X= 3
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE DETERMINATES
Para Y seria: Y=
Ahora aplicamos la multiplicación en cruz según estas formulas pero ahora para Y
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE DETERMINATES
3 115 13
3 15 -1
Resolvemos: Y= (13)*(3)-(11)*(5) (3)*(-1)- (5)*(1) Y= (39)- 55 (-3) – 5 Y= -16/-8 Y= 2 Finalmente queda resuelto X=3 Y=2
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE DETERMINATES
Este método consiste en despejar la variable Y
en las dos ecuaciones y dejarla en función de X hay dos formas de realizarlo:
Por intercepto : que consiste en hacer X=0 cuanto vale Y e Y =0 cuanto vale X en las dos ecuaciones como una línea recta es la distancia mínima entre dos puntos graficamos los puntos en el plano cartesiano y vemos que sucede.
Tablas: dando valores a X encontramos valores de Y e graficamos.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO GRAFICO
Diferentes formas de graficas: aquí se presenta
3 tipos de graficas que son las siguientes: Líneas paralelas: son líneas que no se cruzan
en ningún punto y allí no existe solución alguna al sistema.
Líneas oblicuas o perpendiculares: son líneas que se cruzan en un punto en común y allí existe solución única.
Líneas que tiene muchos puntos en común nos dice que tiene infinitas soluciones.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO GRAFICO
Ejemplo de manera explicativa paso por paso. sea el sistema
Lo primero que hacemos es despejar Y para que quede en función de X quedando de esta forma:
Ecuación (1) Y=11-3X Ecuación (2) Y=5X-13 Ya teniéndolas despejadas resolvemos por
intercepto o por tabulación en este caso lo hare por intercepto por que es mas corto y rapido.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO GRAFICO
Teniendo las ecuaciones (1) Y=11-3X (2) Y=5X-13
decimos: X=0 Y seria igual Y=11-3(0) Y= 11 Y=5(0)-13 Y=-13 (0,11) (0,-13) Y=0 X seria igual 0=11-3(X) X= 11/3 0=5(X)-13 X=13/5 (11/3,0) (13/5,-13) Graficamos esos puntos.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO GRAFICO
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO GRAFICO
La anterior es la grafica de las ecuaciones
propuestas vemos que hay un punto de corte nos dice que allí es la solución del sistema de ecuaciones y nos indica que es de única solución donde X=3 Y=2.
SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO GRAFICO
Aurelio baldor Álgebra de Baldor
Publicaciones Cultural, S.A. de C.V (México D.F.).
http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/sistemas_ecuaciones/ap10_determinantes.php#.UMbk7W8e7gE
BIBLIOGRAFIA
Logramos aprender de una forma paso a paso
de como resolvemos sistema de ecuaciones 2x2.
Buscamos recordar como despejar bien y sin errores.
analizamos y podemos escoger el método mas sencillo de resolverlas que todos llegaran a la misma respuesta.
CONCLUSIONES
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