Spin. problemas resueltos 4

La La mecánica cuántica del del SPIN

Por Juan Calderón

Fundamentos TeóricosFundamentos Teóricos

Dada una matriz hermitiana [H] de 2x2. Podemos construir a partir de ella una transformación unitaria definida por la matriz:

Donde lo anterior se explica así:

2

...2

iH HS e I iH

limn

iH

n

iS I iH I H e

n

2SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

Dada una matriz:

Producto de una transformación unitaria:

Esta tiene los mismos valores propios que la matriz original

Las transformaciones unitarias poseen las siguientes propiedades:

TransformacionesTransformaciones UnitariasUnitarias

1'n nS S

'n

n

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Propiedades de las matrices de Propiedades de las matrices de PauliPauli

A continuación las relaciones de conmutación de las matrices de Pauli

Ahora establecemos los cuadrados de las matrices:

y

[ , ] 2i j i j j i ki , , { , , }i j k x y z (1)(1)

2 2 2 2 3x y z I

2n I

(2)(2)

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ProblemaProblema: Transformaciones a las : Transformaciones a las matrices de Paulimatrices de Pauli

Demuestre que las relaciones de conmutación (1) y la relación (2) se cumplen para las matrices , y dado que son producto de una transformación unitaria de las matrices de Pauli. Así:

'y 'z

1'n nS S

'x

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Solución:Solución:

Con respecto a la ecuación (1) La ecuación indicial de conmutación nos dice:

Igualdad que se mantiene después de

aplicar el operador transformación unitaria a ambos lados.

[ , ] 2i j ki

1 1[ , ] {2 }i j kS S S i S

6SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

Desarrollando…

Recordando que para una matriz unitaria:

1 1 12 [ ]i j j i kS I S S I S i S S

1 1 1[ , ] { } {2 }i j i j j i kS S S S S i S

1 1SS S S I

1 1 1 1[ ][ ] [ ][ ] 2 'i j j i kS S S S S S S S i

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QEDQED

{ ' ' ' ' } [ ' , ' ] 2 'i j j i i j ki

[ ' , ' ] 2 'i j ki

1 1 1 1[ ][ ] [ ][ ] 2 'i j j i kS S S S S S S S i

8SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

QEDQED

B) Ahora partimos de que:

2n I

2 1 1nS S SIS

1 1 1 1{ }{ } { } { }n nS S S S S S I S S

2'n I

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Material consultadoMaterial consultado

Griffiths, D. (1995). Introduction to Quantum Mechanics (Primera ed.). New Jersey: Prentice Hall.

Supriyo Bandyopadhyay, M. C. (2008). Introduction To Spintronics. Boca Raton, FL: CRC Press.

WIKIPEDIA. (s.f.). WIKIPEDIA. Recuperado el 2011 de 04 de 28, de WIKIPEDIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%ADn

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