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MATEMÁTICA II. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 1: FUNCIONES
TRASCENDENTES.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1
PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática II (Cálculo integral) para
estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería
Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de
Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las
respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido
programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y
exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática II en los núcleos de
Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía
especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y
responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma
integrada de información existente en la literatura.
Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con
fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es
libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física, así como las sugerencias que
tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través
de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,
correo electrónico: medinawj@udo.edu.ve ó medinawj@gmail.com, twitter: @medinawj ó
personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,
Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se
desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y
Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.
En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela
(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de
Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual
comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el
Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.
Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,
Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción
y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte
del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento
químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta
finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de
Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo
de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas
tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),
Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos
Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es
autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,
Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,
Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería
Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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1.1.- FUNCIONES INVERSAS.
Definición de función uno a uno. Criterio de la recta horizontal.
Definición 1.1. Función uno a uno.
Se dice que una función f es uno a uno si cada número de su contradominio corresponde a
exactamente un número de su dominio; es decir, para toda 1x y 2x del dominio de f
Si 21 xx , entonces )()( 21 xfxf ↔ )()( 21 xfxf sólo cuando 21 xx .
Esta definición quiere decir que si y es una función de x uno a uno (denotada también 1-1),
dos valores distintos de x no pueden corresponder al mismo valor de y, y recíprocamente.
Otro nombre para una función uno a uno es inyectiva.
Criterio de la recta horizontal.
Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal intersecta la gráfica de la
función a lo más en un punto.
En los ejercicios siguientes, utilice el criterio de la recta horizontal para determinar si la
función es uno a uno.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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(19)
(20)
Función monótona.
Si una función es creciente o decreciente en un intervalo, entonces se dice que es monótona
en ese intervalo.
Teorema 1.1.
Sea f una función continua en el intervalo cerrado ],[ ba y diferenciable en el intervalo
abierto ),( ba :
i) Si 0)( xf para toda x en ),( ba , entonces f es creciente en ],[ ba .
ii) Si 0)( xf para toda x en ),( ba , entonces f es decreciente en ],[ ba .
Teorema 1.2.
Si una función es monótona en un intervalo, entonces es uno a uno en el intervalo.
Definición 1.2. La inversa de una función.
Si f es una función uno a uno considerada como el conjunto de pares ordenados ),( yx ,
entonces existe una función 1f , llamada inversa de f, que es el conjunto de pares
ordenados ),( xy definida por )(1 yfx si y sólo si )(xfy
El dominio de 1f es el contradominio (rango) de f y el contradominio (rango) de
1f es
el dominio de f.
Existencia de la función inversa.
No todas las funciones tienen inversa. De hecho, para que una función f tenga inversa, es
necesario que f sea uno a uno.
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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En los ejercicios siguientes, usar la derivada para determinar si la función es estrictamente
monótona en su dominio y, como consecuencia, tiene inversa.
21. xxxxf 126)( 23 22. 32)( xxxf 23. 2
4
24
)( xx
xf
24. 7
13)(
2
x
xxf 25.
1
32)(
x
xxf 26. x
x
xxf 2
15
42)(
27. )3(ln)( xxf 28. )12(ln2)( 2 xxxf 29. xxf sen 2)(
30.
2
3cos)(
xxf
Restricción del dominio para que la función inversa exista.
Es posible que una función f definida en un intervalo I no sea uno a uno, y por lo tanto no
posea función inversa en dicho intervalo. Un ejemplo tal es la función ilustrada en la figura
siguiente, la cual no posee inversa en el intervalo ),( .
En estos casos es posible restringir el dominio de la función f como un subintervalo de I en
el cual la función inversa exista. La función inversa existirá siempre que tomemos
subintervalos de I que no contengan puntos críticos de f (en otras palabras, subintervalos
que no contengan extremos relativos ni asíntotas verticales de la gráfica de la función).
Para el ejemplo citado en la figura, la función inversa existe si tomamos los intervalos
)1,( , )3,1( y ),3( o cualesquiera intervalos que estén contenidos en ellos.
Matemáticamente, para seleccionar intervalos apropiados en los cuales la función inversa
exista, debemos definir subintervalos delimitados por puntos críticos sucesivos de la gráfica
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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de la función, esto es, valores de x en los cuales 0)( xf ó )(xf no existe. Es importante
resaltar que si una función es uno a uno en un intervalo I, será uno a uno en un intervalo de
menor tamaño contenido en I.
Cálculo de la inversa de una función.
Para determinar la función inversa de una función dada, se debe:
1.- Despejar x de la función original: )(yfx
2.- Hacer el intercambio de variables: )(1 xfx , xy
En los ejercicios siguientes, determine si la función tiene inversa. Si la inversa existe,
determínela y establezca su dominio y rango. Si la función no tiene inversa, restringir el
dominio para que tenga inversa.
31. 34)( xxf 32. 25)( xxf 33. 13
)( x
xf
34. 13)( 2 xxxf 35. 2)( 3 xxf 36. 3)2()( xxf
37. 22 )1()( xxf 38.
2
13)(
x
xxf 39.
42
13)(
x
xxf
40. 63
3)(
x
xxf 41.
2
2
3
2)(
x
xxf
42. 13)( xxf
Teorema 1.3.
Si f es una función uno a uno y tiene a 1f como su inversa, entonces
1f es una función
uno a uno y tiene a f como su inversa. Además,
xxff ))((1 para toda x en el dominio de f.
y
xxff ))(( 1 para toda x en el dominio de
1f .
En las siguientes funciones determine )(1 xf y demuestre que xxff )]([1
;
xxff )]([ 1.
43. 35
21
)2(1)( xxf 44. 35
23
)2(1 xy 45. 5)2()( 33 xxf
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46. 3)2(1 xy 47.
53
11
1)(
5
3
xxf 48. 53 )1()( xxf
49. 5
32 )13()( xxf 50.
92
82
3
3
31
31
x
xy 51. 44 24 xxy
Es posible que una función sea su propia inversa. Esta situación ocurre cuando al
determinar la inversa de la función, se encuentra que es la misma función original, esto es,
)()( 1 xfxf . Otra forma de determinar que una función es su propia inversa es haciendo
la composición de la función consigo misma, en cuyo caso el resultado debe ser x
xxff ))(( .
En los ejercicios siguientes, demuestre que la función es su propia inversa.
52. 1
6)(
x
xxf 53.
1
2)(
x
xxf
54. 216)( xxf , 40 x
55. Determine el valor de k de modo que la función uno a uno f, definida por kx
xxf
5)(
sea su propia inversa.
En los ejercicios siguientes, demuestre que la función f es su propia inversa para cualquier
constante k.
56. 1
)(
x
kxxf 57.
kx
xkxf
1)(
58. Muestre que la función definida por 1
)(
xk
hxxf es su propia inversa para
cualesquiera valores de las constantes h y k.
Gráfico de la función inversa.
Una propiedad importante de una función y su inversa es la simetría con respecto a la recta
y = x cuando se grafican simultáneamente en un sistema de coordenadas cartesianas.
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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La gráfica de f contiene el punto ),( ba si y sólo si la gráfica de 1f contiene el punto
),( ab .
59. En los ejercicios siguientes, haga un esbozo de la gráfica de la función inversa de la
función dada.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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(7)
(8)
(9)
60. Verdadero o falso.
En los ejercicios siguientes, determinar cuál de las sentencias es verdadera o falsa. Si es
falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa.
a) Si f es una función par, 1f existe.
b) Si la función inversa de f existe, entonces la intersección en y de f es una intersección en
x de 1f .
c) Si nxxf )( donde n es impar, entonces
1f existe.
d) No existe ninguna función f tal que 1 ff .
1.2.- FUNCIONES TRASCENDENTES.
Funciones algebraicas.
Funciones en cuya ecuación funcional intervienen sumas, diferencias, productos, cocientes,
potencia y raíces de polinomios. Ejemplos: Polinomios, funciones racionales, funciones con
radicales.
Funciones transcendentes.
Funciones cuya ley de asociación no se puede representar mediante términos racionales o
algebraicos. Ejemplos: Exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas
inversas.
Funciones trigonométricas.
Equivalencia entre unidades de medición de ángulos.
radº180
1. En los ejercicios siguientes, obtenga la medida equivalente en radianes.
a) 60º b) 135º c) 210º d) –150º e) 20º f) 450º
g) –75º h) 100º i) 45º j) 120º k) 240º l) –225
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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m) 15º n) 540º ñ) –48º o) 2º
2. En los ejercicios siguientes, obtenga la medida equivalente en grados.
a) rad 41 b) rad
32 c) rad
611 d) rad
21 e) rad
21 f) rad 3
g) rad 2 h) rad 121 i) rad
61 j) rad
34 k) rad
43 l) rad 5
m) rad 31 n) rad 5 ñ) rad
1211 o) rad 2.0
Evaluación de funciones trigonométricas en ángulos notables.
(rad) (º) sen cos tan csc sec cot
0 0° 0 1 0 1
61 30° ½ 2/3 3/1 2 3/2 3
4
1 45° 2/1 2/1 1 2 2 1
3
1 60° 2/3 ½ 3 3/2 2 3/1
2
1 90° 1 0 1 0
32 120º 2/3 – ½ 3
3/2 – 2 3/1
43 135º 2/1 2/1 – 1 2 2 – 1
65 150º ½ 2/3 3/1 2 3/2 3
180° 0 – 1 0 – 1
67 210º – ½ 2/3 3/1 – 2 3/2 3
45 225° 2/1 2/1 1 2 2 1
34 240º 2/3 – ½ 3 3/2 – 2 3/1
2
3 270° – 1 0 – 1 0
35 300º 2/3 ½ 3
3/2 2 3/1
47
315º 2/1 2/1 – 1 2 2 1
6
11 330º – ½ 2/3 3/1 – 2 3/2 3
2 360° 0 1 0 1
Valores notables de las funciones trigonométricas. Para Zn (n es un número entero):
0)(sen n 1])14[(sen 2 n 1])34[(sen
2 n
0])12[(cos2 n 1)2(cos n 1])12[(cos n
Fórmulas de reducción.
sen)(sen csc)csc( cos)(cos
sec)(sec tan)(tan cot)(cot
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3. En los ejercicios siguientes, determine el valor exacto de la función.
a) 61sen b)
41cos c) )(sen
23 d)
31cos
e) 41sen f) )(cos
21 g) )2(sen h)
65cos
i) 43sen j) 3cos k) )5(sen l)
34sen
m) )(cos61 n) 7sen ñ) )(cos
25 o)
31tan
p) 41cot q) )(sec r)
21csc s)
61cot
t) 41tan u) )(csc
23 v) sec w) )(sec
61
x) 43csc y)
65tan z) )(cot
43 aa) )(csc
31
ab) 65csc ac)
43tan ad)
23cot
4. En los ejercicios siguientes, obtenga todos los valores de t en el intervalo ]2,0[ que
satisfagan la ecuación.
a) 1sen t b) 1cos t c) 1tan t d) 1sec t
e) 1sen t f) 1cos t g) 1tan t h) 1csc t
i) 0sen t j) 0cos t k) 0tan t l) 0cot t
m) 21sen t n) 2
1cos t ñ) 1cot t o) 2sec t
p) 21sen t q) 2
1cos t r) 1cot t s) 2csc t
t) 2sen21t u) 2cos
21t v) 3tan
31t w) 3cot
31t
Gráfico de las funciones trigonométricas.
xy sen xy cos xy tan
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xy csc xy sec xy cot
Propiedades de los gráficos de las funciones trigonométricas (Caso general).
)(sen DxCABy ó )(cos DxCABy
Amplitud: AAmplitud Periodo: C
T2
Desfase horizontal: C
D Desplazamiento vertical: B
Dominio: fDom Rango: ],[ ABABfRgo
Procedimiento para graficar funciones trigonométricas en un periodo (seno o coseno).
1.- Determinar la amplitud.
2.- Determinar el periodo.
3.- Determinar el desfase.
4.- Determinar el paso: k
Th (k + 1 es el número de puntos a graficar).
5.- Completar la tabla de valores x – y, donde los valores de x van desde el desfase,
incrementándose un paso cada vez, hasta completar los k+1 puntos y los valores de y son
los obtenidos al sustituir cada valor de x en la función a graficar.
6.- Graficar los puntos obtenidos en el paso 5.
5. Determinar el desfase, la amplitud, el periodo, dominio, gráfica y rango de las siguientes
funciones.
a) xy 3sen 2 b) xy 2cos2 c) )(sen xy
d) xy 3cos21 e) xy 3sen 1 f) )(sen 321 xy
g) )(sen 21
21 xy h) xy 12cos4 i) xy 10cos5
j) xy43cos2 k) )(sen
21 xy l) )(sen
21
21 xy
m) )(sen 31
31 xy n)
63sen 4
xy ñ)
43
2sen 4
xy
o) 24
2sen 2
xy p) )(cos3 xy q) )2(cos4 xy
r)
25
3sen 2
xy s)
25
3sen 2
xy t)
24sen 5
xy
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u)
23cos12
xy v) 1)3(cos2 xy
Derivadas de las funciones trigonométricas.
xd
uduu
xd
dcos)sen (
xd
uduu
xd
dsen )(cos
xd
uduu
xd
d 2sec)(tan
xd
uduuu
xd
dcotcsc)(csc
xd
uduuu
xd
dtansec)(sec
xd
uduu
xd
d 2csc)(cot
7. En los ejercicios siguientes, determinar la derivada de la función.
a) )3(sen2
xy b) xxxxf sen)(
c)
xxxf
1cos)( d) )2(sen)3(cos)( xxxh
e) 3 2 )3(sen)3(cos)( xxxf f)
xxxf
1cos
1sec)(
g) )3(cos1
)3(sen)(
2
2
x
xxf
h)
xx
xxf
22
3
sencos
sec)(
i)
1
1cos)(
x
xxg j)
)3(cos1
)3(sen)(
x
xxh
k) xxf sen)( l) )32(sen)( 33 xxf
m) )12(sec)( 23 xxf n) xxxh tan3sec4)( 2
ñ) xxxf 22 tan3sec4)( o) xxxh 23 csccot)(
p)
1
1cos)( 3
x
xxf q) )13(csc2)( 222 xxxf
r) xx
xxxf
2
2
sen
sen)(
s) 3 2cos1)( xxf
t) 32 2
cos)(
xxf u) xxxf 22 tansec)(
v) xxxf 33 tansec)( w) xxxf 2sen2cos)( 32
x) 243 sec2cossec)( xxxxg y)
235 )cos1()4sen1()( xxxf
z) 2
1
])2(sen1[])2(cos1[)( 232 xxxf aa) 33 2 )1(cossen1)( xxxf
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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ab)
3
2tan21
sen )(
x
xxxf ac) )(sencos)( 32 xxf
ad) )(cossen)(cossen)( 2332 xxxf ae) ])(cossen[cos)( 2xxf
af) }])(sen[{sensen)( 5432 xxf
8. Calcule xd
yd mediante diferenciación implícita.
a) xyxyx 2)2(tan)3(sen b) yxyxyx )(sec)(cos
c) yxyxyx )(sec)(cos d) 223 )()(tan yxxyyx
e) 0)2(coscossen yyyx f) yyxyxyx tan32)(sen 3322
g) 3332 )4(cos yxxx h) yxyx )(sec
i) 1)(sen)(cos yxyx j) )(sec1)(cos yxyx
k) xyyyx 23 sec)(tan l) 332 )()(tansec yxyxy
m) 7sec
x
y
y
x n) )(tan3)(sen 23323 yyxyx
ñ) yx
yxy
)(cos1 o)
xy
yyxyx
sen
cos2
p) yxy
ycossen
cos
sen1
q)
xxyx
yx 1
tan
r) )(sencos 22 xbaxy
Aplicaciones de las funciones trigonométricas.
9. Un cuerpo de peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal mediante una fuerza
P cuya línea de acción forma un ángulo con el plano. La magnitud de la fuerza viene
dada por:
cossen
m
WmP
donde m denota el coeficiente de rozamiento. ¿Para qué valor de es mínima la tracción?
10. Dos lados de un triángulo miden 4 cm. ¿Cuál debe ser el ángulo entre esos dos lados
para que el área del triángulo sea máxima?
Funciones trigonométricas inversas.
Dominio y rango de las funciones trigonométricas, para que la función inversa exista.
Función. Domino Rango
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Seno xy sen ],[21
21 [ – 1 , 1 ]
Coseno xy cos ],0[ [ – 1 , 1 ]
Tangente xy tan ),(21
21 R
Cosecante xy csc ],0()0,[2
1
2
1 (– , – 1 ] [1 , )
Secante xy sec ],(),0[2
1
2
1 (– , – 1 ] [1 , )
Cotangente xy cot ),0( R
Definición 1.3. Las funciones trigonométricas inversas.
Definición Dominio Rango
xy 1sen si y sólo si xy sen [–1 , 1 ] ],[21
21
xy 1cos
si y sólo si xy cos [–1 , 1 ] ],0[
xy 1tan si y sólo si xy tan (– , ) ),(21
21
xy 1csc si y sólo si xy csc (– , –1 ] [1 , ) ],0()0,[2
1
2
1
xy 1sec si y sólo si xy sec (– , –1 ] [1 , ) ],(),0[2
1
2
1
xy 1cot si y sólo si xy cot (– , ) ),0(
Evaluación de las funciones trigonométricas inversas.
11. En los ejercicios siguientes determine el valor exacto de la función.
a) 211sen b) )(sen
211 c)
211cos d) )(cos
211
e) 2
31sen f) )(sen2
31 g) 2
31cos h) )(cos2
31
i) 3
11tan j) )3(tan 1 k) 3
21sec l) )(sec3
21
m) 3
11cot n) )3(cot 1 ñ) 3
21csc o) )(csc3
21
p) 1sen 1 q) )1(sen 1
r) 1csc 1 s) )1(csc 1
t) 0sen 1 u) 1cos 1
v) )1(cos 1 w) 1sec 1
x) )1(sec 1 y) 0cos 1
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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Gráfico de las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas.
xy 1sen
xy 1cos xy 1tan
xy 1csc
xy 1sec xy 1cot
20. Determinar el desfase, la amplitud, el periodo, dominio (para que la función inversa
exista), gráfica (en su dominio) y rango de las siguientes funciones trigonométricas. Hallar
la función inversa de cada una con su dominio y rango correspondiente. Graficar en un
mismo sistema de coordenadas )(xf y )(1 xf .
a)
62
3sen
4
3 xy b)
3sen1
xy
c)
4sen
xy
d)
2cos
xy e)
32cos3
xy f)
2cos32
xy
21. Hallar la función inversa de cada una de las siguientes funciones.
a) ])(sen[ 2231
23 xy b) )2(sen 1
31 xy
c) ])2(sen[ 1
41 xy d)
2
31 )3(cos xy
e) ])6([cos2 1 xy f) ]3)4([cos 1
21 xy
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
xd
ud
uu
xd
d
2
1
1
1)sen(
xd
ud
uu
xd
d
2
1
1
1)(cos
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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xd
ud
uu
xd
d2
1
1
1)(tan
xd
ud
uuu
xd
d
1
1)(csc
2
1
xd
ud
uuu
xd
d
1
1)(sec
2
1
xd
ud
uu
xd
d2
1
1
1)(cot
22. En los ejercicios siguientes, determinar la derivada de la función.
a) )(sen)(211 xxf b) xxf 2tan)( 1 c) xxf 3cos)( 1
d) xxf 2sec)( 1 e) xxf 1cos2)( f) xxxf 5csc5sec)( 11
g) 2121 cottan)( xxxf h) 21 1sen)( xxf i)
xxf
2cot)( 1
j) x
xf1
tan2)( 1 k) xxxf 1cos)( l) )sen (cos)( 1 xxf
m) 2
211 4)(sen 4)( xxxxf n)
2
1
1
2tan)(
x
xxf
ñ) 4sec)( 21 xxf o) xxxxxf 11 cossen )(
p) xxf 1csc)( q)
x
xy
cos1
cos1tan 1
r) 521 )23(sec xy s) 21 412cos xxy
t) )1(sen1 213 2 xxy u) )(sen 39 3112 xxy
v)
a
xaxa
xxf 1
222 sen
22)( w) ])1(cos[sen 1 xy
x) )3(sen12)sen()( 21231 xxxxxf y) xxxy 12 cos1
z)
xba
xaby
cos
coscos 1 aa)
1
1tan 1
x
xy
23. Calcule xd
yd mediante diferenciación implícita.
a) )(cos)(sen 11 yxyx b) )(sec)(sen 11 xy
c) x
yyx
y
x
21 2tan
24. Un cuadro de 7 pie de altura se coloca en una pared con su base a 9 pie sobre el nivel de
los ojos de un observador. ¿Qué tan alejado debe estar el observador para que tenga la
“mejor vista” del cuadro?
25. Demuestre que en el ejercicio 21 otra ecuación que define a en términos de x es
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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144
7tan
2
1
x
x
Utilice esta ecuación para determinar que tan lejos de la pared debe estar ubicado el
observador para que tenga la “mejor vista” del cuadro.
26. Un anuncio de 3 pies de altura está colocado en una pared con su base a 2 pie por arriba
del nivel de los ojos de una mujer que intenta leerlo. Calcule que tan retirada de la pared
debe estar la mujer a fin de que tenga la “mejor vista” del anuncio; es decir, de modo que el
ángulo subtendido por el anuncio en sus ojos sea un máximo.
27. Un cartel de 6 m de alto, se coloca encima de un edificio, con su orilla inferior a una
altura de 20 m sobre el nivel de los ojos de un observador. Use funciones trigonométricas
para calcular a qué distancia del edificio debe colocarse el observador para que el ángulo
entre las rectas que van del ojo del observador a las orillas superior e inferior del cartel sea
máximo.
28. La arista inferior de un cartel de 12 metros de altura, está situado a 6 metros por encima
de los ojos de un observador. Suponiendo que la visión más favorable se obtiene cuando el
ángulo subtendido por el cartel y los ojos es máximo. Calcular la distancia de la pared a la
que se debe situar el observador.
29. El borde inferior de una pintura mural de 10 m de altura está a 2 m arriba de los ojos de
un observador. Encuentre la distancia ideal a la que debe alejarse del mural el observador
para ver la pintura, es decir, encuentre la distancia que maximice el ángulo subtendido por
las visuales del observador.
30. Los ejercicios 21 - 26 son casos particulares de la situación más general: un objeto (por
ejemplo, un cuadro o anuncio) de a pies de altura está colocado en una pared con su base a
b pies sobre el nivel de los ojos de un observador. Demuestre que el observador tiene la
“mejor vista” del objeto cuando la distancia del observador desde la pared es )( bab
pies.
31. Dada la siguiente figura:
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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a) Exprese en función de x , siendo x la distancia DC .
b) Encuentre x para que sea máximo.
32. En la siguiente figura, encuentre la longitud AB mínima.
Funciones logarítmicas.
Definición 1.4. La función logarítmica de base a (logax).
Si 0a y 1a , entonces bxa log si y sólo si xab .
( bxa log se lee <<el logaritmo en base a del número x es b>>).
Definición 1.5. El logaritmo natural.
La función logaritmo cuya base es e (el exponencial) se llama función logaritmo natural y
se denota por xxe lnlog . Formalmente la función logaritmo natural está definida como
x
tdt
x1
1ln
Definición 1.6 El número e (El exponencial).
xxex
1
)1(lim0
(Con doce dígitos significativos, e = 2.71828182846).
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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Dominio de las funciones logarítmicas.
33. En cada caso, determine el dominio de la función.
a) )23(log 2 xy b) )(ln)( 2 xxxf
c)
4ln)(
2x
xxh d)
13
2ln)(
x
xxf
Evaluación de las funciones logarítmicas.
34. En los ejercicios siguientes, obtenga el valor del logaritmo con cinco dígitos
significativos en una calculadora.
a) 7log3 b) 10log 2 c) 361log 2 d) 2log3 e) 4728log 4 f) 10log 6
g) e5log h) e10log
Gráficos de las funciones logarítmicas.
Características de las funciones logarítmicas y = logax.
Dominio: ( 0 , ) Recorrido: (– , ) Intersección: ( 1 , 0 )
Siempre creciente.
xa
loglimx
xa
loglim0x
(Asíntota vertical).
Continua.
35. En los ejercicios siguientes, dibuje la gráfica de la ecuación.
a) xy 3log b) )5(log3 xy c) xy 2log d) xy 2log1
e) xy3
1log f) xy ln g) )2(ln xy h) )(ln xy
i) xy ln j) 1
1ln
xy k) xxy ln l) xxy ln2
m) xy sen ln
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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Derivadas de las funciones logarítmicas.
Propiedades de los logaritmos.
01log a 1log aa yxyx aaa loglog).(log
yxy
xaaa logloglog
xnx a
n
a log)(log xn
x an
a log1
log
a
xxa
ln
lnlog (Cambio de base).
a
xx
b
b
alog
loglog
ab
b
alog
1log
(Idénticas propiedades son válidas si xalog es sustituido por xxe lnlog ).
Derivadas de funciones logarítmicas.
xx
xd
d 1][ln
xaxex
xd
daa
1
ln
11)(log][log
u
u
xd
ud
uu
xd
d
1][ln
u
u
au
ue
xd
ud
ueu
xd
daaa
ln
1)(log
1)(log][log
36. En los ejercicios siguientes, derive la función y simplifique el resultado.
a) )54(ln)( xxf b) xxf 54ln)(
c) )41(ln)( 2xxf d) 241ln)( xxf
e) )28(ln)( xxf f) 5)28(ln)( xxf
g) 2)13(ln)( xxf h) )13(ln)( 2 xxf
i) )2(ln)( xxf
j) ])72()35[(ln)( 324 xxxf
k) ])4()12([ln)( 523 xxxf l) 3 24ln)( xxf
m) 2
3
243
1ln)(
x
xxf
n) 52
13ln)(
x
xxf
ñ) 32 1
1ln)(
x
xxf
o) 3
5
2
)2(
)2(ln
x
xxy
p) )(ln xaxay
q) )21(ln)( 3 2 xxxf
r) xxf tanln)( s) xxxf ln)(
t) x
xxf
ln)( u)
x
x
x
xxf
ln
ln)(
v) )5sen (ln)( xxf w) )(lncos)( xxf
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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x) )(lncsc)( xxf y) )(lnsen)(senln)( xxxf z) )]2sen([lncos xy aa) )(lnln)( xxf ab) )(lnln xy
ac) xxf cosln)(
ad) )2tan2(secln)( xxxf ae) ) 2sen 2(cosln)( xxxf af) )11(ln1)( xxxf ag) )33(ln)( xxxf
ah) 1
)1(ln)(
x
xxf ai)
x
xxxf
ln21
cossen 2)(
aj) )]2([lnsec 1 xy ak) 21 1lntan)( xxxxf
al) )(tanln)(lnsen 11 xxy am) )1(lntan)1(tanln)( 11 xxxf
an) ])(sec[ln)( 23 xxf añ) 3 3ln)( xxf
ao) x
xxy2ln
1)(lncossen 221 ap)
42 ])ln1(1[)( xxf
aq) )(lnln)(ln)( xxxf ar) )1(log xy
as) )(senlog)( 3 xxf at) 2
3log
3
x
xy
au) )2(lnlog2 xy av) )(loglog)( 2xxh aw) )(loglog)( 3
210 xxf ax) )](ln[loglog 23 xy
ay) ])(loglog[ln)( 32 xxf az) )(logsec)( 2
10 xxg
ba) )3(lnlog3
2 xy bb) )(lnlog)( 22
4 xxf
37. Calcule xd
yd mediante diferenciación implícita.
a) 2ln yxyx b) 2)(ln yxyx
c) 1ln yxy
x
d) 123ln 222 xyyxx
e) )1(ln yxx f) 223)(ln yxyx
g) 4)(ln)(ln yxyx h) yxxyyx lnln i) )(lnln)1(ln 3 yxyxy j) 4ln yxyx
k) 0)1(ln 22 yxyx
l) xyyxy cossen ln 2
m) )(lntanln 2xy n) )13(senln1 23 xy
ñ) yxyx 1sen )(ln o) 21 ])(ln[sen yxyx
p) ])1(ln[tanln 13 xy q)
y
xyx 122 tan2)(ln
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Derivación logarítmica.
Las propiedades
yxyx lnln).(ln
yxy
xlnlnln
xnxn ln)(ln
Se utilizan ventajosamente para calcular derivadas de productos, cocientes, raíces y
potencias. Este método, conocido como derivación logarítmica, consiste en tomar
logaritmos en los dos miembros de una ecuación:
)(xfy
)]([lnln xfy
Simplificar cuanto se pueda la expresión )]([ln xf mediante las propiedades y derivar
después implícitamente con respecto a x.
38. En los ejercicios siguientes obtenga xd
yd mediante diferenciación logarítmica.
a) 4322 )1()1( xxxy b) )53()3()45( 32 xxxy
c) 4 223 3)12()( xxxf d) 5
322
)4(
)2()1(
x
xxxy
e) 3
)2(5
x
xxy f)
5 7
3
1
2
x
xxy g)
2
2
1
1
x
xy
h) 3
2
)1(
1 2
x
xy i) 12 xxy j)
xxy )(tan
k) xxxg )(ln)( l) xxxf
2ln)( m) 3sec xxy
n) 2
)( xxxh ñ)
x
xy
3 o)
xxxg sen )(tan)(
p) xxxf ln)(ln)( q)
)sen (ln)sen ( xxy r) xxy )(cos
s) x
xy
x
2ln
)(ln t)
)1(ln2 )]1([ln)( xxxf u) 22)( yxyx y
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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Aplicaciones de las funciones logarítmicas.
39. Una partícula se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación de movimiento
)1(ln)1( 2 tts , donde s pies es la distancia dirigida de la partícula desde el punto
inicial a los t segundos. Calcule la velocidad y la aceleración cuando 3t .
Funciones exponenciales.
Definición 1.7 La función exponencial de base a.
Si 0a y 1a , entonces nos referimos a xay como la función exponencial de base a.
Propiedades de los exponentes.
10 a aa 1
yxyx aaa .
yx
y
x
aa
a
yxyx aa )( xxx baba .).(
x
xx
b
a
b
a
Relación entre funciones exponenciales (Cambio de base).
axx ea ln para todo a > 0.
Evaluación de las funciones exponenciales.
40. En los ejercicios siguientes, obtenga el valor del exponencial con cinco dígitos
significativos en una calculadora.
a) 5.1)6.1( b)
3.3)5.2( c) 7.1)2.4( d)
5log22 e) 7.3log66 f)
8.2e
g) 6.0e h)
4.1lne i) 4lne
Gráficos de las funciones exponenciales.
Características de las funciones exponenciales a–x
y ax.
Gráfica de xay , 1a
Dominio: (– , )
Recorrido: ( 0 , )
Intersección: ( 0 , 1 )
Siempre creciente.
xa
x
lim
0lim
xa
x
(Asínt. Horiz.).
Reflexión de xay en el eje y.
Continua.
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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Gráfica de xay ( 1a )
Dominio: (–,)
Recorrido: ( 0 , )
Intersección: ( 0 , 1 )
Siempre decreciente
0lim
xa
x
(Asínt. Horiz.)
xa
x
lim
Reflexión de xay en el eje y.
Continua.
41. En los ejercicios siguientes, dibuje la gráfica de la ecuación.
a) xy 3 b)
13 xy c) xy 2 d)
xy 3 e) 2
2 xy f) 2xey
42. En los ejercicios siguientes, mostrar que las funciones dadas son inversas entre sí
dibujando sus gráficos en un mismo sistema coordenado.
a) xxf 3)( y xxg 3log)( b)
xxf 4)( y xxg 4log)(
c) xexf 2)( y xxg ln)( d) 1)( xexf y )1(ln)( xxg
e) 1)( xexf y xxg ln1)(
Propiedades inversas de las funciones exponenciales y logarítmicas.
Si 0a y 1a , entonces:
uau
a )(log
uaua
log ueu )(ln ue u ln
Propiedades inversas y cambio de base.
uaa b
u
b )(log)(log
au bb ualoglog
au ua lnln
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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43. Simplifíquese cada una de las expresiones siguientes.
a) xeln b)
)/1(ln xe c) xe ln2ln d)
xxe ln e)
xe ln2 f)
yxe ln2ln
g) )/1(ln xe h)
)(ln 2xe i) )(ln xe j) )(ln /1 xe k) )(ln
2xe l) )(ln2xxe
m) )(ln 22 xex n) )/1(ln xe
Derivadas de las funciones exponenciales.
xx eexd
d][ xx aaa
xd
d)(ln][
Si u es una función diferenciable de x, entonces:
ueexd
d uu ][ uaaaxd
d uu )(ln][
44. Derive y simplifique.
a) xxf 2)( b)
2
5)( xxf c) 35)(2
xxg
d) 3
)( xexf e) xey tan f) x
ey
g) )(ln2)(
xxh h) x
x
y ln2 i) )(lnsen1 2
)(x
exf
j) 32 xexy k)
2
)(sen 21 xexxy
l) )4ln(sen xexy
m) )2sen (tan 12
xey x n) 0;3)(4
aaxf xx
ñ) 43 )1()1()( xx eexf
o) xx ey22 cossen2 p) )1(ln)( 3 22
xexf x
q) )(log)( 2
3 xexfx
r) )(log)( 3
xe eexhx
s) xx
exxh2
ln)(
t) 342 )1(])3(ln1[)( xexxf
u) x
x
e
exf
1
2)(
v)
x
x
ex
exxg
22
22
)(
w) 1
ln)(
x
x
e
xexf
x)
3
2
ln
ln)(
xe
xxxf
x
y)
xx
xx
ee
eexw ln)(
z) )(sen)(23 xexf
aa) )3(senlog)( xxf ab) )(senlog)( 3
5
xexf
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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ac) 1lncos)( 2 xx eexf
ad) )(ln xexy
ae) xexf 1
21 sen)(
af) )(sen
21 xey
ag) )2(sec)( 31 xexf ah) )]([tanln 31 xey
ai) )(sen 41 xey
aj) )(sen 4
12xey
ak) )(ln)( xexxf al) )(logcos)( 3
xexxh
am) )(cos)(sen)( 43 xx eexh an) xx exexf tansen )(
añ) xxxxf 2sen 2)( 21cos
ao) xxay )( 12
ap) xxy 2tan)2(2
aq) )1(cos 11
)2(
xx eey
ar) 2
2
3x
x
ey as) x
a exf log)(
at) )(log)(2
2
xexf au) )(log)(3
3
xexf
av) ])(log[log)(3
23
xexf
aw) )2(ln 2 xexy
ax) )(ln 2 xexy ay) 3
][ln 3)sen(cos 21 xey
az) xxeey 2112tanln
sec ba)
1ln22
1ln2)(
x
exxf
bb)
32
sen ln
x
ey
x
bc) )(log 23
xeey
bd) 2
2
23
3 log)1(tanlog)( xexxf
be) )1(lntanlog 211
3
2
xey
x
bf) x
aa exxf lnlog)1(logln)(
bg) 21
521 coslogsen 3
5 55log)(xxxf
bh) 1log1ln
3333log)(
xexxf
bi)
xx ee
xxxf
ln2
ln)(
bj)
4
ln1
)(
x
e
xxu
x
bk)
x
x
a
ay
2
1
)1(ln
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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bl) )]2([logtan 2
4
3 xy bm) )(tanlog
2
2
tan
xy
x
bn) x
x
e
exf
4
3 41sen)(
bñ) 52sen )](cosln[2
xey x
bo) )1(ln)( 32 xexxf
bp) 3
4
3
3ln)(
xe
xxf
bq) 4
1
3
)(ln)(
sen
x
ext
x
br) )(lncos2)(lncos)( xexxf
bs) xexxg
sen)(cosln)( bt)
3])(cosln[)(
x
exf
x
45. Calcule xd
yd mediante diferenciación implícita.
a) )(lnln xe y b) 0112 xex y
c) xey x2
ln
d) )(sen)(sen 21 xx eexyx
e) xexy 1tanln f)
xex
ey 222
g) xexyx yeex 3ln2 ln h) )(ln ln yxy eee
i) )(cosln 1
ln yxxy ee
j) yxeyx ln)(ln
k) 131ln 22
ln
xxy eee l) xexye 3ln
m) 22
32.)(log 222 xxx ayex n) xyxeyx 4)(ln
ñ) yxee yx lnlnsensen o) 3lncoscos xx eye
p) yxyy eee )(tan)(sec q) xyyex cossec2
r) )3(tan)3(cos)3(sec23
yyyyex s) yx eyxe 12 cos
t) yyx yxe 3)(ln u)
212 2tanln exey yx
v) yxeyx ln w)
yxyx
yx2
2
2 2
46. Calcule xd
yd mediante diferenciación logarítmica.
a) xexxf )(sen)( b)
xexxg )(tan)( c) 3
)(ln)(xexxg
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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d) x
exxf )sen ()( e) 22
)sen()( 1 xexexf f) xexxf
3sec1 )3(sec)(
g) x
xxf32
3 )3(log)(
h) xx xy ln2tan )1(3
Funciones hiperbólicas.
Definición 1.8 Las funciones hiperbólicas.
2senh
xx eex
2cosh
xx eex
1
1tanh
2
2
x
x
xx
xx
e
e
ee
eex
Funciones recíprocas.
xx
senh
1csch
xx
cosh
1sech
xx
tanh
1coth
xx eex
2csch
xx eex
2sech
1
1coth
2
2
x
x
xx
xx
e
e
ee
eex
Evaluación de las funciones hiperbólicas.
47. En los ejercicios siguientes, determine el valor exacto de la función. Si el valor exacto
no es un número racional, exprese el valor con cuatro dígitos significativos.
a) 0senh b) 0cosh c) 1senh
d) 1)(senh e) 0tanh f) 0sech
g) 1cosh h) )1(cosh i) 2tanh
j) )2(tanh k) )2(lncosh l) )5.0(lncosh
m) )5.0(coth n) )5.0(coth ñ) 2)ln(senh
o) )5.0ln(senh p) 2sech q) 2)(sech
r) )1(coth s) )5.1(lncsch t) 2csch
u) )2(csch v) 1tanh w) )51ln(sech .
Gráficos de las funciones hiperbólicas.
xy senh xy cosh xy tanh
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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xy csch xy sech xy coth
Identidades hiperbólicas.
Identidades hiperbólicas fundamentales.
1cschsenh xx 1sechcosh xx 1cothtanh xx
x
xx
cosh
senh tanh
x
xx
senh
coshcoth
Identidades pitagóricas.
1senhcosh 22 xx 1sechtanh 22 xx 1cschcoth 22 xx
Otras identidades.
xexx senhcosh xexx senhcosh
Angulo doble.
xxx coshsenh22senh xxx 22 senhcosh2cosh 1senh22cosh 2 xx
1cosh22cosh 2 xx x
xx
2tanh1
tanh22tanh
Angulo triple.
xxx senh 3senh 43senh 3 xxx cosh3cosh43cosh 3
x
xxx
2
3
tanh31
tanhtanh33tanh
Angulo mitad.
2
1cosh
2senh
xx
2
1cosh
2cosh
xx
1cosh
1cosh
2tanh
x
xx
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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1cosh
senh
2tanh
x
xx
x
xx
senh
1cosh
2tanh
xx
xcschcoth
2tanh
1cosh
1cosh
2coth
x
xx
1cosh
senh
2coth
x
xx
x
xx
senh
1cosh
2coth
xxx
cschcoth2
coth
)12(coshsenh
2
12 xx )12(coshcosh2
12 xx
Suma y diferencia de dos ángulos.
yxyxyx senhcoshcoshsenh)(senh
yxyxyx senhsenhcoshcosh)(cosh
49. En los ejercicios siguientes, demuestre la identidad.
a) xx 22 sechtanh1 b) xx 22 cschcoth1
c) xxx coshsenh22senh d) xxx 22 senhcosh2cosh
e) x
xx
2cosh1
2senh tanh
f)
x
xx
2tanh1
tanh22tanh
g) xxx senh 3senh 43senh 3 h) xxx cosh3cosh43cosh 3
i) xe
x
x 2
tanh1
tanh1
j)
1
1)(lntanh
2
2
x
xx
k) yxyxyx senh coshcoshsenh )(senh
i) yxyxyx senh senh coshcosh)(cosh
Derivadas de las funciones hiperbólicas.
xd
uduu
xd
dcosh)senh (
xd
uduu
xd
dsenh )(cosh
xd
uduu
xd
d 2sech)(tanh xd
uduuu
xd
dcothcsch )csch (
xd
uduuu
xd
dtanhsech )sech (
xd
uduu
xd
d 2csch)(coth
50. Demuestre que:
a) xxDx senh )(cosh b) xxDx
2csch)(coth
c) xxxDx cothcsch)csch(
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 33
51. En los ejercicios siguientes, calcule la derivada de la función.
a) 2senh )( xxf b) )(1senh )( 2xxf c) 3cosh)( xxf
d) xxf 3 coth)( e) )1(sech)( xxf f) x
xf1
coth)(
g) )(lncoth)( xxf h) xxxf 21
41 )(2senh )( i) xxxf coth)(
j) xxf 3sech)( 2 k) xxf 4 sech)( 2 l) xxf 3tanh)(
m) )senh (ln)( xxf n) )(coshln)( xxf ñ) )(tanhln)( xxf
o) )]([tanhln)( 21 xxf p) ])2(tanh[ln xy q) )senh (tan)( 1 xxf
r) )2(senh tan)( 1 xxf s) )tanh(sen)( 21 xxf t) xexf senh )(
u) )1(tanh 2 xey v) )(lncosh xey w) ])(tan[senh 31 xey
x) )(sech senh xey
52. Derive y simplifique las siguientes funciones:
a) 2)senh (cosh)( xxxf b) xxxxf coshsenh )(
c) xexf x cosh)( d) )2(senh xey x
e) xexxy coshsenh f) 533 ])3(cosh).3(sech[ xxy
g) 43 )sech( xy h) 5 22 )13(csch xxy
i)
xxy
1sech
1 j)
x
xy
cosh1
senh
k) ])5(csch)5(coth[ln xxy l) ])(senh[ln xy
m) ])3(ln[tanh
13 x
y n) ])(tanh[ln23 xey
ñ) 42 ))](cos(senh [ xey o) )(tanh 3 xexy
p) )](senh sen [sen 1 xy q) xe
xxy
2
)(2senh
r) )(tanh sen 3 xey s) )(cosh
)(cosx
x
e
ey
t) )2senh (log4
3 xy u) xx
xx
ee
eey
v)
1
1ln
4
4
x
x
e
ey w)
xx
xx
ee
eey
tantan
tantan 1
4
53. Calcule xd
yd mediante diferenciación implícita.
a) xy tansenh
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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54. En los ejercicios siguientes obtenga xd
yd mediante diferenciación logarítmica.
a) xxy )senh( b) xxxf )(cosh)( c) xxxf senh )(
d) xxxf cosh)(
Definición 1.9. Las funciones hiperbólicas inversas.
Definición Domino Rango
Seno hiperbólico inverso )1(lnsenh 21 xxx R R
Coseno hiperbólico inverso )1(lncosh 21 xxx [ 1 , ) [ 0 , )
Tangente hiperbólica inversa x
xx
1
1lntanh 1 (–1 , 1 ) R
x
xx
1
1lntanh
2
11
Cosecante hiperbólica inversa
x
xx
2
111
lncsch (– , 0 ) (0 , ) (– , 0 )
(0 , )
2
21 11
lncschx
x
xx
Secante hiperbólica inversa
x
xx
2
111
lnsech ( 0 , 1 ] [ 0 , )
2
21 11
lnsechx
x
xx
Cotangente hiperbólica inversa1
1lncoth 1
x
xx (– , –1 ) ( 1 , ) (– , 0 )
( 0 , )
1
1lncoth
2
11
x
xx
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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Evaluación de funciones hiperbólicas inversas.
55. En los ejercicios siguientes, determine el valor exacto de la función.
a) 1cosh 1 b)
211tanh c) 1senh-1
d) 2coth 1 e)
21-1senh f) )2(coth 1
g) 2cosh 1 h) )(tanh 2
11
57. Deducir las siguientes definiciones. (Especifique el intervalo donde cada función está
definida):
a)
x
xx
11ln)(csch
2
1 b) )1(ln)(cosh 21 xxx
c)
x
xx
2
1 11ln)(sech d)
1
1ln)(coth 2
11
x
xx
Gráficos de las funciones hiperbólicas inversas.
xy 1senh xy 1cosh xy 1tanh
xy 1csch xy 1sech xy 1coth
Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas.
xd
ud
uu
xd
d
1
1)senh(
2
1
xd
ud
uu
xd
d
1
1)(cosh
2
1
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
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xd
ud
uu
xd
d2
1
1
1)(tanh
xd
ud
uuu
xd
d2
1
1
1)csch(
xd
ud
uuu
xd
d2
1
1
1)sech(
xd
ud
uu
xd
d2
1
1
1)(coth
58. Demuestre que:
a) uDu
uD xx
1
1)(cosh
2
1
b) uD
uuD xx 2
1
1
1)(tanh
c) uDuu
uD xx 2
1
1
1)csch(
d) uD
uuuD xx 2
1
1
1)sech(
e) uDu
uD xx 2
1
1
1)(coth
59. En los ejercicios siguientes, calcule la derivada de la función.
a) xxf 4senh)( 1 b) xxf 3cosh)( 1 c) xxf 311cosh)(
d) xxf 211tanh)( e) 31tanh)( xxf f) 21coth)( xxf
g) )13(coth)( 1 xxf h) )(tansenh)( 1 xxf i) )(tancosh)( 1 xxf
j) )(costanh)( 1 xxf k) )3sen(tanh)( 1 xxf l) )2sen (coth)( 1 xxf
m) )sen 3(coth)( 1 xxf n) )2(cossech)( 1 xxf ñ) )sen(tanh)( 1 xexf
o) xexf 21senh)( p) )(lncosh)( 1 xxf q) )(cosh31 xey
r) ])(log[tanh2 23
1 xy
60. Derive y simplifique las siguientes funciones:
a) 21 )csch()( xxf b) 321 )(coth)( xxf
c) 212senh)( xxxf d) 21 1senh)( xxxxf
e) 21 412senh 2)( xxxxf f) xxxxf 12 tanh1ln)(
g) 21 1lntan)( xxxxf h) ])(sech[tan)(tanh 11 xy
i) )13(senh1
)(cosh21
21
x
xy j) 2
3
])(senh[ln 21 xey
k) }])(lnsech[ln{ln21 xey l) 4
2
2
1
1ln)(
x
xxf
m) 22 1)1(ln)( xxxxxf n) 1ln1 22 xxxy
ñ) 5
sen1
sen1ln
x
xy
o) 3
sen
sen1
1
1csch
x
x
e
ey
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 37
p) xba
xbay
ln q) ])11([lntanh 21 xey x
r)
3
2
2
1
1ln)(
x
xxxf
61. Calcule xd
yd mediante diferenciación implícita.
a) xyx 1221 tanh)(senh 3 b) )1(ln)(tanh 21 yyxyx
c) yxyxyx lnln)11(ln)(cosh 21221
RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
1.1.- FUNCIONES INVERSAS.
Definición de función uno a uno. Criterio de la recta horizontal.
1. Uno a uno. 2. No es uno a uno. 3. Uno a uno.
4. Uno a uno. 5. No es uno a uno. 6. Uno a uno.
7. Uno a uno. 8. Uno a uno. 9. No es uno a uno.
10. No es uno a uno. 11. No es uno a uno. 12. Uno a uno.
13. Uno a uno. 14. Uno a uno. 15. Uno a uno.
16. Uno a uno. 17. Uno a uno. 18. Uno a uno.
19. No es uno a uno. 20. No es uno a uno.
Existencia de la función inversa.
21. No existe la inversa. 22. Existe la inversa. 23. No existe la inversa.
24. No existe la inversa. 25. Existe la inversa. 26. No existe la inversa.
27. Existe la inversa. 28. No existe la inversa. 29. No existe la inversa.
30. No existe la inversa.
Cálculo de la inversa de una función.
31. Tiene inversa, 4
3)(1 x
xf , )( Dom 1 xf , )( Rgo 1 xf .
32. Tiene inversa, 5
2)(1 x
xf , )( Dom 1 xf , )( Rgo 1 xf .
33. Tiene inversa, 33)(1 xxf , )( Dom 1 xf , )( Rgo 1 xf .
34. No tiene inversa, ),(23 , ),(
23 .
35. Tiene inversa, 31 2)( xxf , )( Dom 1 xf , )( Rgo 1 xf .
36. Tiene inversa, 2)( 31 xxf , )( Dom 1 xf , )( Rgo 1 xf .
37. No tiene inversa, )1,( , )0,1( , )1,0( , ),1( .
38. Tiene inversa, x
xxf
3
21)(1
, ),3()3,()( Dom 1 xf ,
),2()2,()( Rgo 1 xf .
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 38
39. Tiene inversa, x
xxf
23
14)(1
, ),(),()( Dom
23
231 xf ,
),2()2,()( Rgo 1 xf .
40. Tiene inversa, 13
36)(1
x
xxf , ),(),()( Dom
31
311 xf ,
),2()2,()( Rgo 1 xf .
41. No tiene inversa, )3,( , )0,3( , )3,0( , ),3( .
42. Tiene inversa, 3
1)(
21
xxf , ),0[)( Dom 1 xf , ),[)( Rgo 3
11 xf .
43. 21 ]2)1[()( 5
3
xxf 44. 3
2
5
3
]2)1[()(1 xxf
45. 3
1
3
1
]2)5[()( 21 xxf 46. 2)1()( 3
121 xxf
47. 31
51
3
5
]1)1[(
1)(1
xxf 48. 31 )1()( 5
1
xxf
49. 3
1)()(
2
32
151
x
xf 50.
33
1 21
98)(
x
xxf
51. 21
21
)2()(1 xxf
55. 1k
60. a) Falso, b) Verdadero, c) Verdadero, d) Falso.
1.2.- FUNCIONES TRASCENDENTES.
Funciones trigonométricas.
Equivalencia entre unidades de medición de ángulos.
1. a) rad 31 b) rad
43 c) rad
67 d) rad
65
e) rad 91 f) rad
25 g) rad
125 h) rad
95
i) rad 41 j) rad 3
2 k) rad 34 l) rad 4
5
m) rad 121 n) rad 3 ñ) rad
154 o) rad 90
1
2. a) 45º b) 120º c) 330º d) –90º
e) 90º f) 540º g) –114º36´ h) 15º
i) 30º j) 240º k) 135º l) –900º
m) 19.10º n) –286.48º ñ) 165º o) 11.46º
Evaluación de funciones trigonométricas en ángulos notables.
3. a) 21 b) 2
21 c) 1 d)
21
e) 221 f) 0 g) 0 h) 3
21
i) 221 j) –1 k) 0 l) 3
21
m) 321 n) 0 ñ) 0 o) 3
p) 1 q) –1 r) 1 s) 3
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 39
t) 1 u) 1 v) –1 w) 3
2
x) 2 y) 331 z) 1 aa)
3
2
ab) 2 ac) –1 ad) 0
4. a) rad 21 b) rad c) rad
41 d) 0, rad 2
e) rad 23 f) 0, rad 2 g) rad
43 h) rad
21
i) 0, rad , rad 2 j) rad 21 , rad
23 k) 0, rad , rad 2 l) rad
21 , rad
23
m) rad 61 , rad
65 n) rad
32 , rad
34 ñ) rad
41 o) rad
31 , rad
35
p) rad 67 , rad
611 q) rad
31 , rad
35 r) rad
43 , rad
47 s) rad
61 , rad
65
t) rad 45 , rad
47 u) rad
41 , rad
47 v) rad
65 , rad
611 w) rad
31 , rad
34 .
Gráfico de las funciones trigonométricas.
5.-
a) 0 , 2A , 32T , Rf Dom ,
]2,2[ Rgo f
b) 0 , 2A , T , Rf Dom ,
]2,2[ Rgo f
c) 0 , 1A , 2T , Rf Dom ,
]1,1[ Rgo f
d) 0 , 2A , 32T , Rf Dom ,
]3,1[ Rgo f
e) 0 , 1A , 3
2T , Rf Dom ,
]2,0[ Rgo f
f) 0 , 1A , 4T , Rf Dom ,
]4,2[ Rgo f
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 40
g) 0 ,
21A , 4T , Rf Dom ,
],[ Rgo 21
21f
h) 0 , 4A , 61T , Rf Dom ,
]4,4[ Rgo f
i) 0 , 5A , 51T , Rf Dom ,
]5,5[ Rgo f
j) 0 , 2A , 38T , Rf Dom ,
]2,2[ Rgo f
k) 0 , 1A , 4T , Rf Dom ,
]1,1[ Rgo f
l) 0 , 21A , 4T , Rf Dom ,
],[ Rgo 21
21f
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 41
m) 0 ,
31A , 6T , Rf Dom ,
],[ Rgo 31
31f
n) 21 , 4A , 6T , Rf Dom ,
]4,4[ Rgo f
ñ) 83 , 4A , 3T , Rf Dom ,
]4,4[ Rgo f
o) 81 , 2A , T , Rf Dom ,
]4,0[ Rgo f
p) , 3A , 2T , Rf Dom ,
]3,3[ Rgo f
q) 2 , 4A , 2T , Rf Dom ,
]4,4[ Rgo f
r) 21 , 2A , 3
10T , Rf Dom ,
]2,2[ Rgo f
s) 65 , 2A , 3
10T , Rf Dom ,
]2,2[ Rgo f
t) 2 , 5A , 8T , Rf Dom ,
]5,5[ Rgo f
u) 21 , 12A ,
32T , Rf Dom ,
]12,12[ Rgo f
v) 31 , 2A , 3
2T , Rf Dom ,
]3,1[ Rgo f
Derivadas de las funciones trigonométricas.
7. a) )3(cos3 2x
b) )cossen(
2
3 xxxx
c)
xxx
1sen
11cos d)
)2(sen
)3(cos)2(cos)3(sen)2(sen3
x
xxxx
e) 3
22
3sen
3sen33cos2
x
xx f) 0
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 42
g) 0 h) xx tansec3 3
i)
1
1sen
)1(
22 x
x
x j)
)3(cos1
3
x
k) x
x
sen2
cos
l) )32(cos)32(sen18 2222 xxx
m) )12(tan)12(sec12 223 xxx n) )3tan8(sec2 xx
ñ) xx tansec2 2 o) )cot32(cotcsc2 xxx
p)
1
1sen
1
1cos
)1(
6 2
2 x
x
x
x
x q) ])13(cot61[)13(csc4 222 xxxx
r) 22 )sen(
)sen cos2(sen 2
xx
xxxx
s)
3 22 )cos1(3
2sen
x
x
t) 3 22
2
)(cos3
)(sen4
x
x
x u) )sec(tantansec2 222 xxxx
v) )1tan2(tansec3 223 xxx w) )2sen2cos3()4sen 2sen ( 22 xxxx
x) 22434323 tansec4)sen4costan3(sec xxxxxxxxx
y) )]4sen1(sen)cos1(4cos4sen30[)4sen1()cos1(2 5425 xxxxxxx
z) )4(sen)]3(cos1[)6(sen)]2(sen1[9)]2(sen1[
)]3(cos1[ 22
2
2
xxxxx
x
aa) 3 22
22
)sen1(3
)sen119()1(cossen
x
xxx
ab) ]tan4tan)1(2tan[)tan21(2
2sen 3 42
42
2
xxxxxxx
xx
ac) xxx 2sensen)sen2(sen 3
2
3
ad) )]cos2(sen)(cossencos)cos2([sen)2(sen3 223 xxxxx
ae) )](cos[sensen)(coscossen2 222 xxxx
af) )2(sen)(sen)](sen2[sen)]([sensen)]([sensen2sen15 55254545434 xxxxxx
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 43
8. a) )2(sec2)3(cos3
)2(sec)3(cos2
2
yxyx
yxyxx
b)
xyxyxyx
yyxyxyx
)(tan)(sec)(sen
)(tan)(sec)(sen
c) xyxyxyx
yyxyxyx
)(tan)(sec)(sen
)(tan)(sec)(sen d)
yxyyxx
yxxyxy222
22
23)(sec
22)(sec
e) yyxy
y
sen cos2sen 2
sen
f) yyxy
yxxx
2sec323
23)(cos222
22
g) 2
22
3
])4(sen6)4(cos[)4(cos23
y
xxxxxx
h) x
y
i)
x
y
j) x
y k)
)(sec)(tan3tansec2
)(sec)(tan34222
22
yxyxyy
yxyxy
l) ])(sec)(tan)([3tansec2
])(sec)(tan)([32222
222
yxyxyxxyy
yxyxyxx
m) x
y n)
)(cos2)(sec63
]1)(cos[3233222
2322
yxyxyyy
yxyx
ñ) )cos()(sen)()(
)cos()(sen)(2 yxyxyxyx
yxyxyx
o))]/(sencossen[sen
)]2/(sencos[cos
2
2
12
212
xxyxyyyyx
yxxyxyyxy
p) yx
yx
sensen21
coscos
q)
yxx
yxxyx
2
)1(sec23
2
2
r) xy
xyxbba
cos2
sen)(cos 22
Aplicaciones de las funciones trigonométricas.
9. marctan ; 8) 2
Funciones trigonométricas inversas.
Evaluación de las funciones trigonométricas inversas.
11. a) rad 61 b) rad 6
1 c) rad 31 d) rad 3
2
e) rad 31 f) rad 3
1 g) rad 61 h) rad 6
1
i) rad 61 j) rad 3
1 k) rad 61 l) rad 6
7
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 44
m) rad 31 n) rad 6
1 ñ) rad 31 o) rad 3
1
p) rad 21 q) rad 2
1 r) rad 21 s) rad 2
1
t) 0 u) 0 v) rad w) 0
x) rad y) rad 21 .
Gráfico de las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas.
20. a) 91 ; 1A ; 3
4T ; ],[Dom 9
4
9
2 f ; ],[Rgo 47
41f ;
])(sen[)(64
31
321 xxf ; ],[Dom
47
411 f ; ],[Rgo 9
4
9
21 f
b) 0 ; 1A ; 6T ; ],[Dom 23
23f ; ]2,0[Rgo f ; )1(sen)( 131 xxf
;
]2,0[Dom 1 f ; ],[Rgo 23
231 f
c) 4 ; 1A ; 8T ; ]6,2[Dom f ; ]1,1[Rgo f ; )sen()( 141
xxf ;
]1,1[Dom 1 f ; ]6,2[Rgo 1 f
d) 21 ; 1A ; 2T ; ],[Dom 22
f ; ]1,1[Rgo f ; 2
11 cos)( xxf ;
]1,1[Dom 1 f ; ],[Rgo 22
1 f
e) 61 ; 1A ; T ; ],[Dom
32
6f ; ]4,2[Rgo f ; ])3([cos)( 3
1
211 xxf ;
]4,2[Dom 1 f ; ],[Rgo3
26
1 f
f) 2 ; 3A ; 4T ; ]4,2[Dom f ; ]5,1[Rgo f ;
3
2cos
2)( 11 x
xf
; ]5,1[Dom 1 f ; ]4,2[Rgo 1 f
21. a)
22
3sen
2
3)(1 x
xf b) )3(sen2 xy
c) )4(sen2 xy d)
2
3cos3
xy
e)
2cos6
xy f) )32(cos4 xy
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
22. a) 24
1
x b)
241
2
x
c) 291
3
x d)
14
12 xx
e) 2
1
xx f) 0
g) 0 h) 21 xx
x
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 45
i) 24
2
x j)
1
22
x
k) 2
1
1cos
x
xx
l)
x
x
cos
cos
m) 242 x n) 1
22 x
ñ) 3)4(2 22 xx
x o) 2
1
p) 12
1
xx q)
x
x
sen2
sen
r) 1)23()23(
301022 xx
x s)
241
)21(2
x
x
t) 223 22 21)1(3
2
xx
x
x
x
u)
x
x
3
3
v) 22 xa w) 2)1(1
1
x
x
x) 4
2
2
21
2
2131
91
112
1
)3(sen2
1
)(sen 3)sen(
x
xx
x
xx
x
xxx
y) 212 x z) xba
ba
cos
22
aa) 1
12 x
23. a) 22
22
)(1)(1
)(1)(1
yxyxx
yxyxy
b)
1
121
xx
yy
c) 26243
53323
222
442
yxxyxx
yxyxyxy
Aplicaciones de las funciones trigonométricas inversas.
24. m 12x 25. Se demuestra.
26. pie 10x 27. m 392x
28. m 36x . El ángulo subtendido es 6
max rad.
29. m 62x . El ángulo subtendido es 79560.0max rad.
30. Se demuestra.
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 46
31. a)
xx
6arctan
18arctan ; b) 36x m. El ángulo subtendido es
6
max rad.
32. 500 m.
Funciones logarítmicas.
Dominio de las funciones logarítmicas.
33. a) ),(23 b) ),0()1,(
c) ),2()0,2( d) ),()2,(31
Evaluación de las funciones logarítmicas.
34. a) 1.77124; b) 3.32193; c) 8.49586; d) 0.63093; e) 6.10351; f) 1.28510; g) 0.62133; h)
0.43429.
Gráficos de las funciones logarítmicas.
35.
(a)
(b)
(c)
(d)
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 47
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 48
(k)
(l)
(m)
Derivadas de las funciones logarítmicas.
36. a) x54
5
b) )54(2
5
x
c) 241
8
x
x
d) 241
4
x
x
e) 4
1
x f)
4
5
x
g) 13
6
x
h) 13
)13(ln6
x
x
i) x2
1
j) )72()35(
)35925(4
72
12
35
202
2
2
xx
xx
x
x
x
k) )4()12(
)12513(2
4
10
12
62
2
2
xx
xx
x
x
x
l) )4(3
22 x
x
m) )43()1(2
)384(32
2
xx
xx
n) )13()52(2
17
xx
ñ) )1()1(3
212
2
xx
xx
o) )2(3
5
3
2
)2(3
1
xxx
p) )(2
32
xax
xa
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 49
q) )2()1(6
647
)2(3
2
)1(2
12
2
2
xx
xx
x
x
x
r) )2(csctan2
sec2
xx
x
s) 1ln x t) 2)(ln
1ln
x
x
u)
22
1
ln
1)1(ln
xxx
v) x5cot5
w) x
x)(lnsen
x)
x
xx )(lncot)(lncsc
y) x
xx
)(lncoscot
z) )]2sen([lnsen2cot2 xx
aa) xx ln
1
ab)
xx ln
1
ac) x
x
2
tan
ad) x2sec2
ae) xx
xx
2sen 2cos
2cos22sen 2
af)
11
12
12
1
x
x
x
ag)
xxx 32
11
33
3
ah) 2)1(
)1(ln1
x
x
ai)
xxx
x
xxxxxx
2)ln21(ln21
2sen
)2(senln)2(cos2)2(cos
aj)
1)2(ln)2(ln)2(
12 xxx
ak) x1tan
al) xxxx
122 tan)1(
1
ln1
1
am) ]1)1([ln)1(
1
)1(tan]1)1[(
1212
xxxx
an) )]([secln)(tg6 222 xxx añ) xx 3
2
)(ln
1
ao) xxx
xx
xx 2ln
1)ln2(senln2
2
122
ap) x
xx 32 ])ln1(1[)ln1(8
aq) x
x)(lnln1
ar)
10ln)1(2
1
xx
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 50
as) 3ln2
cot
x
x
at) )(ln
)2(ln3ln322
2
x
xy
au) 2ln2ln
1
xx
av) 10lnln
1
xx
aw) 10lnln
1
xx
ax) 3ln)ln(lnln
1
xxx
ay) )log(lnln
1
321 xxx
az) 10ln
)log2(tan)log2(sec2 1010
x
xx
ba) 2ln3ln
)3(lnlog3 2
2
xx
x
bb) 4lnln
)(lnlog4 22
4
xx
x
37. a) )1(ln
xx
yx
b) )1(
)1(
yx
xy
c) )1(
)1(
yxx
yxy d) )6ln2(
42 2
yxx
xyx
e) yx f) 322
3222
2
yxy
yxx
g) x
y h) )ln(
)ln(
yxxyxx
yxyxyy
i) ]1)(ln)1(ln[)1(
])(ln)1([32
32
yxxyxx
yxyxxy
j) )(
)(
yyxx
xyxy
k) yyxyx
xyxyx
2222
2222
l) 2sen cos
)cossen (2
yxyxy
xxy
m) x
xy )(lnsec2 2
n) yyxx 3
2
)ln1()13(cos)13(sen18
ñ) )1(
)1sen(1
2
12
yxyx
yxyy
o) ]1)(ln12[
]1)(ln1[
22
2
yxyx
yxxy
p) )]1(ln1[)1(3 2 xx
y q)
xy
xy
38. i) 4 3)1(4
23
xx
x j)
x
xxxx x
tan
sec)(tanln)(tan
2
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 51
k)
xxx x
ln
1)(lnln)(ln
l) xx x 21ln ln32
m)
xxxxxx x 1
lntan3sec 32sec3 3
n) )1(ln 212
xx x
ñ)
1
3ln
3
xx
x
o) x
xx x
cos
]1)tan(ln[cos)(tan 2sen
p) x
xx x ])(lnln[)(ln ln
q) )sen (lncot)sen (2 )sen (ln xxx x
r)
xx
x
xx
xtan
2
)(cosln)(cos
s)
xx
xxx x
ln
)2()(lnln)(ln 2
t)
)1(ln)1(
)1(ln2
1
))1((lnln)]1([ln
22
2)1(ln2
xx
xx
x
xx x
u) )()(2)(ln)()(
)()(22222
22
yxyyxyyxyxyx
yxyyxx
Aplicaciones de las funciones logarítmicas.
39. pie/s )44ln8()3( v , /spie )34ln2()3( 2a
Funciones exponenciales.
Gráficos de las funciones exponenciales.
41.
(a)
(b)
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 52
(c)
(d)
(e)
(f)
42.
(a)
(b)
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 53
(c)
(d)
(e)
43. a) x b) x
1 c) x2 d) xex e)
2x f) 2y
x
g) x h) 2
1
x i) x j)
x
1 k)
2x l) 2xx
m) xx 2ln2 n) x
Derivadas de las funciones exponenciales.
44. a) 2ln2x b) 5ln52
2xx c) 5ln522xx
d) 323 xex e) f)
g)
h)
i)
j) k)
l)
xe x 2tan secx
ex
2
x
x
2
2ln2ln
x
xx
x
2
ln
ln
2ln)1(ln2
)(lnsen12
)(lnsen
2
)(lnsen122
xx
exx
)32( 33
xexy x )21(1
2 2
4
2
xex
x x
)]4(lncos1[)4(lnsen xe x
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 54
m) n)
ñ) o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
aa) ab)
ac)
ad)
ae)
af)
ag)
ah)
ai) aj)
ak)
al)
am)
)2(sen1
)2(cos)2sen (tan2
2
12
x
xxxe x
)ln43(ln3 34
axa xx
)431()1()1( 32 xxxx eeee )12ln() (2sen 222 cossen xe xx
)1(3
])1(ln)1(1[22
222
x
xxex x
3ln2
)ln4( 2
xx
xxex
3ln2
)1ln(
x
xexe xex
xx
xxe x
ln2
)ln61( 2
32
3
2
])3(ln1[3)1()3(ln8
)1(])3(ln1[ 2232 xex
exex x
x
x
2)1(
3x
x
e
e
222
2
)(
)1(4x
x
ex
exx
xx
x
x
exx
xeex
xe
ln
1)1(
)1(
ln2
1
2 2
2
)ln3(
)lnln3ln(2
xe
xexexxex
xxx
x
x
coth
csch 2
)(cos622 33 xx eex
3log3ctg3 10
xx
5ln
cot3 xe x
1sen
2
2
x
xxx
e
eee
x
x
ex
e
1
x
x
e
e212
2
2
21
2
x
x
e
ex
14
36 xe )(arctan)1(
336
3
xx
x
ee
e
xx
x
ee
e841
4
1)(sen
2
12ln)(cos124 44)(sen 4 xxe ee
x
x
x
ex
e
1
xx e
xex
3ln
1)(logsen 3
)](sen)(sen 4)(cos)(cos3[)(cos)(sen 32 xxxxxxxx eeeeeeee
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 55
an)
añ) 2ln22 cos2sen 212
2ln1sen22
3
21
1cos
xxx
x
xxx
x
ao)
ap)
aq) 2ln)1(1
)1(cos)2(2
1211)1(cos 11
x
xxxee
e
eeey
xx
ar)
ex
e
x3
ln3
2
21
as)
at)
au)
av)
aw)
ax)
ay)
az) ba)
bb)
bc)
bd)
be)
bf)
bg)
bh)
bi)
bj)
bk)
bl) bm)
)seccos(
1sen
2
1 2 xxxx eexex
xe
axa xx ln)14(22
2ln)2sec2)(tan2(2 22tan2
xxxxy xx
aln
1
2ln
2 x
3ln
3 2x
x)3(ln
32
1
x
12
x
221 )]sen([cos6 xxy
1
2
12
12sec
4
2
xex
xy
11
222
x
x
x
x
)cot2()sen ln2(3 2 xxxy 3ln
2)(log 2
3xe
e
2ln
1
3ln)1(tan
)1(sec32
2
22
x
xx
)]1(ln1[)1(
2
3ln12222
xx
x
x
x
axxx ln
1
)1(ln)1(2
1
41
4
x
x
121ln2
1
x
x
e
e
xx 2
2
)2(
)ln1(2)ln1(
x
x
ex
xxxxxxe
2
)1(ln4
x
x x
x
x a
aa
a
a
2
ln)1(ln
)1(2
ln
xx 22 sectan3)(tanlntan
]12ln)ln(tan[tan2lnsec22
2tan
xx
xxxx
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 56
bn)
bñ)
bo)
bp)
bq)
br)
bs)
bt)
45. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) j)
k)
l)
m)
n)
ñ)
o)
p)
q)
xx
xx
eeee
841
414
1)sen(3
4)sen(4
3
2
3
1
]tan)(cosln[cos)(cosln10 22224sen 5 2
xxxxex x
)1(ln)1(2
)1(ln32232
2
xx
xxx
exe
eexex
)ln1(
ln44
3
xxex
xx
1lncossen 12)(ln4
2sen
4
5
3
xxxxxx
e x x
xex x 1)(lncos2)(lnsen )(lncos2
)(coslncos)sen (2cossen 2
2
sen
2
3
xxxxx
ex
)(cosln
tan3)(cosln4 x
xxex
xxe y ln
112
12
2
1
y
y
ex
e
x
yex x
2
)14(22
x
xxxx
eyx
eeexyxe
4
44
1)(cos
21)1()(cos1
yx
e x
1
12
xy
ex
ex
4
)2ln22(
)12(
3ln34
xx
eyyx xex
1 yyx
x
eye
e
11
12
2
yxx
yxy
134
313413
xy
exxx
xx
yex x
ln
3ln
y
exaxa xx
8
log4)ln23(ln3 32
yx
yxx
eyx
eyx
)(1
1)4ln4()(
)1cos(
)1cos(sen
sen
yeyx
xexyy
x
)cos(
)(sen sen cos
x
xxx
e
eeyex
yxyyyyy
yx
exeeeee
ey
)(sec)(tan)(sec 2xyye
xyyex
x
costansec2
sen sec2
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 57
r)
s)
t)
u) v)
w)
46. a) b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Funciones hiperbólicas.
Evaluación de las funciones hiperbólicas.
47. a) 0 b) 1 c)
d) e) 0 f) No existe.
g)
h) i)
j)
k) l)
m) n) ñ)
)3(sec3)3(sen 3)3(cos)3(tan)3(sec6
)3(sec62
2
3
3
yyyyyye
yexx
x
2
122
1
)cos2(1
yex
yey
y
x
1)(3ln3)(
1)(
yxy
yx
eyxxyx
eyxy
)2()41(
]2)41([2
2
yx
yx
eyxx
xeyy
)1(
)ln(
yx
yx
ex
yey
)12ln(222ln22
1)43(223
yxx
yxxyy
y
)cotsen ln()sen ( xxex xex
x
xxex xex
tan
sectanln)(tan
2
xxxxex xe x
ln
1)(lnln3)(ln 233
)cotsen (ln2
)sen (xx
x
exxe
x
22
2
2222
21
11
1sen)sen(ln)sen(2
xx
xxexx
ee
eeeex
x
xxxxeeex xxxe x
3sec19
1)3(seclntan3sec)3(sec
12
1333sec1 3
)3(ln)3(
1)3(logln2ln32)3(log 3
32
3
3
xxxx xx
1
ln2)1ln()1(3)1(sec3
2
2ln2tanln22tan
x
xx
x
xxxx xxxx
175.1)( 1
21 ee
175.1)( 1
21 ee
543.1)( 11
21 ee 543.1)( 1
21 ee 9640.0
22
22
ee
ee
9640.022
22
ee
ee45
45
1639.25.05.0
5.05.0
ee
ee1639.2
5.05.0
5.05.0
ee
ee43
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 58
o) p)
q)
r) s) t)
u) v) w)
Derivadas de las funciones hiperbólicas.
51. a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k) l)
m)
n)
ñ)
o)
p)
q)
r) s)
t)
u) v) w)
x)
52. a) b) c) d)
e) f) 0
g)
h)
i) j)
k) l)
m)
n)
ñ)
o) p)
q) r)
43 2658.0
222
ee2658.0
222
ee
313.11
1
ee
ee5
12 2757.02
22
ee
2757.02
22
ee7616.0
1
1
ee
ee1312
2cosh2 xx )1(cosh2 2xx 32senh3 xx
x3csch 3 2 )1(tanh)1(sech xxxx
1csch
1 2
2
22 )1(
4
x
xx2senh x2coth
xx 3tanh3sech6 2 xx 4tanh4 sech 8 2x
xx
2
sechtanh3 22
xcoth xtanh x2csch2
xcsch xcsch2x
x2senh1
cosh
x2sech 22sech2 xx xe x coshsenh
)1(sech2 22)1(tanh 2
xex x
x
xe x )ln(senh )(lncosh
x
xx
e
ee6
313
1
])(tan[cosh3
xeee xxx cosh)(tanh)(sech senh senh senh 2)senh(cosh2 xx xxcoshxx exxe 2)senh cosh(
xxx eexxe 3
23
21)]2(senh )2(cosh[2
xexxx xsenhcoshsenh cosh
xx tanh)sech( 34
34 )13(coth)13(csch 3)(2 22
52 5
2
xxxxxy
1
1tanh
11sech
12 xxxx xcosh1
1
)5(csch5 xx
x
2
coth
)]3([lntanh2
)3(ln)]3([lnsech333
232
xx
xx
)(tanh
)(sech ])(tanh[ln62
222 22
x
xxx
e
eeex
32222 ))](cos(senh [))(cos(cosh)(sen2 xxxx eeee
)1()(sech 23
23
232 xxeex xcosh
xx exe 44
21
21 2 )(sech)(tanhcos3 sen 2sen 2sen xxx eexe
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 59
s)
t) u)
v)
w)
53. a)
54. a) b)
c) d)
Funciones hiperbólicas inversas.
Evaluación de funciones hiperbólicas inversas.
55. a) 0; b) ; e) ; f)
Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas.
59. a) b)
c)
d) e) f)
g)
h)
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m)
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60. a) b)
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d) e) f)
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2
Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 60
g) h)
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224
yxyxx
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Capítulo 1. Funciones trascendentes.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 61
BIBLIOGRAFÍA.
APOSTOL, T, Calculus., REVERTÉ Ediciones, S.A de C.V. México, 2009.
DEMIDOVICH, B y otros. Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Editorial MIR,
Moscú, 1977.
DEMIDOVICH, B. 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo, 1988.
LANG, S, A Second Course in Calculus, 2 ed., Adisson – Wesley Publishing Company,
Inc., California, 1969.
LARSON, R y HOSTETLER, R, Cálculo y Geometría Analítica, 2 ed., Editorial
Interamericana de Venezuela, C.A., división de Mc Graw – Hill Internacional, Caracas,
1986.
LARSON, R, HOSTETLER, R y EDWARDS, B, Cálculo con Geometría Analítica, 8 ed.,
Mc Graw – Hill Interamericana Editores S.A de C.V, México, 2006.
LARSON, R y EDWARDS, B, Cálculo, 9 ed., Mc Graw – Hill Interamericana Editores
S.A de C.V, México, 2010.
LEITHOLD, L, El Cálculo, 7 ed., Oxford University Press México, S.A de C.V. México,
1998.
PURCELL, E, VARBERG, D y RIGDON, S, Cálculo, 9 ed., Pearson Educación de
México, S.A de C.V, México, 2007.
SPIEGEL, M. Cálculo Superior., Mc Graw – Hill Interamericana de México, S.A de C.V.
México, 1991.
THOMAS, G, Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica., Aguilar S. A de Ediciones.
Madrid, 1979.
ZILL, D, y WRIHGT, W. Cálculo de una variable. Cuarta edición. Mc Graw – Hill /
Interamericana Editores S.A. de C.V. México, 2011.
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