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MATEMATICAS BASICAS
Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Rafael Ballestas Rojano
Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas
Sede Bogota
Febrero de 2014
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 1 / 72
Parte I
Introduccion a la geometrıa elemental
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 2 / 72
Nociones Basicas
Las nociones de
punto, lınea y plano no seran definidas, pero . . .
punto lınea plano
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Nociones Basicas
Las nociones de punto,
lınea y plano no seran definidas, pero . . .
punto
lınea plano
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Nociones Basicas
Las nociones de punto, lınea
y plano no seran definidas, pero . . .
punto lınea
plano
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Nociones Basicas
Las nociones de punto, lınea y plano no seran definidas, pero . . .
punto lınea plano
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Nociones basicas
La presentacion tradicional de la geometrıa euclidiana se hace en unformato axiomatico.
Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto numero depostulados que se presumen verdaderos (conocidos como axiomas) y atraves de operaciones logicas, genera nuevos postulados cuyo valor deverdad es tambien positivo.
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Nociones basicas
La presentacion tradicional de la geometrıa euclidiana se hace en unformato axiomatico.
Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto numero depostulados que se presumen verdaderos (conocidos como axiomas) y atraves de operaciones logicas, genera nuevos postulados cuyo valor deverdad es tambien positivo.
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Cinco postulados de Euclides
1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.
2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua encualquier sentido.
3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier puntoy de cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son iguales.
5 Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela.
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Cinco postulados de Euclides
1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.
2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua encualquier sentido.
3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier puntoy de cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son iguales.
5 Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela.
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Cinco postulados de Euclides
1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.
2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua encualquier sentido.
3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier puntoy de cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son iguales.
5 Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela.
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Cinco postulados de Euclides
1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.
2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua encualquier sentido.
3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier puntoy de cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son iguales.
5 Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela.
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Cinco postulados de Euclides
1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.
2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua encualquier sentido.
3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier puntoy de cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son iguales.
5 Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela.
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Nociones Basicas
Una
lınea, un segmento y un rayo . . .
A
lınea AB
B
A
segmento AB
B
rayo AB
A B
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Nociones Basicas
Una lınea,
un segmento y un rayo . . .
A
lınea AB
B
A
segmento AB
B
rayo AB
A B
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Nociones Basicas
Una lınea, un segmento
y un rayo . . .
A
lınea AB
B
A
segmento AB
B
rayo AB
A B
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Nociones Basicas
Una lınea, un segmento y un rayo . . .
A
lınea AB
B
A
segmento AB
B
rayo AB
A B
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Angulos
Definicion
Un angulo es la union de dos rayos que tienen un punto extremo comun.Cada uno de los rayos se llama lado del angulo, y el punto comun seconoce como vertice.
O
A
Bvertice
Para medir angulos se emplea una herramienta llamada transportador.
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Angulos
Definicion
Un angulo es la union de dos rayos que tienen un punto extremo comun.Cada uno de los rayos se llama lado del angulo, y el punto comun seconoce como vertice.
O
A
Bvertice
Para medir angulos se emplea una herramienta llamada transportador.
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Angulos
Podemos clasificar los angulo segun su medida:
agudo si mide menos de90◦, recto si mide 90◦, obtuso si mide mas de 90◦, pero menos de 180◦ yllano si mide 180◦.
angulo agudo angulo recto
angulo obtuso angulo llano
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Angulos
Podemos clasificar los angulo segun su medida: agudo si mide menos de90◦,
recto si mide 90◦, obtuso si mide mas de 90◦, pero menos de 180◦ yllano si mide 180◦.
angulo agudo
angulo recto
angulo obtuso angulo llano
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Angulos
Podemos clasificar los angulo segun su medida: agudo si mide menos de90◦, recto si mide 90◦,
obtuso si mide mas de 90◦, pero menos de 180◦ yllano si mide 180◦.
angulo agudo angulo recto
angulo obtuso angulo llano
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Angulos
Podemos clasificar los angulo segun su medida: agudo si mide menos de90◦, recto si mide 90◦, obtuso si mide mas de 90◦, pero menos de 180◦
yllano si mide 180◦.
angulo agudo angulo recto
angulo obtuso
angulo llano
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Angulos
Podemos clasificar los angulo segun su medida: agudo si mide menos de90◦, recto si mide 90◦, obtuso si mide mas de 90◦, pero menos de 180◦ yllano si mide 180◦.
angulo agudo angulo recto
angulo obtuso angulo llano
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Angulos
Encuentre las medidas de los angulos de la siguiente figura, sabiendo que∠ABC es un angulo recto.
(2x + 20)◦
B
A
C
(12x)◦
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Angulos
Definicion
Se dice que dos angulos son complementarios si la suma de susmedidas es 90◦.
Se dice que dos angulos son suplementarios si la suma de susmedidas es 180◦.
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Angulos
Definicion
Se dice que dos angulos son complementarios si la suma de susmedidas es 90◦.
Se dice que dos angulos son suplementarios si la suma de susmedidas es 180◦.
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Angulos
Ejercicio
El suplemento de un angulo mide 10◦ mas que el triple de sucomplemento. Calcule la medida del angulo.
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Rectas paralelas
Dos rectas distintas que estan en el mismo plano son paralelas si no seintersecan. Una recta que interseca dos rectas paralelas se denominatransversal.
lıneas paralelas lıneas que se intersecan
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Angulos entre paralelas
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se formanocho angulos, como se muestra en la figura.
85 6
7
41 2
3
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Angulos entre paralelas
85 6
7
41 2
3
∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y son congruentes, esdecir, tienen la misma medida; esto se nota ∠5 ∼= ∠4.
∠1 y ∠8 se llaman angulos alternos externos y ∠1 ∼= ∠8.
∠6 y ∠2 se llaman angulos correspondientes y ∠6 ∼= ∠2.
∠7 y ∠6 se llaman opuestos por el vertice y ∠7 ∼= ∠6.
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Angulos entre paralelas
85 6
7
41 2
3
∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y son congruentes, esdecir, tienen la misma medida; esto se nota ∠5 ∼= ∠4.
∠1 y ∠8 se llaman angulos alternos externos y ∠1 ∼= ∠8.
∠6 y ∠2 se llaman angulos correspondientes y ∠6 ∼= ∠2.
∠7 y ∠6 se llaman opuestos por el vertice y ∠7 ∼= ∠6.
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Angulos entre paralelas
85 6
7
41 2
3
∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y son congruentes, esdecir, tienen la misma medida; esto se nota ∠5 ∼= ∠4.
∠1 y ∠8 se llaman angulos alternos externos y ∠1 ∼= ∠8.
∠6 y ∠2 se llaman angulos correspondientes y ∠6 ∼= ∠2.
∠7 y ∠6 se llaman opuestos por el vertice y ∠7 ∼= ∠6.
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Angulos entre paralelas
85 6
7
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3
∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y son congruentes, esdecir, tienen la misma medida; esto se nota ∠5 ∼= ∠4.
∠1 y ∠8 se llaman angulos alternos externos y ∠1 ∼= ∠8.
∠6 y ∠2 se llaman angulos correspondientes y ∠6 ∼= ∠2.
∠7 y ∠6 se llaman opuestos por el vertice y ∠7 ∼= ∠6.
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Angulos entre paralelas
Ejercicio
Encuentre otros pares de angulos
alternos internos
alternos externos
correspondientes
opuestos por el vertice
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Angulos entre paralelas
Ejercicio
En la figura m ‖ n (m es paralela a n). Encuentre el valor de los angulosque se indican.
m
n
(5x − 40)◦
(3x + 2)◦
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Triangulos
Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.
Podemos clasificar los triangulos por la medida de sus lados:
equilatero es el que tiene todos sus lados congruentes,
isosceles tiene dos lados congruentes y
escaleno no tiene lados congruentes.
Equilatero Isosceles Escaleno
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Triangulos
Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.
Podemos clasificar los triangulos por la medida de sus lados:
equilatero es el que tiene todos sus lados congruentes,
isosceles tiene dos lados congruentes y
escaleno no tiene lados congruentes.
Equilatero Isosceles Escaleno
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Triangulos
Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.
Podemos clasificar los triangulos por la medida de sus lados:
equilatero es el que tiene todos sus lados congruentes,
isosceles tiene dos lados congruentes y
escaleno no tiene lados congruentes.
Equilatero
Isosceles Escaleno
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Triangulos
Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.
Podemos clasificar los triangulos por la medida de sus lados:
equilatero es el que tiene todos sus lados congruentes,
isosceles tiene dos lados congruentes y
escaleno no tiene lados congruentes.
Equilatero Isosceles
Escaleno
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Triangulos
Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.
Podemos clasificar los triangulos por la medida de sus lados:
equilatero es el que tiene todos sus lados congruentes,
isosceles tiene dos lados congruentes y
escaleno no tiene lados congruentes.
Equilatero Isosceles Escaleno
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Triangulos
Tambien se pueden clasificar por la medida de sus angulos:
acutangulo tiene todos sus lados agudos,
rectangulo tiene un angulo de 90◦ y
obtusangulo tiene un angulo obtuso.
Acutangulo Rectangulo Obtusangulo
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Triangulos
Tambien se pueden clasificar por la medida de sus angulos:
acutangulo tiene todos sus lados agudos,
rectangulo tiene un angulo de 90◦ y
obtusangulo tiene un angulo obtuso.
Acutangulo
Rectangulo Obtusangulo
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Triangulos
Tambien se pueden clasificar por la medida de sus angulos:
acutangulo tiene todos sus lados agudos,
rectangulo tiene un angulo de 90◦ y
obtusangulo tiene un angulo obtuso.
Acutangulo Rectangulo
Obtusangulo
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Triangulos
Tambien se pueden clasificar por la medida de sus angulos:
acutangulo tiene todos sus lados agudos,
rectangulo tiene un angulo de 90◦ y
obtusangulo tiene un angulo obtuso.
Acutangulo Rectangulo Obtusangulo
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Triangulos
La suma de los angulos internos de un triangulo es 180◦.
A B
C
zx y
yx
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Triangulos
Ejercicio
Calcule la medida de cada angulo del triangulo de la figura.
(210− 3x)◦x◦
(x + 20)◦
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Triangulos
Definicion
En el triangulo que se aprecia en la figura, los angulos 1, 2 y 3 se llamanangulos interiores, mientras que los senalados con los numeros 4, 5 y 6 sellaman angulos exteriores del triangulo.
4
5
26
31
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Triangulos
La medida de un angulo exterior de un triangulo, es igual a la suma de lasmedidas de los dos angulos interiores opuestos.
4
5
26
31
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Triangulos
Ejercicio
Calcule las medidas de los angulos interiores ∠A,∠B y ∠C del triangulo dela figura, y la medida del angulo exterior ∠BCD.
A C
B
(x + 20)◦
x◦ (3x − 40)◦
D
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Circunferencia
Definicion
Una circunferencia es un conjunto de puntos en un plano, cada uno de loscuales esta a la misma distancia de un punto fijo.
O r
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Circunferencia
Teorema
Cualquier angulo inscrito en un semicırculo debe ser recto.
Demostracion.
•
α β
α β
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Circunferencia
Teorema
Cualquier angulo inscrito en un semicırculo debe ser recto.
Demostracion.
•α β
α β
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Circunferencia
Ejercicio
Con el uso de los puntos, segmentos y lıneas de la figura, haga una listade: centro, radios, diametros, cuerdas, secantes, tangentes.
•O
B
D
A
C
E•
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Polıgonos
Definicion
Un polıgono es una curva simple cerrada constituida solo porsegmentos de recta.
Los segmentos se llaman lados y los puntos en los que se tocan sellaman vertices.
Los polıgonos con todos sus angulos y lados congruentes se llamanpolıgonos regulares.
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Polıgonos
Definicion
Un polıgono es una curva simple cerrada constituida solo porsegmentos de recta.
Los segmentos se llaman lados y los puntos en los que se tocan sellaman vertices.
Los polıgonos con todos sus angulos y lados congruentes se llamanpolıgonos regulares.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 27 / 72
Polıgonos
Definicion
Un polıgono es una curva simple cerrada constituida solo porsegmentos de recta.
Los segmentos se llaman lados y los puntos en los que se tocan sellaman vertices.
Los polıgonos con todos sus angulos y lados congruentes se llamanpolıgonos regulares.
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Polıgonos
Clasificacion de los polıgonos de acuerdo con el numero de lados.
Numero de lados Nombre3 Triangulo
4 Cuadrilatero5 Pentagono6 Hexagono7 Heptagono8 Octagono9 Nonagono
10 Decagono
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Polıgonos
Clasificacion de los polıgonos de acuerdo con el numero de lados.
Numero de lados Nombre3 Triangulo4 Cuadrilatero
5 Pentagono6 Hexagono7 Heptagono8 Octagono9 Nonagono
10 Decagono
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Polıgonos
Clasificacion de los polıgonos de acuerdo con el numero de lados.
Numero de lados Nombre3 Triangulo4 Cuadrilatero5 Pentagono
6 Hexagono7 Heptagono8 Octagono9 Nonagono
10 Decagono
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Polıgonos
Clasificacion de los polıgonos de acuerdo con el numero de lados.
Numero de lados Nombre3 Triangulo4 Cuadrilatero5 Pentagono6 Hexagono
7 Heptagono8 Octagono9 Nonagono
10 Decagono
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Polıgonos
Clasificacion de los polıgonos de acuerdo con el numero de lados.
Numero de lados Nombre3 Triangulo4 Cuadrilatero5 Pentagono6 Hexagono7 Heptagono
8 Octagono9 Nonagono
10 Decagono
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Polıgonos
Clasificacion de los polıgonos de acuerdo con el numero de lados.
Numero de lados Nombre3 Triangulo4 Cuadrilatero5 Pentagono6 Hexagono7 Heptagono8 Octagono
9 Nonagono10 Decagono
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Polıgonos
Clasificacion de los polıgonos de acuerdo con el numero de lados.
Numero de lados Nombre3 Triangulo4 Cuadrilatero5 Pentagono6 Hexagono7 Heptagono8 Octagono9 Nonagono
10 Decagono
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Polıgonos
Clasificacion de los polıgonos de acuerdo con el numero de lados.
Numero de lados Nombre3 Triangulo4 Cuadrilatero5 Pentagono6 Hexagono7 Heptagono8 Octagono9 Nonagono
10 Decagono
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Cuadrilateros
Trapecio
Es un cuadrilatero con un par de ladosparalelos
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 29 / 72
Cuadrilateros
Paralelogramo
Es un cuadrilatero con dos pares de ladosparalelos
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 30 / 72
Cuadrilateros
Rectangulo
Es un paralelogramo con un angulo recto,por lo tanto cuatro angulos rectos.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 31 / 72
Cuadrilateros
Cuadrado
Es un rectangulo cuyos lados tienen lamisma longitud.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 32 / 72
Cuadrilateros
Rombo
Es un paralelogramo cuyos lados tienen lamisma longitud
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 33 / 72
Perımetro
Definicion
El perımetro de un polıgono es la suma de las medidas de sus lados.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 34 / 72
Perımetro
Ejercicio
Un terreno tiene forma de rectangulo. Si su largo es 50 pies y su ancho es26 pies, ¿que cantidad de cerca se necesita para encerrar por completo ellote?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 35 / 72
Perımetro
Ejercicio
La longitud de una etiqueta de forma rectangular es 1 centımetro mas queel doble del ancho. El perımetro es de 110 centımetros. Calcule el largo yel ancho.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 36 / 72
Area
Definicion
El area de una figura plana es la medida de la superficie cubierta por lafigura.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 37 / 72
Area
Area de un rectangulo
El area de un rectangulo de largo b y anchoh esta dada por la formula
A = bhb
h
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 38 / 72
Cuadrilateros
Area de un cuadrado
El area A de un cuadrado cuyo lado tienelongitud a es
A = a2
a
a
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Cuadrilateros
Area de un paralelogramo
El area de un paralelogramo con altura h ybase b es
A = bh b
h
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 40 / 72
Area
Area de un triangulo
El area A de un triangulo con altura h ybase b es
A =bh
2
h
b
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 41 / 72
Cuadrilateros
Area de un trapecio
El area de un trapecio con basesparalelas B y b y altura h es
A =1
2h(B + b)
h
B
b
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 42 / 72
Area
Ejercicio
La siguiente figura muestra el planodel piso de un edificio, constituidopor varios rectangulos. Si cadalongitud esta en metros, ¿cuantosmetros cuadrados de recubrimientose requerirıan para cubrir el piso deledificio?
10
15
15
10
12
7
3
40
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 43 / 72
Area
Ejercicio
Calcule el area del paralelogramo dela figura.
15 cm
6 cm
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 44 / 72
Area
Ejercicio
Calcule el area del trapecio de lafigura.
6 cm
9 cm
3 cm
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 45 / 72
Area
Definicion
La region limitada por la circunferenciaC de radio r se llama cırculo de radio r .La circunferencia o perımetro de uncırculo de radio r esta dada por laformula
C = 2πr .
El area de un cırculo de radio resta dada por
A = πr2.
•dr
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 46 / 72
Area
Ejercicio
1 Un cırculo tiene un diametro de 12.6 centımetros. Calcule sucircunferencia.
2 El radio de un cırculo es de 1.7 metros. Calcule su circunferencia.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 47 / 72
Area
Ejercicio
En un negocio de entrega de pizzas a domicilio, el precio de un pizza depepperoni de 8 pulgadas de diametro es de $6,99, mientras que el de unade 16 pulgadas de diametro es de $13,98. Un cliente que requiere variaspizzas para una reunion, ¿que tipo de pizzas deberıa comprar para tener elmejor precio?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 48 / 72
Area
Ejercicio
La siguiente figura tiene perımetro P = 38. Encuentre el valor de x y elarea de la figura.
2x − 3
2x − 3
x + 1 x + 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 49 / 72
Area
Ejercicio
La siguiente figura tiene area A = 30. Encuentre el valor de x .
3
x + 4
x
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 50 / 72
Perımetro y Area
Ejercicio
Encuentre el area y el perımetro de la parte sombreada
21 pies
23 pies
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 51 / 72
Perımetro y Area
Ejercicio
A partir del cırculo con centro O y el rectangulo ABCO obtenga eldiametro del cırculo, sabiendo que AC = 13 pulgadas y AD = 3 pulgadas.
OA
B C
D
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 52 / 72
Triangulo Rectangulo
Definicion
En un triangulo rectangulo, los lados que forman el angulo rectose llaman catetos y el otro lado hipotenusa.
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Teorema de Pitagoras
Teorema
Si los dos catetos de un triangulorectangulo tienen longitudes a y b, yla hipotenusa tiene longitud c,entonces
a2 + b2 = c2.
ac
b
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 54 / 72
Teorema de Pitagoras
Demostracion.
Pensando en areas:
(a + b)2 = 4
(ab
2
)+ c2
a2 + b2 = c2
a b
a
b
ab
a
bc
cc
c
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 55 / 72
Triangulo Rectangulo
Ejercicio
Una terna pitagorica es una terna de numeros a, b, c que cumplen quea2 + b2 = c2. Si se demuestra que (x , x + 1, y) es una terna pitagoricaentonces tambien lo es
(3x + 2y + 1, 3x + 2y + 2, 4x + 3y + 2).
Utilice esta idea para encontrar tres ternas pitagoricas.Comience con la terna (3, 4, 5).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Geometrıa elemental 56 / 72
Triangulo Rectangulo
Ejercicio
La hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 1 centımetro mas que eldoble del cateto mas corto, y el cateto mas largo mide 9 centımetrosmenos que el triple del cateto mas corto. Determine las longitudes de lostres lados del triangulo.
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Perımetro y Area
Ejercicio
Dada la figura, encuentre el perımetro y el area.
4
5
8
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Perımetro y Area
Ejercicio
Si la proporcion entre AD y DC es de 1 a 3, AC mide 16 cmy DB mide 3 cm, encuentre el area y el perımetro de los triangulos4ADB, 4BDC y 4ABC .
A
B
CD
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Triangulos congruentes
Definicion
Dos triangulos son congruentes si tienen la misma forma y el mismotamano, esto es, si tienen lados y angulos congruentes.
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Criterios de congruencia
LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triangulo soncongruentes respectivamente a los tres lados de otrotriangulo, entonces los triangulos son congruentes.
LAL Lado-Angulo-Lado. Si dos lados de un triangulo y el angulocomprendido entre ellos son congruentes respectivamente ados lados y el angulo comprendido de un segundo triangulo,entonces los triangulos son congruentes.
ALA Angulo-Lado-Angulo. Si dos angulos y el lado comun de untriangulo son congruentes respectivamente con dos angulos yel lado comun de un segundo triangulo, entonces lostriangulos son congruentes.
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Criterios de congruencia
LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triangulo soncongruentes respectivamente a los tres lados de otrotriangulo, entonces los triangulos son congruentes.
LAL Lado-Angulo-Lado. Si dos lados de un triangulo y el angulocomprendido entre ellos son congruentes respectivamente ados lados y el angulo comprendido de un segundo triangulo,entonces los triangulos son congruentes.
ALA Angulo-Lado-Angulo. Si dos angulos y el lado comun de untriangulo son congruentes respectivamente con dos angulos yel lado comun de un segundo triangulo, entonces lostriangulos son congruentes.
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Criterios de congruencia
LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triangulo soncongruentes respectivamente a los tres lados de otrotriangulo, entonces los triangulos son congruentes.
LAL Lado-Angulo-Lado. Si dos lados de un triangulo y el angulocomprendido entre ellos son congruentes respectivamente ados lados y el angulo comprendido de un segundo triangulo,entonces los triangulos son congruentes.
ALA Angulo-Lado-Angulo. Si dos angulos y el lado comun de untriangulo son congruentes respectivamente con dos angulos yel lado comun de un segundo triangulo, entonces lostriangulos son congruentes.
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Triangulos congruentes
Definicion
Dos triangulos son semejantes si tienen la misma forma pero nonecesariamente el mismo tamano.
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Criterios de semejanza
AA Angulo-Angulo. Si dos angulos de un triangulo soncongruentes con dos angulos de otro triangulo, entonces lostriangulos son semejantes.
LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triangulo sonproporcionales a los tres lados de otro triangulo, entonces losdos triangulos son semejantes.
LAL Lado-Angulo-Lado. Si un angulo de un triangulo escongruente con un angulo de otro triangulo, y si los ladoscorrespondientes que incluyen el angulo son proporcionales,entonces los triangulos son semejantes.
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Criterios de semejanza
AA Angulo-Angulo. Si dos angulos de un triangulo soncongruentes con dos angulos de otro triangulo, entonces lostriangulos son semejantes.
LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triangulo sonproporcionales a los tres lados de otro triangulo, entonces losdos triangulos son semejantes.
LAL Lado-Angulo-Lado. Si un angulo de un triangulo escongruente con un angulo de otro triangulo, y si los ladoscorrespondientes que incluyen el angulo son proporcionales,entonces los triangulos son semejantes.
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Criterios de semejanza
AA Angulo-Angulo. Si dos angulos de un triangulo soncongruentes con dos angulos de otro triangulo, entonces lostriangulos son semejantes.
LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triangulo sonproporcionales a los tres lados de otro triangulo, entonces losdos triangulos son semejantes.
LAL Lado-Angulo-Lado. Si un angulo de un triangulo escongruente con un angulo de otro triangulo, y si los ladoscorrespondientes que incluyen el angulo son proporcionales,entonces los triangulos son semejantes.
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Semejanza de triangulos
Ejercicio
Encuentre el valor de x .
AB 4 D
3
E
x
C
6
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Semejanza de triangulos
Como el 4BDE es rectangulo y ∠Des recto, podemos utilizar el teoremade Pitagoras, es decir,
BE 2 = BD2 + DE 2.
Por consiguiente tenemos:
BE 2 = 42 + 32 = 25
BE =√
25 = 5
AB 4 D
3
E
x
C
6
Los triangulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que:∠A ∼= ∠D, ambos son rectos; ∠ABC ∼= ∠DBE ya que son opuestos por elvertice; por tanto, por el criterio AA se concluye que 4ABC es semejantea 4DBE .
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Semejanza de triangulos
Como el 4BDE es rectangulo y ∠Des recto, podemos utilizar el teoremade Pitagoras, es decir,
BE 2 = BD2 + DE 2.
Por consiguiente tenemos:
BE 2 = 42 + 32 = 25
BE =√
25 = 5
AB 4 D
3
E
x
C
6
Los triangulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que:∠A ∼= ∠D, ambos son rectos; ∠ABC ∼= ∠DBE ya que son opuestos por elvertice; por tanto, por el criterio AA se concluye que 4ABC es semejantea 4DBE .
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Semejanza de triangulos
Como el 4BDE es rectangulo y ∠Des recto, podemos utilizar el teoremade Pitagoras, es decir,
BE 2 = BD2 + DE 2.
Por consiguiente tenemos:
BE 2 = 42 + 32 = 25
BE =√
25 = 5
AB 4 D
3
E
x
C
6
Los triangulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que:
∠A ∼= ∠D, ambos son rectos; ∠ABC ∼= ∠DBE ya que son opuestos por elvertice; por tanto, por el criterio AA se concluye que 4ABC es semejantea 4DBE .
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Semejanza de triangulos
Como el 4BDE es rectangulo y ∠Des recto, podemos utilizar el teoremade Pitagoras, es decir,
BE 2 = BD2 + DE 2.
Por consiguiente tenemos:
BE 2 = 42 + 32 = 25
BE =√
25 = 5
AB 4 D
3
E
x
C
6
Los triangulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que:∠A ∼= ∠D,
ambos son rectos; ∠ABC ∼= ∠DBE ya que son opuestos por elvertice; por tanto, por el criterio AA se concluye que 4ABC es semejantea 4DBE .
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Semejanza de triangulos
Como el 4BDE es rectangulo y ∠Des recto, podemos utilizar el teoremade Pitagoras, es decir,
BE 2 = BD2 + DE 2.
Por consiguiente tenemos:
BE 2 = 42 + 32 = 25
BE =√
25 = 5
AB 4 D
3
E
x
C
6
Los triangulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que:∠A ∼= ∠D, ambos son rectos;
∠ABC ∼= ∠DBE ya que son opuestos por elvertice; por tanto, por el criterio AA se concluye que 4ABC es semejantea 4DBE .
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Semejanza de triangulos
Como el 4BDE es rectangulo y ∠Des recto, podemos utilizar el teoremade Pitagoras, es decir,
BE 2 = BD2 + DE 2.
Por consiguiente tenemos:
BE 2 = 42 + 32 = 25
BE =√
25 = 5
AB 4 D
3
E
x
C
6
Los triangulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que:∠A ∼= ∠D, ambos son rectos; ∠ABC ∼= ∠DBE ya que son opuestos por elvertice;
por tanto, por el criterio AA se concluye que 4ABC es semejantea 4DBE .
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Semejanza de triangulos
Como el 4BDE es rectangulo y ∠Des recto, podemos utilizar el teoremade Pitagoras, es decir,
BE 2 = BD2 + DE 2.
Por consiguiente tenemos:
BE 2 = 42 + 32 = 25
BE =√
25 = 5
AB 4 D
3
E
x
C
6
Los triangulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que:∠A ∼= ∠D, ambos son rectos; ∠ABC ∼= ∠DBE ya que son opuestos por elvertice; por tanto, por el criterio AA se concluye que 4ABC es semejantea 4DBE .
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Semejanza de triangulos
Utilizando este hecho podemos afirmar que
AC
DE=
BC
BE
De donde se tiene:
6
3=
x
5,
es decir, x = 10.
AB 4 D
3
E
x
C
6
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Semejanza de triangulos
Utilizando este hecho podemos afirmar que
AC
DE=
BC
BE
De donde se tiene:
6
3=
x
5,
es decir, x = 10.
AB 4 D
3
E
x
C
6
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Semejanza de triangulos
Utilizando este hecho podemos afirmar que
AC
DE=
BC
BE
De donde se tiene:
6
3=
x
5,
es decir, x = 10.
AB 4 D
3
E
x
C
6
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Volumen
Volumen de un paralelepıpedo
El volumen de una caja de largo l ,ancho a y altura h es
V = lah
y el area de su superficie esS = 2la + 2ah + 2lh
la
h
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Volumen
Volumen de un cubo
El volumen de un cubo de lado a es
V = a3
y su area superficial es
S = 6a2 aa
a
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Volumen
Volumen de un cilindro
El volumen de un cilindro circularrecto de altura h y radio de su base res
V = πr2h
y el area de su superficie es
S = 2πrh + 2πr2
h
r
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Volumen
Volumen de una esfera
El volumen de una esfera de radio res
V =4
3πr3
y el area de su superficie es
S = 4πr2
r
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Volumen
Volumen de un cono
El volumen de un cono circular rectocon altura h y radio de la base r es
V =1
3πr2h
y el area de su superficie es
S = πr√r2 + h2 + πr2
h
r
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Volumen
Volumen de una piramide
Si B representa el area de la base deuna piramide y h la altura, entoncesel volumen esta dado por
V =1
3Bh
h
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