Teorema chino del residuo

HISTORIA Llamado así porque ya se empleaba en la civilización

china en el siglo !I a.C. en casos muy concretos, como era para calcular fechas de suceción ligadas a periodos de efemérides astronómicas.

TEOREMA

COROLARIO

EJEMPLO Encuentra el menor entero positivo que al dividirlo por

5 dé resto 4, al dividirlo por 7 dé resto 3 y al dividirlo por 11 se obtenga resto 1.

SOLUCIÓN!!! :D Puesto que 5, 7 y 11 son primos, son primos de dos a

dos. Con ello, en virtud del corolario podemos aplicar el TEOREMA CHINO. Las expresiones se traducen en hallar soluciones particulares de las ecuaciones diofánticas por separado:

PROBLEMASiete ladrones tratan de repartir, entreellos y a partes iguales, un botín delingotes de oro.

Desafortunadamente, sobran seislingotes y en la pelea que se desatamuere uno de ellos. Como al hacer denuevo el reparto sobran dos lingotes,vuelven a pelear y muere otro. En elsiguiente reparto vuelve a sobrar unabarra y sólo después de que muera otroes posible repartirlas por igual.

¿Cuál es el mínimo número de barraspara que esto ocurra?

PROBLEMA 3. Una banda de 13 piratas

encontró cierto número de monedas de oro. Al distribuirlas equitativamente les sobraron 8 monedas. Debido a una fiebre murieron 2 de los piratas y al hacer un nuevo reparto des monedas, les sobraron 3.

Por peleas entre ellos murieron 3 más y en último reparto le sobraron 5 monedas. Hallar el menor número de monedas que encontraron.

SOLUCIÓN Representemos por x el número de monedas

encontradas. Tenemos el sistema:

PROBLEMA 4.