Teoría de las Ecuaciones

ALGEBRA

TEORÍA DE LAS ECUACIONES

Prof. Widman Gutiérrez

ECUACIONES

Es una igualdad que sólo se satisface o verifica para sistemas particulares de valores numéricos asignados a sus letras.Las letras reciben el nombre de incógnitas, que por lo general se representa con las últimas letras del alfabeto (…,x,y,z).

Ejemplos

5 𝑥−3=3𝑥+1𝑥2−7 𝑥+2=12−2𝑥

3𝑥−1𝑥−4

=5

𝑥−1√𝑥+15

= 1√𝑥+1

=3

DEFINICIÓN

5𝑥+1=125

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

SEGÚN EL NÚMERO DE SOLUCIONES• ECUACIÓN COMPATIBLE• DETERMINADA• INDETERMINADA

• ECUACIÓN INCOMPATIBLE

SEGÚN EL GRADO DE SUS MIEMBROS• ECUACIÓN DE PRIMER GRADO• ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

SEGÚN LA NATURALEZA DE SUS MIEMBROS• ECUACIÓN NUMÉRICA• ECUACIÓN LITERAL• ECUACIÓN POLINOMIAL• ECUACIÓN RACIONAL• ECUACIÓN IRRACIONAL

ECUACIONES

ECUACIÓN COMPATIBLE

Es llamada también ecuación posible y ocurre cuando la ecuación admite solución y por el número de soluciones puede ser:

Ejemplo:

1. Compatible Determinada. Cuando se puede enumerar sus soluciones, el conjunto solución es un conjunto finito.

𝒙𝟑+𝟔=𝟕 𝒙

ECUACIONES

2. Compatible Indeterminada. Cuando no es posible enumerar sus soluciones, el conjunto solución es un conjunto infinito.

Ejemplo: 𝟐

𝒙−𝟑=𝟏+

𝟓− 𝒙𝒙−𝟑

Tiene 3 soluciones: 1; 2 y -3

Tiene infinitas soluciones, excepto para x=3.

ECUACIÓN INCOMPATIBLE

Solución: 𝑥 (𝑥+2 )=(𝑥+1)2

𝑥22 𝑥

Ejemplo: Resuelve 𝑥

𝑥+1=𝑥+1𝑥+2

ECUACIONES

Es llamada también ecuación imposible y es aquella ecuación que no admite solución y también se le llama absurda o inconsistente.

Multiplicamos en aspa, y obtenemos:

Desarrollamos los productos notables y reducimos términos semejantes

𝑥2¿ 2 𝑥0

+¿¿1

1…ABSURDO

+¿ +¿∴

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

ECUACIONES

Conocida también como ecuación lineal, es aquella ecuación donde la incógnita o variable es de primer grado y tiene la siguiente forma:

𝑃 (𝑥 )=𝑎𝑥+𝑏=0,𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑎≠0

La ecuación tiene por raíz :

𝑥=−𝑏𝑎

La interpretación geométrica de una ecuación de primer grado es la abscisa del punto de intersección de la recta que representa a la función con el eje “”.

ECUACIONES

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

• Suprimimos signos de colección o agrupación.

Recomendaciones para sus solución:

• Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.• Hacemos transposición de términos, escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuación.

• Volvemos a reducir términos semejantes.

• Despejamos la incógnita.

Solución:

Ejemplo:

ECUACIONES

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

3 (𝑥+1 )+4 (2𝑥−1 )=5 (𝑥+5 ) −2(𝑥−3)Suprimimos los signos de colección o agrupación3 𝑥 3 8 𝑥 4 5 𝑥 25 2 𝑥6+¿ +¿ − +¿ +¿−¿

Reducimos términos semejantes en cada miembro

11𝑥−1¿3 𝑥 31+¿Transponemos términos, las variables en uno y los términos independiente en el otro

11𝑥− 1¿3 𝑥 31+¿Reducimos términos semejantes y despejamos la incógnita

8 𝑥 32¿𝑥 4¿∴

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES

Conocida también como ecuación cuadrática, es aquella ecuación donde la incógnita o variable es de segundo grado y tiene la siguiente forma:

𝑃 (𝑥 )=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑎≠0

Clases de ecuaciones cuadráticas• E. Cuadráticas Incompletas• E. Cuadráticas Completas

Propiedades de las raíces de las ecuaciones cuadráticas

• Suma de sus raíces• Producto de sus raíces

ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA

ECUACIONES

Es aquella ecuación cuadrática en la que falta uno de sus términos y pueden ser:

1. Caso: Si b=0, la ecuación es de la forma:

𝒂𝒙𝟐=−𝒄

2. Caso: Si c=0, la ecuación es de la forma:

𝒙=±√−𝒄𝒂

Factorizamos por factor común

𝒙𝟐=−𝒄/𝒂

𝒙 (𝒂𝒙+𝒃)=𝟎cero cero 𝒙𝟐=−

𝒃𝒂

𝒙𝟏=𝟎

ECUACIONES

ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETAEcuación cuadrática que tiene todos sus términos

Esta ecuación se resuelve por factorización o por la fórmula general.

1. Por Factorización.

• Se trasladan todos los términos de la ecuación a un solo miembro, dejando el otro miembro igual a cero.

• Se reduce los términos semejantes del primer miembro de la ecuación.

• Se factoriza el trinomio resultante por los métodos: trinomio cuadrado perfecto, aspa simple o completando cuadrados.

• Luego se iguala cada factor de la ecuación a cero.

• Se suprimen los signos de agrupación y se reducen los términos semejantes en cada miembro.

ECUACIONES

Ejemplo : Resolver

ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA

(5 𝑥−2 )2=10 𝑥2+6 𝑥+61

25 𝑥2Se suprimen los signos de agrupación y se reducen los términos semejantes−2 ∙(5 𝑥)(2) 4+¿ ¿10 𝑥2+¿6 𝑥+¿61Trasladamos los términos de la ecuación a un solo miembro e igualamos a cero.25 𝑥210 𝑥2 20 𝑥 6 𝑥+¿− − −4 61− ¿0Se reduce los términos semejantes del primer miembro de la ecuación. 15𝑥2 26 𝑥57−− ¿0Se factoriza por aspa simple e igualamos a cero cada factor de la ecuación. (𝑥−3 )(15 𝑥+19 ) ¿0

cero cero𝑥1=−19 /15 𝑥2=3∧Los valores de “”

son:

ECUACIONES

ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA

2. Por Fórmula General, utiliza los coeficientes de la ecuación cuadrática

𝒙=−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂

𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎

𝒙𝟐=−𝒃−√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝒙𝟏=−𝒃+√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

Ejemplo : Resolver,

𝑥2−2 𝑥−3=0Identificamos los valores de: , y , y los reemplazamos en la fórmula general.

Solución:

𝑥=−(−2)±√ (−2 )2−4 (1)(−3)

2(1)

𝒙𝟏=𝟑𝒙𝟐=−𝟏

ECUACIONES

PROPIEDADES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

En toda ecuación cuadrática se cumple las siguientes propiedades:

1. Suma de raíces de la ecuación de segundo grado es igual al coeficiente de x con signo contrario, dividido por el coeficiente de x2

2. Producto de raíces de la ecuación de segundo grado es igual al término independiente dividido por el coeficiente de x2

𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐=𝒄𝒂

𝒙𝟏+𝒙𝟐=−𝒃𝒂

Solución:

ECUACIÓN NUMÉRICA

Ejemplo:

5𝑥−23

=𝑥−12

+9𝑥−26

ECUACIONES

Se denomina así a aquella ecuación en donde la única letra que aparece es la que representa a la variable.

2(5 𝑥−2) 3 (𝑥−1) (9 𝑥−2)¿ +¿10 𝑥−4¿3 𝑥−3+¿9 𝑥−2

𝑥¿12

12𝑥−5¿10 𝑥−42 𝑥1¿

ECUACIÓN LITERAL

Es aquella ecuación donde, además de la letra que representa a la variable, aparecen más letras. Convencionalmente, “” es la que representa a la variable y las otras letras se deben considerar como constantes paramétricas.

ECUACIONES

Ejemplo:

𝑎𝑏 (1−

𝑎𝑥 )+𝑏𝑎 (1−

𝑏𝑥 )=1

𝑎  𝑏⋅(𝑥−𝑎

𝑥 ) 𝑏  𝑎⋅( 𝑥−𝑏

𝑥 )1¿+¿

𝑎2 (𝑥−𝑎 ) ¿+¿ 𝑎𝑏𝑥

𝑚 .𝑐 .𝑚 .=𝑎𝑏𝑥𝑎(𝑥−𝑎)  𝑏𝑥

𝑏(𝑥−𝑏)  𝑎𝑥 1¿+¿𝑎𝑏𝑥 ∙ 𝑎𝑏𝑥 ∙ 𝑎𝑏𝑥 ∙

𝑏2 (𝑥−𝑏 ) 𝑎2𝑥 𝑏2𝑥𝑎3 𝑏3+¿− − ¿𝑎𝑏𝑥(𝑎¿¿2−𝑎𝑏+𝑏2)𝑥¿¿𝑎3𝑏3+¿ 𝑥¿ 𝑎3+𝑏3

𝑎2−𝑎𝑏+𝑏2∴𝑥¿𝑎+𝑏

⟹⟹

Operamos en los paréntesis,

y calculamos su mcm

ECUACIÓN POLINOMIAL

Ejemplo :

(𝑥+3 ) (𝑥+4 ) (𝑥+5 )= (𝑥+4 )3

∴

ECUACIONES

Es aquella ecuación donde los miembros que la forman son funciones polinomiales, el conjunto de valores admisibles de una ecuación polinomial es el conjunto de los números complejos.

𝑥3 (3+4+5 ) 𝑥2 (12+20+15 ) 𝑥 (3 ∙4 ∙5) 𝑥3 3 𝑥2(4 )

𝑥3+12𝑥2+47 𝑥+60

3 𝑥 (4 )243+¿ +¿ +¿ +¿ +¿ +¿¿¿𝑥3+12𝑥2+48 𝑥+64

47 𝑥−48𝑥 64−60

−𝑥 4∙ (−1 )∙ (−1 )𝑥 −4

¿¿¿

Desarrollamos los productos notables indicados:

Multiplicamos por (-1) ambos miembros de la ecuación,

ECUACIÓN RACIONAL

ECUACIONES

Es aquella ecuación donde los miembros que la forman son funciones racionales, y al menos uno de ellos además es fraccionaria. El conjunto de valores admisibles de una ecuación racional es el conjunto de los números complejos, con excepción de aquellos valores que anulan a los denominadores.Ejemplo :

1𝑥+1

+2

2𝑥−1=1

Sol : Calculamos el mcm y lo multiplicamos por cada término de la ecuación1

𝑥+12

2𝑥−11∙ (𝑥+1 ) (2𝑥−1 ) ∙ (𝑥+1 ) (2𝑥−1 )¿+¿ ∙ (𝑥+1 ) (2𝑥−1 )

1 ∙ (2 𝑥−1 ) 2 ∙ (𝑥+1 ) (𝑥+1 ) (2 𝑥−1 )2 𝑥−1 2 𝑥+2 2 𝑥2+𝑥−1

+¿+¿

¿¿0¿ 2 𝑥2−3 𝑥−2Reducimos términos

semejantes,Factorizamos e igualamos a cero cada factor,

𝑥1=2 𝑥2=−1/2∧

ECUACIÓN IRACIONAL

Ejemplo :

√2 𝑥+3+√𝑥−2=4

(√2 𝑥+3 )2

ECUACIONES

Es aquella ecuación donde al menos uno de los miembros que la forman es una función irracional. El conjunto de valores admisibles de una ecuación irracional es el conjunto de los números complejos.

Elevamos al cuadrado la ecuación:

[√2 𝑥+3+√𝑥−2 ]2¿[ 4 ]2

+¿2 ∙√ (2 𝑥+3 ) (𝑥−2 )+¿(√𝑥−2 )2¿162 𝑥+3+¿ √ (2 𝑥+3 ) (𝑥−2 )2 ∙ 𝑥−2+¿ ¿16

2 ∙√ (2𝑥+3 ) (𝑥−2 )[ ]2¿15−3 𝑥[ ]2

4 (2𝑥+3 ) (𝑥−2 )Elevamos al cuadrado otra vez, ¿225 90 𝑥 9 𝑥2− +¿ 𝑥2−86𝑥+249=0⟹Factorizamos e igualamos a cero cada factor,

𝑥1=3 𝑥2=83∧

,reducimos

GRACIAS

ECUACIONES