UTPL-MATEMÁTICAS PARA CIENCIAS BIOLÓGICAS-II-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)

ESCUELA DE GESTIÓN AMBIENTAL

NOMBRE:

MATEMÁTICA PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS

II Bimestre

Ing. Natalí Solano Cueva

OCTUBRE 2011 – FEBRERO 2012

Sistema de ecuaciones lineales. Definición

Métodos de solución de un sistema de ecuaciones

lineales

Álgebra de matrices

Unidad 5: Sistema de

ecuaciones lineales

2.Exponentes y radicales

3.Expresiones algebraicas

4.Expresiones fraccionarias

5.Notación científica

6.Sistema internacional (SI)

Ejercicios

Sistema de ecuaciones lineales (S.E.L)

3

DEFINICIÓN:

Es una colección de 2 o más ecuaciones lineales, cadauna con 2 o más variables (incógnitas).

Una solución de un S.E.L. consta de valores de lasvariables para los cuales cada ecuación del sistema severifica.

Al conjunto de todas las soluciones se le llamaConjunto Solución del S.E.L.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones

4

2 61)

3 4

x y

x y

1 310

2 43)

34

4

x y

x y

2 52)

2 4

x y

x y

5

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones

1. Método gráfico

2. Método de sustitución

3. Método de eliminación por adición

4. Regla de Cramer

5. Método de la matriz aumentada

6. Método de matrices

6

MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2

Procedimiento

1. Las soluciones del sistema de ecuaciones

serán los puntos de intersección entre las dos

gráficas.

2. Construya la gráfica de cada ecuación.

7

22)

0

x y

x y-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

:Solución 1 , 1

2x y

0x y

Ejemplos: Sistema de ecuaciones por el método gráfico

8

2 52)

2 4

x y

x y

Par Ordenado: 1 , 6

5612

4612

Por lo tanto el par ordenado 1 , 6 es solución.

:Verificación

Ejemplo:

9

PROCEDIMIENTO

1. Despeja una de las variables en cualquiera de lasecuaciones.

2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación.Esto producirá el valor de una de las variables.

3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior encualquiera de las ecuaciones originales para encontrarel valor de la otra variable.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2

10

Ejemplo: Método de sustitución.2 6

1)3 4

x y

x y

xy 26

4263 xx

4263 xx

2x

226y 2 2 , 2Conjunto Solución

Escogiendo la ecuación, , tenemos 2 6x y

Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,

Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación

tenemos

11

Método de Eliminación por Adición

Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el

objetivo que se elimine una de las variables.

Procedimiento:

1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicandolas ecuaciones por los números correspondientes.

2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.

3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puedereemplazar por una sustitución.

Álgebra de Matrices

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij

dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero

denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será

el elemento de la fila 2 y columna 5.

Operaciones con matrices

Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un número

Propiedades simplificativas

Producto de matrices

Matrices inversibles

Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, se llama matriz traspuesta de A, y se

representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las

columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

La suma de dos matrices de la misma dimensión, es otra matriz

del mismo tamaño que los sumandos. Por tanto, para poder sumar

dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo:

Suma y diferencia de matrices

Sin embargo, no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

Producto de una matriz por un número

El producto de una matriz A por un número real k es otra matriz B de la

misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene

multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.

Ejemplo:

El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al

número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de

escalares por matrices

Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B.

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el

número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión

n x p, la matriz P será de orden m x p, Es decir:

no se pueden multiplicar

Ejemplo:

Pij = aik bkj

Sucesiones aritméticas

Sucesiones geométricas

Unidad 6: Sucesiones

Sucesiones Aritméticas

Una Sucesión Aritmética, es una sucesión de números reales

tales que cada término es igual al anterior más un número

constante, llamado “diferencia”.

Ejemplo:

5 7 9 11 13 15 17

+2 +2 +2 +2 +2 +2

TÉRMINO GENERAL:

a1 1er. término

a2 = a1 + d 2do término

a3 = a2 + d = a1 + d + d 3er. término

a4 = a3 + d = a2 + d + d = a1 + 3d 4to. término

an = a1 + (n –1) d término general

De la expresión anterior hallamos:

dnaa n )1(11

1

n

aad n 1

11

d

aan n

Sugerencia: Es necesario tener en cuenta la importancia que el

estudiante maneje con mucha destreza las expresiones anteriores

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 21

Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior

multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN .

an = a1 , a2 , a3 , a4 , .... , ak , ..., an-1 , an

Deducimos la fórmula principal:

a1 = a1

a2 = a1 . r

2

a3 = a2 . r = a1 . r

3

a4 = a3 . r = a1 . r

Sucesiones Geométricas

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

• ……………...n-1

• an = a n-1 . r = a1 . r

O sea:

n-1

an = a1 . r

De ella se despeja en caso necesario a1, d o n.

Parábolas

Elipses

Hipérbolas

Unidad 7: Geometría

Analítica

Parábola

Es el conjunto de todos los puntos del plano que se

encuentra en la misma distancia de un punto fijo

llamado FOCO y de una recta fija llamada

DIRECTRIZ.

La Parábola en Matemática se define

como:

f(x) = a. x2 + b. x + c

Abierta hacia arriba

Abierta hacia abajo

(x-h)2 = 4p(y-k) (x-h)2 = -4p(y-k)

Abierta hacia la derecha

Abierta hacia la izquierda

(y-k)2 = 4p(x-h) (y-k)2 = -4p(x-h)

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales quela suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es

constante.

Elipse

F'F

P

'F P FP

constante

Ecuación de la Elipse

con centro (h , k)

( X-H )* + ( Y-K )* = 1

A* B*

HipérbolaEs el lugar geométrico de los puntos en un plano, para los que ladiferencia de sus distancias a dos puntos fijos (denominadosfocos) es una constante.

Una hipérbola tiene dos ejes; el eje que corta a la hipérbola es su ejetransverso; el punto en el que se cortan los ejes es el centro de la curva.

y

xEje transverso

x

y

Eje transverso

La ecuación de una hipérbola puede escribirse como:

12

2

2

2

b

ky

a

hx

(h,k) es el centro de la hipérbola.

El eje transverso es paralelo al eje x.y

xEje transverso

12

2

2

2

b

hx

a

ky

(h,k) es el centro de la hipérbola.

El eje transverso es paralelo al eje y.

x

y

Eje transverso

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