Vectores

VectoresUniversidad Nacional Autónoma de MéxicoColegio de Ciencias y HumanidadesPlantel “Oriente”

Profesor Ramón Monreal Vera Romero

Vectores Existen dos tipos de magnitudes: Escalares.- Son aquellas que indican una valor numérico y una unidad.

Ejemplos: 30 m, 100 pesos, 50 barrilesValor Numérico UNIDAD 45 Caballos

Vectoriales,- Son aquellas que indican un valor númerico, unidad, una dirección y un sentido. Ejemplos: 30 m al norte, 50 Newton de fuerza en dirección de 45 Grados. Son de suma importancia porque determina la posición de las cosas, por ejemplo no es lo mismo viajar 100 km al Norte que 100 km al sur, ya que llegariamos a lugares diferentes, se identifican porque se coloca un flecha que indica vector sobre las unidades.Valor numérico Unidad Dirección

30 m 90 Grados El sentido esta dado por el signo del valor númerico

Vectores Los vectores se representan grafícamente tambien a través de

flechas.

Magnitud

Ángulo es la dirección

Sentido

VectoresLos vectores se representan gráficamente tambien a través de flechas. Es el mismo vector pero de sentido + y -

300 m

60 Grados

- 300 m

60 Grados

Vectores

Se usan dos sistemas para la representación de los vectores:Coordenadas PolaresCoordenadas Cartesianas

VectoresCoordenadas Polares

30 m Ángulo = 60 grados60 m Ángulo = 150 grados90 m Ángulo = 240 grados45 m Ángulo = 330 grados

VectoresCoordenadas Cartesianas.- Se cambia el plano de

círculos, por ejes cartesianos

30 m Ángulo = 60 grados60 m Ángulo = 150 grados90 m Ángulo = 240 grados45 m Ángulo = 330 grados

VectoresCoordenadas Cartesianas.- Cada vector se descompone

en dos vectores uno horizontal y otro vertical

30 m Ángulo = 60 grados60 m Ángulo = 150 grados90 m Ángulo = 240 grados45 m Ángulo = 330 grados

+15.0 m X , +25.4 m Y-50.8 m X , +30 m Y-77.4 m X , -45 m Y+38.7 m X , -22.5 m Y

El signo es en funciónde la dirección

VectoresCoordenadas Polares Coordenadas Cartesianas

Vector Angulo Vector X Vector Y30 m 60 grados +15.0 m +25.4 m

60 m 150 grados -50.8 m +30 m90 m 240 grados -77.4 m -45 m

45 m 330 grados +38.7 m -22.5 m

Vector

Vector

Angulo

Vector X

Vect

or Y

Coordenadas Polares Coordenadas CArtesianas

Vector

Vector X

Vect

or Y

Si unimos ambas CoordenadasCoordenadas Polares Coordenadas Cartesianas

Vector

Angulo

Vectores Se forma un triangulo

rectángulo, podemos pasar de una coordenada a otra, a través de las funciones trigonométricas y teorema de Pitágoras.

Angulo

Coordenadas Polares a cartesianas

Coordenadas cartesianas a polares

Conversión de coordenadas

Vectores

Conversión de Coordenadas Cartesianas a Polares

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares Vx = + 20 m (se dirige a la derecha) Vy = +35 m (se dirige hacia arriba)

Vector X = 20 m

Vect

or Y

=35

m

Vector

= ?

Angulo = ?

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares

= 1.75 ¿Como se interpreta? Ángulo cuya tangente es 1.75

O sea que Tangente (60.25) = 1.75

Coordenadas Cartesianas (+20.00 m, +35.00 m )Coordenadas Polares ( 40.31 m , 60.25 grados)

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares Vx = - 20 m (se dirige a la izquierda) Vy = +35 m (se dirige hacia arriba)

Vector X = 20 mVe

ctor

Y =

35 m

Vector = ?

Angulo = ?

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares

= -1.75 ¿Como se interpreta? Ángulo

cuya tangente es -1.75

Debido a que un vector aparece negativo se tiene que hacer una corrección, el angulo importante es el amarillo, por lo tanto vale 180-60 =120 grados

Vector X = 20 m

Vect

or Y

=35

m

Vector = ?

Angulo = 60

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares

Coordenadas Cartesianas (-20.00 m, +35.00 m )

Coordenadas Polares ( 40.31 m , 180-60 grados)

Coordenadas Polares ( 40.31 m , 120 grados)

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares Vx = - 20 m (se dirige a la izquierda) Vy = -35 m (se dirige hacia arriba) Vector X = 20 m

Vect

or Y

=35

m

Vector =

?

Angulo = ?

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares

= 1.75 ¿Como se interpreta? Ángulo

cuya tangente es 1.75

Debido a que los dos vectores aparecen negativo se tiene que hacer una corrección, el ángulo importante es el café, por lo tanto vale 180+60 =240 grados

Vect

or Y

=35

m

Vector X = 20 m

Vector =

?

Angulo = 60

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares

Coordenadas Cartesianas (-20.00 m, +35.00 m )

Coordenadas Polares ( 40.31 m , 180+60 grados)

Coordenadas Polares ( 40.31 m , 240 grados)

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares Vx = - 20 m (se dirige a la izquierda) Vy = -35 m (se dirige hacia arriba) Vector X = 20 m

Vector Y =35 m

Vector = ?

Angulo = ?

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares

= -1.75 ¿Como se interpreta? Ángulo

cuya tangente es 1.75

Debido a que un vector aparece negativo se tiene que hacer una corrección, el ángulo importante es el café, por lo tanto vale:

360-60 = 300 gradosVe

ctor

Y =

35 m

Vector X = 20 m

Vector = ?

Angulo = 60

Conversión de CoordenadasCartesianas a Polares

Coordenadas Cartesianas (-20.00 m, +35.00 m )

Coordenadas Polares ( 40.31 m , 360-60 grados)

Coordenadas Polares ( 40.31 m , 300 grados)

Vectores

Conversión de Coordenadas Polares a Cartesianas

Conversión de CoordenadasPolares a Cartesianas

Coordenadas Polares:Vector (40.31 m , 60 grados) Coordenadas Cartesianas:

Vector (+ 34.9 m, + 20.15)

Vector X = ?

Vect

or Y

=?

Vector

= 40.31

m

Angulo = 60 grados

Vx se dirige a la derecha es +Vy se dirige hacia arriba es +

Conversión de CoordenadasPolares a CartesianasCoordenadas Polares:Vector (40.31 m , 120 grados) Como el angulo es mayor a 90 gradosse tiene que corregir:Angulo = 180 -120 = 60 gradosCoordenadas Cartesianas:

Vector (+ 34.9 m, - 20.15 m)

Vector X = ?Ve

ctor

Y =

? Vector = 40.31 m

Angulo = 60 grados

Vx se dirige a la izquierda es -Vy se dirige hacia arriba es +

120 grados

Conversión de CoordenadasPolares a CartesianasCoordenadas Polares:Vector (40.31 m , 240 grados) Como el angulo es mayor a 90 gradosse tiene que corregir:Angulo = 240 - 180 = 60 gradosCoordenadas Cartesianas:

Vector (- 34.9 m, - 20.15 m)

Vector X = ?

Vect

or Y

=?

Vector

= 40.31

m

Angulo = 60 grados

Vx se dirige a la izquierda es -Vy se dirige hacia abajo es -

240 grados

Conversión de CoordenadasPolares a CartesianasCoordenadas Polares:Vector (40.31 m , 300 grados) Como el angulo es mayor a 90 gradosse tiene que corregir:Angulo = 360 - 300 = 60 gradosCoordenadas Cartesianas:

Vector (+ 34.9 m, - 20.15 m)

Vector X = ?

Vect

or Y

=?Vector = 40.31 m

Angulo = 60 grados

Vx se dirige a la derecha es +Vy se dirige hacia abajo es -

300 grados

Conversión de CoordenadasPolares a Cartesianas Observa que es importante que el ángulo que importa para la

conversión de polares a cartesianas, es el que se encuentra dentro del triangulo, por eso siempre que el ángulo sea mayor a 90 grados se tiene que hacer una corrección.

RESUMEN:

Cuadrante ICorrección: No se hace

Cuadrante IICorrección: 180-Ang.

Cuadrante IIICorrección: 180+Ang.

Cuadrante IIICorrección: 360-Ang.