Clase 1 - Modelos y Simulación

PS7313 MODELAJE Y

SIMULACIÓN DE SISTEMAS DINÁMICOS

Prof. Gustavo Sánchez

gsanchez@usb.ve

Mg. Samuel Oporto Díaz

ContenidoIntroducciónConceptos GeneralesModelos Físicos ContinuosSoluciones AnalíticasModelos de Tiempo DiscretoIdentificaciónMétodos NuméricosModelos de Eventos DiscretosSoftware de SimulaciónDiseño de ExperimentosValidación del ModeloAnálisis de Resultados

20% = Tareas

20% = Rev. Biblio. y Anteproyecto. Sem 3

20% = Avance. Sem 6

20% = Informe Final + Present. Sem 10-11

20% = Examen. Sem 12

Evaluación

Bibliografía Harold Klee and Randal Allen (2011) .

“Simulation of Dynamic Systems with MATLAB® and Simulink”. CRC Press. Second Edition.

Ernesto Kofman. “Simulación de Sistemas Continuos. Notas de Clase”. Universidad Nacional de Rosario, Argentina.

Francois Cell ier (1991). “Continuous System Modeling”. Springer, New York.

Banks et al (2009). “Discrete-Event Simulation”. Prentice Hall. 5th Edition.

ModeloEs una representación simplificada de un sistema que en si mismo puede ser de alta complejidad, generalmente con el propósito de facilitar su análisis.

Modelo anatómico de un corazón humano

Un buen modelo es aquel que se puede usar para predecir la realidad con una exactitud aceptable!

Modelo

Las variables de interés del modelo (salidas) dependen de un conjunto de variables de “entrada”, u(t), y de variables internas del modelo, x(t), también conocidas como variables de estado

Modelox(t)

u(t) y(t)

SimulaciónConjunto de técnicas que permiten realizar experimentos a partir de un modelo, para intentar predecir y comprender lo que pudiera suceder si se realiza el mismo experimento con el sistema real.

Simulación

No

Si

Recolección de Datos

Etapasde un proyecto deSimulación

Simulación Para que un proyecto de simulación sea

exitoso se deben dar 3 condiciones:− El proyecto debe conducir a la toma

decisiones que produzcan finalmente alguna mejora en el proceso simulado

− Los resultados deben ser entendidos y aceptados por todas las partes

− El proyecto debe ajustarse a las especificaciones acordadas con el cliente en todas sus etapas

Formulación Es la etapa más importante Se debe formular claramente el alcance

de la simulación y sus condiciones: cronograma, presupuesto, protocolo de validación, etc

Recolección de Datos Se recopilan datos reales con la intención de que el

modelo sea lo más realista posible. Se debe decidir:

− ¿Qué y cuántos datos son importantes?− ¿Cómo y cuando recopilar los datos?

Construcción del modelo

Es importante definir el nivel de detalle del estudio (o nivel de simplificación).Un modelo detallado puede implicar mucho tiempo y recursos.Un modelo simplificado posiblemente no permita lograr el objetivo planteado.

Software de Simulación Existe una amplia variedad de software libre o

comercial para pasar de las ecuaciones a la experimentación.

Cada uno tiene ventajas y desventajas

Validación Prueba la concordancia entre el modelo y el sistema

real. En general se analiza el ajuste del modelo con

respecto a los datos recopilados

Experimentación Una vez validado el

modelo se realiza la experimentación que consiste en generar los datos y realizar el análisis de sensibilidad de los índices requeridos.

Este análisis consiste en modificar los parámetros o la estructura del modelo y observar el efecto sobre las variables simuladas.

ExperimentaciónDiseño/Planificación de Experimentos Objetivo: Aprovechar al máximo los recursos

disponibles.

Puntos de interés:− Software y Hardware− Condiciones de inicio − Tiempo de simulación− Experimentos válidos

Análisis de Resultados La respuesta dinámica del sistema

puede analizarse en términos de etapas:− Transitoria− Permanente

Influyen: Condiciones Iniciales ? Tiempo de Observación? Algoritmo de Simulación?

Toma de Decisiones

Es la segunda etapa más importante y una de las que más se descuida:

− Dificultades de comunicación. Falta de comprensión por parte de los clientes debido a los tecnicismos.

− Resistencia al cambio.− Desconfianza ante los resultados del modelo.− En ocasiones el cliente exigen aumentar el alcance, extender

el tiempo del estudio.

Clasificación de Modelos• Lineal – Las ecuaciones

descriptivas se plantean como combinaciones lineales de las variables del modelo y sus derivadas

• No Lineal – Cualquier otro que no tenga la forma anterior

Clasificación de Modelos• Invariantes – Los coeficientes de las ecuaciones

diferenciales no dependen del tiempo.• Variantes - Los coeficientes de las ecuaciones

diferenciales son función del tiempo.• Forzado – El sistema tiene entradas

independientes, que no dependen de su propio estado

• Libre – El estado del sistema solo depende de si mismo

Clasificación de Modelos• Concentrado - Solo aparecen derivadas con

respecto al tiempo• Distribuido - Aparecen derivadas con respecto a

otros parámetros (ej. posición)• Determinista - No interviene ninguna variable

aleatoria• Stochastic - Interviene al menos una variable

aleatoria

Clasificación de Modelos

Modelo Dinámico GeneralEn general un sistema dinámico puede ser representado mediante un conjunto de ecuaciones de estado, de la siguiente forma:

Funciones Lineales o No Lineales

Variables de Estado

Entradas

Salidas

Efectos No-Lineales, No Analíticos

Los sistemas reales pueden presentar efectos no-lineales, que no pueden ser representados mediante una sola función analítica, tales como:Fricción de CoulombBanda MuertaSaturaciónHistéresis

Fricción de Coulomb

Banda Muerta

Saturación

Histéresis

LinealizaciónSuponga que el sistema sea descrito por:

Ejemplo:

Linealización

Definiendo:

Serie de Taylor hasta 1er Orden:

Linealización

Linealización

LinealizaciónEJERCICIO: Linealice el modelo descrito por las ecuaciones:

Linealización

Variables de Estado

Variables de Estado

Ecuación de Estado

Solución?

En el caso de un sistema de una sola entrada, una sola salida, lineal, invariante, concentrado y determinista

Pierre-Simon LaplacePierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normandía);28 de marzo de 17491 - París; 5 de marzo de 1827)  fue  un astrónomo, físico y matemático francés que  inventó  y  desarrolló la transformada  de  Laplace y la ecuación de Laplace.

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace

Tabla de Transformadas de Laplace

Función de Transferencia

Condiciones Iniciales Nulas

Función de Transferencia

Función de Transferencia

Diagramas de SimulaciónSe representan las funciones de transferencia mediante rectángulos

G(s)

Diagramas de Simulación

Álgebra de Bloques

Diagramas de Bloque

Diagramas de Bloque

Diagramas de SimulaciónEl bloque básico de simulación es el “integrador”

Caso SISO-LTICDEjemplo: Construya el diagrama de simulación

Defina z(t) tal que:

Caso SISO-LTICDEjemplo:

Bloques deGanancia Pura

Ejercicios

Ejercicios

Flujo de SeñalesOtra forma de representar un sistema lineal de ecuaciones

Flujo de Señales

Flujo de Señales

Flujo de Señales

Flujo de Señales

Teorema de Mason

Teorema de Mason

Ecuación de EstadoSistema Lineal, Invariante y Concentrado

Solución?

Caso SISO-LTICDMatriz de Transición de Estados:

Ecuación de Estado

Ecuación de Estado

Puntos a Recordar Metodología para la planificación, desarrollo y

evaluación de proyectos de simulación Clases de Modelos Efectos No-lineales, No analíticos Linealización Espacio de Estados Transformada de Laplace Función de Transferencia Diagramas de Simulación Solución de la Ecuación de Estados