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UNIVERSIDAD FERMIN TORO
CABUDARE.ESTADO LARA
Apellidos Blanco Calderon Nombres Jaime Roberto
Cédula 20.319.200 Fecha
Examen Individual
On line
1. Muestre en una figura las representaciones de los vectores del campo vectorial
que tienen su punto inicial en (x,y), donde x=±1 , x=±2 , y=±1 , y=±2
F ( x , y )= 1
√ x2+ y2( xi+ yj )
( 2ptos)
10
2. Calcule R' ( t ) y R' ' ( t )si R( t )=√t2+1 i+√t2−1 j+tk
siR' ( t )= 1
t+1i−tan tj+ t
t2−1k
y R(0 )=4 i−3 j+5k calcule R(t) ( 2ptos)
R( t )=√t2+1 i+√t2−1 j+tk
R( t )= (t2+1 )1/2i+ (t2−1 )1 /2
j+ tk
R '( t )=12
( t2+1 )−1/22 ti+1
2(t2−1 )−1/2
. 2 t+k
R '( t )= 1
√ t2+1i+ t
√t2−1j+k
R ''( t )=[( t2+1 )−1/2+t . −1
2(t2+1 )−3 /2
.2 t ] i+[( t2−1 )−1/2+ t .−1
2(t2−1 )−3/2
. 2 t ] j
R ''( t )=[ 1
√ t2+1− t2
√(t2+1 )3 ]i+[ 1
√ t2−1+ t2
√(t2−1 )3 ] j
Si
R '( t )= 1t+1
i−tan tj+ tk
t2−1 y
R '( o)=4 i−3 j+5k
R '( t )=∫ dtt+1
i−∫ tan tj+∫ tk
t2−1
∫ dtt+1
=Ln /t+1/+k
∫ tan dt+∫ sentcos t
dt=Ln /sec t /+k
∫ tt+1
dt
12∫
duU
=12LnU+K
∫ tdt
t2−1=1
2Ln/ t2−1 /tk
U=t2−1du=2+dt
du2
=tdt
R( t )=Ln/ t+1/ i+Ln /sec t / j+ 12Ln/ t2+1/k+C
R( o)=Ln(0+1) i+ Ln /secO / j+ 12Ln/02+1/K+C
C=4 i−3 j+5k R( o)=C
R( t )= [Ln /t+1/+4 ] i+[Ln /sec t )−3 ] j+[ t
t2−1+5 ]K
3. Calcule el rot F y div R para el campo vectorial F dado
F ( x , y , z )= x
( x2+ y2 )3
2
i+ y
( x2+ y2 )3
2
j+k
( 2ptos)
ro tF=
i j kddx
ddy
d
d2
x
( x2+ y2)y
( x2− y2 )3/2 1
ro tF=
i j kddx
ddy
dd2
x
( x2+ y2)3 /2y
( x2− y2 )3/21
iddxx
(x2+ y2)
jddyy
(x2+ y2)3 /2
ro tF=d 1dyi+ ddz ( x
(x2+ y2 )3/2 ) j+ ddx ( y
(x2+ y2)3/2 )k−( d 1dxj+ ddz
y
(x2+ y2 )3/2 + ddy
x( x2+ y2 )3/2 k )
ro tF= ddx ( y
( x2+ y2)3 /2 )k− ddy ( x
(x2+ y2 )3/2 )k
ro tF= ddxy . ( x2+ y2)3/2
k− ddyx . ( x2+ y2)3/2
k
ro tF=32y (x2+ y2 )1/2
. 2xk−32x (x2+ y2)1/2
. 2 yk
ro tF=3 xy √x2+ y2k−3xy √ x2+ y2k
ro tF=0
divR= ddx [ x
(x2+ y2)3 /2 ]+ ddy [ y( x2+ y2 )3/2 ]+ ddz k
divR=(x2+ y2)3/2
−x . 3/2 (x2+ y2 )1/2.2 x
[ (x2+ y2)3/2]2+
(x2+ y2)3/2− y .3 /2 (x2+ y2)1/2
. 2 y
[ (x2+ y2 )3/2]2
divR=(x2+ y2)3/2
−3 x2 (x2+ y2 )1/2
(x2+ y2 )3+
(x2+ y2)3 /2−3 y (x2+ y2)1/2
(x2+ y2 )3
divR=(x2+ y2)1/2 [ x2+ y2−3 x2+x2+ y2−3 y2 ]
(x2+ y 2)3
divR=(x2+ y2)1/2 (−x2− y2)
(x2+ y2 )3 divR=
(x2+ y2)1/2 (x2+ y2)( x2+ y2)3
divR=−(x2+ y2)3 /2
(x2+ y2)3
divR= −1
(x2+ y2)3/2
4. Obtenga una ecuación del plano tangente al paraboloide elíptico
4 x2+ y2−16 z=0 en el punto (2,4,2) ( 2 ptos)
Una ecuación del plano tangente es
fx ( x0 , yo , z0) . (x−xo )+ fy (xo , y o , zo) ( y− yo )+ f 2 (xo , yo , zo) (z−zo)=U
∀ F (x0 , yo , z0 ). (x−x o) i+( y− yo) j+ (z−zo )k ó
∀ F ( y1 , y , z ) [ ( x−xo) i+( y− yo ) j+(z−zo ) ]k
∀ F (2,4,2 )=8 xi+2 yj−16k
∀ F (2,4,2 )=16 i+4 j−16k
Entonces la ecuación del plano tangente es
16k ( x−2 )+8 ( y−4 )−16 ( z−2 )=016 x−32+8 y−32−16 z+32=016 x−8 y−16 z−32=0 div entre 8
2 x+ y−2 z−4=0
5. Obtenga una ecuación de la recta normal a la superficie en el punto indicado.
x2
3+ y2
3+z2
3=14 ;(−8 ,27 ,1 ) ( 2ptos)
f ( x , y , z )=x2/3+ y2/3+z2/3−14 ; (−8 ,27 ,1 )
∀ f ( x , y , z )=23x−1/3 i+ 2
3y−1/3 j+ 2
3y1/3k
∀ f ( x , y , z )= 2
33√ xi+ 2
33√− y
j+ 2
33√ zk
∀ f (−8 ,27 ,1 )= 2
33√(−8 )
i+ 2
33√27
j+ 2
33√1k
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