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MÉTODOS NUMÉRICOS SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES POR EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON.
INTEGRANTES:NNNNKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
K
BAEZ JIMENEZ JOSE ARTURO
BELLO SANCHEZ ERICK
MARCIAL NOYOLA MIGUEL
1
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1)
como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
2
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
i 1 i i
i 1 i i
x u * (x ,y )
y v * (x ,y )
x1
y1
3
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como
aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con
las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1,
y), u(x, y1) y v(x, y1).
4
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
i 1 i i
i 1 i i
x u * (x ,y )
y v * (x ,y )
x1
y1v(x, y1)
v(x1, y)
u(x, y1)
u(x1, y)
5
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como
aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con
las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1,
y), u(x, y1) y v(x, y1).
3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los
puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante
que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)
6
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
i 1 i i
i 1 i i
x u * (x ,y )
y v * (x ,y )
x1
y1v(x, y1)
v(x1, y)
u(x, y1)
u(x1, y)
7
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como
aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con
las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1,
y), u(x, y1) y v(x, y1).
3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los
puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante
que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)
4. El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una
segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las
dos funciones
8
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
i 1 i i
i 1 i i
x u * (x ,y )
y v * (x ,y )
x1
y1
x2
y2
9
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como
aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con
las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y),
v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).
3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los
puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante
que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)
4. El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una
segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las
dos funciones
5. El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto
de intersección (xn, yn) coincida prácticamente con el valor
exacto de la intersección entre las dos curvas.
10
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
i 1 i i
i 1 i i
x u * (x ,y )
y v * (x ,y )
x1
y1
x2
y2
11
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales.
Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de una variable independiente en la determinación de la raíz.
Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuación no lineal:
i ii 1 i i 1 i i 1 i
i ii 1 i i 1 i i 1 i
u uu u (x x ) (y y )
x y
v vv v (x x ) (y y )
x y
12
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Pero ui+1 = vi+1 = 0 :
Que reescribiendo en el orden conveniente:
i ii 1
i ii
ii 1
i
i i i
i ii
1
i
1 ii
u
y
v
x
v vv x y
x
u uu x y
u
x
v
yx
yy
x
y
x
y
i ii 1 i
i ii i
1i i
i ii
ii
ii 1 i 1
v vv
u uu ux yu x 0
x y
v vx y 0
x y
x
yx y
y
x
y
13
Solucion del sistema por determinantes
i
ii
iu u
y
v
y
v
y
D x i i ii∂v ∂u
∂y ∂
∂u ∂v
∂ x-
x y ∂JACOBIANO
1i
2i
C
v
y
D
u
y
C
x i i ii
i ii i
∂v ∂ux
∂v ∂v+ y
∂
∂u-u +
∂ yy ∂ ∂ ∂yy x
i i ii
i ii i
u u u vvv
y xx y
y yy
i 1 i
ii
ii
ii
u vu
yx x
J
uv v
y yii i
i
ii
ii
ii i
x
-
∂
∂v ∂u
∂
u ∂v-
∂
∂v ∂u ∂vu
∂y∂u ∂v
∂y ∂xy ∂
∂x ∂yy
x
∂x
ii 1 i 1 1
i 1
i
i
i
i ii
ii
i
i
i
i
i i1 2
u
y
v
x
v vv x y
x y
u uu x y
xx y C
x y
u
x
v
yC
y
14
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La solución del sistema es:
Donde J es el determinante jacobiano del sistema
i ii i
i 1 i
v uu v
y yx x
J
i ii i
i 1 i
u vv u
x xy yJ
15
Ejemplo 1:Calcule las raíces con xi=1.5,yi=3.5
2 2
u V
0 10 57y 3 yx x 0yx
2 i
i
2
2 2( ) 6.5 1y 3.5
y
.5
3 3 3
ux 1
.5( ) 36.75 1 6 1
.5 xx
x 16( )( ) 3.5 2v
yy 3 .5.5i
i∂u
∂y
∂v
∂
1.5000
x
i ix = y =3.5000
21
12
u
36.75
10
5
6.5
1.5
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
3( )( )
3.5
3J 156.125
1.5
1.
2 1
5
2
v 1.
.5
3.5 3.5 7
. .5
625
5i ii i∂u
∂x
∂u∂
∂-
∂y
∂v
y
v
∂x
i
ii
ii
i
1
i
i
1
i
i
ii
x x 1.5
u( ) (
y y 3.
u
1.v
1.625
v1.625
u6.5
J 156.125
J 156.12
2.5
v
3
u2.
2
5
. )
( ) ( )v
36.
5
5y
7xx 5( 5)
5y2.
2.
0360
8438
ITERACION 1
16
iteración xi yi ui vi ¶ui/¶x ¶ui/¶y ¶vi/¶x ¶vi/¶y Jacobiano
1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125
2 2.0360 2.8438
x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0
xi = 2.0360
yi = 2.8438
Tabla iteración 1
17
2 2
u V
0 10 57y 3 yx x 0yx
i
2 i2
2 2( ) 6.9158
3 3( ) 24.2616 1 6 1 6( )( ) 35.
ux xy
7
x
x 9y 3y 9v
y
i ix = y =
i
i
2.0360
2.0360 2.0360
2.0360
2.8438
2.8438
2.8438 2.843
∂u
∂
x8
y
∂v
∂
1
21
2
6.9158
2.0360 2.036 2.8
35.
438
2.8438 2.843v 4
( 24.26
.7596
16
10
57
)( ) (
u 0.
J 197.7
064
734)( )
( ) ( )( )
3( )(
2.
8
7
7
)
39
0
2.
09 360
0360
ii i i ∂v
∂
∂v
∂y-
∂u
∂ xx
∂u
∂y
i
ii
i
i
i 1 i
ii
i
1 i
iv35.7399y
y y 2.8438
u2.
x x 2.0
v4.7596
v4.
( ) ( )
(
360
u6.9158
u0.0647
Jv
) (u
197.7734
J 197.7
0.064 )(27 4.2616x 596
0360y
7
7 )x34
1.9987
3.0023
ITERACION 2
18
iteración xi yi ui vi ¶ui/¶x ¶ui/¶y ¶vi/¶x ¶vi/¶y Jacobiano
1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125
2 2.0360 2.8438 -0.0647 -4.7596 6.9158 2.0360 24.2616 35.7399 197.77
3 1.9987 3.0023
x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0
xi = 1.9987
yi = 3.0023
Tabla iteración 2
19
i
2 i2
2 2( ) 6.9997
3 3( ) 21.0414 1 6 1 6( )( ) 35.
ux xy
0
x
x 4y 0y 2v
y
i ix = y =
i
i
1.9987
1.9987 1.9987
1.9987
3.0023
3.0023
3.0023 3.002
∂u
∂
x3
y
∂v
∂
12
21
( )( ) ( )J 20437 .9.004 707
u
6.999 ( )
(
1.998
) ( )( )
3( )
27.0414
v 0.0
7 7
0.0045
4997
2
5( )
10
ii i i∂u
∂x
1.9987 1.9987
1.9
-
3.0023
3.0023 3.
∂∂u
∂y
00298
v
∂x
37
∂v
∂y
ii
i 1 i
i 1 i
i
i
i ii
i
y
uv35
J 204.9707
J
.9987y 7.00v
v21.041
0.049942y
v0.0
u0.
499
x x 1.9987
u6.9997
( ) (1 )
( )
0045
u0.004 45
20
( )(x4.
y)x
97073.0023
2
3.
.0000
0000
ITERACION 3
20
21
21
u ( ) ( )( ) 10 0.0000
v 3( )( ) 57 0.0000
i ix = 2
2
y
3
2
2
=3
3
3
ITERACION 4
Tabla de iteraciones y gráfica de la solucion
iteración xi yi ui vi ¶ui/¶x ¶ui/¶y ¶vi/¶x ¶vi/¶y Jacobiano
1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125
2 2.0360 2.8438 -0.0647 -4.7596 6.9158 2.0360 24.2616 35.7399 197.77
3 1.9987 3.0023 -0.0045 0.0499 6.9997 1.9987 27.0414 37.0042 204.9707
4 2.0000 3.0000 0 0
x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0
El proceso se para debido a que los valores de u i y de vi son cero, lo cual indica que se ha llegado a la raíz.
21
Ejemplo 2:Calcule las raíces de
2 22 2
u V
16 0 4 0y4x4yx
ITERACION 1
i
i
2 2( ) 4 2 2 7
2 4 2 4 4
yu
x 2
2 4 2 4 1v
xy
x
y2
i ix = 3.5000
3
.5
3.5
y =
i
i
2
y
∂v∂
∂
x
∂u
2 2
1
1
2 2
( )( ) ( )( )
( ) (3
1
.
v 0.25
5
3.
u
4
16
5
)
4 4 (
2
J
.
4
4
7
2
)
5
24
2
ii ii ∂u∂x
∂∂v∂y ∂y
∂u∂x
-v
i
i
i 1 i
i 1 i
i i
i
i
i i
y
v4x
J 24
Jy 3.5
xv
0.25
v 0.2
(
5
u0.25
x 2
u4x
) ( )
u 0.( ) (
24
u7y
2 ( )
v1y
5)
2.0625
3.5
22
ITERACION 2
i
i 2 2( ) 4.125 2 2 7
2 4 2 4 3.875 2 4 2 4
y
1
x
v
u
y
x
x y
i i 3.5000
3.
x = y =
5
3.5
i
i
2.0625
2.062
∂v∂x
∂u5
2
∂y
.0625
2 2
2
1
21
4.125
2.
3.875
16u 0.5
(
0
1
3
)( ) ( )( )
( ) ( )
4 4 ( 4)
9
v 0.00
0625 3.5
3.5 392
J 237
.0625
ii i i∂u∂
∂v∂y
∂vxx
∂∂
u∂y
-
i 1
i
i
i
i
i
i
i 1
i
ii
i
v
y y 3.
u0.50
v0.0039
v 0.0039
u7
x x 2.0625
u4
( ) ( )
( ).12
39
u
J 23
J 2
0
v1
.55
05x 39 3.875x ( )( )
yy
3
2.0
3.
856
4144
23
ITERACION 3
i
i 2 2( ) 4.1712 2 2 6.8288
2 4 2 4 3.8288 v
ux
x
2 4 2 4 1.171
y
y2y
i i 3.4144
3.4
x =
144
3.4
1
=
4
y
4i
i
2.0856
2.0856
2.0856 2.08∂
56v
∂x
∂u∂y
12 2
2
12
( )( ) ( )( ) 21.2608
( )
1
3.
6
4
.8
14
4.1712 3.888
16
.1712
u 0.2 0.0 0785
v 0.007
9
2
( )
8
4
3.414
6
2. 40 984
J
(
8
)56 4 4
ii ii ∂u∂y
∂ ∂u ∂vv∂ xy ∂x
-∂
i
i
i 1
i 1
i
i
ii
i
i
ii
y
v3.8288xy 3.414
u6.82
v
J 2
0.0079
v 0.007
( ) ( )
(
x x 2.0856
u4.
v
) (
u
12
1.
5
0 1..0079
u 0
2
.
608
J 21.260
)(x
1712y
007
8
8
94
8y
)9
2.
3.
08857
4114
24
Iteración 4
2 2
1
2 2
1
u 16 0.0002
v 4 4 4 0.0000
2.08857 3.4114
2.08857 3.4114
iteración
xi yi ui vi ¶ui/¶x ¶ui/¶y ¶vi/¶x ¶vi/¶y Jacobiano
1 2 3.5 0,25 -0,25 -4 -7 4 1 24
2 2,0625 3,5 --0,5039 --0,0039 -4,125 -7 3,875 1 23
3 2,0856 3,4144 -0,0079 -0,0079 -4,1712 -6,8288 3,8288 1,1712 21,2608
4 2,08857 3,4114 0,0002 0,0000
25
Ejemplo 3:Calcule las raíces aproximadas con tres iteraciones
2 2
u V
x x 3y .2 .y
ITERACION 1
i
i
i
i
v
2 2( ) 2.8 1
1
1.4
2 2
ux
v
yy 1
x( ) .. 8
u
yx
4 2
i ix = y =1.4 1.4
1
2
2
i
1
i iiJ 6.8v
1x
.2
( )( )
u .36
v
( )( )u
( ) ( )
(
1.4
1.
u2.8
x
) (
1.4
1.4)
v2.8
y
.3
y
4
1 4
.26
i
i 1 i
i
i
ii
1
i
i
i
ii
x x 1.4 1.2146
u2.8x
. ( ) ( )
. (
J 6.
v2
84
)
uu
36
(.
v.
u 36)y y 1.
2
v1( )
J 6.
.
8
1
44
y 6
v 261.x
8y
240926
ITERACION 2
i i
i iv
x
2 2( ) 2.4292 1
1
ux 1.2146
x
y 1.22 2( ) 2.481
u
84y
y
9v
0
i i1.21x = 1.24 y46 = 09
i i
2
21
1
iiu2.4292
x
1.
( )( ) ( )( )
( ) ( ) .u 0343
v2.4818
1.2
214
409
v1
x
1.240 2 .
( ) (
6
1.2146v )
J 5.028
.3
u
.
71y
9
y
0252
i
i
i
1 i
i
i 1 i
i ii
ii
x x 1.2146 1.1927
u2.4292x
. ( ) . ( )
.
u0343
u 025
v2
J 5.028
( )
u1
(v
1)x 2 .0343
y
)
v0
(y
.4
y 1
252
v
7
J 5.0287.2409 1.
818y
2220
27
ITERACION 3
i i
i iv
x
2 2( ) 2.3854 1
1 y 1.22v
2 2( ) 2.444
ux 1.1927
y
y
x
u
20 0
i i1.1927x = 1.22 20y =
i i
2
21
1
iiu2.3854
x
1.
( )( ) ( )( )
( ) ( ) .u .0025
v2.4440
1.2220
1.2220
v1
x
2
( ) (
1927
1.1927)
J 4.8299u
1
.3 .
y
v
y
0006
i
i
i
1 i
i
i 1 i
i ii
ii
x x 1.1927 1.1914
u2.3854x
. ( ) . ( )
.
v0006
v 000
v2
J 4.829
( )
u00
(.v
1x
25
u 0025)(6
.444
)
u1y
9
J 4.829y y 1.2220 1.
y
9
0
2212
28
2 2
u V
x y .2 y x .3
2
2
( ) ( ) .2 .0017
(
1.1914
1.191) ( )
1.2
.3
212
1.2 .01 42 2 0007
iteración xi Yi ui Vi ¶ui/¶x ¶ui/¶y ¶vi/¶x ¶vi/¶y Jacobiano
1 1.4 1.4 .26 .36 2.8 -1 -1 2.8 6.84
2 1.2146 1.2409 .0343 .0252 2.4292 -1 -1 2.4818 5.0287
3 1.1927 1.2220 .0025 .0006 2.3854 -1 -1 2.4440 2.4289
4 1.1914 1.2212 -0.0017 -0.00007
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