Distribuciones de variables aleatorias discretas y continuas

DISTRIBUCIONES DE

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.

Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...)

para designar valores concretos de las mismas.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.

Ejemplos: 

El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

Función de probabilidad

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de xi de la variable con su probabilidad pi.

0 ≤ pi ≤ 1

p1 + p2 + p3 + · · · + pn = pΣ i = 1

Ejemplo: Calcular la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

X Pi

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

1

La representación de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de barras.

Función de distribución

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función:

F(x) = p(X ≤ x)

La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.

Ejemplo:  Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

X Pi

0

1/6

2/6

3/6

4/6

5/6

1

La representación de una función de distribución de probabilidad es una gráfica escalonada.

Esperanza matemática o media

Varianza

Desviación típica

Ejemplo: Calcular la esperanza matemática, la varianza, y la desviación típica, de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

X Pi X . Pi . Pi

1 1/6 1/6 1/6

2 1/6 2/6 4/6

3 1/6 3/6 9/6

4 1/6 4/6 16/6

5 1/6 5/6 25/6

6 1/6 1 6

21/6 91/6

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Ejemplos: 

La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

Función de Densidad de Probabilidad.

También llamada: Distribución de Probabilidad.La probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área arriba de este intervalo y bajo la gráfica de una función de densidad. La curva f(x) se llama curva de densidad.

Para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, se deben satisfacer las siguientes condiciones:

1.- f(x) > 0,...para todo x.

2.-

Esperanza de una Variable Aleatoria Continua.

∫𝑎

𝑏

𝑥 . 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

Varianza de una Variable Aleatoria Continua.

∫𝑎

𝑏

𝑥2 . 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

Distribución Uniforme.

Se dice que una variable aleatoria continua X, que toma todos los valores del intervalo [a, b] real, sigue una distribución uniforme de parámetros a y b, si su función de densidad de probabilidad es:

𝑓 (𝑥 )={ 1𝑏−𝑎0

Si a

En otro casoLa media  La varianza 

Distribución Normal.

Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución normal o de Gauss de parámetros y , si μ σsu función de densidad de probabilidad es:

𝑓 (𝑥 )= 1𝜎 √2𝜋

.𝑒− 12 ( 𝑥−𝑢𝜎 )2

La media de la distribución normal viene dada por:

E(X) = μ

Y la varianza de la distribución normal viene expresada por:

Var(X) =  ²σ

Distribución Exponencial.

Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución exponencial de parámetro , si su β función de densidad de probabilidad es:

𝑓 (𝑥 )={ 1𝛽 .𝑒−𝑥 /𝛽

0

Si

en otro caso

La media de la distribución normal viene dada por:

E(X) = β

Y la varianza de la distribución normal viene expresada por:

Var(X) =  ²β

EJERCICIOS

Ej1.  Sea X una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad:

Hallar:

a) El valor de c para que f(x) sea una función de densidad. b) Calcular la esperanza y la varianza de X.

Apartado a)Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad:

Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:

1. f(x) > 0,...para todo x. 2.

La función f(x) es mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición: (8/3)·c = 1

Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua X queda:

𝑃 (𝑎≤ 𝑥≤𝑏)=∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

𝑃 (0≤𝑥 ≤2 )=∫0

2

𝑐 .𝑥2𝑑𝑥=𝑐∫0

2

𝑥2𝑑𝑥=𝑐 . 𝑥3

3 |20=𝑐3

(23−0 )=83𝑐

Apartado b)

En este apartado, debemos calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria continua, X.

Para el cálculo de la esperanza, empleamos la siguiente expresión:

𝐸 ( 𝑋 )=∫0

2

𝑥 . 3 𝑥2

8𝑑𝑥=3

8∫0

2

𝑥3𝑑𝑥= 332

𝑥4|20= 332. (24−0 )=3

2

𝐸 ( 𝑋 )=∫𝑎

𝑏

𝑥 . 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥

Y para la varianza, se empleará la siguiente expresión:

𝑉 (𝑋 )=∫0

2

𝑥2 . 3 𝑥2

8𝑑𝑥− 3

2

22= 340. 𝑥5|2

0−94= 340

(25−0 )− 94= 320

Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

Ej2. Sea X una variable aleatoria continua que mide el avance entre dos automóviles consecutivos elegidos al azar en segundos, su función de distribución del tiempo de avance presenta la forma:

Hallar:

a) Determinar el valor de k para que f(x) sea una función de densidad legítima.

Apartado a)

Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad:

𝑃 (𝑎≤ 𝑥≤𝑏)=∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

𝑃 (𝑋>1 )=∫1

∞𝑘𝑥4𝑑𝑥=− 𝑘

3.1𝑥3|∞1=− 𝑘

3 ( 1∞3 − 113 )=𝑘3

La función f(x) es mayor que cero, para ello, k debe ser mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición:

k/3 = 1

Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua X queda:

𝑓 (𝑥 )={ 3𝑥40

GRACIAS